[UT#77] An illustrated introduction to the concept of distance !

[@oljenmaths]

✍🏻 Errata : - À 2:28 : je n'estampille pas les bons segments. Les segments ayant même longueur sont {les deux segments jaunes ayant pour extrémité C}, ainsi que {les deux segments jaunes ayant pour extrémité A} (merci à @guiguio2nd1er). - À 16:51 : j'annonce des distances égales à 1/4, 1/8, 1/16, mais ces distances valent en réalité 1/2, 1/4 et 1/8 (merci à @oliviermiakinen197). - À 23:40 : lire « somme des x_i 2^{8-i} » (merci à @yannld9524). - À 40:40 : la distance discrète induit une topologie trop « fine », et non pas trop « grossière » (merci à @yannld9524).

[@michelbernard9092]

J'ai trouvé votre exposé remarquable, presque fascinant je pense qu'il est à bonne distance de votre auditoire et de vos élèves d'aujourd'hui et de demain. Merci pour ce travail.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻! Et belle formulation 😉!

[@MyMathsTube]

Ce qui est remarquable dans cette vidéo, ce n'est pas le sujet mathématiques car on connaît les 4 éléments de la définition d'une distance. Au cours du visionnage, en vous écoutant on ressent une volonté de rigueur extrême dans le contenu mais également un tour de force numérique, une capacité exceptionnelle pour expliquer avec les avatars, mettre en scène et rendre accessible et attrayant visuellement. J'aime ce style qui montre qu'avec de l'intelligence et beaucoup d'effort on peut faire valoir les mathématiques et le numérique pour tous. Plus généralement, je trouve que vos vidéos donnent un niveau d'exigence dans leur réalisation qui est très au dessus de ce qui est proposé par d'autres. Chapeau 👏 Oljen, vous êtes la voie à suivre et à regarder !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce commentaire qui tape très juste 🙏🏻! Malgré les quelques coquilles qui restent, produire une vidéo comme celle-ci me demande un travail très, très conséquent dans la mesure où j'essaie de permettre plusieurs niveaux de lecture : ne pas intimider par l'usage d'un vocabulaire étranger, mais de l'autre, dessiner en creux toutes les notions sous-jacentes pour les experts. Merci encore 😇!

[@Underscore_1234]

Excellent sujet, c'est une de mes notions préférées, elle est au centre de la notion d'embedding en deep learning. C'est mon exemple préféré pour répondre à "à quoi servent les maths", en utilisant la reconnaissance faciale comme exemple. (un embedding n'est rien de plus qu'une fonction, qui à une entrée associe un vecteur et dont on attend à ce que deux entrées de sens similaire mais à priori très différentes au sens de la distance (deux photos de la même personne, par exemples donc des matrices/arrays), aient pour image 2 vecteurs proches. L'idée est alors toute simple, deux visages sur une photo seront identiques si les vecteurs ont une distance sous un certain treshold. Bête comme choux mais terriblement puissant.

[@oljenmaths]

Merci pour ce retour et pour ce partage très intéressant 🙏🏻 ! Si je dois reprendre des études un jour, ce sera probablement sur un thème approchant 😇.

[@Piorte]

Excellente vidéo ! Merci !

[@drysponge-hv8im]

Une classe de distances fascinante, que j'ai découvert il y a peu: pour une machine de Turing universelle U, la distance informationelle entre deux suites finies de bits s1 et s2 est d_U(s1, s2) = moyenne(f(s1,s2), f(s2,s1)) où f(s1,s2) est la longueur du plus court programme ayant pour entrée s1 et produisant s2 lorsque exécuté sur U.

[@oljenmaths]

Merci pour le partage, je n'en avais jamais entendu parler 🤩!

[@michelbernard9092]

A l'époque ou je n'étais pas encore un boomer, ce qui est appelé aujourd'hui "distance discrète" s'appelait "distance triviale" mais je suppose que le terme "trivial" était stigmatisant pour cette pauvre distance !

[@nicolasmartig8506]

Absolument excellent. Chapeau 👍

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 !

[@mehdielabdaoui1955]

Vous êtes fantastique.

[@waxy_7806]

Super vidéo merci beaucoup!

[@antoinegrassi3796]

Quel beau travail, précis et complet. Deux petits exemples pour aller dans le sens de ton exposé : 1) le "cercle": en dim 3 c'est une sphère, en dim 2 c'est donc le cercle et en dim 1 ? On est donc sur une droite et il n'y a que 2 points qui soient à la distance R du centre O, en dim 1 le cercle est réduit à deux points. 2) pour les marins qui sont contraints de se déplacer sur une sphère, la distance la plus courte est obtenue en se déplaçant sur un "grand cercle" (c'est à dire un cercle dont le centre est confondu avec le centre de la sphère, comme l'équateur, un meridien). Et vu le choix fait pour représenter cette sphere sur un plan, quand on fait une traversée, sur la carte, on ne tracera pas une ligne droite, mais une courbe déformée (vers le nord dans l'hémisphère nord) de façon à suivre un grand cercle. Contrairement à ce que l'on dessinera, on ne rallonge pas le trajet mais on le raccourcit.

[@maryvonnedenis6304]

En fait les marins n'utilisent pas historiquement la vraie géodésique de la sphère qui est un grand cercle car c'est très compliqué de naviguer le long d'un grand cercle (il faut des ordinateurs). Ils utilisent les courbes de cap constant qu'on appelle les loxodromies. D'une façon plus générale, si on voulait généraliser la notion de distance dans n'importe quelle variété d'espace, on s'appuirait sur le deuxième exemple de l'obstacle à contourner. En effet les variétés d'espace qu'on prend en considération sont les espaces connexes par arc. Un arc entre A et B est une courbe continue reliant A à B et un espace connexe par arc est un espace dont deux points quelconques peuvent être reliés par un arc. On connaît la longueur d'un arc par la formule indiquée dans la vidéo issue de Pythagore (en intégrant par rapport au temps la norme de la vitesse). Plus généralement c'est la borne supérieure de toutes les longueurs de lignes droites brisées en prenant pour brisures un ensemble de points le long de l'arc. Le résultat n'est pas toujours un nombre fini. Quand il l'est, on dit que l'arc est rectifiable. Si on prend deux points dans une variété d'espace connexe par arc, la distance entre ces deux points se définit comme la plus courte longueur d'arc de la variété qui les relie. Dans la plupart des cas il existe un arc qui les relie dont la longueur est égale à cette distance. Cet arc s'appelle la géodésique reliant les deux points. Si on prend par exemple une surface réglée comme le cone (la sphére n'est pas une surface réglée), la trace de la géodésique sur le plan construisant la surface réglée est une droite. La géodésique minimise non seulement la distance mais aussi l'énergie totale d'un point en mouvement assujetti à la parcourir sans frottement et sans force de champ (ce point a une vitesse constante).

[@freyc1]

@@maryvonnedenis6304 Vous remarquerez que personne n'a parlé de ce que faisaient réellement les marins, mais seulement de ce qui correspondrait pour eux au trajet le plus court. Mais "historiquement", cela dépend des latitudes auxquelles on navigue. Sans parler du fait que la distance n'est évidemment pas la seule chose que les marins prennent en compte.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 😇! Le cercle fait partie des exemples que j'avais prévu à l'origine, mais je l'ai retiré pour une question de rythme de l'histoire. J'avais aussi envisagé, entre autres : 🔸 Le plan euclidien privé du disque de centre (0, 0) et de rayon 1 (sur le modèle du deuxième exemple). 🔸 (Ox) union { (x, n) | n entier relatif }, qui ressemble à une galerie de tunnels verticaux. 🔸 La distance de Levenstein (fr.wikipedia.org/wiki/Distance_de_Levenshtein). Voilà pour les curieux qui lisent non seulement les commentaires, mais aussi les réponses aux commentaires 😅.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce commentaire très puissant 🤩!

[@yannld9524]

Sympa comme vidéo. C'est toujours un peu fastidieux de faire le travail dans ce sens là, plutôt que de donner la définition et ensuite les exemples, mais quand c'est bien fait c'est plus facile d'accrocher le spectateur. J'ai repéré deux erreurs : 1) 23:40 Typo, en fait n(x) est la somme des x_i 2^{8-i}. 2) 40:40 C'est plutôt le contraire. La distance discrète induit une topologie très fine justement, trop fine même pour être intéressante.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour le signalement des coquilles Yann 😉!

[@gabinmaximin8676]

A propos de la distance avec les cadenas, celle qui est transportée, je pense qu’il serait malin de la voir comme un quadruplet de distance. En effet, le nombre des unités du résultats nous dis à quelle point les unités de notre code sont éloignées des unités du bon code (de même avec les dizaines, centaines etc). Bien que cela sorte de la définition de distance, on peut raisonnablement se dire que ce n’est pas si idiot de la considérer tout de même. Sinon super vidéo, comme d’habitude après tout!

[@oljenmaths]

Oh oui, il y a bel et bien une structure de produit cartésien derrière le cadenas : (Z/10Z)⁴ ! Cela dit, j'ai esquivé tout vocabulaire tout intimidant ici, préférant laisser les notions plus délicates « en creux » 😉.

[@maryvonnedenis6304]

Il est juste de construire la géométrie à partir des notions de points et de distance car c'est ce qui semble le plus intuitif. Dans cette géométrie on définit le cercle avant la droite (comme l'ensemble des points situés à égale distance d'un point donné). La droite, elle, est l'ensemble des points sités à égale distance de deux points donnés. Pour tracer la droite reliant deux points, il faut trouver d'abord deux autres points qui sont par exemple l'intersection de deux cercles chacun centré sur les deux premiers points ayant un rayon supérieur à leur demie distance. On voit que c'est beaucoup moins simple que lorsque la géométrie est construite à partir des espaces vectoriels. On a d'abord la notion de deux droites perpendiculaires (droite médiatrice du segment défini par deux points, droite passant par ces deux points) avant la notion de droites parallèles. Deux droites sont parallèles si elles sont chacune perpendiculaires à une troisième droite !...

[@Lecyk649]

Génial

[@guiguio2nd1er]

2:30 est vrai que les longueurs sont les mêmes ? AO ne semble pas égal à CO (graphiquement). N'est-ce pas plutôt les segments ayant pour extrémité C (resp A) qui sont de même longueur ?

[@gwenaellepage4450]

Je suis d’accord : visuellement quelque chose ne semble pas coller à l’explication orale.

[@oljenmaths]

Merci de m'avoir signalé la coquille 😉 !

[@oliviermiakinen197]

16:51 Chipotons un peu : au lieu de un quart, un huitième et un seizième, il me semble que c'est un demi, un quart et un huitième.

[@oljenmaths]

Merci de m'avoir signalé la coquille 😉 !

[@sismiwoolf4786]

Sa devient à mon niveau ! En espérant ne pas baissé la moyenne générale. Plus une coïncidence, j'espère sans dévié. Du triangle de pascale qui m'intrigue, survole d'une douzaine de bricole lié. La distance Hamming et une incidence qui m'intrigue entre le code de Gray et le binaire informatique, l'hypercube... Marching square m'interpelle un peu comme des possibilités de renversement (plutôt pas celà, mais sous une forme de surface au linéaire...). Le code de Hamming maintenant !!! Les algorithmes KZbin et Facebook qui sous mon emprise m'inflige le lié, du transversal ...

[@oljenmaths]

Aha, tu es aussi tombé sur l'hypercube 😅! T'es-tu aussi hypnotisé avec la figure en haut de cette page Wikipedia ? en.wikipedia.org/wiki/Tesseract Et un grand merci pour le soutien que tu procures à ma chaîne 🙏🏻!

[@sebastienbesse2378]

Question: Est ce que les formations que tu proposes sont éligible au CPF pour les profs?

[@oljenmaths]

Non, les formations ne sont pas éligibles au CPF. En fait, même si elles l'étaient, cela ne changerait rien pour quatre d'entre-elles depuis le 2 mai 2024. Source : www.service-public.fr/particuliers/actualites/A17364 .

[@desrochespierrymarcjose5752]

😊😊😊

[@fabricefortain7813]

Un dernier Chabrol

[@Jean_Dupon]

Donc si P est le plan et O un point de celui-ci, un cercle de centre O et de rayon r>0 serait définit par la distance discrète comme: P/{O}.

[@oljenmaths]

Presque ! Avec la distance discrète ainsi que vos notations : 🔸 Le cercle de centre O et de rayon 0 est {O}. 🔸 Le cercle de centre O et de rayon 1 est P\{O}. 🔸 Tous les cercles de centre O et d'un autre rayon que 0 ou 1 sont vides.

[@Jean_Dupon]

@@oljenmaths D’accord, mercis.

[@Porculoide]

A l'époque des " maths modernes", les cours de maths sont devenus subitement des séances de vocabulaire jargonnant. Pour me venger, quand on me demandait de dessiner une droite, je dessinais un ensemble ( une patate ), et je disais " voilà, c'est un ensemble de points .. ça énervait le prof, mais jamais on ne m'a donné une seule raison valable de ne pas le faire.. (ça date ! ) Alors j'en profite pour continuer : Au tout début de la vidéo, la ligne droite euclidienne est définie comme la plus courte distance. OK Mais après vous définissez la distance à l'aide d'axes qui sont des droites ! Donc déjà, il y a quelque chose qui ne va pas. Comment pourait on faire pour prouver rigoureusement qu'une droite est " en ligne droite" sans utiliser de tels axes, ni la notion de "plus courte distance". ??????

[@oljenmaths]

Oh, mon approche ne consiste pas du tout à présenter la chose « correctement », au contraire ! Il y a Bourbaki qui se charge très bien de cela ! De mon côté, je me contente de partir des acceptions communes des différentes notions (j'en parle à mes deux fils, ou à des amis qui ne connaissent rien aux mathématiques) et je bâtis à partir de là un chemin vers l'abstraction (en l'occurrence, la définition d'une distance). C'est tout 🤷🏻‍♂️.

[@maryvonnedenis6304]

La pédagogie des années 70 avait un problème avec la géométrie c'est certain. Si bien que le malheureux prof de physique de seconde C devait faire un rattrapage en maths pour traiter le cours de statique (on ne fait plus de statique ; la physique de l'époque était plus mathématisée au lycée que celle d'aujourd'hui...et on n'en faisait pas au collège !). Un vecteur était une classe d'équivalence de bipoints équipollents...mais comme on avait du mal à définir rigoureusement le milieu de deux points, cela ne servait pas à grand chose. En fait soit on introduit la géométrie avec les espaces vectoriels (un EV opère de façon simplement transitive sur un ensemble de points définissant une famille de bijections dans cet ensemble de points appelées translations) et on a alors une géométrie affine qui va traiter de façon triviale tout ce qui est parallélisme ainsi que Thalès (sauf les distances situées sur les deux droites parallèles puisqu'on n'a pas de distance)...mais il faudra attendre d'avoir une norme sur les vecteurs pour avoir une distance entre des points, des droites perpendiculaires (si la norme est euclidienne), Pythagore, des cercles... Soit on dit que la notion première sur un ensemble de points est la distance ce qui philosophiquement et physiquement est sans doute plus juste...mais on a alors d'abord la notion de cercle avant d'avoir la droite. Pour avoir la droite c'est compliqué, ce sont les points situés à même distance de deux points donnés, après on a la notion de droites perpendiculaires puis de droites parallèles (perpendiculaires à une même droite !).

[@Porculoide]

@@oljenmaths Je ne crois pas que je comprendrais grand chose à Bourbaki, à mon âge ! mais n'empêche, ça m'intéresse toujours

[@Porculoide]

@@maryvonnedenis6304 Je dois avouer que je ne saisis pas tout, mais vous auriez des références de bouquins ou de sites accessibles qui introduiraient ces notions rigoureusement ?! Mon centre d'intérêt est plutôt la physique, mais je me suis aperçu que ce problème s'y posait aussi .. Par exemple Laurent Parizot, quand il parle de relativité, passe du temps à expliquer que les points de notre espace, ce n'est pas " de la poussière" , et que la notion de ligne droite n'est pas du tout évidente