[멱급수 전개 (개념 및 예제풀이)] 테일러급수 & 매클로린급수

Рет қаралды 46,422

Күн бұрын

Пікірлер: 49

@물꼬기-l3l 2 жыл бұрын

보스님 감사합니다! 헷갈리는 부분이 있는데 질문드려도 될까요? 어떤함수 f(x)를 x=0에서 매클로린 급수 형태로 나타낼수도 있고 x=a에서 T급수로 나타낼수도 있는건가요? 예를 들어 e^x는 e^x = x + x^/2! + x^3/3! ...... = ( x=1에서 T급수전개) 로 나타낼수도 있는건가요?

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

네, e^x는 그렇습니다 ㅎ 실제로 e^x와 같은 함수를 x=5에서 테일러 급수 전개 하면 실제로 매클로린 급수와 같은 결과임을 알 수 있어요 왜냐하면 e^x의 매클로린 급수에 x자리에 x-5를 대신 대입할 수 있고, 그렇다면 그는 e^(x-5)에 대한 전개 이지만 e^(x-5)=(e^x)(e^(-5)) 가 되어 (e^(-5))를 양변으로 나누어줄 수가 있겠습니다! 그렇다면, e^x = (e^5) + (e^5)(x-5) + .. 이죠? :) 이를 통해서도 매클로린 급수와 테일러 급수가 서로 다름이 없는 표현식임도 알아낼 수 있습니다 다만 이는 'e^x 와 같은 함수' 에 대해서 입니다, 예를 들어 ln(1+x)는 x에 대한 수렴반경이 정해져 있어서 x=5에서의 ln(1+x)의 테일러 급수와 그의 매클로린 급수가 같지는 않겠습니다 하지만 댓글로 써주신 수식 보다는 e^x 의 매클로린 급수가 1을 포함한다는 것도 꼭 참고해주세요 :) (양변에 x=0을 대입하면 같은 결과가 나와야 되므로)

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

24:04 의 부분 부터 보시면 수렴하는 구간이 -1

@물꼬기-l3l 2 жыл бұрын

@@bosstudyroom 너무너무 감시합니다!! 오늘도 좋은하루 되세요!

@가나-z8k 2 жыл бұрын

저희 교수님보다 훨씬 나으세요 진짜 감사합니다......ㅠㅠㅠ

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

ㅎㅎ 과분한 칭찬이세요 :) 그래도 도움이 되어드린 것 같아 기쁩니다

@용수철-s4t 2 жыл бұрын

수시간동안 책보며 끙끙대다 포기하고 유튜브 보면서 그냥 검색해봤는데 깔끔하게 이해됬어요 문제도 잘풀리구요,, 감사합니다!

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

정말 뿌듯합니다 :) 친절한 댓글 남겨주셔서 감사해요 ㅎㅎ

@김유수-n8m 4 жыл бұрын

문제풀이 해주신 부분까지 잘 이해되었습니다. 감사합니다

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

:) 친절한 댓글 감사드려요 ^^

@리츠오시 3 жыл бұрын

아직 이걸 배울 나이는 아니지만 미리 이해하고 쉽게 알수있었어요! 도움이 되었습니다! 감사해요!

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

조금이나마 도움되어 드렸다니 정말 다행입니다 :) 감사해요

@olleh3366 3 жыл бұрын

테일러 급수랑 매클로린급수 잘 이해가 안됬는데 이 영상보고 이해가 되었습니다. 너무 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다!!

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

저도 정말 감사드립니다 :)

@mozzi6518 2 жыл бұрын

이번 편도 잘 보고 가요. 다음 편도 잘 보겠습니당

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

ㅎㅎ 감사합니다 :)

@yeong823 3 жыл бұрын

이거 보고 바로 이해했어요ㅠㅠ 감사합니다

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

ㅎㅎ 댓글 감사드립니다 :)

@ym-xz7cf 4 жыл бұрын

영상보고 이해했습니다 감사합니다!

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

:) 댓글 감사드려요

@goofy9503 3 жыл бұрын

문관데 너무 감사합니둥

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

저도 감사드려요 ^_^

@MATHONG 2 жыл бұрын

면접때문에 급수시리즈를 다시 공부해야하는데 너무 유익하빈다

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

ㅎ_ㅎ 좋은 댓글 감사합니다 :)

@이름-d7c 3 жыл бұрын

후후후...좋네요

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

ㅎ_ㅎ

@asdqwe6650 4 жыл бұрын

감사합니다 많은 도움이 되었습니다. 그런데 하나 궁금한 점이 있습니다. 문제를 풀다보면 이차상미분 방정식의 계수가 해석적(테일러 급수가 존재analytic)인지 아닌지를 판단해줘야 하는 경우가 있는데요, 어떤 다항식을 보고 이것이 해석적이다, 해석적이지 않다를 판단할 수 있는 방법이 무엇인가요? 풀이를 보아도 그냥 해석적이다라고 한문장으로 끝내고 넘어가는 경우가 많아서 조금 어렵습니다. 다시한번 이런자료를 올려주셔서 고맙습니다

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

안녕하세요, 좋은 댓글 감사드립니다 ^^ 답변드리자면, 우선 제가 공부하기로는 어떤 함수 f가 (계수를 변수 x에 대한 함수라고 볼 때에)해석적이라는 말은 그 f에 대하여 수렴가능한 테일러급수를, 특정 점의 주변에서 전개했을때 그 점에서 갖게되면 (f를 그러하게 등식으로 표현가능하면) 그 f를 x=특정 점 에서 해석적(analytic) 이라고 합니다 :) 저는 깊게 판별하지는 않구요, 쉽게 판별하는 법은.. 각각의 계수가 분수 형태 일 때는 그 계수의 '분모'가 0이 되는 특정점에 대해서는, 자명하게, 테일러급수를 전개할 수가 없으므로 그 점을 , 주어진 2계 상미분방정식의 특이점(singilar point) 라고 합니다 그럴때에 그 계수는 해석적이지 않게되고 2계 상미분방정식의 존재성과 유일성정리를 이용할 수 없게 되어요^^ :)

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

정리하자면, 계수의 분모의 값을 0으로 만드는 (특이점) 점에 대해서는 해석적이지 않다는 답변입니다 ㅎ

@asdqwe6650 4 жыл бұрын

@@bosstudyroom 감사합니다! 확실하게 이해되었습니다

@김태우-m2m 2 жыл бұрын

good~~~

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

댓글 감사합니다 :)

@user-minjunminjun 2 жыл бұрын

안녕하세요 과고 1학년입니다. 영상보다 질문이 생겨 여쭙니다. lnx를 매클로린급수로 표현할 때 한 번 미분하면 1/x가 나오고 그 값에 0을 대입해야하는데 이는 어찌 해석이 되니요? e^x=0인 x가 존재하지 않기 때문, 즉 로그의 진수 부분에 0이 들어갈 수 없기 때문에 lnx 같은 경우 매클로린 급수의 의미가 없고 구할 수 없는건가요?

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

안녕하세요 :) 우선 어떤 함수를 매클로린 급수로 전개하기 위해서는, x=0에서 무한하게 미분이 가능해야 합니다! 그런데 lnx의 그래프를 떠올려보면, x=0에서 미분 가능하지 않습니다. x>0에서만 정의역이 정의되는 것이며 그는 말씀하신 내용대로 e^x=0 을 만족하는 x는 없기 때문이죠. 따라서, 생각하신 부분은 적절한 내용입니다. 즉, 다른 함수에 대해서도 x=0에서 연속이며 좌우에서의 미분계수가 일치하는지를 확인하시면 됩니다 :) (예를 들어 sin과 cos)

@user-minjunminjun 2 жыл бұрын

@@bosstudyroom 친절한 답변 감사드립니다 ㅎ

@재현임-l9o 3 жыл бұрын

좋은 영상 감사하며, 질문 있습니다~ 테일러 급수에서 (x-a)^n에 대한 의미가 궁금합니다. x^n으로 전개하는 것이 아닌 (x-a)^n으로 전개하는 이유가 있는지? 결국 전개하면 x^n의 계수는 정해져 있기 때문에 무의미한 것 아닌가요?

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

보통, '해당 지점 x=a에서의 f(x)의 특성을 이용하기 위함' 이라고 생각하시면 됩니다 즉, (양자역학에서도 많이 쓰는 예를 들면) 어떤 함수가 x=a에서 극값을 가질 때, 그 점에 대해 테일러급수로 전개를 해준 후 그 점이 f(x)의 극점이라는 사실을 이용해서 '1차미분항=0' 을 대입할 수 있습니다 그러면 2차미분항 이상의 차수만 남는데, 3차항 부터는 0으로 근사시키는 경우가 많습니다 (x=a 근처의 특성만 본다고 했을 때는 x값이 x=a 전후로 크게 변화가 없다고 가정하므로, x-a 가 매우 작을 것이므로) 이는 결국 어떤걸 유도할 수 있게 하냐면 f(x)가 (x=a에서 최소화 되어 있는) 전자의 임의의 포텐셜함수 일 때는 그 함수를 심플한 조화진동자의 포텐셜함수로 근사시켜 다룰 수 있다는 것을 의미하게 되어요 :) 결론 : 매클로린 급수가 아니라, 따로 x=a에서 전개시켜 주는 이유는 만약 x=0이 아니라 x=a 주위에서의 특성을 이용하고자 할 때 (위와 같은 예시) 테일러전개를 사용하기 위해서라고 답변드릴 수 있겠습니다 :)

@rjndsnjsnabajakk9364 2 жыл бұрын

e^x 텡일러급수식과 그식은 미분한 식이 같나요? 마지막에 미분한식에서 항개스하나모자라서 원식에서 x^n/n!이 무한대로가는지 0으로가는지 어떻게판단하나요

@DIABORY-g1e Жыл бұрын

영상 잘보고 있습니다 ㅎㅎ 그런데 테일러급수 식에서 a의 의미를 완전히 이해하지 못하겠는데, a는 필요에 따라 임의로 정할 수 있는 상수인 건가요?

@bosstudyroom Жыл бұрын

고정댓글에 답변드린 부분이 도움이 될 것 같습니다 : ) 즉, 'a가 수렴 반경 내의 값이라면' 테일러 급수의 결과가 실제 함수에 잘 수렴할 것이므로, 적절한 a값을 설정하는 것이 중요합니다. 가령 '최소점 근처에서 아래로 볼록한 함수'를 그 최소점(x0)에서 테일러 전개 시킨 후, x에 대한 2차항 까지만 남기는 근사를 취하는 경우가 있습니다! 그 경우에는 x0가 a이죠.

@DIABORY-g1e Жыл бұрын

@@bosstudyroom 친절한 답변 정말 감사드립니다!

@최민서-z9v 2 жыл бұрын

보스님 항상 잘보고 있습니다. 질문이 하나 있는데 복소 삼각함수에서 매클로린 급수로 나타날 때 위의 방법과 똑같이 적용해도 될까요??

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

안녕하세요 :) 말씀하신 '복소삼각함수' 라는 것은 sin 이나 cos안의 x 자리에 복소수 i가 곱해진 형태를 말씀하시는 건가요? : 가능합니다 :) Sin cos뿐 아니라 e^(ix)의 급수전개를 해보셔도 오일러공식과 상응하는 결과를 얻습니다 (e^ix = cosx + isinx)