Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2

Фундаментальные концепции в Линейной Алгебре: span, линейные комбинации, линейная зависимость и базисы - все они имеют в центре на удивление важную операцию - Масштабирование нескольких векторов и их сложение.
Оригинал: 3b1b.co/eola
Подобные видео финансируются сообществом через Patreon.
Там вы сможете получить доступ к новым видео раньше всех.
3b1b.co/support
------------------
3blue1brown это канал с анимированной математикой, во всех смыслах слова "Анимированной". Это комбинация Математики и развлечения - в зависимости от Вашего настроения.
Если Вы первый на этом канале и хотите увидеть больше, начните с плейлиста: : goo.gl/WmnCQZ
Другие ссылки:
Website: www.3blue1brown.com
Twitter: / 3blue1brown
Patreon: / 3blue1brown
Facebook: / 3blue1brown
Reddit: / 3blue1brown

[@arlask3373]

Наконец-то, после кучи книг и академических лекций, информация в голове укладывается в правильном порядке. Спасибо!!!👍👍👍

[@Disorrder]

До сих пор помню свою самую первую пару в универе) То была математика, препод опоздал минут на 10, и едва пересёк порог, даже не поздоровавшись и не представившись, грозно воскликнул "Матрицы!". Все в тот момент поняли, что математика будет суровой :D

[@almazmukhamadyev7540]

А у нас первое занятие лин. алгебры началось с практики (по матрицам). Так совпало, что сначала была практика, а затем - лекция. Вот на практике мы все и офигели

[@shewaeger6049]

9:21 span - в данном случае глагол. Который переводится как "охватывает". И фраза будет "Базис векторного пространства - множество линейно-независимых векторов, которые охватывают все пространство". Я чуть голову не сломал)

[@nickname4770]

По-моему, в видео все-таки точнее переведено. Фраза "вектора, которые охватывают пространство" не определена математически точно, в то время как "span набора векторов" - это математический термин, который имеет четкое определение.

[@BYGUR]

Таки в этой фразе не "базис", а именно "линейная оболочка" - что тоже было озвучено. Жаль, что после этого перешли на английский вариант. Если еще точнее, то "Линейная оболочка, натянутая на базис линейного n-мерного пространства".

[@anastasiashevchuk3707]

Я раньше смотрела 3Blue1Brown на английском, но на русском воспринимается намного лучше, большое спасибо!

[@PianoSurRia]

Ответ на загадку. Взяв любую комбинацию любых 3х векторов, которые не являются линейно зависимыми, можно указать на любую точку в пространстве используюя сложение и умножение на скаляр этих самых любых трёх векторов. Поэтому не важно, будут ли это только лишь попарно перпендикулярные (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), или вообще любые, но не застревающие в линейной зависимости. И! Если бы опредение было только в первой указанной формулировке, это бы ограничило множество всех возможножных векторов, с помощью которых можно построить всё пространство целиком.

[@404Negative]

вопрос был риторический...

[@antonkonokh101]

В русской литературе вместо "спэн" используют понятие "линейная оболочка"

[@user-rv2su6vw6o]

Или векторное пространство

[@ramg4699]

@@user-rv2su6vw6o нет, это разные понятия

[@qurockdoolaw]

@@user-rv2su6vw6o если рассматривать понятия как матрёшку, то векторное пространство - это "старшая матрёшка" по отношению к линейной оболочке

[@whuhyt5493]

@@user-rv2su6vw6o не совсем, правильнее было бы сказать, что подпространство с базисом выбранным из элементов, на которые натянута линейная оболочка

[@vasyamalko937]

Российской*

[@anastasiaanastasia5274]

Какие же классные видео (и их перевод) с наглядным представлением в пространстве. Сразу гораздо понятнее, чем в универе.

[@user-rq6tm5iw2p]

Боже мой, как же всё теперь стало понятнее... ОГРОМНОЕ спасибо!

[@pseudolearner.2547]

Большое спасибо за перевод такого доступного объяснения. Для меня как первокурсника данное видео просто must have!

[@user-lv6kn7yh4c]

Спасибо за превосходный контент! Очень качественно.)

[@Vlad-fn6si]

все понятно!! сделай еще логику, графы, мат статистика и вероятности! спасибо!

[@webdev56]

Сделайте всю математику!))

[@alntruisrtbredford]

честно сказать, к концу видео, когда было рассказано про линейную независимость и ее наглядное геометрическое представление, я восклинул: "Вау!" . Мне было известно и до этого что есть линейная зависимость/независимость, но полной картины не было. авторам материала и переводчику нужно памятник поставить!

[@user-uc8xk7ri5b]

Спасибо большое за перевод!

[@hahumbra]

Спасибо за труд. Важные знания для меня как разраба на анриле, где любые перемещения сущностей являются операцией над их векторами

[@glebtutik8312]

Отличная работа с переводом. Спасибо

[@Eg_Avr]

Спасибо за то что делаете! Очень полезный канал )

[@ducbyk8169]

Огромное спасибо , это намного понятнее , чем на лекции.

[@dizdiz3061]

очень крутой контент , просто супер

[@BYGUR]

Большое спасибо за перевод. Понимаю, что всю серию роликов уже не изменить, но для подготовки студентов-математиков было бы удобнее использовать устоявшуюся отечественную терминологию: не "хвост" вектора, а "начало", не "спэн", а таки линейная оболочка (что тоже было озвучено). В любом случае, что автор оригинала, что автор перевода - большие молодцы. P.S. Ну и не "двуразмерные", а "двумерные". Отечественная база математики - достаточно мощная и старая. Поэтому имеет свои устойчивые обозначения (которые иногда переводились на английский именно с русского).

[@user-wh7or8oz4j]

Это прекрасно! Смотрю ваши видео и курсы da vinci. Потом книги, заинтересовала эта тема.

[@arkadiyshuvaev]

Нашел канал da vinci. Ёшки-матрёшки, это оказался русско-казахско-английский контент :) Пишут на доске по-русски, говорят по-английски :) Как вы смотрите, ума не приложу :)

[@bxneslxrd2224]

спасибо большое за перевод , ты мне жизнь спас

[@Freakowens677]

офигенный перевод , спасибо вам!!!

[@user-zk3ve8lc8h]

Спасибо за проделанную работу!

[@pm6778]

Спасибо автор, ты лучший❤

[@kirillkir6268]

Выбираешь, например, 3 линейно независимых вектора, и при их помощи можно описать любой вектор в пространстве, точка отсчета.

[@andreyrozanov1107]

Спасибо за проделанную работу. Присоединяюсь к упомянутым замечаниям по переводу и добавлю от себя: в слове двумерный нет буквы х.

[@user-qp9ob9fd7j]

Математик МГУ говорит, что его лучшие видео это про высшую математику, а сам продолжает прогонять тесты ЕГЭ (как будто это хоть сколько ни будь важно для реальной математики!) и тянуть по копеечке со школьников за консультации. Лайк за нормальный контент.

[@Wolfgang_Mittermeier]

А какой математик?

[@barrelbot6609]

@@Wolfgang_Mittermeier МГУ

[@user-zv7vo9iw2n]

это его псевдоним, мужик на хитмана похожий@@Wolfgang_Mittermeier

[@user-vl8he2yr5c]

спасибо

[@vladimirsery2834]

Базис пространства - это тот самый минимум векторов, который определяет все данное пространство.

[@garvett6660]

Всмысле «минимум»? Как в конечномерном линейном пространстве может быть минимальный набор линейно независимых векторов?

[@user-ud1ch3mi8l]

Попробую рассудить по поводу загадки: Если по определению базис - это набор линейно независимых векторов (это в лучшем случае), на этих БВ мы можем построить такой вектор, который был бы линейной комбинацией этих БВ, то есть БВ мы не можем выразить друг из друга, но некоторый вектор, построенный на этих векторах можно. Соответственно, если векторы можно умножать на скаляр и складывать, тем самым образуя новые вектора, то пространство (плоскость) построенное на этих векторах будем линейной оболочкой (span) этого пространства.

[@user-dx4ro3ym2b]

что за сайты используются в видео ?

[@megabyte_ga]

Спасибо за видео! Очень интересно и полезно, но не могу понять один момент. Не могу понять, про какую прямую идет речь в видео, вот здесь: kzbin.info/www/bejne/mXzFkmaifNmXfac «Если вы зафиксируете один из скаляров и позволите другому свободно меняться, то кончик результирующего вектора рисует прямую линию…» Насколько я понимаю, если зафиксировать один из скаляров, а второй меняется, то: 1) если не изменять длину второго скаляра, но дать ему возможность вращаться - он опишет круг 2) если второй скаляр может изменять свою длину, но не вращается, то, он превращается в прямую, которой он принадлежит: *про эту прямую идет речь?*, 3) а если второй скаляр может изменять и длину, и направление, то уже в его досягаемости любая точка данной плоскости

[@kotobazza]

Скаляр - это лишь число, на которое мы умножаем векторы, которые описывают результирующий. Это не сам вектор. Если зафиксировать один из скаляров, то вектор, который умножается на этот скаляр "встанет" в пространстве, и никак не будет изменяться. Второй вектор в таком случае будет менять только свою длину и (если умножение будет на отрицательный скаляр) и направление в пределах одной линии. Конец результирующего вектора, в таком случае, будет бегать либо по параллельной изменяющемуся вектору линии, либо по линии, которую создаёт конец этого изменяющегося вектора (уже зависит от того, скаляр какого вектора был заморожен).

[@user-pe5mo5co4x]

Для меня "span" - это тег в HTML ограничивающий часть строки.))) (15.08.2020)

[@volodyaDikiy]

появилось новое представление об этом слове

[@RoloFacts]

Спен - это набор всех возможных линейных комбинаций для двух или трех векторов.

[@voron_aka_chon]

Почему нельзя было остаться в базисных координатах (i, j)? Зачем вводить дополнительные (u,w)?

[@mikurrey416]

Тоже не понял. Возможно, это упущение авторов оригинала

[@just-igor]

Thanks

[@MorozowPavlik]

а какая программа используется для демонстрации видео?

[@alllkoy]

А если как базис взять два вектора между которыми угол < 90 градусов? То сможем все пространство описать(речь идет про R^2 пространство)?

[@AT_geometr]

Да, конечно, подойдёт любой угол (кроме нуля). Можете прямо на листочке нарисовать такой базис, затем брать любую точку плоскости и добираться до неё с помощью базисных векторов, меняя их длины и складывая эти вектора.

[@northwest569]

Я правильно понимаю, что когда мы определяем ранг матрицы, мы по сути определяем span, который позволяют задать вектора, составляющие эту матрицу?

[@user-ff3vp1ut4i]

Ранг это базис векторов. Базис векторов задают спэн

[@PavelPontus]

понял что у каждой оси (характеристики) есть шаг - единичный вектор, который является размерностью данной оси (характеристики). понял что любую проекцию на ось (на характеристику вектора) можно выразить через произведение единичного/базисного вектора на скаляр. понял что единичный вектор это базисный вектор длинна которого равна единице. но не понял почему автор называет единичный вектор базисным. в чём тогда разница между базисным и единичным вектором? предполагаю что базис это атомарный вектор (самый маленький) не равный единице.

[@nickname4770]

У нас есть XY система координат, как ее называет автор. А именно Декартова система координат в плоскости. И в этой XY системе координат базисными векторами будут единичные вектора, каждый по своей оси. То есть единичный вектор - случай базиса для конкретной (XY) системы координат. Для других систем координат базисы тоже будут другими. Даже более того, мы можем взять вообще любые два вектора, не лежащие на одной прямой и не являющиеся нулями (каждый из них не равен нулю), один может быть невероятно мал (но отличен от нуля), а второй невероятно велик, в общем, можем взять как угодно, и такие вектора будут базисом какой-то своей системе координат, лежащей в плоскости.

[@sense3247]

Каждый единичный вектор может быть базисным, но не каждый базисный вектор может быть единичным. Например, есть двумерное пространство. В нем единичные векторы будут i и j. Численно не известно какими они будут. Может быть i = 1; j=1, а может i = 3; j = 8. Зависит от задачи. В общем случае, не важно каким числом они представлены, важно лишь знать, что они являются измерителями пространства. С помощью сложения (комбинации) и изменения масштаба (скалирования) этих единичных векторов i и j можем создать любой другой вектор этого пространства. Поэтому они являются базисными векторами помимо того, что являются единичными. Можно условиться, что пусть базисными будут вектора w и u. Пусть w = 2i, a u = -3j. w и u являются базисными векторами, но НЕ являются единичными.

[@ivekrok3730]

Всё понятно - в переводе сказано "это пространство" и не сделан упор (для начинающих), что это "Всё пространство"

[@kirigakurenosato.8544]

Я правильно понял, что любой вектор это в тоже время и линейная комбинация базисных векторов и скаляров, ранее представленных в виде координат x/y?

[@MrRastler]

Изначальный материал очень хороший, но перевод немного не понятен в отношении слова «Span». Span - это пространство, это же очевидно, дословный перевод - «диапазон, охват…». Итого «span» - линейное пространство.

[@Pripyat90]

Не путайте математические термины - линейное пространство и линейная оболочка. Это разные вещи, в данном видео span - линейная оболочка над каким то определённым линейным пространством! Перевод надо делать в соответствии с устоявшейся русской терминологией.

[@sense3247]

@@Pripyat90 Линейная оболочка может не совпадать с линейным пространством? В чем разница?

[@andreyrozanov1107]

@@sense3247 линейная оболочка двух неколлинеарных векторов в 3-мерном пространстве это плоскость. В данном случае и плоскость и 3-мерное пространство в которое она вложена - линейные пространства. Они не совпадают. То есть, линейная оболочка является линейным пространством, но она может не совпадать с другим линейным пространством большей размерности. Плоскость - линейное подпростратство 3-мерного пространства.

[@user-gv9dg4ni5g]

Ситуация стала проясняться. Это должно убрать препятствия для дальнейшего изучения этой многогранной темы

[@andruf3310]

Почему так тихо?

[@user-pb7pz7nv3m]

Потому что у тебя тихие динамики.

[@denibrain3042]

Хочу спросить, кто-нибудь знающий ответьте, почему линейно (не)зависимая? В смысле линейно, имеется ввиду, (не)зависимая от чего? От чего зависит?

[@kirillkir6268]

Для начала ответь на вопрос: что есть результатом линейной комбинации?

[@denibrain3042]

@@kirillkir6268 все я понял, понадобилось несколько дней на размышление, но в 2 часа ночи я все понял

[@denibrain3042]

@@kirillkir6268 спасибо!!!

[@sense3247]

@Kirill Pisarenko Множество всех векторов, которые можно получить с помощью сложения и масштабирования базисных векторов? То есть линейная зависимость от базисных векторов?

[@vadimirnov5211]

@@denibrain3042 Уснул то хоть в итоге? :) Или работал ночью

[@anastasiakorytova180]

чудное объяснение, вот бы еще помедленней говорил, трудно усваивать так быстро новую информацию

[@user-qu9is3un1v]

на 0:41 не понятно , почему -2 имеет координаты (3.1) , а 3 имеет координаты (-2.0)

[@mafincornot5475]

Присмотреться нужно было

[@user-uz8sb2es7i]

Зачем во время объяснения span перманентно менять масштаб веторов кто подскажет?

[@mikurrey416]

Движение хорошо иллюстрирует понятие, потому что речь идет о бесконечном множестве, которое сложно отобразить в статике

[@BobiBobObana]

Span спэн, сказал бы "зона охвата" понятней же будет, автор курса почему трезвонит спэн потому что для слушателей его понятно что спэн это охват. с таким же успехом мог бы говорить линейный Индепендент вместо линейной зависимости. и что на слух понятней?

[@eminism2024]

линейная оболочка может?)

[@eugenedukatta9355]

в математике принят рус. термин "пространство"

[@user-sn9zb9lr5f]

Eugene Dukatta span на русском в точности и есть линейная оболочка, а не пространство. Это разные вещи (В некотором смысле лин. оболочка есть пространство, но смысл эти термины несут достаточно разный)

[@sense3247]

мне больше зашло "зона досягаемости"

[@pnlabs]

Почему "двуразмерные", а не "двумерные"? Кто переводил?

[@user-yn7ue1lk6u]

А разве этот "спэн" не просто линейное пространство. Линейное пространство, построенное на задающих векторах - как-то звучит привычнее, чем заклинание "спэн")

[@BYGUR]

Что касается задачки, то тут уже косяк оригинального видео. В алгебре сначала изучается базис, а уже потом линейная оболочка. Поэтому определять первый через второй - это не логично. Так что Базис определяется как такой набор линейно независимых векторов n-мерного пространства, с помощью которого можно описать любой вектор внутри этого пространства. В этом контексте как раз и нужно отличать понятие "пространства" от "линейной оболочки", т.к. первое - является пустым по определению, тогда как второе - это по-умолчанию непустое множество. Более того, любая линейная оболочка является не просто непустым, а бесконечно большим множеством, т.к. даже в 0-мерном пространстве есть как минимум нулевой вектор. При этом все нулевые векторы являются одновременно линейно-зависимыми и линейно-независимыми друг к другу. Так что даже в 0-мерном пространстве содержится бесконечное количество нулевых векторов (по алгебраическому определению нулевого вектора).

[@ivekrok3730]

Автор почему-то логически не закончил объяснение - что будет представлять геометрически span в 3-х мерном пространстве: "куб", "сферу" или что-то более общее...

[@Zeding_Stuff]

Думаю что span (линейная оболочка) линейно независимых векторов будет представлять собой само 3-мерное пространство в целом. Бесконечное. Пространство не может иметь форму куба или сферы, оно само по себе вообще не может иметь форму.

[@sense3247]

Если хотите, представьте в любой удобной для вас форме, но только БЕСКОНЕЧНОЙ

[@yhooi]

@@sense3247 но тогда и в виде плоского квадрата не надо было бесконечную плоскость рисовать. Мне кажется автор специально делает так, чтобы мы голову включали

[@user-mm3li7vd3c]

​@@Zeding_Stuffмне как раз таки все пространство и представляется бесконечным кубом

[@gazoo_the_great]

*спэн*

[@schkathulhu1661]

Джей с шапкой 😂😂😂

[@wizard_still]

Может хотя бы какой пример для чего же это нужно то?

[@user-sl7en4rm4l]

в прошлом видосе он сказал что это используют графические дизайнеры

[@wizard_still]

@@user-sl7en4rm4l Я занимаюсь 3d не использую вообще этого, моделю в maya текстурю в субстансе, использую только инженерные навыки свои по построению объектов

[@MrNebulera]

@@wizard_still Согласен с тобой.. Тоже вечно говорю, что html и css не нужен, если есть Wordpress.. (сарказм)

[@rodioni661]

синоптика, прогноз ветра, движение циклонов, штормов, торнадо, депрессий

[@user-sp4wd5lz9t]

Игровой движок. Прогерам надо короче

[@aleksandrpak1609]

Бесит Спэн)) Может векторное пространство?

[@Pripyat90]

Согласен, span не звучит. В русской терминологии выс. математики это называют линейной оболочкой (не линейным пространством, это понятие другое, гораздо шире)

[@sense3247]

@@Pripyat90 Почему линейное пространство больше чем линейная оболочка? В каком случае это может произойти? В двумерном линейном пространстве линейная оболочка не равна линейному пространству?

[@HelloWorld-sy4yc]

@@sense3247 На самом деле, если у тебя вектора линейно независимые, то линейная оболочка в точности совпадает с пространством R^2, а вот если они направлены в одну и ту же сторону, то линейная оболочка таких векторов - это прямая, а линейное пространство все же остается R^2

[@aleksandrpak1609]

И года не прошло, я стал учиться в универе и наш преподаватель по линалу говорит и пишет именно span) Так что уже привык

[@user-do5dy3ug3x]

А если добавить, что пространство может быть более чем трёхмерным, а каким-нибудь n-мерным(n>3), то мозг вообще взрывается)

[@igorlytkin420]

Ещё веселее можно "взорвать" мозг, если n - не целое, а рациональное или даже иррациональное число?

[@eugenedukatta9355]

0:09 Ангус

[@locolon8151]

Какой спэн, это же линейная оболочка

[@RaptorT1V]

я так и не понял, что такое span. и весь этот видос сложный

[@inquisitor4894]

Понять не могу. Для чего вставлять английские слова и текст в видео для Русских? Объясняете вроде норм, но вот это бесконечное перемешивание рус / анг путает больше чем преподы в универе.

[@Disorrder]

Академики бомбят за спэн, потому что в шарагах учат говорить по-русски "линейное пространство", но не учат слушать, походу. На 4:05 ясно сказано "линейная оболочка или спэн"

[@paradimov]

перестань говорить "кружка", "ложка", "вилка", как тебя мама с папой учили (вредители). говори "кап", "спун", "форк". ты ж не какой-то отсталый рашн из рашн шараги, ты ж просвещённый праграмист.

[@yhooi]

Скрепы скрепят

[@user-nn6ku7nn8b]

Перевод кривой - не надо все переводить на русский дословно - иначе каша выходит.

[@moebius8203]

Дружище! У меня от твоих спэнов уши отваливаются! Ты ж сам в начале видео произнёс нормальный математический термин на русском языке: линейная оболочка. Ты ж вроде на русский переводишь! Нет? На кой чёрт нужно говорить спэн, будь он не ладен! И ещё, что за "триразмерные"??? Может "трёхмерные"? Аналогично "двухмерные" и т.д.

[@yhooi]

так не смотри, если не нравится.

[@user-zm3ll4un7n]

Вероятно, автор перевода носитель русского языка, но математику изучал на английском, потому ему гораздо легче оперировать математическими понятиями на английском

[@Los_Gato]

Добавь музыку, тяжеловато в тишине воспринимать информацию