Les maths : invention ou découverte ? Infini 22

La réponse à cette question a conduit à deux mathématiques distinctes. D'un côté, on les mathématiques classiques plutôt platoniciennes. Et de l'autre, on a les mathématiques intuitionnistes ou constructivistes. #DébattonsMieux
L'infini et les fondations mathématiques | Playlist Science4All
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[@hugomenager690]

Tu es une merveilleuse personne, merci pour tout ton travail Il est complet, bien formulé. On ressent que tu aimes ce que tu dis, ce qui rend le contenu plus vivant, agréable à regarder, et à apprendre Merci beaucoup !

[@piwi2005]

Une partie d'echec est une decouverte, mais le jeu d'echec est une invention. Pour les maths, c'est pareil : les regles sont inventees et les theoremes sont decouvert. :oP

[@-Eric-P-]

Lê, tes vidéos sont toujours un vrai bonheur, tant ton amour des maths est communicatif. Je reconnais que ma prépa est très loin, et que parfois certains concepts donnent le tournis ou le vertige, mais c'est tellement jouissif avec toi ! Merci pour tes vidéos, celles qui vulgarisent et celles qui élèvent.

[@ElJj]

Je trouve inacceptable cette campagne de dénigrement des mathématiques classiques ! :)

[@credos97]

Quand les grands esprits de KZbin se rencontrent ! :D N'hésite pas à faire une vidéo là-dessus toi aussi, on n'a jamais assez d'élements et de débat à ce sujet ;) Ou genre une rencontre-débat ou jsais pas mais y'a de quoi faire beaucoup de choses !

[@le_science4all]

Je dis oui au progrès, moi ;)

[@mohammedkhalili1154]

Lol oui parce que les mathématiques classiques ils ont résolu tous les problèmes de notre ère ?

[@Idjfizbrds]

Bain ouo

[@Idjfizbrds]

Hmmm

[@thedarkkitty9642]

C'est la question que je me suis toujours posée !! Merci d'avoir fait cette vidéo !!!!

[@thomasbrisson2085]

Je ne comprends pas comment les intuitionnistes ont obtenu ce nom. C'est quand même l'opposé de l'intuition...

[@DanielBWilliams]

Ils se basent sur l'intuition: intuitivement, il n'y a pas de raison que si un théorème n'est pas faux, alors il est vrai.

[@GrothenDitQue]

Ben, si, justement! XD C'est clairement intuitif que si c'est pas faux c'est vrai et vice-versa!Là où l'intuitionnisme colle plus à l'intuition en revanche, c'est lorsque pour lui vrai=démontrable.

[@floflo4356]

Je crois que ca peut venir de leur rejet de l'axiome du choix qui lui a des conséquences très contre intuitives.

[@GrothenDitQue]

Pardon Florent Dravet​ j'avais mal lu, me corrige: C'est possible, mais le rejet de l'Axiome du Choix également entraîne des résultats très contre-intuitifs...

[@floflo4356]

C'est exactement ce que j'ai dit... d'où le nom de ceux qui le rejette les intuitionnistes.

[@nopainnoglucide7498]

Merci mec ! C'est passionnant !

[@fCauneau]

Merci ! Grace à vous j'ai enfin compris pourquoi, lorsque je discute du théorème G avec des mathématiciens (je suis physicien), certaine haussent les épaules en disant que G est vrai mais n'a pas de preuve, alors que d'autres (plus rares) admettent son simple statut de proposition indécidable.

[@le_science4all]

Et dire que certains affirment encore qu'en maths, on sait discerner le vrai du faux ^^

[@nejimban5828]

pour ceux qui se demanderaient, la bonne solution à 4:10 est la deuxième : sqrt(2)^sqrt(2) est bien irrationnel (et même transcendant), d'après le théorème de Gelfond-Schneider. fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider

[@haucyclepernam6082]

Merci pour tes vidéos, toujours intéressantes ! Deux points. 1) Supposons que la question « les avancées mathématiques procèdent-elles de la découverte ou de l’invention ? » est bien définie et qu’il existe une réponse à cette question. Je comprends qu’il y ait deux manières (il y en a bien plus, mais disons que ces deux façons constituent une base de l’espace des manières d’aborder les maths) d’aborder la mathématique. Cependant, je ne vois pas en quoi le point de vue d’individus permet d’apporter une réponse à la question ; car a priori la réalité se fiche royalement de ce qu’on pense d’elle. 2) Je pense que les termes de la question sont ambigus. Lorsqu’on parle de « découverte » d’un théorème, on suppose que son existence précède la « découverte ». Il faut donc définir « l’existence » d’un concept mathématique de manière plus précise que de dire qu’il se trouve dans un monde platonicien (certains nieront tout simplement l’existence d’un tel monde dont la réalité ne prend sens qu’à partir du moment où on la pense, à la différence du monde réel qui se contrefout de ce qu’on pense de lui pour exister). D’un autre côté peut-on réellement parler « d’invention » ? Car finalement inventer un théorème ce n’est que révéler ce qui existe déjà. Je m’explique. Inventer un théorème consiste (grosso-merdo) à définir des termes, à énoncer une proposition et à la démontrer. Tout ça peut se faire par écrit. Or tous les symboles et toutes les combinaisons réalisables avec eux existent déjà (et sont même au plus dénombrables). Donc « inventer » un théorème ce n’est que « découvrir » une de ces combinaisons potentielles…

[@hydroxychloride9077]

Pour ta défense, à Strasbourg on a une Place Broglie, et l'anonce vocale dans le tramway on a toujours entendu prononcé Broglie. Ce n'est que y'a 5 ans où, lorsqu'ils ont refait les annonces, on a pu entendre "Place Broglie ou Breuil" :) Cet épisode est vraiment bien ! même si j'ai dû faire pause une ou deux fois :)

[@brusicor02]

HydroxyChloride Je suis choqué quand même !

[@MaitreBratak007]

Là, j'avoue ... j'avoue ... vous me faites méga-kiffer les intuitionnistes. Vous êtes très forts :)) Tu leur donnes un méthode constructive pour trouver où le segment va rencontrer le fil à couper l'beurre, le truc imparable, visuel, qui mérite un top 100 dans la famille des idées simples ... binnnnn non ... ils sont encore pas contents ... parce qu'ils t'ont dégoté un Omega de Chaitin indécidable .... ha ha ha :)) Je vous aime les gars ... rien que pour ça, je like la vidéo... je la partage avec les amis ... avec une bonne bière à la santé de ma ZFC chérie ... Kro ou Leffe ou Grim ... zut faut faire un choix ! Pas près de la boire ma bière ... A la tienne Lê ... et au très grand plaisir de te rencontrer un jour pour des discussions que je pressens ... passionnantes ... pour le moins !!!

[@quenting9177]

Pour répondre encore à l'"abus de langage" avec l'injection de R dans C, en fait pour moi quand on parle d'isomorphisme, c'est exactement comme en Logique, en réalité plus qu'un simple isomorphisme de corps en R et ce sous-ensemble de C est en plus, si on arrive à l'écrire et le caractériser, ce qui est très compliqué puisque que même N est difficile à caractériser puisqu'on arrive pas à ce passer de non-entier dans certain modèle, on a justement un isomorphisme de modèle entre notre "R" usuel et ce sous ensemble de C, du coup rien ne permet à priori de prétendre que les réels ne sont pas les fameux (x,0). La puissance d'un tel isomorphisme est fulgurante puisque jamais rien ne permettra de les différentier. D'un point de vue logique, des propriétés, absolument rien ne permet de les différentier, du coup s'ils sont in différentiable, à quoi bon vouloir à tout prix les différentier? PS : Je suis conscient qu'il y a des petits raccourcis à quelques endroits mais l'idée est là, je ne cherche pas à m’étendre sur des détails tordus ici. Mon commentaire est déjà assez long. PPS : Sinon très bonne vidéo comme d'habitude ! PPPS : Je suis de cette race (plus ou moins) rare d'informaticiens théoriques qui ne sont pas dérangés par le faite que les choses ne soient pas atteignable ou constructible, au contraire je trouve cela magique de se dire qu'il y a des choses qui existent mais non calculable, comme si les Maths étaient juste une petite cachottière qui nous montrerai clairement qu'elle aime garder une part de mystère, ce que je trouve plutôt magique. Et justement la calculabilité ou non des choses est pour moi un sujet particulièrement intéressant, même je trouve cela particulièrement intéressant de trouver des choses non calculable, indécidable... PPPPS : Je pense que pas mal d'erreurs d'orthographe traînent, je m'en excuse d'avance.

[@kalimiro7360]

Vous avez l'air passionnant j'essaye de me mettre tardivement certes aux mathématiques mais je ne comprends rien du tout de ce que vous dites et pourtant j'aimerais car votre approche des mathématiques à quelque chose de philosophique Des le collège les maths sont devenues un cauchemard à quoi ça sert de développer ou factoriser ou de calculer cosinus ou racine carrée bref le pire fut lendemain sonore à représenter dans un repère log bref j'ai galère mais je sens qu'il y a chez moi un blocage j'entre vois pourquoi mais vous je vous adore et vous déteste car vous êtes un passionné qui donne envie de comprendre les maths malgré tout je ne comprends rien et ça c'est vraiment rageant.

[@GM-ih7wi]

Tu es vraiment très bon et clair dans tes explications, vivement la Fields :)

[@le_science4all]

Peut-être y aura-t-il un jour un Nobel ou un Fields de la vulgarisation...

[@GM-ih7wi]

Yep ! C'est souvent compliqué de faire simple, Etienne Klein est vraiment bon en vulgarisation, capable d'expliquer la physique sans schémas ni transparents pour mieux capter l'attention.

[@Micky_Tick]

Wow. Une de mes vidéos préférées de ta série infini !Et au passage,TEAM PLATONICIEN !!!

[@le_science4all]

Haha !

[@Khwartz]

Salut Lê, Merci pour cette nouvelle vidéo Très Bien faite :) Comment classerais-tu du coup la démarche, qui consiste à partir du principe que c'est par INDUCTION que l'on découvre au fur et à mesure les Idéaux Fondamentaux ? Aussi, il me semble que ces mêmes idéaux, lesquels sont alors exprimés par les Axiomes au fur et à mesure qu'on les découvre par Induction ou Intuition, ne sont pas nécessairement Immuables et Uniques et qu'ils peuvent être, dans une certaine mesure, ARBITRAIRES "à la COHÉRENCE Logique Près". Ainsi, à tout système d'Axiomes que l'on sait COHÉRENT et que l'on dit "Vrai" parce qu'il semble décrire une Réalité Observable, si on ajoute un autre axiome que cela donne une nouvelle Théorie Formelle Cohérente, ça n'en fait pas nécessairement une Théorie "Vraie" mais une Théorie "MATHÉMATIQUEMENT VALIDE" qui ne correspondra peut-être jamais à une Réalité Observable autrement que de manière abstraite. Dans cette vision, Les Mathématiques ne seraient-elles pas "L'ART FORMEL* DE LA DESCRIPTION DE TOUS LES UNIVERS** ABSTRAITS POSSIBLES" ? où La Réalité Physique correspondrait à'des CAS PARTICULIERS de tous ces "Univers (Cohérents) Possibles" ? (* LOGIQUE et AXIOMATIQUE) (** Ensemble d'Objets et de Relations Définis) Enfin, si le "VRAI" est défini philosophiquement comme la CONFORMITÉ AUX FAITS, et si Les Idéaux sont des "Vérités Fondamentales", le Pragmatisme et l'Idéalisme ne s'opposent qu'en apparence puisque si l'on peut découvrir par Induction ces Idéaux et ensuite DÉDUIRE de ceux-ci de nouveau Théorèmes UTILES, il me semble que la Démarche n'est pas de se cantonner dans les Points De Vues Extrêmes mais qu'il faut s'appliquer à effectuer DES ALLERS-RETOURS CONTINUELS ENTRE CES DEUX PÔLES ET DONC USER DE L'INDUCTION AUSSI BIEN QUE DE LA DÉDUCTION. Cela fait-il "sens" à quelques uns d'entre-vous ? ^_^

[@Nightmare-ps9sk]

j'ai lut une question qui m'a fait réfléchir longuement , dans un livre que se nome "les univers parallèles " qui disait "les mathématiques sont-elles le langage dans lequel s'exprime la nature , ou simplement un outil extraordinaire et particulièrement efficace développé par le cerveau humain pour approcher la réalité naturel?"

[@lordkay-9874]

Saitama je pencherai plus pour la deuxième solution mais sa aucune explication

[@XrazyoX]

C'est plutôt la 2ème réponse qui constitue ma vision du monde mathématique ; un monde parallèle qui permet d'approcher localement certaines propriétés du monde réel

[@credos97]

Je pencherais plutôt pour la première, mais la deuxième est tout à fait louable !

[@zig-zag1810]

Je suis étudiant en physique et de mon point de vue la seul règle qui s applique à un système , qu'elle qui il soit , est de rester parfaitement cohérent avec lui même . C est pour moi de cette cohérence que bourgeonne des géométries complexes que sont les mathématiques et notre univers . Plus que ça , je pense que un système peut exister et être viable ssi il répond à cette cohérence , comme un échafaudage qui ne pourrais grandir que ssi ses fondations sont logiquement définis . En d autre terme , il n y a pour moi pas de distinction réel entre physique mathématiques , seulement sont ils pas issue de la même trempe ? Le mystère reste cependant tous entier et c est ce qui , dieu merci , fait la beauté de la science . Aux amoureux de la science !

[@zaido2823]

La nature fonctionne selon des "lois", que l'on comprend plus ou moins grâce aux outils des mathématiques issus de notre logique, mais je pense que ces "lois" ne fonctionnent pas réellement de la manière à laquelle on les interprète. Les mathématiques restent un outil pour comprendre du mieux que l'on peut notre monde, il est construit à partir de notre 'logique' qui n'est pas forcément logique en réalité. Beaucoup préfèrent penser que la nature est le langage dans lequel s'exprime la nature, car si c'est le cas, on a l'assurance que notre logique est la même que celle de la nature. Ainsi aucune des théories mathématiques démontrées ne serait "fausse", et les principes et le 'fonctionnement' mêmes des mathématiques ne pourraient pas être remis en question. Je vous ai donné mon avis, à vous d'y réfléchir un peu plus.

[@HectaSpyrit]

Tu dis que tu nous à donné des bonnes raisons pour être intuitionniste mais honnêtement (et sache que je respecte totalement ton choix hein) j'ai eu l'impression inverse. J'ai l'impression que ne s'occuper de savoir que si un théorème est vrai, bien que c'est surement plus judicieux dans le cadre de la math appliquée, c'est tout de même se priver d'une partie riche et très intéressante de la mathématique. Même si cette dite partie peut sembler assez alambiquée ou "farfelue" comme tu le dit. Et je pense surtout que rien, absolument rien, n'est inutile en math. Des choses (théorèmes, modèles ...) peuvent être plus ou moins intéressants et peuvent permettre pus ou moins de choses mais je pense que dire qu'un objet mathématique est inutile c'est se bander les yeux et refuser de voir quelque chose de plus que ce que cet objet peut faire pour notre cas spécifique. Comme tu peux le voir, j'ai choisi mon camp :)

[@HectaSpyrit]

Après le fait qu'une courbe puisse traverser une droite sans la couper c'est quand même vachement intéressant mais je maintient, je suis plutôt platonicien.

[@le_science4all]

J'attends toujours une application concrète de l'axiome du choix... haha :)

[@quenting9177]

Science4All (français) Je suis plutôt d'accord avec MR. Sobel, les choses n'ont pas nécessairement besoin d'une application pour être intéressante. Rien n'est inutile. D'autant plus qu'ajouter ou non l'axiome du choix ne change rien sur le vrai la consistance de la théorie. l'affirmer faux c'est ce bander les yeux sur une partie des maths. l'affirmer vrai aussi.

[@credos97]

En sciences sociales ou économiques, je pense qu'en approximant les très grands nombres à l'infini on peut s'en servir ... Ça reste une approximation ! Également l'axiome du choix diminué (ou réduit ?) peut évidemment servir

[@quenting9177]

C'est un peu inutile, pourquoi approximer à l'infini pour se servir de quelque chose de tendancieux alors que c'est fini et du coup tu peux te servir du cas fini sans problème. De toute façon je ne pense pas que dans ce genre de science on s’encombre avec ces détails, ni même qu'il en ai de toute façon besoin à un moment... Après je peux me tromper je ne connais presque rien la dessus... Toute ça pour dire que ça ne sera jamais une application du théorème du choix. De plus par application concrète on cherche un truc qui soit absolument vrai uniquement avec lui et qui serve dans la vie... Même si je persiste à dire que le monde mathématique se suffit bien à lui même, mais c'est une considération philosophique.

[@odysseus231]

J'aime beaucoup la vidéo, elle donne un premier aperçu très intéressant des maths intuitonnistes. En revanche (et j'ai conscience que les clichés sont faits exprès) je trouve ça étrange de mettre en correspondance une forme de platonisme, la croyance que les maths sont découvertes, avec les maths classiques de la théorie ZFC. Personnellement je ne suis qu'un étudiant mais je m'intéresse pour l'instant plutôt au côté ZFC classique, néanmoins je ne suis pas vraiment d'avis que les maths sont découvertes. Pour moi la méthode axiomatique que l'on retrouve dans ZFC (et dans d'autres théories évidemment) est un signe d'invention, puisque l'on part de postulat et que l'on construit une théorie par la suite, plutôt que d'une découverte. Ou si l'on veut, on découvre que les axiomes que l'on s'est donnés permettent de faire des choses intéressantes, mais on a construit donc plutôt inventé ces choses.

[@Kong9901]

Je viens de regarder la vidéo et j'ai l'impression d'être passé à côté d'un truc: tu expliques en gros deux préférences de démonstration des matheux mais quelle est le rapport avec le fait que les maths soient une découvert ou une invention ? Merci d'avance

[@alexxbrg4339]

Salut à toi, j'ai découvert ta chaîne il y à peu et voulais savoir si les maths matricielles était au rendez-vous? je suis vraiment pas foufou en maths ^^"

[@gegel718]

Salut Lê, étant en L1, je suis sûr et certain que je ne pige que 10% en globalité de ce que tu dis dans tes vidéos, mais elles sont géniales ;) La question que je me pose c'est : La propriété des nombres premiers à être infini ne serait pas à caractère axiomatique ? Car sachant que l'ensemble des entiers naturels N est un ensemble contenant une infinité d'élément, les entiers naturels, une des parties de N est l'ensemble qu'on pourrait appeler P est aussi infini, puisque qu'il y a une infinité de nombres entiers naturels. Plus on ira loin dans la grandeur des nombres, peut-être aura-t-on moins de chances de tomber sur un nombre premier, mais on est sûr d'en trouver un même si la tâche devient ardue. En tout cas, si j'ai bien compris, je dois être un peu un intuitionniste non ? x) En tout cas, je comprends la démonstration, elle me convainc dans ce que je pense et tant mieux :D Mais je me dis que des fois, ce genre de démonstration n'est vraiment pas nécessaire tant c'est aussi intuitif que les axiomes de la géométrie euclidienne ^^ Sur ce, bonne soirée :)

[@mathieuaurousseau100]

9:36 Attend, pour vérifier si le point est au dessus de la droite, sous la droite ou sur la droite, on compare les ordonnés, donc tu es entrain de me dire qu'il est possible qu'il existe deux nombre réels a et b tels qu'on ne soit ni capable de prouver que ab ni que a=b? Ça va poser des problèmes bien plus grave que l’impossibilité de prouver le théorème des valeurs intermédiaires ça.

[@Escouflamby]

mathieu aurousseau J'avoue que je suis aussi un peu sceptique sur sa conclusion u_u

[@zurgl9826]

Permet moi de prendre le risque de me tromper. Mais dans son propos on compare des nombres infiniment petit, je ne suis pas sûr que "tout" ces nombres existent, comprendre admettent une construction formelle en logique intuitionniste. Ce qui motive mon questionnement est le fait que le TVI admet une démonstration à l'aide de raisonnements constructifs, à condition d'ajouter un epsilon. Voir fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_constructive

[@otadota8256]

Pour dire par exemple que le point est au dessus, tu supposes qu'il n'est ni sur la droite ni en dessous et tu dis donc il est au dessus ... Cependant pour faire ça tu as utilisé le tiers exclus, et c'est ça qui fait tilter ces "fichus" intuitionistes. . PS : j'ai rien contre les intuitionistes, c'est juste que bon le tiers exclus c'est cool.

[@le_science4all]

Il y a même un exemple de tels a et b ! Il existe un nombre très étrange appelé le nombre Ω de Chaitin (en fait il y en a plusieurs). Les décimales de ce nombre sont indécidables dans ZFC, si bien qu'il existe un réel x tel qu'il soit impossible de prouver Ωx et impossible de prouver Ω=x. CQFD

[@chamb6509]

Science4All (français) Et du coup si on se place du point de vue intuitioniste... (on était partis de là) Ça fait combien ??

[@Yarflam]

Concernant les nombres complexes, j'aurai plutôt vu un isomorphe avec les vecteurs et les matrices. Ils existent pour ces deux domaines des méthodes de transformations depuis les nombres complexes qui permettent toujours de manipuler un plan orthonormé mais la réflexion qu'on peut en donner est bien différente. Sinon j'ai une question de math HS : j'ai regardé le weekend dernier le film "Hidden Figures", ça raconte la conquête de l'espace en s'intéressant aux mathématiciennes qui ont travaillé sur des calculs de trajectoires à la NASA. Ça dénonce également la ségrégation et les conflits Russe / course aux armements. C'est un régal ! Et à un moment donné, ils parlent [les chercheurs] des méthodes d'Euler en décrivant ces méthodes comme "archaïque" ... Mise à part qu'ils sont plus "expérimentés" que le commun des mortels, je me demande bien pourquoi. Et puis peut-on dire d'une méthode qu'elle est obsolète ? Parce que finalement, nos mathématiques modernes s'appuient encore et toujours sur des fondements anciens datant de la Grèce antique. Ça m'a réellement troublé. Merci pour ta vidéo et pour toutes les autres. :)

[@mathieuaurousseau100]

En fait les vecteurs à deux coordonnés et les points du plan sont isomorphe, donc si les nombres complexes sont isomorphes à ces vecteurs, ils sont isomorphe aux points du plan :)

[@LeopoldoGhielmetti]

Je pense qu'il est aussi très facile de démontrer qu'il y a au moins deux chiffres qui apparaissent un nombre infini de fois dans tau (pourquoi se limiter à une ?). Supposons qu'il y a une seule chiffre qui apparaît une infinité de fois. Ceci veut dire que si on se déplace suffisamment loin dans les décimales de tau on arrivera à épuiser les chiffres qui apparaissent un nombre fini de fois. Il ne resterait donc plus qu'une infinité de répétition du même chiffre. Or un nombre qui termine avec un chiffre qui se répéte à l'infini est rationnel et peut donc être exprimé avec une fraction, ce qui ferait de tau un nombre rationnel. On sait que tau est irrationnel donc on en conclut qu'il doit y avoir au moins deux chiffres qui se répètent à l'infini!

[@user-pi1jf2fu3f]

Leopoldo Ghielmetti Jolie :)

[@saadbaskai5685]

magnifique.

[@cofbmaitres1177]

En fait, paradoxalement, en tant que non-matheux, aux vues des exemples choisis dans cette vidéo, je ne suis pas du tout intuitionniste/constructiviste, parce que je ne suis pas sensible à ses avantages. En gros, je vois bien que les maths constructives permettent d'aller plus précis (comme trouver quel(s) est (ou sont) le(s) chiffre(s) que l'ont trouve une infinité de fois dans un nombre irrationnel, ou trouver plein de nombres premiers), mais perso je m'en fout un peu, en tant que non-matheux les preuves par l'absurde ça me convient tout à fait. Il faut vraiment aimer les maths pour se dire "ok, mais cette preuve ne sert à rien", parce que pour un non-matheux comme moi l'apport d'une preuve constructiviste (probablement plus compliquée à comprendre, alors qu'une preuve par l'absurde je trouve ça logique) est très faible, c'est juste une curiosité de plus.

[@aymericbreger3245]

Ça me passionne là

[@doublesoundification]

Yes, merci pour cette vidéo, c'est le genre de débat que j'ai souvent avec certains de mes potes. Une question pour toi, je serais curieux de connaître ton avis... les maths sont-elles issues de la géométrie, ou la géométrie des maths... ou les deux d'une autre science (peut-être insoupçonnée?)

[@le_science4all]

Le livre de Mickaël Launay est super pour retracer l'origine des maths, qui serait plutôt le commerce. Après, les grecs étaient des grands adeptes de la géométrie, et la géométrie est devenue "la mathématique" jusqu'au 18ème, où Euler et Lagrange ont commencé à préférer l'algèbre et l'analyse. Le 19ème est une crise pour la géométrie, avec notamment la géométrie non-euclidienne. À la fin du 19ème, les maths semblaient originer de la théorie des ensembles de Bolzano et Cantor. Au 20ème siècle la théorie des ensembles dominent, avec une émergence de la notion de structure avec Bourbaki. Pour le 21ème, je dirais que les ordinateurs vont montrer que les maths doivent être l'étude des machines de Turing. Mais je suis biaisé ^^

[@_peloni]

Hey, je pose une question,dans le théorème G, le resonnement par l'absurde n'est pas une preuve que celle ci n'a pas de preuve ?

[@LePetitBat]

Wahou tu l'as trouvée où cette jolie démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers (en une ligne)?

[@dappermink]

Je cherche aussi !

[@frid964]

moi je dis qu'on a découvert une invention ou inventé une découverte, merci c'est tout pour moi :D

[@yamyam98]

Et donc on a inventé une découverte ou découvert une invention ?;)

[@johnkardier6327]

Est-ce qu'on peut construire une courbe qui traverse une droite sans la couper ? La demonstration de la non constructibilite de l'intersection est-elle intuitioniste ?

[@dupondavignon869]

9:40 : en quoi s' agit-il de l'utilisation du tiers exclu, puisqu'on utilise 3 termes possibles, y ajoutant un quart exclu (soit 1, soit 2 ou 3) ? Ce n'est qu'une 4e possibilité qui est rejetée (selon constructivisme).

[@pierreclarke7673]

Très bon épisode ! Juste à 4 : 08 (à peu près) p et q étaient * (pas était) premiers entre eux

[@yannld9524]

L'exclusion du tiers exclu ne pose pas de problème pour montrer l'existence des nombres irrationnels ? Par exemple, comment peut on montrer que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel sans faire un raisonnement par l'absurde ?

[@zurgl9826]

La proposition A p^2 = 2q^2 => p^2 est pair => p est pair => 4 divise p^2=> q^2 est pair => q est pair. Ce qui est contradictoire. A ce stade on a une preuve que la proposition A est contradictoire. On a une preuve qu'il est contradictoire de dire que les racines de X^2 =2 sont rationnels. Et même si là cela devient grave bizarre, on en déduit qu'il est irrationnel =) Bref, on peut aussi montrer que l'écriture de sqrt(2) sous la forme de fraction continue est non fini, et donc ce n'est pas un rationnel. Là c'est vachement mieux que ce que l'on a dit au dessus, parce comme sqrt(2) = 1+ 1/(2+1/ ( 2+1/ (2+1/ (...) ) ) ) Ici on fournit une construction du nombre. Cette construction peut se faire en un nombre fini de symbole car l'on voit qu'elle est récursive (j'ai a flemme de l'écrire proprement). En même temps, comme l'écriture sous forme de fraction continue est infini, on a prouvé qu'il n'est pas rationnel. Et on peut déduire un algorithme de calcul de sqrt(2). Les mathématiques intuitionnistes sont efficiente de ce point de vue.

[@nulkecola]

Le paradoxe du gruyère : Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous. Plus il y a de trous, moins il y a de gruyère. Donc, plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère.

[@lmz-dev]

Y a surement un trou dans la droite ! Ou la courbe est un peu garce et fait un petit pont au moment de croiser la droite... Ou c'est une courbe un peu speed-punk dont la crête court plus vite qu'un bout de la droite. Ou c'est une droite de type front national, c'est a dire très limitée ;+)

[@nocturmaths]

Totalement team platonicien (bien que je comprenne aussi le choix d'être intuitionniste) ! Mais dans ce cas, être intuitionniste, n'est-ce pas plutôt chercher à reconstruire les maths en rejetant le principe du tier exclu ? Pourquoi n'ai-je jamais entendu parler d'ouvrages comme ça ?

[@rachidiraqi7327]

Bonsoir et merci pour la qualité et l'importance de vos messages scientifiques J'ai une question si vous voulez bien: Comment ça ce fait qu'entre deux nombres quelconques: n et n+1 il y a une suite infinie de décimales? Exp entre 3 et 4 il y a : 3,1-3,2-3,3- 3,9-3,91-......3,99-3,991-3,992... Merci d'avance

[@DanielBWilliams]

Bonsoir. Quel genre de réponse attendez-vous ? J'avoue avoir du mal à saisir ce que vous ne comprenez pas.

[@bensilicate]

Au vu de la conclusion de cette vidéo, le moins que l'on puisse dire c'est que les mathématiques intuitionnistes sont contre-intuitives !

[@KurakiN64]

L'intuitionisme, c'est la porte ouverte à l'ultrafinitisme.

[@asherbenchimol4621]

bonjour , tres bonne video , concernant le théorème des valeur intermédiaire je suppose qu'il n'est valable que si les deux droite sont en deux dimension dans un espace euclidien . sinon , si on ajoute une dimension supplémentaire ou que l'on passe dans un autre type de coordonnées il se peut que l'affirmation soit fausse ?

[@le_science4all]

Oui. La version en 3D, c'est qu'une courbe coupe un plan qu'elle traverse (parce que le plan "coupe" bien l'espace 3D en 2)

[@Faxbable]

Attention, le théorème de construction de nombres premiers est faux dans l'état (mais il devient bien sûr vrai si on prend les n premiers nombres premiers avec n >1). Contre-exemple : avec p1 = 3 et p2 = 5 alors x = 3 * 5 +1 n'est pas un nombre premier ;). C'est même toujours faux si 2 n'est pas pris dans l'ensemble de départ (car x sera alors divisible par 2)

[@Pradowpradow]

j'ai eu une conversation avec une amie il y a quelques jours: elle reproche le prof de maths de ne pas nous donner d'applications à ce qu'on fait et ce qu'on démontre, elle ne comprend pas pourquoi faire des maths sachant que possiblement on s'en servira pas dans la vie courante. Mais moi je soutiens que les maths sont faites comme exercice de pensée, construire les objets pour jouer zvec. et en conséquence, si quelqu'un à part sent que ça peut l'aider sur un problème quelconque qui s'en rapproche, il peut s'en servir, et c'est à lui de légitimer l'utilité d'un modèle mathématique ou un autre. enfin bref je pensais avoir eu réponse à ce débat en voyant le titre de ta vidéo mais je ne sens pas l'avoir eue à moins que j'ai vraiment rien compris. Pourrais tu me dire ce que tu en penses?

[@zurgl9826]

Rassure toi un mathématicien constructiviste continuera à produire des énoncés inutiles et incompréhensibles pour le commun des mortels. Donc il y a des fortes chances que ton amie ne voit pas la différence entre un mathématicien platonicien et un mathématicien intuitionniste.

[@PikPikkabbu]

Les mathématiques sont un ensemble de langages. C’est-à-dire un ensemble de façons d’exprimer un certain type de connaissance et de les partager. Il n’y a rien qu’expriment les mathématiques qui ne pourrait s’exprimer en utilisant d’autres langages humains, si ce n’est que ça deviendrait si confus et compliqué qu’on n’arriverait plus à suivre les développements, ajouté au fait que le manque de formalisme des langues humaines rendrait les raisonnements extrêmement ambigus, donc peu fiables. Les maths sont donc un ensemble de langages très efficaces et qui possèdent des règles beaucoup plus formelles et déterminées que les autres. Les mathématiques expriment à travers ses (leurs) langages les différentes visions et interprétations de la réalité telle que l’esprit humain est capable de la percevoir ou de la construire. C’est pourquoi croire que les mathématiques sont vraies et ne peuvent se tromper, ou bien qu’elles sont capables de décrire tout l’univers, revient à affirmer que l’intelligence humaine est infaillible et peut tout connaitre. Ce qui est une belle illusion. Certains prétendre que si notre civilisation rencontrait une civilisation extraterrestre, le langage de communication serait les mathématiques. Or, une formule mathématique terrestre n’aurait aucun sens pour les ET, et si on leur présentait la formule de l’intégrale de Riemann, ils ne s’exclameraient nullement : « tiens ! Les terrestres ont découvert le calcul intégral », car ça n’aurait pas plus de sens que si un chinois m’explique dans sa langue comment faire des tartes aux pommes. Alors à la question de si les mathématiques sont une invention ou une découverte, je crois que la réponse est : c’est une construction humaine.

[@chainonsmanquants1630]

N'utilises tu pas justement le tiers exclus quand tu en déduis 9:55 que "une courbe peut traverser une droite sans jamais la couper" ?

[@illuzionnistfr8936]

Ça s'est ressenti avant cette vidéo, a commencer par l'épisode 7...

[@doriangodefroy9670]

Salut Lê ! Superbe vidéo ! Mais comment prouver que sqrt(2) est un irrationnel avec la logique intuitionniste ? Cela m'échappe... Existe-t-il une démonstration rigoureuse et ne faisant pas appel au raisonnement par l'absurde (qui est très élégant je trouve pour cette démonstration en particulier) Merci d'avance et bonne continuation

[@laurentcochet2893]

Merci pour ce commentaire je me faisais la même réflexion devant la vidéo. Dans la version platonicienne il prend le temps de prouver que sqr(2) est bien irrationnel en utilisant un raisonnement par l'absurde. Mais dans la version intuitionniste c'est balancé sans aucune explication ! Surprenant de sa part je trouve. (C'est bien entendu tout aussi valable pour log(3), e, et les autres exemples constructivistes de ce théorème). J'aimerais beaucoup savoir comment ces propriétés sont démontrées !

[@le_science4all]

En fait, l'intuitionniste rejette les preuves d'existence par l'absurde. Cependant, il n'a pas de problème avec le fait qu'une hypothèse implique l'absurde. Techniquement, dire sqrt(2) est irrationnel revient à dire "si sqrt(2) est rationnel, alors absurde".

[@laurentcochet2893]

Ouh là tu m'as perdu là ! :) Autant je comprends qu'un intuitionniste qui démontrerait que "sqrt(2) est rationnel est absurde" pourrait dire que "sqrt(2) est rationnel est faux". Mais comment de là passer à sqrt(2) est irrationel sans le tiers exclu ?? Perso quand je lis ta phrase "dire sqrt(2) est irrationnel revient à dire "si sqrt(2) est rationnel, alors absurde"." (Ouais vive les double guillemets, super lisible ^^) bah j'ai quand même la forte impression qu'en dessous se cache, et pas très bien, le kro kro méchant tiers exclus ! :/

[@laurentcochet2893]

J'approfondis ma pensée en meme temps. Soit P = "sqrt(2) est irrationnel". Il me semble que la démonstration par l'absurde prouve que nonP est faux. Mais si on a pas P ou nonP comment passe-t-on de nonP est faux à P est vrai ?? Et là je pars de la conclusion de la démonstration précédente pour tenter de revenir à l'énoncé recherché, mais je bloque aussi dans l'autre sens que tu cites dans ton commentaire où tu poses avant la démonstration que chercher à démontrer P est identique à prouver nonP est absurde. Je ne vois pas comment passer de l'un à l'autre sans utiliser le tiers exclu .... Est-ce que les intuitionnistes ne réfutent le tiers exclus que pour les démonstrations d'existence d'objets et pas pour les propriétés d'un objet déjà construit ?

[@mohammedkhalili1154]

Laurent Cochet le terme irrationnel ne peut être bien défini que si tu acceptes le tier exclu, sinon autant pr moi qu'il soit irrationnel ou ni rationnel ni irrationnel.

[@tctrainconstruct2592]

En plus, Tau est irrationnel, donc on peut déterminer qu'il y a au moins 2 chiffres qui se répètent infiniment

[@christophem6373]

16:09 Des noms !!! On veut savoir qui !

[@jolanmoussier9267]

du coup j'ai un problème avec la citation de fin c'est pas vraiment sans la couper mais plutot sans qu'on puisse montrer que la droite coupe voila sinon parfaite comme vidéo même si les intuitionnistes restent bizarre à mes yeux quand ca n'a pas un but concret

[@theopantamis9184]

Super vidéo pour prendre du recul ! Je ne suis pas d'accord avec ta conclusion sur les théorèmes des valeurs intermédiaires. Tu dis que l’intuitionniste doit admettre qu'une courbe peut traverser une droite sans jamais la couper. Je pense au contraire que tous les intuitionniste sont d'accord avec ça ! Pour moi l'intuitionnisme, c'est savoir si on peut trouver en preuve sans utiliser le tiers exclu (et donc constructive) comme tu l'as dis au début et rien de plus. C'est différent de savoir si une proposition est vraie ou fausse comme en logique classique. Je vois les choses ainsi : la théorie intuitionniste est moins forte que la logique classique (plus de propositions indémontrables), la logique classique est donc un modèle de cette théorie. L'intuitionniste peut accepter la logique classique, la voir comme un modèle de l'intuitionnisme, c'est juste un raisonnement inversé par rapport à l'habitude, le modèle intéressant est celui de la logique classique mais on a un intérêt particulier à s'intéresser aux propositions décidable de la théorie intuitionniste. En bref : un intuitionniste accepte la vérité du théorème des valeurs intermédiaires mais sais qu'il ne trouvera pas toujours de moyen de résoudre son équation en toute généralité. Dans son concept abstrait de courbe, il sait ce théorème vrai. Dans la pratique il n'a en revanche pas trouver de moyen de construire les objets dont l'existence est postulée (indémontrable en théorie intuitionniste).

[@le_science4all]

Disons qu'on peut être plus ou moins intuitionnistes. J'ai préféré parler de l'intuitionniste extrêmiste.

[@theopantamis9184]

Effectivement je pense que c est un debat plus epistemologique que scientifique, il faudrait juste utiliser un vocabulaire different pour la logiqur classique et intuitionniste pour ne deranger personne je pense.

[@MegaPouni]

Theo Pantamis difficile de faire plus scientifique que l'épistémologie, qui est la tante de la logique parmi les sciences épistémiques

[@sionae1967]

Que signifie le symbole en forme de grand pi (à 5:52 par exemple)?

[@mathieuaurousseau100]

Normalement c'est un symbole de produit, mais la j'ai franchement l'impression qu'il manque des choses donc j'ai un doute.

[@flodtherial]

Bonsoir, je suis étudiant en sup', et puisque le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) est mentionné je me raccroche à ce que je sais : j'entends bien la dichotomie (tiens, tiens ;-) ) que tu fais entre constructivisme et intuitionnisme, et j'y suis totalement ouvert. C'est d'ailleurs une des premières choses que notre prof de maths nous a dites quand on a parlé des quantificateurs en septembre... bref. Lorsqu'analytiquement c'est le cas, comment peux-tu remettre en cause le fait qu'une courbe donnée ne coupe pas une droite donnée ? Qu'est-ce qui fait que la méthode de dichotomie ne marche pas/plus/pas bien? Est-ce topologique, y a-t-il un contre-exemple "simple" ou est-il "méta-analytique" ? Je veux dire par là, peut-on trouver un contre-exemple du type "f est une fonction affine, g une fonction 'à la Cantor' bien choisie, alors f inter g n'a pas de solution malgré les apparences", ou alors cela résulte-t-il de considérations de plus haut vol, où l'on remet en cause l'axiomatique de base par exemple? (si oui lesquelles...?) Ou alors l'espace de référence, la dimension, la topologie, etc. ? Merci, de la part d'un taupin aussi intéressé qu'angoissé...

[@mathieuaurousseau100]

Il ne remet pas en cause le TVI parce qu'il existe des contres-exemples, on n'en connait pas et il n'en existe probablement pas, il dit juste que la preuve n'est pas valable en logique intuitionniste, et donc qu'il n'y a pas de raison (toujours en logique intuitionniste) de dire qu'il est vrai à moins de trouver une autre preuve.

[@le_science4all]

Il me semble que les contre-exemples sont nécessairement assez tordus (je pense pouvoir en fournir avec des fonctions dites "non-calculables" de type f(x)=1-\sum e^{-x*BB(n)} où BB(n) est la fonction Busy Beaver dont j'ai parlé dans les commentaires de l'épisode 2)...

[@flodtherial]

Merci de ta réponse, mais ma question était plus terre-à-terre (même si ça contredit un peu l'esprit de la vidéo), et la réponse de Lê ci-dessus apporte de l'eau à mon moulin :)

[@flodtherial]

ok, c'était ce que je sous-entendais dans ma question. Merci pour la réponse, et pour tout le reste ;-)

[@SMH54000]

Du coup, comment fait un intuitionniste pour prouver que e et ln2 sont irrationnels ?

[@credos97]

L'histoire nous montre que des découvertes mathématiques jugées farfelues à leur époque ont trouvé des applications en physique bien longtemps après ... N'est-ce pas un solide argument en faveur des explorateurs ? Les maçons des maths dont tu nous avoues faire partie (ou les intuitionnistes) ne sont-ils pas écoeurés par la contradiction physique apportée par le TVI sans tiers exclu ? :)C'est cool d'aborder ce genre de sujets, n'hésite pas à approfondir ! ;)

[@le_science4all]

Quelle contradiction physique ? Le TVI n'a aucun pendant physique que je sache...

[@credos97]

J'assimilais la courbe et la droite à une ficelle et un bâton, cependant c'est vrai que ce n'est pas la même chose ...

[@louis-sebastiengac-artigas5199]

Voilà: Godel vous met en PLS. Je vous invite à lire "From Mathematics to Philosophy" de Hao Wang, pour découvrir qu'entre la position réaliste néo-platonicienne et le point de vue constuctiviste, il existe la position néo-kantienne.

[@louis-sebastiengac-artigas5199]

En fait, la logique intutionniste rappelle un peu la réaction de l'establishment scientifique au 19ème siècle face à la découverte des géométries non standards. Il aura fallu qu'Einstein utilise ces géométries "monstrueuses" pour que les chouineries et le mépris cessent... Je ne suis pas sûr que cet énoncé ait vraiment un sens: mais je trouverai ça très rigolo que le théorème de Godel s'avère nécessaire à la Physique qui réconcilira les mécaniques Classique et Quantique.

[@ibujahrhino1226]

Si je comprends bien, le constructivisme rejette le tiers exclus et donc la preuve par l'absurde. Je me souviens de la première fois que j'ai eu affaire à ce genre de preuve : il s'agissait de la preuve que racine de 2 est irrationnel. J'ai par ailleurs trouvé cette preuve très belle :). Mais du coup, je me pose une question. Si le constructivisme rejette l'absurde, cela veut-il dire que cette preuve n'est pas acceptée ? Ou bien j'ai loupé une subtilité ?

[@GrothenDitQue]

Tout à fait! :)

[@ibujahrhino1226]

Mais du coup comment fait-on ? Là comme ça, j'aurais tendance à me dire qu'on peut prouver qu'un nombre est rationnel au sens du constructivisme, mais qu'on aurait beaucoup de mal à le prouver irrationnel, ou même transcendant... Après, ça n'a peut-être pas "d'utilité" pour le constructivisme, ce genre de résultats ?

[@adressepoubelle6488]

vrai,faux est isomorphe à 0,1 pour les opérations "et" et "ou exclusif" :)

[@bidonibidona8868]

Intuitionnisme ou pas, la réponse à la question "existe-t-il deux irrationnels a,b tels que a^b est rationnel" est positive. Point. Ce n'est pas comme demander "donner deux irrationnels a,b tels que...". Ce n'est pas le tiers exclu qui est à revoir, c'est la formulation des questions posées, et la définition d'un cadre correct pour les questions de constructibilité. Formaliser ça en lambda-calcul tout en gardant la puissance complète de la logique (classique) du premier ordre, par exemple. Au boulot les branleurs.

[@bidonibidona8868]

@@flov74 ce que je dis, ce n'est pas qu'il est inintéressant de se pencher sur les questions de constructibilité, c'est qu'il faut définir clairement ce que c'est que d'être constructible, dans tel ou tel contexte.

[@denis7325]

Je ne suis pas d'accord pour dire que le débat invention/découverte est le même que classique/intuitionniste. On peut très bien être d'avis que les maths classiques sont découvertes par l'homme et ne préexistaient pas avant. Réciproquement on peut être intuitionniste, mais penser que les théorèmes et leurs preuves (constructives) sont des objets que l'on découvre en explorant un monde des idées platonicien.

[@hermesis3129]

Il faut tout de même faire la part des choses. La fécondité de l'approche intuitionniste, avec le nouveau paradigme digital, ne doit pas amener à dénigrer l'approche classique. La calculabilité n'est pas plus importante que la démonstration de vérité.

[@danieldiawakunzabanioffici6978]

S'il te plaît, comment inventer une théorie mathématique ??? En regardant la nature ou,...

[@stinkyfen]

la musique d'ambiance est super... tu pourrais me filer le titre si tu as le temps s'il te plait? :D

[@le_science4all]

Toutes les musiques sont données à la toute fin de la vidéo ;)

[@stinkyfen]

j'avais pas vu, merci!

[@mrsnakesss]

Les intuitionnistes rejettent-ils aussi la preuve par contraposée ? Mon prof de prépa nous disait toujours qu'il y avait une différence fondamentale entre une preuve par contraposée et une preuve par l'absurde, alors qu'en pratique une contraposée pouvait s'écrire comme une preuve par l'absurde (en supposant A et non B)...

[@canardenruhme548]

Il y a bel et bien une différence fondamentale entre la preuve par contraposée et la preuve par l'absurde. Pour la preuve par contraposée, tu veux montrer B en supposant A (donc tu veux montrer A implique B). Alors tu montre que non B implique non A, et les règles de la logique te donnent A implique B. Pour la preuve par l'absurde c'est différent. Par exemple, pour montrer que A est faux, tu montre que A implique B et que A implique non B. Alors A est absurde et A est fausse.

[@dimitri3665]

pour moi c'est de l'invention, c'est interprétation des hommes qui recherchent le progrès

[@aljalaal]

est-ce qu'un ensemble qui n'est pas fini est forcément infini ? le principe du tiers exclu ne joue-t-il pas un rôle ici en affirmant qu'un ensemble est soit fini soit infini ? si c'est affirmatif alors comment les intuitionnistes ont pu construire un ensemble de nombres premiers qui est infini en prétendant qu'il ne peut pas être fini dsl si je parrais stupide en posant cette question mais une réponse améliorera davantage ma compréhension merci

[@GrothenDitQue]

L'intuitionniste ne construit pas un ensemble de nombres premiers infini en prétendant qu'il ne peut pas être fini, il le fait en construisant dès qu'il a n nombres premiers un (n+1)-ième... Nulle part il le suppose fini par l'absurde! :)En clair il ne dit pas qu'il est soit fini soit infini (en effet il n'y croit pas) mais il démontre directement son infinitude!

[@mathieuaurousseau100]

+VRB Blazy et comment ils prouvent que le fait que si on a un n-ième alors on a un (n+1)-ième nombre premier (et le fait qu'il en existe vraiment un sinon il y a peu de chance que la preuve marche) implique que l'ensemble est infini?

[@GrothenDitQue]

Ah mais ça c'est par définition! Si tu en trouves un en dehors de tout ensemble fini, l'ensemble total ne peut l'être! Il démontre qu'il n'est pas fini c'est-à-dire infini, mais prétend pas pouvoir montrer la finitude ou l'infinitude de *tout* ensemble, donc n'exclut pas de tiers...

[@mathieuaurousseau100]

VRB Blazy Je ne comprend pas ton explication, tu dis "Il démontre qu'il n'est pas fini c'est-à-dire infini", mais c'est clairement une preuve par l'absurde, et le fait de ne pas prétendre pouvoir montrer la finitude ou l'infinitude de tout ensemble veut juste dire que cette propriété peut-être indécidable, ce qui n'a rien avoir avec un tiers.

[@GrothenDitQue]

Ben non une preuve par l'absurde tu supposes que c'est fini et tu montres une contradiction, donc tu ne montre jamais directement que c'est infini mais juste que tu ne peux montrer directement que c'est fini sans contradiction. Alors que là tu montres directement que c'est infini! Et oui non mais c'est ça, ils savent bien que c'est jamais ni fini ni infini, ils disent juste qu'ils ne peuvent démontrer ni l'un ni l'autre, si tu veux l'indécidabilité est leur seul tiers envisageable...

[@xxxyyy514]

Passionnant mais le titre laisse penser à un sujet plus philosophique qui n'est pas vraiment traité : L'homme découvre-t-il les mathématiques qui seraient préexistantes dans l'univers indépendamment de l'existence de l'homme ; ou bien L'homme les invente pour en fait modéliser ce qu'il observe de l'univers, dont finalement la réalité lui est inatteignable, du fait de ses moyens forcément limités.

[@MrRabix007]

Pour le théorème des valeurs intermédiaire : Prenons la réciproque de f sur l'interval tel que : f o g = id, on a bien x = g(y) d'où le x qu'on cherchait à la base. Pourquoi avoir recours à la dichotomie ??

[@le_science4all]

Si f n'est pas injective, elle n'a pas de réciproque... et même si f est injective, ce n'est pas dit qu'elle soit surjective (c'est là tout le coeur du problème !). Pour vraiment s'en sortir, il faut bien penser la notion de continuité et la notion de complétude des réels. Or, les nombres réels sont en fait ce qui pose problème ! Les réels intuitionnistes ne sont pas isomorphes aux réels classiques !

[@MrRabix007]

Science4All (français) donc on pourrais reformuler le problème de la surjectivité : si f continue entre a et b alors on est pas sur que f passe par tt les points entre f(a) et f(b) !!! oui pour moi c est évident car la notion de continuité est défini par des limites ... en fait f continue sur a,b cela n a aucun sens lol On devrai inventer autre chose du style f traçable sur a,b ou autres ....

[@hakimtassier9449]

Le titre ne correspend pas au contenu de la video.

[@indecisapatride.1364]

petite idée au passage : peut etre que P ou nonP est faux dans lecas général mais si on a (p ou nonP) demontre Q cad que P demontre Q et nonP demontre Q si P est decidable c'est evident. si P est indecidable un peu moins peut on affirmer alors Q ? bah supposons qu'on ai nonQ dans la theorie alors pour peu que notre theorie soit coherente on a aucun modele de notre theorie avec P ou non P car dans les deux cas ca serait contradictoire . or vu que P est indecidable on peut reprendre notre theorie avec p ou non p cela en theorie ne devrait pas poser de soucis donc on a pour tout modele : Q ou Q indecidable mais jamais Q fausse.

[@numbersixnumbersix]

Invention ou découverte ? Si on sort du domaine des mathématiques, on s’aperçoit que ces deux mots peuvent avoir le même sens : "Découvrir un trésor" = "Inventer un trésor" ! Isomorphisme ? :-)

[@hugolecourt9124]

(sqrt(2)^sqrt(2))^(sqrt(2)) = 2 donc 2^(1/sqrt(2)) est irrationnel, donc on a seulement la deuxième proposition de vrai, non? kzbin.info/www/bejne/oIu7iKlmqc1np6Mm7s

[@maximeklein4290]

Si je résume bien, un "platonicien" considère la logique comme allant de nous aux nuages, tandis qu'un "intuitionniste" se limite à ce qu'il peut toucher de ses mains... Je préfère rester un rêveur et construire le moindre avion en papier pour atteindre les nuages, car il ne faut pas oublier qu'on peut compter sur chacun de ses moutons du ciel pour nous inspirer l'invention qui nous permettra de les approcher, de les toucher, de les dépasser.

[@le_science4all]

Rien n'empêche d'avoir la tête dans les nuages ET les pieds sur terres ;)

[@maximeklein4290]

+ Science4All : Aussi :D Perso, étant à l'aise avec l'abstraction théorique, mais totalement paumé devant la pratique concrète la plupart du temps, mon choix du camp dans lequel je peux être acteur n'est que très influencé ^^ Je me contente donc bien souvent d'apprécier l'existence, même sans exemple, d'autant que je trouve toujours les preuves d'existence non-constructives assez... fascinantes (parce qu'il faut une sacrée vue de l'esprit pour manipuler parfois rien et en avoir l'idée). Le tout est de savoir rester ouvert aux bizarreries de chaque perception, car la mathématique n'est après tout pas une histoire de vérités mais une histoire d'implications ;) Tiens, comme j'aime bien parler en images, j'allais compléter de manière simpliste : "Le biologiste parle le langage de la nature, le mathématicien parle le langage mathématique, le physicien essaie de traduire." Mais, ça me semble bien plus complexe après coup : il y a d'autres langages, d'autres disciplines qui traduisent (dont les mathématiques elles-mêmes) et tant de tournures encore intraduisibles. Du coup, je serais intéressé d'avoir quelques avis là-dessus :)

[@AnimaVictim]

Je vais chipoter, mais la question de la démonstration de l'infinitude des nombres premiers n'en a pas exhibé un nouveau : En effet, si 2*3*4*5*...*p +1 est premier, c'est bon, on en a construit un. S'il n'est pas premier, il a un diviseur premier q qui est nécessairement différent de 2,3....p à cause du lemme de Gauss. Donc q > p. La démonstration est faite. Mais on n'a pas exhibé q, on a juste prouvé son existence. Je ne vois donc pas en quoi cette démonstration est constructiviste... Ou alors, j'ai raté quelque chose.

[@docallbatarrlillumine6973]

Bonne vidéo mais tu ne répond pas du tout à ta question !!! Je la reformule donc : Pour toi, les mathématiques sont un langage inventé par l'homme pour décrire l'univers ou forment-elle la structure sous-jacente de l'univers ? Autrement dit, n'importe quelles espèces intelligente dans l'Univers ( Si il en existe une autre ) pourrait retrouver les mêmes théorèmes et résultats scientifiques que nous ( on ne parle pas des lois physiques mais uniquement des maths. Ils connaîtraient forcement Pi mais aurait-t-ils la même trigo que nous par exemple ?

[@dryjeoneunieyo2009]

Traverser une droite sans la couper c'est impossible je ne comprends pas sauf ci elle n'a aucun point à cette endroit alors la courbe n'est pas continue

[@ence7846]

la preuve de l'infinité des nombres premiers que tu as donné n'est pas constructive, c'est une demonstration par l'absurde. on commence par supposer que l'ensemble des premiers est fini, ensuite on démontre que leur produit + 1 n'est divisible par aucun d'entre eux et donc que celui ci est premier car divisible par aucun autre premier (théorème fondamental de l'arithmétique) or si on prend 30031 = 2*3*5*7*11*13 + 1 celui-ci est divisible par 59 et n'est donc pas premier.

[@adissounegus-nagast2640]

8:30

[@mathieuaurousseau100]

Je viens de penser à un truc, dans la preuve par l'absurde, on dit "on a A, si on n'avait non(B) alors on aurait non(A), or on a A donc on a non(non(B))=B", en faisant ça on utilise pas seulement qu'on a forcément B ou non(B), on utilise aussi que l'on a forcément A XOR non(A), le qui est vrai si et seulement si le système d'axiome est cohérent, et qui donc est indécidable dès que le second théorème d’incomplétude de Gödel est vrai, ça ne pause pas de problème?

[@zurgl9826]

Attention, l'élimination de la double négation n'est pas un raisonnement constructif. Et donc on a pas, en logique intuitionniste, non(non(B)) = B. Pourquoi ? Je ne sais pas, faut creuser. Dans sa vidéo il parle que du tiers exclus mais en réalité on perd plus que ça.

[@mathieuaurousseau100]

Yax Zurgl En fait, je disais qu'il me semble y avoir un problème avant la partie non(non(B)) = B :) Et puis, non(non(B)) = B ce n'est pas justement une conséquence le principe du tiers exclu?

[@zurgl9826]

Le tiers exclus est un théorème de la logique classique qui se déduit à l'aide de l'élimination de la double négation. La non élimination de la double négation en logique intuitionniste est une conséquence de la nouvelle sémantique du symbole. En logique classique non(A) signifie A est faux. En logique intuitionniste non(A) signifie A est contradictoire.

[@mathieuaurousseau100]

Yax Zurgl Ok, et comme "A est vrai" veut dire "A est démontrable", il y comme troisième possibilité "A est indécidable".

[@zurgl9826]

Oui cette logique possède une modalité en plus que la logique classique. De ce point vue il s'agit d'une extension modale de la première. Et l'un des prix à payer est la perte du principe du tiers exclus. L'avantage est que nombre de paradoxe prennent la porte et que godel nous fait désormais plus peur.

[@otpkotorono2742]

Pourquoi l'axiome du choix est si problématique ? Je veux dire cette axiome à des concequances qui contredisent l'intuition mais en math beaucoup de chose sont loin d'être intuitive mais le deviens virtuellement au bout d'un moment .

[@le_science4all]

Pour l'intuitioniste, le problème est qu'il n'est pas constructif. Il affirme l'existence d'un objet, mais pas d'algorithme pour le construire.

[@otpkotorono2742]

Science4All je vois ton point de vue mais je trouve que exclure les preuve qui ne peut ce construire sa restreint le champ des possibilités enfin je ne suis pas un très bon matheux PS j'adore tes vidéos . 😀

[@irenemeunier6686]

Très intéressant. Mais bon, je crois que ça en dégoûterait plus d'un si l'on ne nous enseignait que les maths d'un point de vue intuitionniste... Il faut de tout pour faire un monde mathématique :). (D'ailleurs la preuve en une ligne de l'infinité de nombres premiers est magnifique... Pourquoi s'en priver ?)

[@le_science4all]

Je pense que la preuve par l'absurde trouble beaucoup d'élèves... (à juste titre :P) Après, je ne rejette pas l'élégance des mathématiques classiques ;)

[@irenemeunier6686]

Oui sans doute, mais enfin je pensais plutôt aux étudiants "à la française" ayant déjà quelques affinités avec les mathématiques ^-^ Comme moi qui suis en L3 maths par exemple. Je trouve souvent les preuves constructives plutôt fastidieuses, bien plus que celles par l'absurde... Mais c'est lié à une longue éducation qui nous habitue moins à ce genre de preuves... C'est pourquoi ta vidéo est importante :) Merci pour tout ce travail, cela donne du recul et montre qu'il n'y a pas qu'une façon d'enseigner les mathématiques...

[@DanielBWilliams]

C'est marrant comme je suis pas d'accord sur la philosophie du constructivisme Je me considère comme constructiviste, et algébriste, et pas forcément friand des mathématiques appliquées. J'aurais même plutôt tendance à considérer ceux qui font des maths appliquées comme des platoniciens, qui considèrent que les mathématiques énoncent des faits. Après, c'est juste mon avis haha.

[@le_science4all]

J'avoue avoir uniquement décrit mon ressenti, mais il faudrait faire une étude empirique ^^ Après, dans ma tête, les plus platoniciens sont les théoriciens des nombres et les chercheurs en EDP (mais du côté plus "pur", e.g. prouver que Navier-Stokes a des solutions régulières). Mais du coup, j'imagine qu'en bon constructiviste, tu rejettes la clôture algébrique des rationnels dont nos amis théoriciens des nombres aiment tant parler...

[@math-sup]

En fait il y a un problème sur la définition des termes. Platonicien et constructiviste ne sont pas des termes antinomiques. Un Platonicien pense qu'il y a un monde des idées séparé du monde matériel. Il n'y a alors aucune contradiction à être à la fois Platonicien et constructiviste en même temps, car un constructiviste peut très bien considérer que ses idées existent indépendamment du monde matériel. A l'inverse un non Platonicien peut être un non constructiviste car comme il considère que toute idée émane d'une matière pensante, le principe du tiers-exclu ou l'axiome du choix étant des idées, il peut très bien les accepter. +Science4All il me semble qu'il faudrait repenser vos catégories, car moi qui suis non Platonicien et qui ne refuse pas de travailler avec le tiers-exclu. Je me sens exclu de vos catégories!! ;-)

[@zurgl9826]

La clôture algébrique des rationnels ? Vous voulez dire que les nombres complexes n'existent pas chez les constructiviste ? Là cela devient fort embêtant. Je pensais plutôt a un résultat plus général, le théorème de Steinitz qui fait appel à l'axiome du choix pour prouver son énoncé, à savoir que tout corps admet une clôture algébrique.

[@zurgl9826]

Dans mon oreillette on vient de m'apprendre que le corps des réels calculable est algébriquement clos.

[@mirijason]

J'ai du mal à m'identifier avec un de ces deux points de vue mathématiques. Pour moi, les mathématiques sont une construction logique. Au final, vrai ou faux n'a de sens que dans la cohérence de l'édifice établit. Les mathématiques n'ont pas d'existence absolue. A partir d'un ensemble d'axiomes, il existe un ensemble de théorèmes vrais, ou compatibles avec les axiomes donnés, un ensemble des théorèmes faux, ou incompatibles, et un ensemble de théorèmes indécidables. Pour chaque théorème indécidable, il existe un point de branchement dans l'espace des mathématiques qui divise cet espace en deux. Le premier ou le théorème est vrai et donne naissance à un nouvel espace mathématique et le second ou le théorème est faux et donne naissance à un autre espace mathématique. En conséquence, toute affirmation est vrai ou fausse, il n'y a pas de troisième point de vue. Le concept de ni vrai ni faux est résolu en introduisant différentes formes de mathématiques ou les choses sont vraies dans un cadre et fausses dans un autre, les deux points de vue ne pouvant être envisagé simultanément. Dans l'idéal, je pense également que pouvoir construire un objet dont on a déterminé l'existence est intéressant mais que si cela s'avère impossible, ce n'est pas important. L'existence d'un objet, dans un cadre donné, se suffit à elle-même. Peu importe si cela est utilisable pour d'autres preuves. Ai-je donc un point de vue plutôt platonicien ou intuitionniste?

[@le_science4all]

"pouvoir construire un objet dont on a déterminé l'existence est intéressant mais que si cela s'avère impossible, ce n'est pas important." => espèce de ?$#$%$?&* de platoniciens :)

[@mirijason]

Donc on peut être platonicien sans admettre l'existence absolue mais seulement relative des mathématiques? Ca me va.

[@chkone007]

Je suis ingénieur en informatique et Platonicien est-ce grave ? :D

[@zurgl9826]

Non, parce que Q est dense dans R

[@chkone007]

En informatique on est (par defaut) ni dans IQ ni dans IR ni dans IN ni dans IZ :( Soit dans un sous ensemble de IN ou IZ pour les entiers. Soit un truc bizarre où plus on est loin de 0 moins on est précis pour les "nombres flottants" (à virgule): fr.wikipedia.org/wiki/IEEE_754 (

[@zurgl9826]

Bien entendu la non finitude des entiers pose des problèmes physique. Cependant cette non finitude se code très bien avec un algorithme très simple, bien qu'il ne se termine pas. Par ailleurs, on peut effectuer toutes les opérations de bases sur les nombres rationnels sans avoir à utiliser le type "flottant", et ainsi sans avoir à se retrouver avec des erreurs d'approximations. Pour cela il nous suffit de définir le type rationnel comme une paire d'entier, premier entre eux (l'algorithme d'Euclide pouvant être vue comme une suite décroissante minorée, il converge toujours). Le calcul de leurs division n'est pas nécessaire, leurs écritures décimal non plus. Cette écriture sous forme de couple contient déjà toute l'information nécessaire et suffisante à leur manipulations algébriques.

[@chkone007]

Pour les entiers il existe des stratégies de type "prend la quantité nécessaire pour représenter ton nombre", selon les opérations et le format cela grossie plus ou moins vite. Genre 2^65536 - 1 c'est facile à représenter sous cette forme (arbre ou autre) mais en binaire c'est un peu triste... Pour les floattant, Je sais bien d'où le "Par defaut" :) Je connais ce genre de stratégie néanmoins je n'ai jamais vu une implémentation de ces derniers en pratique (même dans Mathematica, Matlab... je parle d'utilisation dans un cas réel d’ingénierie par exemple). Je les ai toujours vu comme des toys de numéricien non pratique. Si on fait un algorithme simple de type "Gradient Descente" en fraction et valeur exacte après seulement quelque itération c'est la fin du monde, ton/tes PC pleurs, tu as déjà rempli ta RAM ça n'avance plus, chaque pas prend des dizaines de seconde et là on abandonne cette idée et on pleure de tristesse :) Il y a d'autre stratégie cool comme le fait d'utiliser au lieu des bases 2 des bases phi (nombre d'or) et là c'est badass parce qu'il n'y a pas de représentation unique pour un nombre en base phi (en effet phi^2 = phi + 1 ;) )

[@zurgl9826]

Certains logiciels de calculs formels/symboliques, souvent à visé pédagogique, par exemple sur les polynômes, sont bien une implémentation pratique de ce type d'approche. Après je te rejoint totalement sur l'inefficacité latente de cette approche en calcul numérique. C'est pas pour rien que l'on accepte le calcul flottant malgré ces imperfections (bien que de gros progrès aient vues le jours (j'avais lu un papier qui disait en gros qu'il fallait plus trop se tracasser avec cela). Pour l'écriture en base phi, j'apprend quelque chose, je ne savais pas que l'on s'autorisait à écrire des nombres en base irrationnel. En effet ça doit être sacrément badass. Pour revenir à ta question initiale, bien que l'informatique soit un monde parfaitement discret. La densité de IQ dans IR nous assure que l'on pourra toujours trouver une approximation satisfaisante, à l'aide d'un rationnel, d'un calcul effectué dans l'idéalité platonicienne des nombres réels. Par exemple, il y a en recherche opérationnelle des problèmes qui sont de type NP uniquement parce que leurs inconnues sont des d'entiers. Si on reformule le problème en acceptant que les inconnues soient des réels alors on trouve un algorithme s’exécutant en temps polynomiale. Cette solution obtenue dans le corps des réels peut alors être utilisée pour fournir une solution au problème initiale. Cela aussi c'est badass.

[@camilbelhadjoudja5127]

je ne comprends pas quelque chose, le point est défini comme étant un objet sans dimension, donc sans longueur, largeur,,, et la droite est définie comme étant une infinité de points, qu'elle est une longueur sans largeur, mais comment une infinité de points qui n'ont pas de longueur peuvent former une droite qui a une longueur ?

[@zurgl9826]

La droite n'est pas une simple infinité de point. La droite est continue.

[@GrothenDitQue]

La droite *est* une simple infinité de points. Mais je pense que ce que tu veux dire +Yax Zurgl, c'est que c'en est une infinité indénombrable (il y en a plus que d'entiers par exemple), et autant que de réels; on dit qu'elle a "la puissance du continu" (ce qui n'a rien à voir avec une quelconque notion topologique de continuité fonctionnelle ou quoi!).Pour mieux te répondre encore +Camil, le traitement mathématique des notions de "longueur", puis même "aire", "volume"... fait l'objet d'un domaine appelé Théorie de la Mesure, et il existe aisément des mesures sur la droite réelle, dont notablement la plus intuitive de toutes (la "mesure de Lebesgue" µ) qui généralise la notion usuelle de longueur d'un intervalle:µ([a;b])=b-a,pour lesquelles la mesure d'un singleton {A}, d'un "point", est nulle, mais comme écrit juste avant celle d'intervalles non réduits à un point est non nulle. :)

[@mathieuaurousseau100]

En gros la longueur d'un infinité d'objet n'est pas forcément la somme de leurs longueurs, et c'est le cas pour un segment.

[@GrothenDitQue]

C'est très bien résumé mathieu merci j'ai été quelque peu expensif, mais voilà cette propriété n'est vraie que pour un nombre dénombrable d'objets, c'est-à-dire fini ou en nombre égal à celui d'entiers.

[@zurgl9826]

Tu m'as compris, je sous entendais que l'ensemble des points définissant une droite à "la puissance du continu", soit la même cardinalité que l'ensemble des réels. Quant à ton propos stipulant que doter un ensemble de la puissance du continu ne lui confère pas de propriété topologique intéressante, permet moi d'en douter. Si j'ai le courage j'irai jeter un œil dans le bouquin que j'avais en tête lorsque j'ai produit cette réponse.

[@esteban6616]

Un petit truc que j'ai du mal a comprendre : G : "Le théorème G n'a pas de preuve" Puis tu démontres G C'est pas un peu paradoxal ?

[@DanielBWilliams]

Le fait que G n'ait pas de preuve, c'est au sein d'un système d'axiomes. Le fait qu'on sache démontrer G, c'est au sein d'un autre système d'axiomes, qui englobe le premier.

[@mathieuaurousseau100]

+perimgui j'ai du mal à voir quel axiome il a rajouté, est-ce "le système d'axiome précédent est cohérent"?

[@arfason]

Pour moi le raisonnement sur T n'est pas bon. Pour faire ce raisonnement, il faut supposer que T est composé d'un nombre fini de nombre. Hors ce n'est pas le cas non ? Donc la somme de ces nombres ait donc un nombre de décimale infinie. La preuve ne fonctionne alors plus.

[@chamb6509]

En fait les "intuitionnistes" sont surtout des utilitaristes, non ? Vu que le but c'est de pouvoir se servir des trucs "en vrai"...

[@le_science4all]

Dans le prochain épisode, on va explorer les conséquences des maths intuitionnistes. Beaucoup vont trouver tout ça répugnant. Maismoi, je trouve les maths intuitionnistes très séduisantes...

[@chamb6509]

C'est sur que c'est pas parce que c'est utile que c'est forcément nul Après j'y connais rien j'attends de voir...

[@chamb6509]

bon comme certains l'on dit on peut plus comparer systématiquement les réels... c'est très bizarre...

[@syvisaur7735]

Comment on sait que ln 2 est irrationnel ? Comment on sait que sqrt(2)^sqrt(2) est irrationnel ? Oo

[@aljalaal]

si on prouve qu'une proposition est soit vraie soit fausse, la démontrer par l'absurde devient intuitionniste n'est-pas ?

[@zurgl9826]

Oui, cela serait juste mais à quoi bon (dans la mesure on l'on a déjà une preuve de la proposition) ? A pars à prouver que tu as compris que la logique intuitionniste est une version affaiblie de la logique classique. Dans certains cas particulier, comme celui que tu exhibes, on peut faire ce raisonnement, mais de manière générale on le peut pas. Malheureusement certaines preuves de résultats mathématiques reposent, uniquement, sur un raisonnement faisant appel à des propriétés logiques non admissible en logique intuitionniste. On dit que ces raisonnements sont non constructifs.

[@yannalaplageable]

Bahleck ? la ville turkmène ?

[@Grakikof]

Tout ca c'est de la politique. Concretement ca change quoi ? Parce que la valeur des diférentes règles et l'efficacité des outils c'est des questions qui se posent beaucoup dans la société et au final tout le monde finit par faire la meme chose en utilisant des outils et des justifications différente. Il ne manque plus qu'une vidéo sur l'éthique et on aura l'air malin. En plus si les maths doivent se cantoner au démontrable ou à l'inutile, a quoi ca sert tout ca, tous ces efforts d'abstraction ? Bonne idée tai, on a qu'a faire abstraction du débat et passer à la suite

[@fastpricklysteve7935]

Here's the English comment your looking for.

[@guillaumelecam6257]

c'est bizarre tu parles d'un certain bourbaki en début de vidéo et je ne trouve nulle part une biographie sur internet ou autre ni date de naissance ni rien du tout, quelqu'un a des infos?

[@mohammedkhalili1154]

Bien bien donc vous êtes intuitionniste.. Vous aussi vous trouvez que si t'as des paires infinis (acceptons qu'il y a des ensembles infinis d'abord) de chaussettes tu serais pas capable de choisir une de chaque paire.. ☺️ oh mince donc tu veux pas jouer a dieu.. Bravo, Juste un commentaire pr la courbe et la droite ca doit pas être bizarre, prenez la courbe de f:x__>x^3-8x et verrons si qlq un peut nous 'mettre le doigt' sur combien de fois elle traverse l'axe des abscisses !!

[@zurgl9826]

Les solutions de votre cubique sont des nombres algébriques. Or les nombres algébriques sont tous calculable. On aura donc, aussi bien en mathématique constructive qu'en mathématiques classique, exactement trois points d'intersections. Bien entendu je ne pourrais user de mon gros doigts disgracieux pour vous montrer l'emplacement exact du point. De toute manière il y aura rien à montrer car la courbe est "physiquement" non représentable suivant vos standards implicite. Pour autant avec un stylo, il m'est possible de construire ces nombres (même les deux irrationnels qui vous irritent tant) à l'aide d'un nombre fini de symbole, dont le sens et la construction sont connue et parfaitement défini. Si vous ne voulez pas les voir, ou les considérer comme des nombres, cela n'engage que vous.

[@mohammedkhalili1154]

Je ne sais pas exactement comment vs répondre, je n'ai pas étudié correctement cette théorie encore, mais je pense que cette courbe ne le rencontre que sur le seul point 0, les nombres réels n'existent pas et on essaie tjrs de modéliser le continium pour expliquer pk en géométrie ça se 'voit' qu'ils se croisent. Moi je comprends qu'on peut zoomer sur ce lieu pour enfin découvrir que pour n'importe quel résolution on peut atteindre (parce que limité par nos moyens de calcul) on trouve tjrs qu'ils se croisent pas, on aurait tendance à prolonger ces points rationnels pour les forcer à se croiser mais..

[@mohammedkhalili1154]

Finalement ce que vous dessinez par votre stylo n'est qu'une courbe approximative très rationnelle, qu'on a pas besoin de nombres réels pour l'expliquer, ça vous gène pas de dessiner un nombre rationnel et te dire qu'il ne l'est pas ?

[@guillaumelecam6257]

les maths existe naturellement et sont découvertes et l'homme ne fait qu'inventer des moyens de les comprendre....

[@Kolinnor]

1:37 Quelqu'un peut m'expliquer ce passage ? Je ne comprends pas trop pourquoi on peut rejeter la preuve par l'absurde

[@zurgl9826]

Ce que j'en ai compris est que la preuve par l'absurde, repose sur la loi du tiers exclu. Or cette loi logique n'est pas valable en logique intuitionniste. Il ne dit pas qu'il faut rejeter le raisonnement par l'absurde, il dit que ce raisonnement est liée à la logique classique, mais en logique intuitionniste il n'est plus valable et donc les preuves par l'absurdes ne peuvent être produites. Enfin pour motiver son choix scientifique, celui de penser comme un intuitionniste, il montre que nombre de bizarreries mathématiques disparaissent si on adopte la logique intuitionniste en lieu et place de la logique classique. Bien qu'il avoue que de nouvelles bizarreries apparaissent aussitôt.

[@DanielBWilliams]

Voici un petit rappel: Si on dispose d'une implication A==>B Alors on appelle sa contraposée l'implication non[B] ==> non[A]. Une implication et sa contraposée son équivalentes (nous allons y revenir) Maintenant, qu'est-ce qu'une preuve par l’absurde ? C'est une utilisation astucieuse de la contraposée. Imaginons que nous voulions montrer que B est vrai. Alors on peut s'appuyer sur un énoncé A qui, on le sait par avance, est vrai. Et du coup, si on montre que non[B] ==> non[A], alors on aura montré, par équivalence, que A==>B, et comme A est vrai, bah on alors montré que B était vrai. Ainsi, quand on fait une preuve par l'absurde, on montre non[B]==>non[A]: on dit bien "supposons par l'absurde que B soit faux", on par donc dans l'hypothèse que non[B] est vrai, et on montre que cela implique non[A]. Et ce que l'on cache à travers "Donc non[A]. Or, A est vrai, absurdité.", c'est l'équivalence avec A==>B. Maintenant, en quoi ne pas considérer le principe du tiers exclu, c'est réfuter le raisonnement par l'absurde ? Bah cela amène à ne pas considérer comme équivalente une implication et sa contraposée. De ce fait, on a plus le droit d'utiliser une raisonnement par l'absurde puisqu'a priori il n'y a pas de raison qu'il soit vrai.

[@Kolinnor]

Super mec je comprends alors Mais existe-t-il des exemples où on sait que la contraposée est fausse ? Enfin je veux dire par là que c'est complètement intuitif cette histoire de "A ==> B" ==> " non[B]==>non[A]" je vois pas comment on peut réfuter ça Navré si j'ai écorché les maths mais je suis pas très bon et en plus il est tard :D

[@Kolinnor]

D'accord merci pour cette vision assez claire

[@mathieuaurousseau100]

+Obscu Si on connaissait des exemples où la propriété est vrai alors que la contraposé est fausse, les intuitionnistes auraient déjà gagner le débat :) Au passage pour la preuve par l'absurde ce n'est pas "A ==> B" ==> " non[B]==>non[A]" mais " non[B]==>non[A]" ==> " non[B]==>non[A]" que l'on utilise.

[@MegaPouni]

La logique est en dehors des mathématiques. Logique intuitionniste est une construction conceptuelle incohérente. L'erreur des mathématiciens peu versés dans l'épistémologie vient du fait que la logique, comme toute science analytique (ce que ne sont pas les mathématiques) est modélisable. Les principes du tiers exclu et du choix sont deux victimes récurrentes de cette erreur. De même la géométrie classique, quoique synthétique, est juste en dehors des mathématiques, et est discursivement modélisable en tant que sœur par une théorie mathématique (cette théorie que les mathématiciens ont nommée euclidienne), mais la confusion des dites géométries, comme celle des dites logiques, vient de la confusion entre des modèles avec un sujet étudié, et du nommage inadéquate de plusieurs théories avec le nom d'UN des sujets modélisés. Ce qui fait que bien des théories mathématiques dites de "logique" de tel ou tel type sont en général ne concernent pas la logique mais ne sont que des construction mathématiques, qui servent ou non à modéliser comme toute théorie mathématique. De plus, le fait que la théorie de "logique" dite du premier ordre soit une théorie très incomplète de la logique est un facteur de confusion supplémentaire. Problème que la géométrie pure (hors mathématiques) n'a pas, car elle trouve dans sa modélisation dite "euclidienne" une sorte d'aboutissement. Au final, les mathématiciens qui se veulent constructivistes ont un rapport étroit à l'ingénieur possible et à l'application constructive des théories, qui fait que certains théorèmes mathématiques ne leur suffisent pas et cherchent simplement des théorèmes plus serrés, plus forts, qui font plus qu'édicter une règle qui se borne à une validation logique négative (négative comme toute validation logique, ce qui fait l'intérêt de la logique), mais qui, mieux encore, fournit des objets "ingénieurables", ce qui déjà est une sortie partielle des mathématiques. Très bien, mais penser que les mathématiques entières doivent se plier à cela systématiquement, c'est mélanger plusieurs sciences en ayant un concept flou de ce qu'est une modélisation et de ce que sont les sciences de l'ingénieur et pire de ce que sont les sciences analytiques rationnelles (dont l'épistémologie et la logique font partie).

[@arandomcube3540]

Désolé de déterrer ce sujet qui DATE. Mais pourriez-vous partager des sources concernant les idées et vocabulaire de votre commentaire, s'il-vous-plaît ?

[@MegaPouni]

@@arandomcube3540 il ne faut pas se borner à copier, il est bon de réfléchir et produire. Que les mathématiques soient une science synthétique c'est évident, et c'est le principe d'un modèle. Que la logique soit analytique c'est évident puisque ce sont les règles qui décrivent la validité des pensées. Donc rien que là vous avez une évidence de l'exclusion l'une l'autre des mathématiques et de la logique.

[@MegaPouni]

@@arandomcube3540 il doit y avoir une vidéo un peu ardue sur la chaîne de l'école du courtil, il y a 2 ans.

[@arandomcube3540]

@@MegaPouni Il n'y a qu'une seule vidéo sur la chaîne que vous m'avez conseillé, je ne sais pas si c'est normal. Sinon, je me permets cette remarque, directe mais nécessaire. Vous avez considéré que je n'arrivais pas à comprendre pourquoi mathématiques ou logique rentrent sont analytiques ou synthétique, alors que c'est justement la définition de ces cases que je ne parvenais pas à trouver. Je pourrais " ne pas me borner à copier" et "réfléchir et produire" autant que je le veux, pour limiter le risque d'un dialogue de sourd, il me faudrait quand même des définitions claires. Ainsi, mon problème n'était pas un problème de raisonnement, mais un problème de sémantique. Je vous encourage à vous inquiéter de cette éventualité à l'avenir, plutôt que de botter en touche avec ce qui pourrait très raisonnablement être pris pour de la condescendance. Sans rancune. Revenons à nos moutons. Je ne suis pas intuitionniste/constructiviste, et encore moins platonicien. Je trouve que ces deux courants de pensée sont à côté de la plaque, notamment parce qu'ils tentent, au sujet des mathématiques, de répondre essentiellement à la question "quoi" avant de songer éventuellement aux questions "comment" et encore moins "pourquoi". Une recette qui, par expérience, se révèle redoutablement efficace pour parler beaucoup sans trop comprendre ce qu'on dit. J'étais donc curieux de voir un petit peu plus de ce que vous expliquiez dans votre premier commentaire, espérant que cela m'ouvre des portes. C'est un point de vue que j'aurai du mal à étayer, mais je suis resté assez insensible à la plupart des idées présentées dans la vidéo. J'y ai vu la trace de schémas de pensée vieillissants, qui consistent à fabriquer des boîtes dans lesquelles on range nos objets de façon exclusive. Ces méthodes sont historiquement assez universelles en sciences, d'une fécondité scientifique et philosophique très variable, mais, franchement faiblissante (*). J'étudie encore la question, mais il me semble que sur certaines questions dont celle de la nature des mathématiques, elles ne permettront pas vraiment de développer de réponses enrichissantes. Je laisse donc ce genre de structures de pensée aux autres, elles ne m'intéressent pas vraiment ; du moins pas en tant que point de départ d'une réflexion. Je ne les rejette pas catégoriquement. Merci quand même pour le partage, puisqu'il m'aura donné quelques idées malgré tout.