08. Desigualdades: Triangular e Cauchy-Schwarz. | Geometria Analítica.

[@LCMAquino]

Que legal! Fico feliz em saber que as minhas videoaulas estão ajudando você e seus amigos.

[@LCMAquino]

Sim, o módulo é o "tamanho" (o comprimento) de qualquer representante de um mesmo vetor. Já -AB representa o vetor que tem mesmo comprimento e direção de AB, mas com sentido contrário a ele (eu comentei sobre isso na videoaula "02. Geometria Analítica - Soma entre Vetores", no momento em que eu expliquei sobre o vetor simétrico).

[@LCMAquino]

[Pergunta 1] No momento eu não disponho de videoaulas tratando destes assuntos. Eles serão abordados futuramente no curso de Álgebra Linear. [Pergunta 2] Eu não tenho uma indicação onde você pode encontrar todos estes conteúdos de modo organizado. Entretanto, através de buscas aqui no KZbin eu creio que você pode encontrar videoaulas esparsas sobre estes conteúdos.

[@Valnei1398]

Sua didática é fantástica!! gosto muito de suas aulas

[@LCMAquino]

Valnei Silva Santos, fico contente que tenha gostado! :)

[@LCMAquino]

Fico contente que tenha gostado.

[@LCMAquino]

Obrigado! Fico feliz que as minhas videoaulas estejam lhe ajudando.

[@LCMAquino]

Lembre-se que "norma" e "módulo" são sinônimos (assista a videoaula "06. Geometria Analítica - Módulo de Vetores"). Não há necessidade de "separar" esses dois termos como se fossem diferentes. De qualquer modo, se você preferir dizer desse jeito, não há grandes problemas.

[@LCMAquino]

Note que aparece a expressão kv + v. Colocando v em evidência, temos que: (k+1)v.

[@LCMAquino]

Obrigado Fátima! :)

[@LCMAquino]

Legal que ajudou! :)

[@jessejeffersondossantos8907]

Cara meus parabéns, seu canal é uma Universidade aberta ao publico...sem palavras gosto muito de seu método e o fundo de seus slides me arremete um que de um sentimento de mudança neste País muito obrigado mesmo.

[@LCMAquino]

Obrigado Jessé!

[@LCMAquino]

Prezado Alessandro, exatamente em qual parte (minuto e segundos) você está sugerindo esta economia?

[@Eduardocarmazio]

Olá Luiz, primeiramente parabéns pelas aulas. Excelente conteúdo, o melhor que já vi do gênero.

[@LCMAquino]

Olá Eduardo, obrigado! :)

[@yellirb7215]

Ótima aula, me ajudou muito👏👏👏

[@AllanOliveiraB]

Mais um ótimo vídeo, me ajudando consideravelmente! Forte abraço.

[@LCMAquino]

Desde que todos os pré-requisitos tenham sido justificados, então sim. Por exemplo, note que antes de usar esta demonstração você precisaria justificar como obter o ângulo entre dois vetores. De qualquer modo, eu aconselho você estudar a outra demonstração apresentada. É sempre bom conhecer outros caminhos de se demonstrar uma mesma proposição.

[@edusantosplus]

Incrível!! \o/ com suas aulas + aulas da faculdade não tem como não aprender. Muito bom LCMAquino, obrigado mesmo pelas aulas, ajudam tanto a mim quanto muitos de meus amigos em engenharia :)

[@nlevi572]

Aula excelente! Mas só acho que deveria detalhar mais um pouco na resolução de exercícios. Fica muito confuso estando somente o resultado final, e não o passo a passo, como normalmente os professores fazem aqui no youtube.

[@LCMAquino]

Pense um pouco... O que aconteceria se u e v não tivessem o mesmo sentido. Será que iria acontecer ||u + v|| = ||u|| + ||v||? Faça um teste! Esboce no plano cartesiano os vetores u = (1, 2), v = (-2, -4) e u + v = (-1, -2). Note que u e v possuem a mesma direção, mas possuem sentidos contrários. Agora compare ||u+v|| com ||u|| + ||v||. Estes valores serão iguais neste caso?

[@DafnidoNascimento]

Obrigada pela aula Professor! De grande ajuda. Abraços.

[@LCMAquino]

De nada. Mas lembre-se que esses nomes referem-se a dois matemáticos: Augustin-Louis Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.

[@franklin5111]

Ajudou muito parabéns

[@alessandrogeo1]

@LCMAquino nos vídeos ficaria melhor se vc oconomizase falas nestas falas das somas. Afinal se a pessoa não souber somar n entenderia o que vc está falando mesmo! Obrigado pelas aulas.

[@sandrohonoratonetto4756]

você é bom mesmo.....

[@anacarladasilvasantos5348]

Ecplicação direta e clara! Me ajudou bastante. Parabéns!

[@LCMAquino]

Que bom que ajudou!

[@aristotelescantarelle8672]

Tu salvou a minha vida, crl. Atividade valendo dois pontos na baixa S2.

[@LCMAquino]

Olá Aristóteles, uma curiosidade: qual era a sua atividade?

[@wesleyliberato]

Excelente!

[@GaahBibi]

Valeu , ajudou muito =D

[@cyrobarros.m]

De vdd suas aulas são mt boas, mt obg

Boa Aula!! Rápida e concisa. Gostei muito.

[@LCMAquino]

Eu alterei a numeração das aulas. O correto é a numeração atual: "08. Geometria Analítica - Desigualdades: Triangular e Cauchy-Schwarz"; "09. Geometria Analítica - Projeção Ortogonal".

[@helderfn]

Ótimo. Me ajudou muito. Excelente explicação!

[@viniciusvbo23]

Acho que pouquíssimos professores fazem a demonstração dessas desigualdades ^^ Não lembro de ter visto não.

[@JoaoGabriel-hl2jq]

Me salvou, obrigado!!!

[@ivancarlossilvamelo491]

Oi, professor, o senhor tem alguma vídeo aula que fale de Base Canônica, Combinação Linear, e Vetores LI e LD? Caso não tenha, poderia dizer-me algum site que tenha? Obrigado!

[@MrKinosagi]

professor, para questao de evitar confusao, eu poderia dizer que |u.v| ≤ ||u||.||v|| é dizer que o módulo(vindo da função valor absoluto) do escalar u.v é menor ou igual a norma de u vezes a norma de v?

[@pedrohiroyuki7730]

posso usar a demonstração da desigualdade de schwarz em álgebra linear? meu professor usou outros conceitos (aparentemente) pra demonstrá-lo, o que achei um tanto confuso!

[@geovannaholanda9815]

Excelente demonstração de algo que parecia muito complicado, parabéns!

[@LCMAquino]

Espero ter ajudado!

[@DequeComposicoes]

Muito bom! Bem completo

[@LCMAquino]

Obrigado! (:

[@josejeffersonpiresgoncalve7716]

Parabéns LCMAquino me ajudou muito

[@LCMAquino]

Valeu José! Fico contente que tenha ajudado!

[@paulom8305]

8:32 Professor, por que seria o produto notável de 2 escalares e nao de 2 vetores?, pq o que eu vejo nessa passagem são 2 vetores e nao 2 escalares, sendo eles os vetores u e v. Não entendi essa parte.

[@LCMAquino]

Responda o seguinte: ||u|| é um escalar ou um vetor? Ora, ||u|| é o *módulo* do vetor u. E por ser *módulo*, sabemos que ||u|| é um *escalar*. Desse modo, em (||u|| + ||v||)² temos um produto notável com os escalares ||u|| e ||v||.

[@paulom8305]

LCMAquino OK, obrigado.

[@danielvictor6027]

Valeu Professor

[@LCMAquino]

Olá Daniel, de nada. :)

[@mulhollanddrivehobo6910]

Eu só queria entender porque que você do nada, troca o produto interno por norma na parte 7:38, era 2 e virou 2||u|| ||v|| , sendo que norma é algo totalmente diferente de produto escalar , testei na mão com valores estipulados por mim, e essa igualdade não parece ser verdadeira , então porque 2 = 2||u|| ||v|| ??? Tudo bem que é

[@LCMAquino]

Olá Andres, você está confundindo! Não foi feito 2 = 2||u||||v||. Conforme foi explicado antes de 7:48, temos que

[@mulhollanddrivehobo6910]

@@LCMAquino 1min depois de ter comentado eu acabei entendendo, eu pulei a parte de Cauchy Schwarz por isso fiz essa confusão, mas entendi sim, obg

[@sabia247]

Muito bom! vai me ajudar muito essas aulas de G.A. ganhou mais um inscrito :D

[@LCMAquino]

Olá Ícaro, fico contente que minha videoaula vá lhe ajudar. E obrigado por sua inscrição!

[@andreabarbedo8898]

PARABÉNS, EXCELENTE DIDÁTICA! SOU PROFMATIANA E ESSES VÍDEOS ESTÃO ME AJUDANDO MUITO. SHOW DE BOLA!

[@MrKinosagi]

ah sim, o módulo de um vetor é simplesmente o tamanho dele certo? num vetor -AB o - é só pra indicar sentido? isso que me confunde as vezes..

[@pedroaugusto5995]

Muito obrigado!

[@LCMAquino]

Disponha!

[@brunabiancaribeirodasilvag4137]

Olá no 4:18 como você chegou a 10 positivo ?

[@LCMAquino]

Temos o seguinte: |u·v| = |1·3 + (-1)·5 + 4·(-2)| |u·v| = |3 - 5 - 8| |u·v| = |3 - 13| |u·v| = |- 10| |u·v| = 10 Ficou claro esse desenvolvimento? Comente aqui!

[@brunabiancaribeirodasilvag4137]

@@LCMAquino muito bom professor muito obrigado !!

[@mauriciobrito5146]

Professor, algum livro de Vetores e Geometria Analítica aborda esses dois assuntos? Muito obrigado pelas aulas.

[@LCMAquino]

Olá Maurício, tem no livro de Paulo Boulos de Geometria Analítica.

[@jeanribeiro1690]

cara to perdido em calculo ll valeu me ajudou muito sua aula..

[@raisousa212]

Obrigado 🇧🇷

[@LCMAquino]

Disponha!

[@marlon94gomes]

boa noite, parabéns pelas aulas, estão me ajudando muito! minuto 5:27 dado: | k | |v * v| = | k | || v ||² por que depois da igualdade o quadrado de v tem dupla barra?

[@LCMAquino]

Olá Marlon, a barra dupla é usada para representar o módulo do vetor. Veja nessa videoaula: kzbin.info/www/bejne/oqTQfnarp7alnJI

[@marlon94gomes]

@@LCMAquino obrigado

[@matematicafundamental7391]

fera!

[@AlefesHome]

Professor, apenas uma dúvida. Tal demonstração é válida para o R^n? No mais, muito bom o vídeo, parabéns!

[@LCMAquino]

Olá Alefe Carvalho, sim, essas demonstrações são válidas para o R^n. Um detalhe é que na demonstração da desigualdade de Cauchy-Schwarz eu usei a relação entre o ângulo formado por dois vetores. Essa relação foi provada na videoaula sobre produto interno (kzbin.info/www/bejne/iIKzqmqGeseWhsk), mas apenas para o caso em R^2. Seria necessário então prová-la para R^n primeiro para depois usá-la da demonstração de desigualdade de Cauchy-Schwarz.

[@AlefesHome]

Muito bom, obrigado professor!

[@Eduardocarmazio]

Apenas por questão de rigor, aos 5 min. do vídeo, quando responde em que situação ocorre a igualdade em Cauchy Schwartz, é citado "quando eles têm a mesma direção", o sentido dos vetores, não interfere nesse resultado?

[@LCMAquino]

Olá Eduardo, o sentido não interfere nesse caso.

[@lucasorlando2653]

Não entendi porque u e v devem ter o mesmo sentido? em 11:25

[@valcirprofmat]

para mostrar q a desigualdade trianguar e verdadeira eu posso começar elevando ambos membros ao quadradro e seguir a ideia do video?

[@LCMAquino]

Olá Valcir, não pode. Ao começar "elevando ambos os membros ao quadrado" você já estaria supondo que a desigualdade é verdadeira, mas isso é exatamente o que você ainda quer provar.

[@LCMAquino]

Olá Valcir, se seu objetivo é provar que a desigualdade é verdadeira, então você não pode começar já "admitindo a sentença verdadeira". Por isso que matematicamente há um problema no seu desenvolvimento (e você "se ferrou"). Para usar a ideia desse vídeo, você na verdade teria que ter começado por xy

[@gabriellago8357]

no primeiro exemplo tu arredondou pra 10 ?

[@LCMAquino]

Olá Gabriel, não arredondei. Note que aos 3:34 da videoaula teremos: |1*3 + (-1)*5 + 4*(-2)| = |3 - 5 - 8| = |3 - 13| = |-10| = 10.

[@gabriellago8357]

Obrigado meu fera !

[@mariahelenildadesousa5021]

JÁ QUE EU NÃO POSSO PAGAR, SUA AJUDA. EU PESSO A DEUS, ELE VAI TE PAGAR.

[@LCMAquino]

Obrigado Maria! :)

[@andrevasconcelos9568]

Em 11:40, nao entendi esse (k+1) professor

[@simplestanford]

Here's an animated proof of Cauchy-Schwarz: Cauchy-Schwarz Proof (BEST ON 720pp, FULL SCREEN)

[@wolfganggoethe7810]

Porque se fala u ''interno'' v, ao inves de u ''vezes'' v , em algumas situacoes?

[@LCMAquino]

Olá +Chinês Esperto, porque temos duas operações diferentes: uma é chamada de "produto interno" e a outra é chamada de "produto vetorial". O produto interno é representado por u·v (isto é, com o símbolo de um "pontinho" central) e o produto vetorial é representado por u×v (isto é, com o símbolo de "vezes").

[@heitorfreitas94]

Cara não entendo de onde vem o k+1 . na hora de provar a igualdade . fiquei confuso

[@LCMAquino]

Eu suponho que você esteja falando sobre o momento 11:40 da videoaula. Nesse caso, note que aparece ||kv + v||. Perceba como o v aparece duas vezes. Colocando esse v "em evidência", ficamos com ||(k + 1)v||. Já aos 12:20, aparece k||v|| + ||v||. Perceba como agora o ||v|| aparece duas vezes. Colocando esse ||v|| "em evidência", ficamos com (k + 1)||v||. Para entender melhor essa ideia de colocar "em evidência", eu sugiro que você faça uma revisão sobre o conteúdo "fatoração algébrica" (ou "fatoração de expressões algébricas").

[@heitorfreitas94]

Ahh . muito obrigado. Seu canal ta salvando uma galera na minha facul rsrsrs. Valeu

[@gustavosb4782]

1)como encontrar uma solução não trivial para uma combinação de vetores linearmente dependentes? 2)Se tres vetores são Linearmente independentes, o determinante deles é diferente de zero o que siguinifica que tem uma solução, essa solução é a apenas a trivial?

[@LCMAquino]

Olá Gustavo, por questão de organização, o ideal é que a seção de comentários da videoaula seja usado para tirar dúvidas sobre os exercícios/textos da própria videoaula. Para outras dúvidas, por favor acesse um fórum mais geral, como o www.ajudamatematica.com/. Desde já agradeço sua compreensão quanto a isso.

[@julianamendonca706]

Estou gostando muito do curso, mas sinto que em algumas explicações você deixa de de escrever o passo que você deu no exercício e isso me confunde um pouco as vezes

[@LCMAquino]

Olá Juliana, eu deixo de escrever alguns passos de propósito. A ideia é que a pessoa tente completar os passos para treinar o exercício! Se você ficar com dúvida em algum passo, fique a vontade para perguntar aqui na seção de comentários. Desejo-lhe bons estudos!

[@JoaoBatista-mi7sf]

Perdoe-me a ignorância, mas vc poderia me explicar o passo a passo do 6 raiz de 19. :(

[@LCMAquino]

Olá Joao Batista, você se refere aos 3:38 da videoaula. Nesse caso, precisamos calcular ||u|||v||. Note que ||u|| = raiz(1^2 + (-1)^2 + 4^2) = raiz(18). Por outro lado, ||v|| = raiz(3^2 + 5^2 + (-2)^2) = raiz(38). Portanto, temos que ||u||||v|| = raiz(18)raiz(38) = raiz(18*38) = raiz(684) = raiz((2^2)*(3^2)*19) = (2*3)*raiz(19) = 6*raiz(19).

[@JoaoBatista-mi7sf]

Muito obrigado pela atenção e explicação! Suas aulas estão me ajudando muuuuuito! Qbrei um pouquinho a cabeça depois q eu tinha comentado e consegui chegar em 6*raiz de 19 ;)

[@LCMAquino]

Não seria. Por favor, refaça suas contas.

[@mariahelenildadesousa5021]

GOSTEI MUITO, MUITO, MUITO,

[@LCMAquino]

Valeu Maria Helenilda!

[@MaiaraBela]

Onde você esteve minha vida toda?

[@LCMAquino]

Olá Math Baby, estive por aqui mesmo! ;) Espero que minhas videoaulas estejam lhe ajudando!

[@mikaelmedeiros3560]

bommmm

[@layarateodoronascimento1630]

Demonstre a desigualdade de Schwarz: |~u · ~v| ≤ |~u| · |~v|.. ajudemm

[@minniealencar]

Não entendi muito bem a demonstração da desigualdade triangular :/

[@LCMAquino]

Tem alguma parte da demonstração (minuto e segundo) que você ficou com mais dificuldade?

[@leticiam9945]

Aula boa, só esse "Igual do que" que mata a língua portuguesa....

[@LCMAquino]

Olá Letícia, por gentileza, de qual parte (minuto e segundo) da videoaula você está se referindo?

[@leticiam9945]

LCMAquino 7:39 por exemplo.

[@LCMAquino]

Olá Letícia, de fato, segundo a referência [1] o correto seria "menor do que ou igual a". Eu usei "menor ou igual do que". Vou ficar mais atento. Obrigado pelo comentário. [1] Lima, Elon Lages, et al. "A Matemática no Ensino Médio", vol. I, 9ª edição, SBM.

[@leticiam9945]

Parabéns pelo trabalho!