Найдите угол

Точки А, В и С делят ребра куба пополам. Найдите угол АВС.
Предыдущее видео: • Доказать неравенство ➜...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: [e-mail]

[@adept7474]

Угол между указанными отрезками - это угол между смежными сторонами правильного 6-ти угольника сечения куба плоскостью, ⟂ диагонали куба и проходящей через его центр.

[@qdrs68]

А теперь докажи, что это правильный 6-ти угольник

[@user-nm2se7jm7o]

@@qdrs68 все стороны 6-угольника равны друг другу, т.к. они все являются гипотенузами одинаковых треугольников с равными катетами.

[@true7781]

@@user-nm2se7jm7o «все стороны 6-угольника равны друг другу...» И что из этого следует?

[@vladbulgakov2104]

@@qdrs68 а что там доказывать все диагонали 6 угольника равны, т.к. равны диагоналям граней куба. Попарно компланарны. И стороны равны. Значит правильный 6 угольник

[@lll1955]

Это просто сказочные воспоминания о школе!!! Мне 61. Скучаю! Спасибо Вам!❤️

[@AlexeyEvpalov]

Пусть B начало координат, и единица измерения половина ребра куба, тогда координаты векторов BA=(-1;-1;0) и BC=(1;0;-1), а их длины по т. Пифагора |BA|=|BC|=√2. Скалярное произведение этих векторов |BA||BC|cosABC=(-1)×1+(-1)×0+0×(-1), или √2×√2cosABC=-1, откуда cosABC=-1/2, то есть угол ABC=120°

[@user-sc2df9hu1r]

Рассечём плоскостью ABC весь куб. В сечении получим правильный шестиугольник, а угол ABC есть одна из вершин правильного шестиугольника. Сумма углов шестиугольника = 180 * 4 (4 треугольника по 180 градусов). Величина одного угла = 180 * 4 / 6 = 120 градусов. Задача решена.

[@sergeymesky535]

так же подумал,. только надо доказать что все отрезки предполагаемого шестиугольника лежат в одной плоскости

[@Dimon__1976]

​@@sergeymesky535использовать развёртку куба.

[@andrewdronsson9028]

@@sergeymesky535 Я так же решил. Что касается одной плоскости - тут уже рулит начертательная геометрия.

[@sergeymesky535]

@@andrewdronsson9028 , это не важно что рулит - главное доказать, хоть с помощью алгебры или географии, если получится.

[@serhiiz6149]

​@@sergeymesky535постройте пирамидки и все увидите

[@gg_player6689]

векторный метод убивает задачу

[@user-bf4ug6kz1n]

Спасибо!!! Шедевральное решение задачи!!! Люблю Ваши интересные нестандартные задачи и ещё более удивительные решения.❤❤❤Спасибо Вам за ваш труд.

[@user-yv9cb5ps7u]

Я думал щас скажет 0,5😂 а он взял и и туда единицу

[@AlexeyEvpalov]

Очень красивое решение. Спасибо.

[@user-un8jc4hy4u]

Не доказано, что точки А, B, D, C лежат в одной плоскости.

[@vkr122]

Поддержу, это не очевидно и следует доказать !

[@Natalia-mp5bu]

Это очевидно. Т.к. точки А, В и D лежат на одной прямой. Прямая и любая точка вне её ( точка С) всегда лежат в одной плоскости.

[@glebdavletbaev9480]

Правильно - не доказано. Куб же на земле стоит, а земля круглая - значит сторона куба не плоская 😂😂😂😂😂

[@Natalia-mp5bu]

А ещё проще - точка В находится на стороне АD треугольника ADC. Из чего следует, что все четыре точки лежат в одной плоскости.

[@user-ir6fn6mq9l]

По теореме арктангенсов)))

[@valeraag5634]

Спасибо за 2 варианта! По теореме косинусов м.б. даже проще. АВ=ВС=\/2. Опустим АС на 1 (полребра) вниз. Проекция АС на нижнюю грань - гипотенуза \/5, тогда сам отрезок АС=\/6. Запишем теорему косинусов для треугольника АВС: АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos

[@sovlad7186]

Задача решается еще быстрее, если достроить сечение куба заданной плоскостью АВС. Получаем правильный шестиугольник и следовательно угол 120 градусов.

[@user-qw4hb7vj7t]

да, но придется доказать правильность 6-угольника: равенство всех сторон и углов.

[@sovlad7186]

@@user-qw4hb7vj7t Стороны и углы равны..

[@andrewdronsson9028]

@@user-qw4hb7vj7t Равенство всех сторон очевидно: у каждого треугольника, образуемого половинками рёбер и стороной шестиугольника, одинаковые катеты.

[@user-qw4hb7vj7t]

@@andrewdronsson9028 Равенство сторон недостаточно, надо ещё доказать равенство углов. Нетрудно же ведь взять правильный 6-угольник, и перекосить его, не все углы будут 120 градусов.

[@DmitryKrechet]

-Какой угол? -Вот такой!

[@SS_Serge]

Всегда говорил - учитесь решать треугольники

[@Mihail_Duymin]

Если из точек А, В, С провести прямые к центру куба (например точка О) получатся два равных треугольника, которые равносторонние, но я не могу это доказать😢. Если они равносторонние, значит и равноугольные и углы АВО и ОВС по 60° в сумме 120.

[@user-pr5ht2ty3o]

Решил двумя способами: 1) Скалярное произведение двух векторов, делённое на произведение их длин, даёт cos угла между ними. Он оказался равным -0.5. => угол равен 120°. 2) Сечение куба, построенное на заданных отрезках, представляет собой правильный шестиугольник, каждый угол которого равен 120°.

[@ALPHA-zq5gv]

Какое же элегантное решение, именно за это и обожаю геометрию

[@scientist4735]

Шестиугольник в сечении не увидел, а равнобокая трапеция со сторонами 2½ и основаниями 2½ и 2*2½ очевидна. У равнобокой трапеции(1,1и1,2) углы равны 120° и 60°

[@alexkaledin4860]

срез куба по серединам ребер имеет форму правильного шестиугольника. по-моему проще его достроить и всё становится очевидным даже без букв и вспомогательных треугольниов.

[@user-xp6fw9gz8k]

Делается стандартно через векторы. Задаёте систему координат и три базисных вектора, выражаете векторы ВА и ВС через них, считаете скалярное или векторное произведение векторов. Получите или косинус или синус угла между ними.

[@andrewdronsson9028]

До просмотра видео: 120 градусов. Плоскость, режущая куб по точкам, лежащим на середине рёбер, и сам куб в пересечении дают правильный шестиугольник. Надо бы это доказать, но... Чес-слово, сильно не до того, и вообще тут работает начертательная геометрия.

[@viktorsd8301]

не математически - соединяем точку С с серединой самой правой грани и далее соединяем эту точку с А. Получаем наклоненную в пространстве трапецию, длинная сторона которой равна 2 ВС, а короткая и боковые равны ВС. Ничто не противоречит разделению трапеции на три равносторонних треугольника, а, значит, искомый угол = 120 гр.

[@dudeover]

Всегда решал такое долгим, но самым простым для меня методом. Брал сторону куба в данном случае за 2, достраивал всё до треугольников и находил все неизвестные отрезки через теорему Пифагора. А дальше теорема косинусов. В уме за две минуты всё решилось

[@user-pr3rp3cz5d]

можете сказать как нашли длину AC, пожалуйста

[@dudeover]

​@@user-pr3rp3cz5dесли брать сторону куба за два, то по рисунку из видео АК - это гипотенуза треугольника с катетами 1 и 2, значит АК = √5. В треугольнике АКС катет АК = √5, а катет КС = 1, значит гипотенуза АС = √6

[@gitarre_spielen]

Валерий, а как быть с углом ABE в самом конце? Выяснили, что угол DBC = 60°, тогда и ABE = DBC = 60° как вертикальный, но АВE находится в равнобедренном (по условию задачи) прямоугольном треугольнике, а потому обязан быть равен 45°. Неувязка получается, либо я что-то напутал.

[@ValeryVolkov]

Вертикальные углы там ABE и DBK.

[@gitarre_spielen]

​Точно, спасибо, показалось

[@MrFrozenNik]

Метод координат.. Просто техническая работа, и всё доказано.

[@Dimon__1976]

Дык, если продолжить сечение куба по плоскости угла АВС получается правильный шестиугольник же! 😂

[@savelikk]

То ли с эпюрами уже переработал, то ли уже дурка, Но , я пошел по легкому пути, представил вид сбоку прям на плоскость где лежит точка С, и получается угол в 90*, у меня все. Хочу услышать еще мнения по поводу моего решения все-таки прав я или нет

[@elenaelena5777]

А если провести параллельно ВС диагональ верхней грани и параллельно АВ диагональ задней грани, получим равносторонний треугольник, угол 60 градусов. А угол АВС 120 градусов ( как углы со сторонами - одна сонаправленная, а другая противонаправленная)

[@user-wv8uw6sz6h]

Стереометрия, беспокойная юность моя

[@romank.6813]

Ищем косинус угла между векторами (1,1,0) и (1,0,1). Скалярное произведение 1, длина каждого √2. Итого, косинус 1/2, угол 60. А смежный с ним 120. Решается в уме за 20 сек.

[@alexandrsergeevich2929]

120° очевидно уже на превью видео, тоже достроил ребро и всё стало видно, зашёл за доказательством)

[@ConstantinKubrakov]

А нахождение точнк А, В, С, Д в одной плосколсти не требует доказательства?

[@user-jk1gd5oz8c]

❤

[@user-rl4mc6uy8z]

Я просто посмотрел на рисунок и сказал правильный ответ ...

[@user-vc6yq4zq3i]

лайк

[@alexey_latyshev]

Такие задачки очень удобно и легко координатным методом решаются. Прилежащие стороны окажутся xsqrt2, а противолежащая xsqrt6. Сокращаем за счёт признаков подобия и имеем теорему косинусов в таком исполнении: 3=2(1-cosa) => cosa=-0,5 => a=120

[@Vladimir73ish]

Лечи голову.

[@alexey_latyshev]

@@Vladimir73ish давайте сами - я не возьмусь лечить вашу голову. Я не академик Павлов

[@Vladimir73ish]

@@alexey_latyshev Естественно, не академик Павлов, а собака Павлова.

[@Vladimir73ish]

Ты скорее с о б а к а Павлова, а не академик.

[@alexey_latyshev]

@@Vladimir73ish люди здесь математику обсуждают, а ты со своими проблемами с головой нарисовался, да ещё кидаешься и обзываешься без повода - так кто из нас псина?) Это даже забавно - тявкни ещё что-нибудь. Интересно узнать границы твоей болезни) Ну и не прочь узнать, а чего тебе вообще от меня надо, но это уж задачка со звёздочкой, не утруждай себя ею - в твоём психическом состоянии разговаривать - уже достижение. Ты молодец)

[@Alexander--]

Такую задачу можно предлагать как задачу повышенной сложности или даже олимпиадную до того, как школьник освоит векторный метод, который вмиг разруливает эту задачу. А после этого предложить её же, где она уже будет возведена в ранг типовой.

[@arthur.v.babayan]

Красиво получилось !!!