Le polynôme dérivé d’un polynôme scindé est scindé (exo oral mines ponts niveau maths sup)

J’ai oublié de préciser quand est-ce qu’on utilise la seule hypothèse qu’on a à savoir que P est scindé ! C’est quand je dit que le degré du produit des (X-ri) ^(mi-1) est deg(P) -p…

[@aliacorellou4931]

c'était absolument génial. merci et continuez !

[@LesMathsEnClair]

Merci beaucoup c’est encourageant 🙏

[@marsupilable]

Bravo pour la résolution claire et rigoureuse de cet exercice classique. Plus généralement, on montre que la somme des multiplicités des racines non-réelles (défaut de scindage) ne croît jamais quand on dérive un polynôme réel.

[@LesMathsEnClair]

Merci beaucoup pour ton retour ! Je ne connaissais pas cette généralisation mais ça a l’air intéressant merci

[@marsupilable]

@@LesMathsEnClair La somme des multiplicités des racines non-réelles, c'est la différence : degré - la SDM des racines réelles. Or cet exercice montre que la SDM réelle de P' >= celle de P - 1. (indépendamment du fait que P soit scindé ou pas).

[@fabricesolaris4294]

Une autre solution en se basant sur le degré du polynôme. Soit P une polynôme de R[X] scindé de degré n alors P a n racines => sa dérivée s'annule au moins n-1 fois. Supposons que P' ne soit pas scindé alors il existe au moins polynôme O de degré 2 non scindé tel que P'(X) = Q(X)O(X) et donc deg(Q)= n-3. Donc P' ne peut avoir au maximum que n-3 racines, donc P ne peut avoir au maximum que n-2 racines. Ce qui contredit le fait que P a n racines. Donc P' est scindé.

[@erwanquintin3057]

Recurrence?

[@BananeGriillee]

Et si la multiplicité vaut 1 pour tout i ?

[@LesMathsEnClair]

Ce n’est pas un problème, ce cas est bien traité. C’est juste que en dérivant on va perdre toutes les racines qu’on avait de base. Mais vu que dans ce cas on part de beaucoup de racines, on en a deg(P), et qu’entre chacune d’elles, on va récupérer par théorème de Rolle une nouvelle racine pour P’, on arrive quand même bien à trouver deg(P)-1=deg(P’) racines pour P’. Il est donc bien scindé aussi.

[@mmmrrr46]

Le degré du produit de (X-ri)^mi-1 est la somme des mi-1 pas m-n

[@LesMathsEnClair]

Je ne sais pas ce que tu appelles m. Le degré de (X-ri)^mi-1 est la somme des mi-1 c’est à dire la somme des mi le tout moins p, c’est à dire n-p