# 248. (★★★)相加・相乗平均の関係

[@emilym8614]

理解が深まって、好きじゃなかった相加相乗平均、好きになりました😍ありがとうございます！

[@mathkarat6427]

ご丁寧に嬉しいコメントをありがとうございます。 相加・相乗平均の関係式は、かなり重要と思います。お楽しみ下さい。

[@Taka-fw5ox]

7:30 9:10 10:30 12:37 相加相乗平均、、グラフがひとつあるだけで、理解が断然違います、本当にありがとうございます🙏

[@mathkarat6427]

そう言っていただけますと、本当に嬉しいです。 今回は、0

[@むめいまる-i2v]

直接出てくる相加相乗は、あくまで左辺の関数と右辺の関数の関係を示しているのであって、 左辺の最小値に関する何かを教えてくれるわけではないのですね。 右辺を定数にする変形はうまいですね。

[@mathkarat6427]

私がお伝えしたかった内容は、まさにそれです。 コンパクトにまとめて下さり、ありがとうございます。

[@むめいまる-i2v]

@@mathkarat6427 伝えたいことが伝わるのは良い動画の証拠ですね😌 よかったです

[@mathkarat6427]

天才的なお返事ありがとうございます。 「むめいまる」様、恐れ入りました。

[@suraimu-game8933]

中２だけど分かりやすくて ほんとにありがとうございます！

[@mathkarat6427]

中2でこの内容を扱っているのですね？凄いです。

[@mathseeker2718]

私はコーシーシュワルツを使って解きました。

[@mathkarat6427]

それは、お見事と思います。素晴らしいです。

[@Rogu10kg]

コーヒーとシュワルツェネッガー？

[@mathkarat6427]

恐れ入りました。かないません。

[@syamugamesbg_gorikun9207]

この流れ好き

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。

[@ぺんのさきっちょ]

めちゃくちゃタメになった、おもしろい

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 「ぺんのさきっちょ」さんのプロフィール写真が素敵です。 お！っと、見てしまいました。

[@ゆうた-n1f]

ゆったりと優しい声で途中式の変形なども丁寧で文系の自分にも分かりやすかったです!! いくつか気になる動画視聴してみようと思います!!応援してます💪🔥

[@mathkarat6427]

「ゆったりと優しい声で・・・」 →　このような温かいお言葉をいただけて、誠に嬉しいです。 ありがとうございます。

[@ark4366]

x=cos(^2)θ y=sin(^2)θと置くと 1/x + 4/y = 5 + ( tan(^2)θ + 4/(tan(^2)θ) )となるのでこれで相加相乗を使いました。

[@mathkarat6427]

そういう考え方もあるのですね。 勉強になります。

[@user-a-d9w]

等号成立条件のtan(^2)θ=4/tan(^2)θはどのように捌けばいいですか？

[@takakuma0814]

単純な問題に落とし穴があるとは。数学の面白さを知りました。

[@mathkarat6427]

お楽しみいただければ、嬉しいです。

[@じぇ-e4g]

相加相乗は変数1つにしたら(i)分母を文字で置く(ii)分子を文字で置いてあとで分子を1にするように割る(どちらも文字の変域に注意)でいつも何とかしてましたが、変数ふたつのままでもできるんですね、為になりました

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 「じぇ」さんのおっしゃる通り、(i)、(ii)と式変形能力でほとんど解決できると思います。

[@User-f9hi]

1/x+4/yに定数であるx+y(=1)をかける発想が出なかったのが悔しい

[@mathkarat6427]

経験がないと難しいと思います。簡単そうで難しいというものです。

[@YKawase]

相加・調和平均の関係を使って，1/x+4/y=1/x+2/y+2/y≧3*3/(x+y/2+y/2)=9とするのが楽かな

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。

[@Mega11041104]

投稿した方の意図とは異なるけども、この問題イイね。変数(x,y)→(x+y,xy)と置くと楽に解けるのがセオリ―だけどそれが絶対ではなく、この問題は→(x+y,x/y)と置くことで楽に解けるようになる例と取れる。

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。

[@にさいじ]

高二です。すごくわかりやすかったです

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。

[@Air-p4f]

共テのプレテストに誘導付きで載ってました 間違った解法と正しい解法の両方を与えられ、穴埋めをしつつ正しい解を求めるというものでしたが、解いてる時はさっぱりでした…

[@mathkarat6427]

どこの共テプレテストでしょうか？ よくご存じですね。

[@Air-p4f]

学校で配られたものなので出版元がわかりませんでした…申し訳ないです

[@mathkarat6427]

分かりました。ご丁寧にお返事ありがとうございます。

[@ToooouK]

為になりますねぇ

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。

[@ブニ-h1e]

後半気になるーーー

[@mathkarat6427]

気にかけていただき、ありがとうございます。 まもなくUPいたします。

[@epsom2024]

最小値は x=1/3 ,y=2/3 を代入して求めるのではなく，不等式を使って 1/x+4/y≧4+5=9 で示して欲しい

[@のぶ-x2k]

t=y/xとおくと、t>0 逆にtが任意の正の数をとるとき、 y=txをx+y=1に代入して、 x=1/(t+1)>0、y=tx>0より成立する。 1/x+4/y=1/x(1+4/t)=(t+1)(1+4/t) =t+5+4/t t>0、4/t>0より、相加相乗平均の関係から、t+4/t≧2√(t·4/t)=4 等号成立は、t=4/tすなわちt=2 よって、最小値は9で、そのときx=1/3、y=2/3

[@mathkarat6427]

解法をありがとうございます。

[@anythinglab]

最小最大問題は脳筋でﾍｯｼｱｰﾝ! 微分!微分!ってしちじゃう... この問題はy=1-xで微分の方が良いかと思ったけど,数オリ対策してるところなのでこういうこともあると頭に入れておきます ありがとうございます!

[@mathkarat6427]

「数オリ対策してるところなので」 →　素晴らしい！

[@anythinglab]

@@mathkarat6427 応援ありがとうございます！ 本選行けるよう頑張ります...

[@mathkarat6427]

応援しています。決まったらお知らせください。

[@なちょす-e3n]

徹夜ワイサムネ拝見 うーん、9です！ （結局説明を聞いて正解が10か9かわからない）

[@mathkarat6427]

申し訳ありません。

[@なちょす-e3n]

@@mathkarat6427 眠すぎて説明が読めなかっただけですw わかりやすい説明ありがとうございました🙇 早稲田の問題で見たことがあったのですぐ解けました☺️

[@mathkarat6427]

「早稲田の問題で見たことがあったのですぐ解けました」 →　素晴らしいです。 それにしても、「なちょす。」さんの動画の制作能力は凄いですね。 流ちょうな語り口調には、脱帽です。

[@なちょす-e3n]

@@mathkarat6427 見ていただいたんですね！ありがとうございます🙇 勉強系ですと，主さんの話し方がより伝わりやすいと思います！！登録させていただきました☺️

[@mathkarat6427]

ご登録ありがとうございます。 あれだけの質の高い動画をお作りなのに、更新していらっしゃらないのですね？ それにしても凄い能力と思います。

[@kako1448]

めちゃくちゃ教育的な動画。ちなみにコーシーシュワルツの方が楽に解けそう。

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 お陰様で後半に取り入れます。 ありがとうございます。

[@mathkarat6427]

恐らくこれで解けますね。 Kamyu さん素晴らしいです。

[@mathseeker2718]

私も同じ方法で解きました。むしろ、相加相乗で解く方法が分からないので、これから動画を見せてもらいます。

[@kako1448]

kamyuさんと一緒です！

[@mathkarat6427]

相加・相乗平均の関係式を用いる解法は、経験がないとなかなか思いつかないと思います。お楽しみいただければ幸いです。

[@okonomiyakintama]

y=1-x を代入して微分して増減表が一番確実かな？

[@mathkarat6427]

微分の解法は良いのですが、その知識で苦戦するケースもあります。 # 138. 東大 2011年（理系）などは、そうです。

[@JunyaS.]

数3の範囲になっちゃうけど、y=1-xを代入して微分して求めた 導関数が綺麗になって結構簡単に解けた サムネに相加相乗平均とあったからそれで解いてみようとしたけど上手くいかなかった… 相加相乗平均は奥が深いなぁ

[@mathkarat6427]

恐らく今回は、数3の解法が最も明瞭です。 「Junya S.」さんお見事です。

[@milupon1]

大変分かりやすくどうもありがとうございます。かなりスローな解説なので、倍速で視聴させていただいております。

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 ご視聴速度に関しましては、お好みでお楽しみいただければ幸いです。

[@dekkai_oppai]

面白い！チャンネル登録させて頂きました！

[@mathkarat6427]

ご登録ありがとうございます。

[@Sukosuko-no-suchiko-iLoveu]

誤答の相加平均相乗平均の不等式の右辺の yを消去して最小値を出すのはありですか？

[@mathkarat6427]

実は、誤答２として、この動画に入れる予定で作っていました。 こちらは、不可です。実際の最小値より小さい値となります。

[@胡麻団子-y9b]

既出かもしれんけど y＝1－xとしてxの範囲を条件から絞った後に求める式をxだけで表して微分が一番速い気がする

[@mathkarat6427]

個人の強い分野で攻めるとよいと思います。

[@에스피-h8t]

1/x+4/y>=2rt(4/xy) max xy=1/4,when x=y=1/2 1/x+4/y>=8 So, min. is 8

[@MS-gq4gx]

ちょっと遊んで、 条件からx0, XY=1のときX+4Y+5の最小値を求めれば良い。 XY=1から、 (X+4Y)^2 -(X-4Y)^2=16 X>0,Y>0からX+4Y>0より、 X+4Y≥4 X+4Y+5≥9 等号成立はX+4Y=4, X=4Y X=2, Y=1/2 つまり、x=1/3, y=2/3のとき、 最小値9

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。 参考にさせていただきます。

[@つたない男子]

aﾍﾞｸﾄﾙ=(‪√‬x，‪√‬y) bﾍﾞｸﾄﾙ=(1/‪√‬x，2/‪√‬y) であり，|a|²|b|²≧(a・b)²だから， 1/x＋4/y≧9 (等号成立は，x=1/3，y=2/3の時) から，最小値は9

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。

[@MURAKAMI1958]

例のｘ＾２＋１のx＞０のときこの最小値は無しなのですね。。ふーむ考えさせられました。。

[@mathkarat6427]

例がいまいちだったのかも知れませんね。 すみません。

[@クロストリジウム-z9c]

結局試験会場では微分でごり押す方が早いんだよね

[@mathkarat6427]

この問題に関しては、微分もありと思います。 ただ、#138 でご紹介していますが、理系の問題なので、微分を使いたくなるのですが、そうすると手間がかかるということもあります。 まあ、どちらでも解ければよいのですが。

[@VOALAVOANALA]

相加相乗の上手い解法が思いつかなかったので、文字数減らして微分のゴリ押しで解きました

[@mathkarat6427]

「ゴリ押しで解きました」 →　ゴリ押しであろうと、解けたという事実が素晴らしいです。

[@kaishi.k]

微分かコシシュワか相加相乗か実数条件

[@MultiYUUHI]

=kとおいてy消してにじほうていしきがx正の範囲に少なくともひとつ解をもてばよい。軸の位置で 場合分けした。

[@mathkarat6427]

「ひうゆしけーた」さん、さすがです。 こちらは、後半動画の解法２で扱います。

[@springside40]

x>0、y>0なので、正確には「00なので、0

[@mathkarat6427]

要点の集約をありがとうございます。

[@qwqw9367]

「ラグランジェの未定係数法」を使えば直ぐに解けますね。

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。

[@fumiakiitazu2572k]

共通テストの場合別解という逃げ道が時間的にもないのでこのような考え方が抜けてると誤答になりそうな

[@mathkarat6427]

おっしゃるとおりです。

[@majojuke]

できました

[@mathkarat6427]

素晴らしいです。

[@gwh-w7w]

数３やると相加相乗よりまず微分考えるようになった

[@mathkarat6427]

#138.で上げておりますが、数Ⅲの方が大変な場合がそれなりにあると思います。

[@AA-dj4ly]

今年の共通テストで出そう。

[@mathkarat6427]

おっしゃる通りで、思考という観点から問われる可能性のある内容と思います。

[@레이-l2m]

ラグランジュの未定乗数法

[@マックおてごろ]

イェンゼンの不等式使うのが一番筋いいでしょ

[@mathkarat6427]

「マック おてごろ」様　情報をありがとうございます。 以前大阪で「マック」と言ったら「マクド」でしょ・・・と言われてしまいました。

[@マックおてごろ]

あちら側も朝マック夜マックとうたっているのでマックが正しいですね

[@mathkarat6427]

そうなのですね。知らなかったです。

[@daishitanaka878]

普通ラグランジュでしょ 高校数学で解く方が不自然

[@mathkarat6427]

ご指摘いただき、ありがとうございます。

[@grasp-o2k]

いやいや　高校数学に大学数学を持ってくるのはおかしいでしょw ただ知識をひけらかしたいだけの脳筋じゃん

[@kako1448]

でも大学入試で出るんだよな…

[@shiru-a]

そんなこと言われても、実際これとまったく同じ問題が神奈川大で出題されてるしな 的外れなコメントにも程があるやろ

[@mathkarat6427]

そのような思いは全くなかったのですが、不愉快に感じられたら申し訳ございません。