[EXO#14] Disjonction de cas ? Récurrence ? Arithmétique ? (Exercice)

[@lipschitz1388]

Bonjour ! Je pense que la récurrence est sauvable. Supposons faite l'initialisation et soit un entier n strictement plus grand que 1 (EDIT : je le disais strictement positif avant mais l'initialisation se fait à n = 1). Supposons le résultat vrai au rang n-1. Soit A un sous-ensemble de n+1 éléments de {1,...,2n}. Soit 2n-1 et 2n ne sont pas dans A, auquel cas on peut appliquer l'hypothèse de récurrence au rang inférieur. Soit on a que 2n-1 ou (exclusif) 2n est dedans, mais alors A privé de cet entier satisfait encore l'hypothèse de récurrence au rang inférieur. Sinon, 2n-1 et 2n sont dans A. Soit B = A - {2n-1,2n} (EDIT : j'avais écrit n au lieu de 2n). On ne peut plus appliquer l'hypothèse de récurrence à B mais … presque. En effet, soit il y a un entier de B qui en divise un autre et dans ce cas, il n'y a rien à dire. Soit, pour tout b, b' dans B, b ne divise pas b'. Eh bien alors de deux choses l'une : soit n est dans B, auquel cas n divise 2n et c'est réglé. Soit n n'est pas dans B. Alors C = B U {n} satisfait bien l'hypothèse de récurrence au rang inférieur : il y a un entier qui en divise un autre dans C cette fois, et l'un des deux est nécessairement n. Dans B, il y a donc soit un multiple de n (c'est impossible), soit un diviseur de n. Mais un diviseur de n divise a fortiori 2n et on a gagné.

[@oljenmaths]

Bingo 🥳! Merci pour le partage ! Dans les étranges circonstances dans lesquelles j'ai résolu cet exercice (j'en parlerai peut-être en podcast 🤣), je n'avais pas réussi à pousser le raisonnement jusqu'au coup de l'ensemble C, et c'est de cette frustration qu'est née l'idée de la solution que j'ai présentée. Mais là, avec la récurrence achevée, c'est encore plus beau 🥲! Commentaire épinglé 📍!

[@nocturmaths]

Je comptais essayer cette idée avant de voir ton commentaire. Heureux d'apprendre que la récurrence peut être sauvée.

[@palicot]

Sans nul doute, l'exercice qui m'a le plus tenu en haleine tout au long. Excellente vidéo. Je suis friand de ce genre de résolution !

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour sympathique 😇! D'habitude, je présente un peu des « classiques », mais là, c'était plutôt dans la catégorie « exotique ». Je reproduirai sans doute l'expérience si j'en ai l'occasion 👍🏻.

[@pythagore5770]

Bonsoir. Tu poses la question sur l'utilité d'une telle vidéo. Bien sûr que oui !!! Il faut montrer les fausses pistes, le cheminement qui mène à la solution, pas évidente d'ailleurs... Continue comme ça, j'adore !!! ( Prof de Maths en collège )

[@oljenmaths]

Bonsoir et merci pour le retour, cher collègue 😄!

[@hogokage2433]

Un exercice en apparence difficile, où on ne voit pas par où commencer, peut être un peu rebutant pour certains. Mais votre manière de faire le tour du problème, de le baliser puis d'amener la solution de manière très pédagogue est un véritable régale. Et ce genre d'exercice est, pour ma part, exactement ce que je recherche. Des exercices difficiles sur youtube il en existent pleins, mais à ma connaissance, vous êtes le seul qui résout l'exercice en se mettant à la place d'un élève lambda, en démêlant l'exercice pour pouvoir contempler, le début et la fin du fil ainsi que ce qui se trouve entre, là où un autre aurais donner la solution et fait remarquer qu'elle fonctionne.

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour très précieux et très juste 🙏🏻! C'est exactement ce que j'essaie de faire à chaque fois que j'explique quelque chose : imaginer que je pars d'une page blanche… c'est le travail de toute une vie, et je suis content qu'il puisse se matérialiser avec succès de temps à autres 😇.

[@theomarco5672]

Cher Oljen, Ce fut une vidéo incroyablement bien menée !! Pour ma part, je serais un client fidèle de ce genre de vidéo !!! Merci et au plaisir.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour le retour Théo 😉🙏🏻!

[@Piorte]

Pas facile comme exercice. Excellent vidéo comme toujours !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 😇!

[@KOC6H2NO23]

J'ai beaucoup apprécié cet exercice et la manière dont tu l'as corrigé. Cet ensemble A doit sûrement avoir plein d'autres propriétés sympathiques, ça donne envie de creuser encore le truc. Merci et bonne continuation.

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour 😇!

[@gingfreecs5299]

Oui Monsieur!! continuez vous à partager les exercices de ce niveau de difficulté tout en conservant ce magnifique style de présenter les différentes pistes (fausses ou vraies), en effet les maths se lisent d'à gauche à droite et inversement, et la variété en points de vue d'un même problème améliore toujours nos ésprits critique .(Hm et aussi cela me permet de m'encourager lorsque je vous vois présenter une idée que je n'ai pas pu mener à bien) Merci

[@oljenmaths]

Merci pour le retour 🙏🏻 !

[@smartcircles1988]

Coucou cher Oljen, Olivier Geneste, écoutes cher camarade de maths, merci déjà pour cette émission merveilleuse et suffisamment bien présentée pour être intelligible malgré quelle soit très intelligente, je serais toujours le premier à te donner un maximum d'encouragements pour que tu réitère cette démarche, celle de présenter des Maths de hautes volées sur ta chaine, peut-être que certaines personne n'aura pas la même volonté et le même engouement que moi pour se délecter de ton savoir et de tes connaissances mais temps, je reste profondément convaincu qu'il existera toujours une part de ton public suffisamment passionné par la science Mathématiques pour consommer et regarder ton contenu, en bref, je vais encore une fois éviter d'écrire un roman dans tes commentaires mais le seul et unique commentaire que j'aimerais faire est de te demander de ne pas arrêter ce que tu fais et de ne surtout pas te restreindre à publier des Maths que le "tout le monde" peut comprendre, je veux dire par là, qu'il existera toujours au moins quelqu'un dans ton auditoire qui porta un interêt à ce que tu crée, moi le premier encore Merci Oljen, je suis le premier à te soutenir et de donner le plus de courage pour que tu persiste dans la création de ces ouvres d'arts. (bien à toi, Mathématiquement) - Cordialement. PS : WAWH !

[@oliviermiakinen197]

Eh bien je crois que tout est dit, je ne peux qu'approuver fortement.

[@smartcircles1988]

@@oliviermiakinen197 Qu'est ce que tu rajouterais ?

[@oliviermiakinen197]

@@smartcircles1988 Rien justement. Tu as dit tout ce que j'aurais pu vouloir dire.

[@smartcircles1988]

@@oliviermiakinen197 Qu'est-ce que tu aurais pu vouloir dire ?

[@oliviermiakinen197]

@@smartcircles1988 Ce que tu as dit.

[@moisemissambimbou7462]

Bonsoir J'ai beaucoup apprécié le contenu C'était très édifiant et le déroulé de l'émission traduit véritablement la démarche de l'esprit pour résoudre un exercice difficile. J'apprécierais volontiers plus d'émissions de ce type

[@oljenmaths]

Bonsoir, et merci pour ce retour instructif 🙏🏻!

[@alexiat1117]

Vos videos sont vraiment très instructives, parfois on regarde les corrections des exercices et on a l' impression que ça tombe du ciel.😅 C' est toujours très édifiant, d' avoir l' occasion d' observer la démarche de reflexion derrière.

[@oljenmaths]

En fait, c'est la trace qu'un exercice se résout en deux phases qui n'occupent pas la même place. 🔸 Dans un premier temps, il y a toutes les pistes, les idées infructueuses, les sensations, les impressions… et une solution se dessine à l'esprit. La plupart du temps, on ne trouve aucune trace de ce passage qui, pourtant, peut constituer le plus clair du temps passé sur un exercice. 🔸Dans un second temps, on passe le fruit de la recherche précédente au crible de l'examen logique et rationnel. C'est ce qui est généralement appelé « solution »… sauf qu'avant la première ligne, et entre les lignes, il y a une substance invisible que j'essaie, par mes mots, de révéler 😉.

[@NC-hu6xd]

D'habitude je regarde juste la vidéo et je me laisse bercer mais là l'exo a l'air intéressant, jvais le chercher tranquillement d'abord. En tout cas merci pour tout, vraiment de l'or ta chaîne

[@oljenmaths]

Merci 🙏🏻!

[@clementdecavel5358]

C’est excellent comme d’habitude et on ne voit pas le temps passer, je suis très intéressé par ce format plus long pour ma part!

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour 😇!

[@LazaroLeo]

Excellent, ces exercices me rendent heureux. Merci de me faire découvrir de si belles maths

[@oljenmaths]

Au plaisir, merci pour ce retour chaleureux 😇!

[@guillaumebarriere4724]

Bonjour, Merci pour cette vidéo. Suite à la demande, je confirme que voir toutes vos démarches possibles et vos pistes de réflexion sont excellentes pédagogiquement parlant. Ce n'est pas l'arrivée qui compte mais le cheminement parcouru durant la quête qui est mémorable. Et cette démarche reste ancrée dans l'esprit une fois l'habitude prise. Il faut poursuivre évidemment si vous vous posez la question !

[@oljenmaths]

Bonjour et merci pour ce retour 🙏🏻 !

[@jean-michelriviere4726]

Merci pour cette vidéo que j'ai regardé jusqu'au bout. J'ai été étonné quand tu as dis qu'il ne devait plus y avoir beaucoup de personnes qui regardent, car moi j'étais toujours attentif. C'est certain que l'intérêt de la vidéo, c'est de montrer la démarche, les tâtonnements. En tout cas, c'est ce qui m'intéresse.

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour éclairant 😁! En fait, je pense qu'il y a un biais de sélection assez imposant créé par ma démarche : les seules personnes qui commentent après avoir vu ma requête sont… très exactement celles qui l'ont entendue, et donc celles qui m'ont suivi jusqu'au bout. Quoiqu'il en soit, j'en referai, des comme ça, lorsque j'en aurai l'occasion 😇.

[@leporcquirit]

Je suis allé au bout, et c'était très intéressant !

[@oljenmaths]

Merci pour le retour, survivant (10% sont allés au bout) 😄!

[@Vicv4c]

Franchement j’ai trouvé ça top, je me suis redirigé en physique/chimie personnellement donc j’ai beaucoup moins de temps pour les maths, j’ai vraiment bien aimé ce format en tous cas 👊🏻

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour enthousiasmant 😇!

[@vincentpicaud5664]

En réponse à votre demande de fin de vidéo, je pense que vous avez entièrement raison de montrer le "vrai" processus de résolution d’un problème. Cela implique de petits exemples pour "voir" ce qu'il se passe et avoir des "idées" d'attaque avec parfois de "fausses pistes". Cette continuité du raisonnement est, selon moi, essentielle pour réellement saisir ce que l'on fait, et c’est cette compréhension qui a le plus de valeur dans une démarche pédagogique. Parachuter des "astuces" est la solution de facilité pour le prof et n'apporte que frustration à l'étudiant.

[@oljenmaths]

Merci pour votre retour que je rejoins totalement 🙏🏻! Dans la grande majorité des cas, les « astuces » sont des idées soit mal comprises, soit mal expliquées 😅.

[@matheoland]

Excellent. J'ai été surpris quand tu as dis que tu pensais qu'il n'y avait plus personnes d'encore présent vers la fin de la vidéo, car je n'ai as vu le temps passé. Curieux de savoir si il y a réellement une baisse du visionnage sur la fin par rapport aux autres vidéos.

[@oljenmaths]

Merci pour le retour 😇! Il y a 10% de survivants à la fin sur cette vidéo-là 😉. Mais c'est très difficile à comparer avec les autres vidéos, parce que je n'en ai que peu de longueur comparable, et sous ce format. Et le taux de rétention à la fin n'est pas forcément à considérer seul : il faut peut-être considérer ce nombre au regard du taux de rétention à une minute (pour considérer les personnes qui ont décidé de vraiment regarder). Mais plutôt que de faire des statistiques, je vais préparer d'autres vidéos, je le sens 🤣.

[@nolannkenda2044]

Concernant le retour, si la vidéo est destinée en priorité à des élèves/étudiants (comme moi), alors je pense, si elle est prise au sérieux (i.e. on bute d’abord sur l’exo, puis on suit votre solution crayon à la main et avec feuille de brouillon (solution trouvée ou pas)), qu’elle présente un grand intérêt pour eux en ce sens qu’elle propose une solution à un problème pas franchement trivial, dont la solution est présentée clairement (ça donne un bon exemple de rédaction attendue pour un exercice de ce niveau) sans être parachutée (ce qui est le plus frustrant pour un élève d’après moi). Je crois assurément que la démarche donnée dans la vidéo pour résoudre l’exercice est la plus grande valeur ajoutée de celle-ci, au-delà de la solution en elle-même ; la démarche a, à mon sens, le mérite de montrer comment s’y prendre pour des exos de ce type quand on n’a pas d’inspiration au départ : vérifier la propriété pour les premières valeurs de n afin de repérer les pattern qui pourront éventuellement inspirer une démonstration, tenter des méthodes de résolution classiques comme la récurrence sur n ou autre et repérer pourquoi ça ne peut pas ou mal fonctionner, puis en s’étant bien imprégné du problème, en ayant bien compris ses particularités et ses "symétries" comme on dirait pour un problème de physique, tenter de "mouler/modeler" une démonstration sur toutes les "irrégularités" du problème rencontrées dans la première phase où l’on "débroussaille" le terrain, au moyen des outils mathématiques appris en cours. C’est un bon moyen selon moi de comprendre qu’un problème de ce type ne se résout pas (en tout cas pas facilement) par des méthodes classiques comme si la démonstration, en partant des hypothèses, pouvait simplement s’écrire d’elle-même en suivant une logique implacable. Il me semble en effet qu’il faille plutôt, avant de sortir des outils parfois inadaptés directement à la résolution du problème, s’approprier le problème en comprenant la façon dont il est "modelé" et, seulement après un long effort de recherche (comme détaillé dans la vidéo), en déduire les grandes étapes de la démonstration dans sa tête ou au brouillon. Et seulement lorsqu'on a pu faire la démonstration dans sa tête ou au brouillon (sans s’attarder à tout justifier), à ce moment là on peut rédiger proprement en sélectionnant les outils mathématiques nécessaires pour justifier chaque étape du raisonnement, et pas l’inverse. En clair, ça montre que l’inspiration ne vient pas souvent de nulle part comme "par magie". M’enfin, ce n’est là que ma façon de voir les choses en la matière. Finalement, ce genre de vidéos est intéressant aussi bien il me semble pour les élèves/étudiants que pour les non étudiants qui sont simplement inspirés par le problème et qui souhaitent en présenter une solution dans les commentaires (même si elle est fausse ou imprécise) ; ça a le mérite de donner, en plus de ce qui est présenté dans la vidéo, d’autres manières d’envisager le problème, et éventuellement de trouver une solution au problème en discutant avec d’autres (même si KZbin n’est pas codé pour ça haha).

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour très détaillé 😄! Honnêtement, l’inspiration peut « venir de nulle part, comme par magie », pour certains… mais en tant que professeur, je ne mentionne jamais ce fait puisque cela ne m'intéresse pas : qu'ai-je à apprendre aux gens en leur disant : « cette idée m'est venue en une fraction de seconde, avec une telle soudaineté que je ne peux pas vous l'expliquer » ? Oui, je pense que ce genre de vidéos a son intérêt… et les retours nombreux semblent aller dans ce sens 🙏🏻.

[@naturalbeatmaker7785]

Ouaip assurément il en faut des exos comme ça ^^

[@KouassiAxelAnge-MorelTouré]

22:51 👏👏👏👏👏👏

[@nolannkenda2044]

J’ai raisonné personnellement comme suit (très fastidieux je le reconnais mais bon) : on choisit donc n+1 éléments de A parmi ceux de [[1, 2n]]. Si A contient 1, c’est gagné puisque 1 divise tous les entiers. Si A ne contient pas 1 mais contient 2, c’est gagné aussi puisqu'on peut choisir au plus n-1 nombres impaires dans [[1, 2n]], donc on aura choisi au plus n éléments et le choix des derniers éléments se fera parmi les nombres paires restants. On peut ainsi choisir l’un d'entre eux, donc différent de 2, et il est bien divisible par 2 qui est lui-même dans A. Ainsi, on peut se restreindre au cas où les éléments de A sont à choisir parmi les éléments de [[3, 2n]]. On veut maintenant montrer que pour tout ensemble A inclus dans [[3, 2n]] de cardinal n+1, il existe un entier m tel qu'il existe i un entier non nul tel que m2^i est dans A. Soit alors A inclus dans [[3, 2n]] de cardinal n+1. D’abord, les n derniers entiers de [[3, 2n]] ne sont pas candidats car leurs doubles sont nécessairement hors de [[3, 2n]] et donc hors de A. Alors, il faut chercher m parmi les entiers compris entre 3 et n puisque leurs doubles sont nécessairement dans [[3, 2n]]. On note alors B l’ensemble des entiers k dans A compris entre 3 et n (ce qui suit n’est évidemment valable que pour n > 2. Dans le cas contraire, il faut donc montrer que la propriété est vraie pour n = 1 et pour n = 2, ce qui n’est pas compliqué à montrer puisqu’on sera exactement dans le cas où 1 est dans A ou où 2 est dans A). Cet ensemble n’est pas vide car, comme card(A) = n+1, on peut choisir au plus n entiers parmi les entiers strictement supérieurs à n, donc il restera au moins 1 choix à faire parmi les entiers compris entre 3 et n. Dès lors, s’il existe i un entier non nul tel que k2^i, avec k dans B, a été choisi parmi les éléments de A, c’est gagné. Montrons que c’est nécessairement le cas. Nous raisonnement par l’absurde et nous supposons que pour tout élément k de B, il n’existe pas d’entier i non nul tel que k2^i est dans A. Alors, en particulier, pour tout entier k compris entre E(n/2^(p+1)) et E(n/2^p) (pour tout p dans [[0, r]], où r est le plus grand entier tel que 3×2^q

[@oljenmaths]

Merci pour le partage 🙏🏻! Le passage-clé, c'est : « On veut maintenant montrer que pour tout ensemble A inclus dans [[3, 2n]] de cardinal n+1, il existe un entier m tel qu'il existe i un entier non nul tel que m2^i est dans A ». Cette histoire de puissances de deux est absolument essentielle, et ce n'est vraiment pas évident à la simple lecture de l'énoncé, du moins me semble-t-il 😉.

[@nolannkenda2044]

@@oljenmaths c’est vrai ; et pour avoir cette idée, j’ai dû observer les ensembles [[1, 2n]] jusqu'à n=10 !!

[@nocturmaths]

Bonjour. Voici mon retour sur ce genre de vidéo. En ce qui concerne les exercices, j'ai plutôt tendance à chercher des vidéos courtes comme les autres présentées jusqu'ici, c'est-à-dire entre 7 et 15 minutes. Toutefois, cette vidéo m'a autant motivé qu'elle est d'une extrême qualité : tu y illustres magnifiquement les différentes étapes de résolution d'un exercice qu'on pourrait qualifier de "difficile". Pour moi, ce n'est pas l'exercice en tant que tel qui est intéressant, c'est la quête de la solution qui s'avère enrichissante. Il y a donc un intérêt à proposer ce genre de vidéo, mais cela devrait être de l'ordre de l'exceptionnel. Par exemple, pourquoi pas le faire toutes les dix vidéos d'exercice ?

[@oljenmaths]

Salutations et merci pour le retour 🙏🏻! Oui, je te rejoins complètement sur la conclusion. En fait, même si je le voulais, je ne pourrais pas sortir de telles aventures chaque semaine à moins d'y consacrer un temps déraisonnable… Ainsi, je vais retenir de cette aventure qu'il n'y a aucune raison de me censurer pour présenter ce genre de choses si j'en croise sur mon chemin : il y a bel et bien des amateurs 👍🏻.

[@mehdielabdaoui1955]

Bel exercice. J'ai à peu près compris.

[@christophem6373]

"au bout d'un moment je n'ai pas le choix il faut que je choisisse" A méditer.

[@oljenmaths]

Très vrai 🤣. J'ai omis, inconsciemment peut-être, le choix consistant à ne pas choisir, à arrêter la vidéo sur le champ, et à aller me glisser subrepticement sous une couverture avec un bon bol de chocolat chaud au miel. C'est un secret qui, je l'espère, restera à jamais bien gardé 😌.

[@lambdachaine]

j'ai fait la recurrence (l'année derniere on m'a donné cette exerice en kholle) et on m'a demandé de refaire tous en principe des tiroirs

[@nolannkenda2044]

Je suis d’ailleurs curieux de savoir : sur une échelle de 0 à 4 étoiles en termes de difficulté, à combien d’étoiles placeriez vous cet exercice ? Et par ailleurs, vous disiez présenter cet exercice à vos élèves en début d’année ; est-ce que certains réussissent à le résoudre ? Si oui, avec quel genre de solutions ?

[@oljenmaths]

Nombre d'étoiles ? Je dirais quatre, franchement. Je ne quantifie pas le nombre de lignes de la solution, mais le degré de créativité dont il faut faire preuve au regard de la période de l'année où un tel exercice pourrait être présenté (disons donc : un début de première année d'études supérieures). En cela, il semble qu'une belle maîtrise des mathématiques soit requise, rien que pour comprendre la structure logique de l'énoncé et les manières judicieuses de manipuler ledit énoncé. Je n'ai jamais inscrit cet exercice qu'en « troisième exercice » de mes feuilles de colles : seuls un ou deux l'ont abordé, et aucun ne l'a résolu. C'était l'occasion d'introduire l'idée qu'un exercice intéressant n'est pas forcément un exercice que l'on arrive à résoudre. Rien qu'en essayant, on peut vraiment voir du pays 😇!

[@augustinjehl8137]

idem, montrer les fausses pistes nous montres qu'on est pas si nul de coincer ^^ Video bien précieuse!

[@oljenmaths]

Merci bien 😇!

[@mariobelmar5581]

aurait-on pu utliser le théorème des tiroirs (pigeonhole) ?

[@oljenmaths]

Affirmatif : c'est ce qui est fait à 22:42 (téléportation directe au bouquet final !).

de Morocco merssi bocoup c est un problem tres fort.......je dois regarder le pluzieur foie pour comprehend

[@KouassiAxelAnge-MorelTouré]

23:15 Je suis là moi 🤣🤣

[@oljenmaths]

Tu fais partie des 10% des gens qui sont allés jusque là 😁! Merci pour ton attention 😇!

[@natanlieds4468]

Bloqué au début, mais à partir de 15:11 c'était bon, j'ai continué tout seul mais un peu différemment: Si on a une telle décomposition, ie une partition de [[1;2n]], de taille (n+1) telle que si deux éléments de la même partie sont choisis, ils sont multiples/diviseurs l'un de l'autre, alors c'est gagné car il faudra prendre la partie {1} (principe des tiroirs tout ça). Après j'ai continué à construire cette partition itérativement: pour passer de la partition de [[1;2n]] à celle de [[1;2(n+1)]] il faut rajouter les deux éléments 2n+1 et 2n+2 : * 2n+1 on le met tout seul dans un singleton {2n+1} * 2(n+1): on recherche dans la partition, la partie X qui contenait n+1, et on la remplace par X' = X U {2(n+1)}. Bref, à chaque fois étape on n'augmente la partition que d'une partie supplémentaire, donc il y a toujours (n+1) parties pour l'ensemble [[1;2n]] En la construisant, je me suis rendu compte qu'il manque une propriété, que j'ai conjecturé et qui se montre par récurrence : "il n'y a qu'un seul élément > n dans chaque partie". Donc remplacer X par X'=XU{2(n+1)} est "légal", car si on prend deux entiers dans X': * soit ils sont tous les deux dans X et l'un divisait l'autre * soit l'un des deux est 2(n+1) et l'autre est un *diviseur* (forcément diviseur et pas multiple car n+1 est le plus grand entier de X) de (n+1) donc aussi de 2(n+1).

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour le partage 🙏🏻!

[@pierreamoros960]

Bonjour Personellement je fais partie du public que ce genre de traitements d'exercices interesse. Pour information je suis certifié, en train de préparer l'agrégation interne. Décortiquer ainsi les méthodes de recherches m'aide dans ma préparation.

[@oljenmaths]

Bonsoir et merci pour ce retour détaillé 🙏🏻!

[@dnlrn326]

Hello en realité la récurrence marche très simplement, il suffit de dire dans le cas difficile que si 2n+1 et 2n+2 sont dans A et que n+1 n'y est pas, On considere B= A privé de (2n+1,2n+2) union (n+1), sous ensemble de taille n+1, donc par hypothèse de recurrence p et q existent dans B tel p|q. En particulier, p

[@oljenmaths]

Oui, c'était sauvable ! La récurrence est sauvée 🙏🏻👑!

[@lillii9119]

Imaginons un ensemble de 2n éléments {1;2;3;...;2n} où l'on prendra une partie de n+1 éléments. Si l'on prend 1, alors c'est gagné car 1 divise tous les entiers. Sinon, il nous reste {2;3;...;2n}. Dans cet ensemble on a n nombres pairs et n-1 nombres impairs. Si l'on prend 2 dans notre partie A, alors il nous restera à choisir n nombres parmi n-1 nombres paris et n-1 nombres impairs, donc on aura forcément au moins un autre nombre pair. Sinon, on continue le même raisonnement jusqu'à avoir {n;n+1;...;2n} qui contient n+1 éléments donc la seule partie A de cet ensemble est l'ensemble lui-même. Or n | 2n donc c'est gagné. La partie difficile sera de démontrer que le raisonnement avec 1 et 2 vaut aussi avec les entiers suivants jusqu'à n, soit que pour tout k entier compris entre 1 et n-1, l'ensemble {k+1;...;2n} contient au plus n nombres non-multiples de k, et donc au moins n-k multiples de k.

[@oljenmaths]

Merci pour ce partage, j'aime beaucoup 😇! Dans mes premières tentatives, j'avais aussi essayé, comme ça, de dégommer les nombres un par un, sans succès 🤣! Mais c'était amusant 😁!

[@camss95ww]

Ne peut-on pas dire que 2min(A) appartient a A ?

[@oljenmaths]

Si on pouvait, alors on pourrait conclure, en effet… Mais que penser de {1, 3, 4, 5, 7, 9} dans le cas où n = 5 ? Cet exemple semble mettre l'idée à mal 😥.

[@cboisvert2]

+1 pour indiquer que oui, il y a un public, la preuve.

[@oljenmaths]

Merci pour le retour 🙏🏻.

[@jean-paul4337]

Je ne sais même pas par quel bout attraper ce problème !

[@oljenmaths]

Comme vous, il m'a glissé des mains pendant un certain temps… Contraposée ? Récurrence ? Outils de l'arithmétique ? De la théorie des ensembles ? Et peu à peu, la chose s'est éclairée 😄.

[@elias_abs]

Par contraposition direct moi je ferais perso dès que t’as une implication avec de l’existence je préfère prendre la contraposée comme ça j’inverse l’ordre et j’ai ensuite un « pour tout couple p,q » et il me suffit juste de prendre un couple et montrer l’implication tranquillement

[@oljenmaths]

Ici, je peine à voir le tranquillement. J'avais aussi tenté ma chance par contraposée, en supposant qu'on avait un ensemble où aucune paire d'entiers ne se divisait l'un l'autre, mais cela n'a pas tellement simplifié l'affaire… 😔.

[@elias_abs]

@@oljenmaths c'est possible ! Ce n'est qu'une idée que je m'étais dit !

[@endersteph]

Ah, après un weekend de recherches douloureuses, j'abandonne, l'exercice est maudit !

[@oljenmaths]

En effet, il permet de s'administrer quelques nœuds dans le cerveau 😇.

[@bertrandbrodeau2372]

Je ne suis pas sûr d'avoir compris l'exercice. Ce que l'on cherche à faire au départ. L'écriture de toutes les paires telles que p divise q aurait été bien utile.

[@oljenmaths]

Oui : j'aurais pu commencer plus doucement en listant, par exemple, tous les ensembles à 3 éléments de l'ensemble {1, 2, 3, 4}, ou encore les ensembles à 4 éléments de l'ensemble [1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cela aurait simplifié le démarrage 👍🏻.

[@sourivore]

J'ai bien aimé le problème et la résolution mais j'avoue avoir décroché a la fin

[@oljenmaths]

Merci pour le retour 🙏🏻!

[@sourivore]

Si ça peut aider je suis un ingénieur en informatique reconverti en professeur de maths au collège après 18 ans et ayant fait 3 ans de prépa. En tout cas merci pour l'approche que vous donnez au maths. J'ai un niveau convenable sans être incroyable sur le programme de prépa mais j'ai eu un mauvais professeur (qui marchait à l'humiliation) C'est votre chaîne, celle d'El JJ et de Mickaël Launay qui m'ont aidé a sauté le pas de la reconversion depuis cette année

[@oljenmaths]

@@sourivore Je suis désolé que vous ayez eu un tel professeur… il y a tellement d'autres pratiques pédagogiques que celle-ci… mais bon, on ne peut pas refaire le monde. Ou plutôt si, à notre petite échelle, en propageant un enseignement des mathématiques à notre image 😇.