Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функций

3 млн просмотров • Таблица умножения боль...
@arinablog наш семейный канал
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Instagram: / volkovege
Почта: [e-mail]

[@ValeryVolkov]

Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ kzbin.info/www/bejne/i3urgmN5h9KkipY Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео kzbin.info/www/bejne/i3urgmN5h9KkipY со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?

[@Jorick_73]

Мне показался довольно забавным тот факт, что производная функции x^x оказалась равна сумме производных, которые будут получены по "неправильным" формулам: 1) по первой, когда понижается степень, формально (x^x)'= x*x^(x-1)=x^x, 2) по второй, когда показательная функция: (x^x)'=(x^x)*ln(x). В целом - респект автору за подробное и понятное объяснение.

[@ca3username840]

Школьники: просто хотят узнать производную интересной функции. Автор: дифур)

[@ddr364]

Прям в точку

[@WhitedDMaxwell]

Вообще, формулы производных степенной и показательной функций здесь работают: (x^x)' = x*x^(x-1) + x^x*ln(x) = x^x*(1+ln(x)), т.е. сперва ищем производную как степенной функции, считая x в степени за константу и прибавляем аналогичным способом производную показательного варианта.

[@kara6as]

полный дифференциал. самый логичный способ решения. но, наверно, не школьный

[@nowhereman42nd]

Вот буквально сегодня я додумался до этой же самой идеи, и даже этим же способом посчитал производную от x^(x^x), и потом полез в инет, чо ваще пишут по данному поводу. Мне эта идея кажется неочевидной, даже для того, кто в курсе полного дифференциала. Но зато очень простой.

[@Arctic_Ranger]

Спасибо Эйлеру за експоненту и исходящий из неё натуральный логарифм. И автору тоже спасибо, за доступное и понятное изложение (про закон равенства нат.логарифмо слышу впервые - ни в школе, ни в универе не учил)

[@user-gx2fg2ll1j]

Всё таки есть готовая формула для сложной показательной функции f(x}^g(x). Вывести её можно с использованием тех же идей, что в видео.

[@nikko2505]

На западе x^x ещё называют hyperpower (гиперстепень) и записывают ²x вот в таком виде

[@AlexSolk]

Интересная информация. А какое физическое применение гиперстепени? Видимо я глупый, но пока не нашел. Инженер программист с опытом работы с еще прошлого века. Не могу найти применение.

[@maksimukropien5545]

@@AlexSolk Для прокачки мозга.

[@gragal82]

@@AlexSolk для представления больших чисел

[@AlexSolk]

@@gragal82 поздравляю!! От души. Такой богатый, что сверхгипер числа считаешь??? Или первый хочешь на Юпитер приехать и номер в отеле забронировать?

[@winavesh7897]

@@AlexSolk В программировании скорее всего не применяется.

[@AlexeyEvpalov]

Большое спасибо за оба способа нахождения производной.

[@user-ib8ss9nj4j]

Логорифм натуральный, Он ответ задачам разным. Будь то функция иль степень Log по e великолепен.

[@andriy_yv]

Решил первым способом усно до того, как открыл видео) Спасибо за контент!

[@ForestDenton]

забыл за такие примеры. Интересно, спасибо.

[@user-oh4xi2gj9j]

Очень интересно! Это, пожалуй, покруче, чем смотреть в личесс партии блицующих гроссов! Если бы ещё задачки из Кванта.. не только по математике, но и по информатике.

[@user-cn5kv5ey4c]

Спасибо! Очень красиво, можно даже на груди выколоть...

[@user-vf3fu5ou2x]

Нас научили эту производную втором способом. Было полезно. Спасибо!!!

[@user-cp3vc4ho9g]

0:55 Штрих может быть не понятен, по какой переменной дифферецируем. Поэтому еще снизу(под штрихом) могут х дописывать . (x^y)' это уже может быть не понятно.

[@Qwerty45637]

Спасибо Вам за объяснение)

[@valeriyblinov1573]

Valery! You are Super!!! LOVE!! Valeriy(геофизик) Спасибо!!

[@democrateur]

Любопытно, что если в данном случае "забить" на неприменимость одноранговых формул, то, с одной стороны: (x˟)' = x•x^(x-1) = x˟ ; а с другой стороны: (x˟)' = x˟ lnx ; Оба ответа не верны по отдельности, но верны в сумме: (x˟)' = x˟ + x˟ lnx .

[@alexandrmironov7460]

Как в комментариях ставить степени?

[@Hevonn]

Понятное объяснение. СПС.

[@subwaysurfers8822]

Помню ещё эту задачу с института. Преподаватель показал 2й способ Сам додумался первым способом. Кайфовая задачка.

[@user-pe5mo5co4x]

2:00 "Учитывая, что наша функция определена только для всех положительных...". ЭЭЭЭ-мммм... Между прочим (-3)^(-3)=-0.03703.... (-3) - Это положительное число? )))

[@user-vr7dr4ws8i]

А почему бы не вывести производную показательно-степенной функции в общем виде? У=f(x)^g(x) ln(y) = ln(f(x)^g(x)) ln(y)'=(g(x)*ln(f(x)))' y'/y=g'(x)*ln(f(x))+g(x)*ln'(f(x)) y'/y = g'(x)*ln(f(x))+g(x)*f'(x)/f(x) y'=y(g'(x)*ln(f(x))+g(x)*f'(x)/f(x))=[f(x)^g(x)]*(g'(x)*ln(f(x))+g(x)*f'(x)/f(x)) y'=[f(x)^g(x)]*g'(x)*ln(f(x))+[f(x)^(g(x)-1)]*g(x)*f'(x) y'=[f(x)^(g(x)-1)]*(f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)*ln(f(x))) Или словесно: производная показательно-степенной функции равна произведению этой же функции с показателем, уменьшенным на 1, на производную суммы функций показателя и основания, в которой множитель, содержащий функцию основания, домножен на натуральный логарифм функции основания. По этой формуле легко находится производная любой показательно-степенной функции, если взять функцию, рассмотренную в видео, то: (X^X)'=(X^(X-1))*(X'*X+X*X'*ln(x)) = (X^(X-1))*(X+X*ln(X)) = (X^X)*(1+ln(X)) Попробуйте на более сложных функциях.

[@matematikaonline.kz1]

Спасибо большое

[@user-wh4yg8zf4q]

1:56 Почему функция определена только для всех положительных x? Для отрицательных x она тоже имеет действительные значения. Неопределенность только при x=0

[@user-dm7lf4ui1e]

В некоторых отрицательных нецелых точках функция не имеет действительных значений, если (-1)^(-1) определено на поле вещественных чисел, то вот (-0,5)^(-0,5) уже не находится там, а если учитывать все числа, то мы столкнемся с рядом проблем, например, с необходимостью четырехмерного графика функции или с ее многозначностью.

[@igorsidorin3585]

Ну, классно!

[@AndriiBilous]

супер!

[@illarionpak1607]

Предлагаю разобрать интересную задачку Сравните два числа: 3^3^3^...^3 (100 раз) и 4^4^4^...^4 (99 раз) Напомню, очередность возведения в степень выполняется справа налево Например, 3^3^3 = 3^(3^3)

[@user-ye5mb1um2x]

ну вроде второе число должно быть больше,но подумать нужно)

[@infometroman]

если количество цифр в башне степеней поровну, то 3ⁿ < 4ⁿ, поскольку 3 < 4 при этом 3³ > 4; учитывая, что 3^(3³) = 3²⁷, получим 3²⁷ > 4⁴; однако 3²⁷ > 4²⁵⁶ (когда у тройки кол-во цифр в башне степеней на 1 больше) это всë, до чего я додумался 😅

[@illarionpak1607]

Эта задача попалась мне на школьной олимпиаде. Там я ее не решил. Как-то уже в универе вспомнил о ней и снова не решил. Спустя много лет снова вспомнил о ней и удивительно легко решил. Причина в том, что все это время я пытался доказать, что правая сумма больше. Но когда понял, что левая сумма больше, то это легко доказалось.

[@Abdulhamidov_A.S.]

Степенно-показательная функция. Её производная состоит из двух слагаемых: производная от степенной функции плюс производная от показательной функции

[@support_eu6397]

Я помню после этого примера в учебнике, шел следующий, где надо было найти производную (x^x)^x(лесенка). Суть была та же, но мне понравилось что когда мы начали также через логарифмирование делать, самый верхний икс также выносился перед логарифмом, и надо было производную x^x получить преподаватель сказал :" ну эту мы уже нашли в предыдущем, возьмем ответ оттуда" было смешно)

[@prostoprohozhijnadjadjupoh5802]

свойство коммутативности: Жена Мужа Учит = Жена Ужа Мучит

[@Vadim-33]

ха

[@dmitriyparfenov1812]

Ничего не понял.Каким образом приплетя какие-то логарифмы и именно по основанию е удалось решить задачу?Почему число е имеет какое-то отношение к решению?

[@vahagnberberyan2948]

Благодарю; Читайте антроподофия Р. Штайнера и все в жизни прояснится....

[@user-dw9ht4ig9s]

Второй способ надуманный. Первый очевидный. Можно поизголяться ещё так. Первое x переименуем в y(x), тогда (y^x)’=y^x(ylnx)’=y^x(y/x+y’lnx). Заменяя y на x получим решение. Способов много...

[@user-wl7jo5sv6v]

Нам преподаватель по математике вузе, показывал, как решать

[@AlexSolk]

Нам в вузе доказали, что 2х2=5 Если точнее, то 4,93564788(8) И только в арифметике два жде два четыре....это всем известно в целом мире

[@Vordikk]

"Доказали". Это называется "софистика", применяется для приколов над студентами.

[@michaelkopylov8408]

Интересно было бы найти интеграл этой функции

[@ROTOR63]

Мо-лод-цы!

[@beaver163]

не знаешь, как искать производную сложной функции? Применяй метод логарифмирования😁

[@romualdaszapolskasromualda4249]

Такие задачи в средних школах не решаются, только в университетах.

[@ValeryVolkov]

Да, в школе редко кто из учителей находит производные показательно-степенных функций.

[@unrepeatablecaesar]

В школе редко решают, но в спец школах могут решить

[@nikko2505]

@@ValeryVolkov просто производные проходят раньше чем экспоненту, показательную функцию и логарифмы. По крайней мере у нас было так. Я школу закончил в 1999 году

[@crazyperson0720]

​@@nikko2505 Я в 10 классе, у нас так: сначала иррациональная функция (неравенства, уравнения, графики), показательная функция (неравенства, уравнения, графики), логарифмическая функция (неравенства, уравнения, графики, + экспонента) , тригонометрические функции (неравенства, уравнения, графики), теперь уже производные, дальше будут идти законы комбинаторики, бином ньютона, интегралы и т.д. (учусь в простой сельской школе)

[@nikko2505]

@@crazyperson0720 видимо исправили пробел... Но все равно не то должны быть сначала пределы...

[@AlexSolk]

Валерий, как обычно перед просмотром я ищу решение примера. Но сейчас у меня вопрос. Какое физическое применение есть у производной X^x ????

[@ciaucia156]

Эх, подзабытое... потом вспомнил и у Пискунова Н.С. нашел несложно выведенный общий случай и "на пальчиках" об'ясненную интерпретацию. --- Производная сложной показательной функции (часто такую функцию называют показательно-степенной или степенно-показательной) состоит из двух слагаемых: (u^v)' = v ∙ u^(v-1) ∙ u' + u^v ∙ ln(u) ∙ v' первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что _u_ есть функция от _х_ , а _v_ есть постоянная (т. е. если рассматривать u^v как *степенную* функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что _v_ есть функция от _х_ , а _u_ есть постоянная (т. е. если рассматривать u^v как *показательную* функцию).

[@ciaucia156]

Ой, внизу все уже есть 😳

[@user-lj3yw3yq7r]

Привет всем. НАЙТИ производную функции Х в степени Х .Красивое решение, спасибо, просто бальзам на мою душу ,извините , по другому о математике я говорить не могу.

[@romualdaszapolskasromualda4249]

y=x^x, lny=xlnx, (1/y)y'=lnx+1, y'=x^x(lnx+1)

[@sergeymesky535]

Очень круто!!!

[@user-zv2py1ln1b]

👍👍👍👍👍

[@alexeya4787]

Записывать d/dx любят не только на западе, но и на востоке. Как ни странно....

[@leonidsamoylov2485]

Ох как точно. Идея - чуть медленнее - платные видео сделать. ))))

[@maksimvialkov6303]

Странно. Я всегда пользовался записью производной через дифференциал, еще со школы. Мы сразу в нескольких нотациях записывали ( "штрихами" , D, "точками" и дифференциалами). Нам давали сразу всё: "так, вот так и еще вот так, а про D и дифференциальные операторы вам подробнее в ВУЗе расскажут". Незаменимая штука при работе с трансцендентными уравнениями, конечно: там только графики рисовать, производными исследовать (экстремумы и пр.) и подбором подкидывать, больше никак.

[@user-zh8kc3yw5g]

Несмотря на всё своё образование , в целом 17 лет, ни разу в своей жизни не приходилось брать производные, решать дифференциальные уравнения с Теоремой Коши, брать интегралы, использовать математические ряды со свойствами Фурье с их "гладкостями"и "сходимостями" и прочие "решения задач Дирихле в круге"..... 4 действия арифметики, посчитать проценты (в оценочных ведомостях, дабы "вывести "процент" отличников боевой и политической подготовки войсковой части, подразделения...) вполне хватало для службы и жизни.... Если , конечно же, не отрицать постулат , мол "Математика это гимнастика для ума"

[@user-zu7fm2fz2g]

Мне ближе второй способ через о.л.т. Спасибо.

[@liveDM5]

А теперь найдём интеграл этой функции

[@liveDM5]

ну или докажем, что он не выражается в элементарных функциях

[@Max_Ineos]

Всегда решаю такие производные вторым способом

[@user-qj5ld3vy7j]

Объясните, пожалуйста, почему при нахождении производных всегда используют натуральный логарифм? Что мешает использовать логарифм по любому другому основанию?

[@nowhereman42nd]

Конкретно в данном случае натуральный логарифм позволяет перейти от произвольной показательной функции к экспоненте, а производная у экспоненты - элементраная.

[@user-tr5gr9wi4k]

Спасибо за первый способ.)

[@unrepeatablecaesar]

Мы решали в лицее, но все равно спасибо

[@rizvanwamxalov2264]

3--й способ, без логарифмирования :нужно найти производную как показательной фун--и, а потом как степенной фун--и, и суммировать найденные выражения. И всë.

[@user-kj3rr6tg3x]

Почему это так работает?

[@user-kl7dt6qh5d]

Найти производную методом логарифмирования.

[@williamspostoronnim9845]

Как раз сегодня ночью думал об этой задачке. Но меня интересовало другое: каков график функции х в степени х? Есть ли у неё экстремум? Заснул, так и не решив...

[@TheTigra8]

объясните пожалуйста, почему икс в степени икс всегда больше ноля? Ведь, например, (-1)^(-1)=-1 Я понимаю, что это правда, ибо используя построение графиков онлайн данная функция рисуется только справа от нуля, но не понимаю почему( Заранее спасибо!

[@aastapchik8991]

Потому что основание степени должно быть неотрицательно в случае, когда ты возводишь в нецелую степень. А любое положительное число в любой степени - это положительное число.

[@TheTigra8]

@@aastapchik8991 я возвожу в целую отрицательную степень... -1 это целое число, да и правила такого не слышал, что отрицательное число нельзя возводить в нецелую степень... калькулятор вполне адекватные числа выдает, скажем -5 в степени -0.25 дает примерно -0,67

[@si7-agent]

@@TheTigra8 там получается примерно следующее. Для наглядности рассмотрим следующее: как говорил оратор выше возьмём отрицательное дробное число. Имеем, например, x=-0.5, тогда имеем (-0.5)^(-0.5). Это равно (1/(-0.5))^(0.5). Таким образом необходимо взять квадратный корень от отрицательного числа. Остальные числа, видимо, представляются как десятичные дроби и получаются также корни четных степеней. Только в таком случае уже непонятно, почему целые отрицательные значения не попадают в одз. Ведь можно взять x=-2, например. И получим (-2)^(-2) = (1/(-2))^2=0.25...

[@TheTigra8]

@@si7-agent звучит логично, спасибо! Согласен, что целые отрицательные должны попадать в одз

[@user-xs1do8lb9r]

Определение функции такое. Выражение вида x^x определено для целых ненатуральных значений х, а функция - нет. Вас же не смущает, что функция вида a^x определена только для положительных значений а, хотя для некоторых значений переменной можно вычислить значения этого выражения?

[@Alexander-mj3jk]

А с чего вы взяли, что х>0 ? Это откуда вылезло?

[@Bebebebebebebebebebebebebebebo]

Условие для показательной функции

[@Vadim-33]

@@Bebebebebebebebebebebebebebebo а почему, отрицательное число что нельзя возвести в степень?

[@user-wb3ev8qs6x]

@@Vadim-33 Конечно можно, просто условие задачи сформулировано автором некорректно.

[@katajator4114]

Второй способ лучше и понятней

[@Sevenvad]

Что-то от второго способа решением дифференциальных уравнений через разделение переменных повеяло.

[@glory_to_ukraine888]

Почему x строго больше или равно нулю? Функция x^x определена и имеет значения в действительных числах также и для целых отрицательных чисел( -2)^(-2)= 0.25 и тд.., и некоторых отрицательных дробей с нечётным знаменателем типа -1/n. , где n>2: пример (-1/3)^(-1/3)=-1.44224957031 и тд.. 😜 но она не дифференцируема в отрицательном множестве конечно..

[@genChui]

Помню дали степенно-показательную, дня 2-3 думал как их решать в лоб, по итогу пришёл к выводу, что (xⁿ)'+(a^x)'

[@popik376]

Как вы так красиво пишете?

[@ValeryVolkov]

Графический планшет.

[@999bigsmoke]

на 3:08 откуда берется lne?

[@abdhp78]

производная (a^x)'=e^x * ln a. Подставляем а=е и получаем (e^x)'=e^x * ln e; ln e=1, поэтому (e^x)'=e^x. Зачем подставлять е в (a^x)', если известно по формуле (е^х)' непонятно, тут дело автора.

[@user-akhmetshin]

А какое решение если х

[@user-akhmetshin]

@@gfhccbhv что это значит? Бесконечно?

[@user-akhmetshin]

@@gfhccbhv вход в Нарнию 😌

[@user-gy7jy6qy4h]

А сразу что? Нельзя что-ли? Сложная функция и понеслась

[@yanikusgg]

Красиво

[@vladglassofficial]

Нет пересечения с осью x/ нет корней

[@vasjatarakanoff1063]

Смотрю на вас и радуюсь.... ничего мне не понятно. Например: почему х не может быть отрицательным?

[@jurijmichailovskij6798]

Нам каким то образом надо избавиться!!!!! Ты себя слышишь.... Первые зомбированые просто символы в дробях писали...но когда это делают с алфавитом то это Писец....!!!!

[@maksimvialkov6303]

Извините, не удержался: при съёмках видео ни один Дональд Кнут не пострадал. Извините. :)

[@yakimko]

как решить уравнение x ^ x = C, где С - некая константа?

[@romannastenko127]

Зависит от С. Если знать, что минимум функции - примерно 0,7. Если С - меньше, вопросов нет, если больше, первое, что приходит в голову - графически искать ответ. Можно в данном виде, можно прологарифмировать, получить на выходе x ln(x)=ln(C) -> ln(x)=ln(C)/x

[@user-qj5ld3vy7j]

@@romannastenko127 А почему 0,7? Если приравнять найденную в этом видео производную нулю и посчитать в решателе уравнений, получится около 0,35

[@rotten-Z]

Функция определена при x=-1

[@enottom2003]

Почему х больше 0???!?

[@user-tb3rv2dw6s]

Я буду молиться за вас. Почему меня мать родила таким тупым.

[@user-th9md5qg4w]

Это всё не красиво и не хорошо! Так очень плохо. А если еще раз в степени х? Такие производные вычисляйте только по формуле " производная СЛОЖНОЙ функции" и будет Вам счастье.

[@sayen5269]

aa