Несколько слов о теории множеств Часть 3 Теорема Цермело и сравнимость мощностей

[@СергейМухорьямов]

Какой же ты крутой

[@Avgur_Smile]

Кто бы мне объяснил, почему все сплошь и рядом твердят о существовании биекции между множеством натуральных чисел и множеством четных натуральных чисел.

[@filiapidzhakov4622]

Допустим, что биекции не существует. То есть, найдётся какое-то n, такое что не n->2n либо не 2n->n. Это доказательство сугубо конструктивное и "детское". Если смотреть с точки зрения аксиоматики Цермело-Френкеля, множество натуральных чисел это "наименьшее" индуктивное множество, то есть такое, что в нем вместе с элементом "x" содержится "x+1", если строже, то вместе с каждым элементом содержится его последователь, помимо этого в нем содержится по крайней мере один элемент, иначе определение не имеет смысла, ну и до кучи можно сказать, что такое множество только одно, с точностью до "изоморфизма". Тогда любое множество, которое удовлетворяет тому, что в нем содержится "минимальный" элемент и "следующий" за ним - есть ничто иное, как наше множество натуральных чисел, то есть между ними есть изоморфизм. по сути я сейчас описал суть математическую индукцию.

[@Avgur_Smile]

@@filiapidzhakov4622 >> Это доказательство сугубо конструктивное и "детское". Позволю себе такое же "детское" возражение. Для того, чтобы доказать, что каждому n можно сопоставить 2n, необходимо перебрать все n. Но сделать это невозможно в силу бесконечности множества. >> можно сказать, что такое множество только одно, с точностью до "изоморфизма" Сказать-то можно что угодно. Хотелось бы увидеть доказательство, что такое множество одно. >> по сути я сейчас описал суть математическую индукцию Поправьте меня, если я неправ, но при доказательстве по индукции вы сначала каким-то образом определяете множество, а потом что-то доказывая, оперируя только и исключительно элементами этого определенного ранее множества, не привлекая никаких элементов, не принадлежащих множеству. Как вы определяете бесконечное множество и как отличаете элементы, принадлежащие ему и не принадлежащие ему? Почему вы так уверены, что, доказывая биективность отображения n -> 2n вы не "уползете" куда-нибудь в бесконечное множество мощности континуума? В качестве контраргумента. Возьмем множество S_0 порядка |S_0| = 2N. Очевидно, что на нем отображение n -> 2n не является биекцией, т.к. элементы N, N+1, ..., 2N не имеют образа. Причем отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов равно 1/2. Если взять множество S_1 порядка |S_1| = 4N, то все элементы из S_0 будут иметь образ. Но отображение все равно не будет биективным, потому что элементы 2N, 2N+1, ..., 4N не будут иметь образа. Причем отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов все также равно 1/2. Далее, сколько бы мы ни увеличивали порядок множества, отображение n -> 2n никогда не будет биективным и отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов будет равно 1/2 для любого множества, в том числе и бесконечного.

[@filiapidzhakov4622]

​@@Avgur_Smile​@Avgur_Smile ​>> доказать что каждому n->2n невозможно в силу того, что невозможно перебрать все такие 'n' С некоторой точки зрения вы правы, доказательство невозможно построить перебирая все n... Принимая за аксиому то, что существует хотя бы одно индуктивное множество со свойством "каждый элемент имеет следующий и при этом существует некоторый минимальный элемент, который не следует ни за каким" это и не требуется, мы полагаем что существует такое множество и этого достаточно, естественно явно перечислить его элементы мы не можем, оно же бесконечное... Итак, мы определили множество свойствами элементов, противоречий с выбранной аксиоматикой не возникло, природа элементов нам не важна, мы знаем только свойства его элементов, больше не знаем ничего, кроме того что мы допустили его существование и заданные свойства. Теперь мы можем сказать, что "множество всех натуральных чисел" и "множество всех четных натуральных чисел" это одно и то же. Почему? Потому что элементы обоих этих множеств удовлетворяют заданным свойствам, и с точки зрения теории множеств это одно и то же множество. Да, вы можете сказать что четные и натуральные это не одно и то же, но с точки зрения теории множеств ещё как. Потому что их множества удовлетворяют заданным свойствам. >>Мощность континуума? Мне кажется доказательство как минимум Кантора общеизвестно, если вы не согласны с ним, то вы не согласны с правилами логики или с принятыми аксиомами, тогда наш диспут "ни о чем". К тому же, если вы не понимаете почему бесконечные множества равномощны своим подмножествам, зачем вы рассуждаете о континууме? Для вас тогда уж бесконечность должна быть одна. Или проблема в том, что вы не приемлете концепции бесконечности? >> доказательство отсутствия биекции с применением конечных множеств Да, вы правы, в любом конечном множестве, кои вы и используете, такую биекцию построить нельзя, это свойство именно бесконечных множеств, что их подмножества имеют ту же самую(или меньшую) мощность и между ними можно установить биекцию.

[@Avgur_Smile]

@@filiapidzhakov4622 >> Это доказательство сугубо конструктивное и "детское". Позволю себе такое же "детское" возражение. Для того, чтобы доказать, что каждому n можно сопоставить 2n, необходимо перебрать все n. Но сделать это невозможно в силу бесконечности множества. >> Если смотреть с точки зрения аксиоматики Цермело-Френкеля, множество натуральных чисел это "наименьшее" индуктивное множество А такое множество существует? Насколько я помню ZF-систему аксиом, то существование бесконечного множества постулируется. А вот существование какого-то наименьшего (и в каком смысле наименьшего?) множества надо доказать. >> по сути я сейчас описал суть математическую индукцию Поправьте меня, если я неправ, но при доказательстве по индукции вы сначала каким-то образом определяете множество, а потом что-то доказывая, оперируя только и исключительно элементами этого определенного ранее множества, не привлекая никаких элементов, не принадлежащих множеству. Как вы определяете бесконечное множество и как отличаете элементы, принадлежащие ему и не принадлежащие ему? Вот вам доказательство по индукции того, что биекции n -> 2n не существует. Возьмем множество S_0 порядка |S_0| = 2N. Очевидно, что на нем отображение n -> 2n не является биекцией, т.к. элементы N, N+1, ..., 2N не имеют образа. Причем отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов равно 1/2. Если взять множество S_1 порядка |S_1| = 4N, то все элементы из S_0 будут иметь образ. Но отображение все равно не будет биективным, потому что элементы 2N, 2N+1, ..., 4N не будут иметь образа. Причем отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов все также равно 1/2. Далее, сколько бы мы ни увеличивали порядок множества (можно говорить о пределе при N стремящемся к бесконечности), отображение n -> 2n никогда не будет биективным и отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов всегда будет в точности равно 1/2. Таким образом по индукции мы доказали, что биекции n -> 2n не существует.

[@Avgur_Smile]

@filiapidzhakov4622 >> Это доказательство сугубо конструктивное и "детское". Позволю себе такое же "детское" возражение. Для того, чтобы доказать, что каждому n можно сопоставить 2n, необходимо перебрать все n. Но сделать это невозможно в силу бесконечности множества. >> Если смотреть с точки зрения аксиоматики Цермело-Френкеля, множество натуральных чисел это "наименьшее" индуктивное множество А такое множество существует? Насколько я помню ZF-систему аксиом, то существование бесконечного множества постулируется. А вот существование какого-то наименьшего (и в каком смысле наименьшего?) множества надо доказать. >> по сути я сейчас описал суть математическую индукцию Поправьте меня, если я неправ, но при доказательстве по индукции вы сначала каким-то образом определяете множество, а потом что-то доказывая, оперируя только и исключительно элементами этого определенного ранее множества, не привлекая никаких элементов, не принадлежащих множеству. Как вы определяете бесконечное множество и как отличаете элементы, принадлежащие ему и не принадлежащие ему? Вот вам доказательство по индукции того, что биекции n -> 2n не существует. Возьмем множество S_0 порядка |S_0| = 2N. Очевидно, что на нем отображение n -> 2n не является биекцией, т.к. элементы N, N+1, ..., 2N не имеют образа. Причем отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов равно 1/2. Если взять множество S_1 порядка |S_1| = 4N, то все элементы из S_0 будут иметь образ. Но отображение все равно не будет биективным, потому что элементы 2N, 2N+1, ..., 4N не будут иметь образа. Причем отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов все также равно 1/2. Далее, сколько бы мы ни увеличивали порядок множества (можно говорить о пределе при N стремящемся к бесконечности), отображение n -> 2n никогда не будет биективным и отношение количества элементов, не имеющих образа, к общему числу элементов всегда будет в точности равно 1/2. Таким образом по индукции мы доказали, что биекции n -> 2n не существует.

[@jamalrzayev1144]

👍