NOMBRES COMPLEXES - Pourquoi i² = -1 ?

[@AlainRoques-r1f]

Je suis accro à hedacademy depuis longtemps, sans avoir jamais émis un commentaire. Mais résumer tous les ensembles, leur contexte historique, les équations qui en decoulent, plus une nouvelle notion (clos ou pas), le tout en 15 mn : cest plus que scotchant, ça touche au sublime, ça envoie du lourd, on tutoie le génie ! Vous faites mieux qu'un bouquin de 500 pages ! Avec humanité, humour, simplicité et une pédagogie hors normes. En lisant les commentaires, on voit que vous touchez prioritairement deux âges : les élèves du secondaire et les retraités. Bref, les maths de 7 à 77 ans ! En ce moment, il n'existe sans doute personne qui fasse plus pour les mathématiques que vous. Alors MERCI puissance infinie.😊

[@hedacademy]

Merci beaucoup pour ce message, d’avoir pris le temps et surtout merci pour tous ces gentils mots, touchant. J’espère continuer à faire aussi bien. Effectivement de plus en plus de personnes qui se mettent où remettent aux maths à partir un certain âge. C’était Inattendu mais très plaisant et ça m’aide aussi pour créer le contenu. Raisonner, réfléchir, faire des calculs c’est bon à tout âge. Et ça permet de reste jeune paraît-il 😅

[@AlainRoques-r1f]

@@hedacademy merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre, je ne m'y attendais pas. Je suis autant impressionné par la quantité de travail que vous fournissez que par sa qualité. L'idée de saupoudrer d'un peu d'histoire et d'évoquer quelques grands qui ont fait les maths, comme Euler, est excellent pour captiver les étudiants. Ça permet d'aller plus loin et d'en perdre moins.. Bravo ! Toute mon Admiration ! Ne changez rien, c'est juste magnifique.

[@Teacher_Albert-kd4ky]

vraiment pour un garçon de 17 ans qui commence a ressentir un amour envers les maths plus profonds que juste a les maths a l'école vos vidéos (scolaire et non scolaire qui présentent les mathématiques comme ils devrait l'être partout ailleurs, c'est a dire comme de l'art, et non pas un truc imposées (comme a l'école) sur le quelle on ne raisonne pas mais qu'on mémorise pour ensuite le déverser sur un devoir et puis l'oublié,) sont de l'or pur 🥰😍🤩 force a vous pour votre travaille basé sur l'envie d'enseigner non pas votre metier mais votre passion

[@qcmira2024]

C’est tout à fait mon cas. J’ai 42 ans, mais après mon bac spé maths je n’ai plus jamais fait de maths, et vos vidéos me donnent envie de m’y remettre juste pour le fun.

[@mathieuend]

Salut super video ça fait plaisir 😄 J'ai bien le fait que tu apporte le contexte historique qui va avec, et du coup je me dit que ca serait super de faire la même chose avec d'autres notions (notamment la trigo, j'ai jamais trop compris quel était son utilité). Sinon j'attends avec impatience les prochaines vidéos sur les complexes Continue comme ça tu nous régale 👍👍👍👌👌

[@abdelakili]

Pourtant plein d erreur dans la vidéo

[@niriota173]

erreurs dans quoi?@@abdelakili

[@MrMichelX3]

T'es génial mec !

[@latifalala5597]

Superbe vidéo 🤩

[@rahff99]

dans la démonstration, on arrive a la conclusion que i n'est pas égale a V1 car on arrive sur -1 = 1, on disait que donc l'hypothese de départ était fausse, mais on peut aussi supposer que i² = -1 est faux de la même façon non avec la même démo ?

[@jean-pierrelafaille8713]

La présentation est un bon résumé de la théorie des nombres. Je voudrais cependant faire les remarques suivantes : 1. Les nombres transcendants. Vous faites l'inventaire des nombres - Entiers Positifs, Nul et Négatifs (NB : Vous ne mentionnez pas le zéro (Nul) : N et Z) ; - Les rationnels (comprenant les décimaux), rapport de deux entiers : Q ; - Les irrationnels du type [SQRT(2)]; le nombre sous la racine pouvant être n'importe lequel des précédents et la racine pouvant être quelconque, entière ou fractionnaire ; Et de là vous passez aux réels. Mais avec ces nombres précités, on est loin, très loin d'avoir un ensemble continu de nombres : - Il faut encore y ajouter les nombres TRANSCENDANTS, du genre "pi" ou "e". C'est d'ailleurs la conjecture de, WEIERSTRASS, qui dit que ces quatre ensembles (Les Entiers [Positifs, Nul et Négatifs], les Rationnels [Rapport de deux Entiers], les Irrationnels [du type "racine ennième d'un nombre précité] ET LES TRANSCENDANTS ont la PUISSANCE DU CONTINU ! Et ces quatre ensembles forment les REELS. Vous définissez les "REELS" comme étant formés des "ENTIERS", des RATIONNELS et des IRRATIONNELS. Il manque les TRANSCENDANTS. 2. Vous semblez confondre les notions de nombres "imaginaires" et "complexe". Or ce sont des chose fondamentalement distinctes. Si on prend la définition de K. F. GAUSS, un nombre complexe est un COUPLE ORDONNE de nombres réels. On écrit "z = (x, y) " où "z" est le nombre complexe ; "x" est la partie réelle ; "y" est la partie imaginaire ; Il est bien entendu que "x" et "y" sont des nombres réels et que le couple (x, y) est ORDONNE : le couple (y , x) est un AUTRE nombre complexe ! On définit ensuite les opérations : - Addition et soustraction : z3 = z1 + z2 ou z4 = z1 - z2 ; - Produit : z5 = z1 * z2 ; - Quotient : z6 = z1/z2 (z2 non nul !) . Avec la notation z = (x,y) les diverses opérations sont d'une écriture très lourde. On écrit alors le nombre complexe z sous la forme z = x + i*y avec la convention que i² = -1. Mais il est STRICTEMENT INTERDIT d'écrire i = SQRT(-1) ! Cette écriture conduit à des aberrations du genre 1 = -1 ! Ce que vous montrez d'ailleurs dans la vidéo ! 3. Les nombres complexes sont "nés" au XVIme siècle en Italie, l'époque de la Renaissance. C'était dans le cadre de la recherche des solutions de l'équation cubique. On les appelait les nombres "impossibles, inexistants, voire diaboliques ou sataniques". C'est René DESCARTES, au XVIIme siècle, qui leur a donné le nom "imaginaire" et c'est K. F. GAUSS, au XVIIIme siècle qui a "mis de l'ordre" dans cette matière. Selon les sources qu'on lit, les "inventeurs" sont Del Fiero, Bombelli, Tartaglia, tous Italiens du XVIme siècle. Mais c'est Gerolamo CARDANO au nom de qui la renommée a attaché le nom de la solution de l'équation cubique, sans que celui-ci n'ait rien inventé du tout ! Les formules portent d'ailleurs le nom de "FORMULES DE CARDAN".

[@Max-bj3df]

Vos remarques sont pertinentes, surtout la n°2 et la n°3. Je vous remercie pour ces détails, et je suis navré qu'ils ne soient pas expliqués lorsque les nombres complexes sont introduits en Terminale. Cependant, j'ai du mal à comprendre l'intérêt d'évoquer les nombres transcendants dans cette vidéo. J'ai toujours considéré que les nombres réels sont divisés en deux grandes catégories de nombres : les rationnels et les irrationnels. Vu que les décimaux, les entiers et les naturels sont déjà des rationnels, il n'y a pas besoin de les évoquer pour définir un nombre réel. Avant tout, un réel est soit un rationnel, soit un irrationnel. Dans l'enseignement secondaire, un nombre est considéré comme irrationnel lorsqu'il est réel, mais n'entre pas dans l'ensemble des rationnels. Ainsi, les nombres comme pi, e, racine carrée de 2 ou encore le nombre d'or sont considérés comme des nombres irrationnels, sans rentrer dans les sous-catégories transcendants, algébriques ou constructibles. J'ai découvert le terme "nombre transcendant" uniquement durant mes études. Vous l'aurez compris, les nombres transcendants ne sont pas adaptés au niveau du public cible de la vidéo. Ce professeur n'évoque pas la notion de nombre irrationnel, ni moins celle de nombre transcendant, car ce n'est pas l'objectif de la vidéo. Le but est uniquement d'expliquer qu'il existe un nouvel ensemble de nombres, au-delà des réels. D'ailleurs, je regrette qu'il n'ait pas représenté les divers ensembles sous formes d'ellipse. Cela aurait permis de comprendre que les nombres réels sont également des nombres complexes.

[@jean-pierrelafaille8713]

@@Max-bj3df Vous écrivez : "Cependant, j'ai du mal à comprendre l'intérêt d'évoquer les nombres transcendants dans cette vidéo. " Cela fait partie du cours d'ANALYSE MATHÉMATIQUE de première année en Sciences et Sciences Appliquées à l'Université ! Considérez donc ce qui suit pour "adoucir" votre "mal à comprendre". Le présentateur passe en revue les "composants" de l'ensemble des nombres réels : * Les ENTIERS (positifs, nul [au singulier, évidemment !] et négatifs) ; * Les RATIONNELS, rapport de deux ENTIERS, avec le cas particulier des "DÉCIMAUX", qui est d'ailleurs propre au cas de la numération de base 10 ; il disparaît dans les numérations binaire, octale, duodécimale, hexadécimale, vigésimale, sexagésimale, etc... * Les IRRATIONNELS . Et il passe tout de go aux RÉELS, en "oubliant" les TRANSCENDANTS. Mais il ne faut pas "oublier" la "Conjoncture de WEIERSTRASS" qui exprime qu'il FAUT introduire les nombres transcendants pour assurer la CONTINUITÉ des nombres réels. Sans les transcendants l'ensemble des nombres réels n'est pas continu. Pour s'en convaincre il suffit de constater que des nombres comme "pi" ou "e" ne sont pas exprimables par des irrationnels du genre "racine Nième de...". Vous semblez écrire que des nombres comme "PI" ou "e" sont des irrationnels, càd qu'ils peuvent être exprimé par un nombre FINI d'extraction de racines. C'est malheureusement faux : c'est impossible ! Désolé de vous contredire : ce sont des TRANSCENDANTS ! WEIERSTRASS ne dit d'ailleurs pas que "avec les transcendants" l'ensemble des nombres EST continu ! Il a la PUISSANCE du continu !

[@rosinesimeuh7669]

Merci à toi t'es le best😊

[@AbouTaim-Lille]

C'est par définition. le nombre i est défini comme une solution de l'équation x²+1=0.

[@ricric2762]

Petits repères mnémotechniques : N comme Naturel, Z comme les Zentiers relatifs, D comme Décimaux, Q comme Quotient, R comme Réels, C comme Complexe

[@armand4226]

Et oui, la difficulté est maintenant de savoir quoi mettre derrière ces définitions. Zentiers relatifs ? C'est les positifs et les négatifs ? Mais les Réels ? C'est .... ?

[@lucien346]

D et Q on les utilise jamais sinon ces ensemble

[@lmz-dev]

Z Like Zi relative integers 😎

[@armand4226]

@@lucien346 ??? Que veux-tu dire ?

[@pif_el_kien8254]

Et à la fin, A comme aspirine 🤯

[@denisfrancois852]

J'ajoute qu'étant passé dans les 70 ans, j'aime me replonger un peu et avec plaisir dans les maths. Vous expliquez très bien. Je n'avais pas quand j'étais jeune lycéen la chance comme ceux d'aujourd'hui de pouvoir regarder une vidéo comme vous les faites pour comprendre. De mon temps il fallait réellement écouter à fond le prof pour essayer de bien comprendre et si on ne comprenait pas et qu'on ne demandait pas une ré-explication, et bien on prenait du retard, les leçons de maths devenaient petit-à-petit difficiles , etc... Et puis il y avait les parents. Je n'ai eu le déclic que grâce à un prof particulier lors de mes trois dernières années, un certain Mr. Dal. Je me souviens lors d'une réunion des parents, au début du lycée, ma mère est revenue vers moi en me disant que si je ne comprenais rien en maths, ce n'était pas grave et que de toute façon on lui avait dit que "j'étais surtout littéraire". Heureusement il y avait une fille en classe pour laquelle j'avais une étrange attirance (on était souvent encore assez innocent à l'époque de nos 12-14 ans) qui était excellente en maths et qui me regardait d'un air attristé quand on remettait les copies... Je me suis dit qu'être seulement un littéraire et nul en maths ce n'était pas OK... Merci encore pour vos leçons de maths.

[@arikaf1066]

Adorable ce commentaire

[@denisfrancois852]

@@AAArrakis Elle m'a sourit quand pour la premiere fois j avais eu la moyenne en maths

[@hectthorno584]

C'est aussi pour ça que j'aime Hedacademy ! Pour ces commentaires de cette communauté de passionnés qui se retrouvent soudés et happés par cette pédagogie hors-norme. Et on se prend à rêver : si on avait eu un prof comme ça au lycée...

[@Zoondo33]

Salut vieux ! J'ai 35 ans et je suis médecin. Donc je n'ai pas fait de maths depuis environ 17 ans. Pourtant au lycée j'étais le boss et j'ai eu 20/20 en maths. Grâce à tes vidéos je prends du plaisir et je me remémore ces bons moments scolaires. Merci à toi.

[@denisfrancois852]

Moi j'en ai 73. Et je trouve que ce Monsieur est excellent. J'ai fait mon lycée entre 62 et 69 et j'étais assez fort en algèbre, en géométrie analytique, en trigonométrie mais pas fort du tout en géométrie descriptive. Il y avait 8 heures de mathématiques par semaine parce que j'étais en scientifique A. Ces classes de dans le temps, il y a maintenant trois générations n'existent plus sous cette forme du moins. Ce que je veux dire c'est que vous, et les jeunes gens d'aujourd'hui ont une chance formidable de pouvoir visionner ce type de vidéos expliquant très bien les maths alors que moi dans les années 1960 si je ne comprenais pas, je devais demander au crack en maths de me réexpliquer et si je ne comprenais toujours pas je sentais que j'étais plus ou moins taré... Tout est loin d'être négatif aujourd'hui comparativement à mon époque de jeune...Bravo pour votre commentaire. Ca doit lui faire plaisir.

[@thomasnguessan1337]

Quand vous allez au travail, vous pouvez emprunter un chemin pour être à l'heure. C'est la mathématique. Quand vous dîtes à un patient de prendre un tel médicament vous savez quand ce produit finira. C'est la mathématique. ...

[@andymarshalle3233]

Le niveau est catastrophique aujourd'ui et depuis longtemps .C'est une évidence, je plaint les élèves et leur futur et donc le futur de la France . Nous sommes très mal placés au niveau international . En général :ne savent pas lire (ne lisent pas), ne savent pas écrire ,ne savent pas s'exprimer ,pas compter , ne maitrise pas l'anglais . Sans parler de l'histoire géo enfin ces immenses lacunes sont gravissimes pour l'avenir de la France .le primaire et secondaire sont vraiment à refonder , nous avons abandonner les méthodes Qui marchaient et qui ont fait leurs preuves , c'est un fait ,le reste n'étant que les conséquences d'un manque d'outil pour simplement penser , réfléchir, déduire . C'est un véritable handicap pour l'avenir du pays . Vous partager?

[@sebastien5048]

A 13:10 dans la vidéo. Comment peut-on justifier le passage de la ligne " i² = sqrt(-1) *sqrt(-1)" à la ligne "i² = sqrt( -1 * (-1) )" ? La propriété "sqrt(ab)=sqrt(a)sqrt(b)" que vous invoquez, elle est vraie pour a et b deux réels positifs, mais on n'a jamais dit qu'elle devait être vraie pour deux négatifs. Il me semble donc, même si on ne le fait jamais en France, qu'il n'y a pas de problème particulier à écrire i=sqrt(-1). Je crois que les anglophones le font souvent. Dans ce cas on précise juste qu'on travaille avec un prolongement de la fonction racine carrée, et que notre fonction ne vérifie donc pas en tout point les même propriétés que la fonction racine carrée "réelle".

[@algebrilleexceller3455]

Enfin quelqu'un qui relève ce point important ! ❤

[@FranckMoreau38]

Tout à fait

[@Igdrazil]

Présentation sympa et dynamique pour les élèves, néanmoins « ✔️-1 » n’est pas du tout « absurde » comme notation. Elle fut d’abord utilisée historiquement dès le 16 ème siècle, de Cardan à Euler, en passant par Bombelli et tant d’autres. Et est encore utilisée aujourd’hui par des mathématiciens en fonction. Alain Connes par exemple! Ensuite votre « démonstration» repose sur une base ambiguë et rigoureusement illicite. Car rien ne vous permet à priori d’appliquer la règle de multiplication des racines : ✔️(ab)=✔️a✔️b, à un objet nouveau comme ✔️-1, manifestement exotique, pour lequelle cette règle n’a pas été démontrée. Aucun « absurde » n’émerge donc de votre « preuve », car votre chaîne logique est brisée en chemin. Et c’est normal car d’une façon ou d’une autre c’est bien la « racine carrée » de « -1 » dont il s’agit. Quelle que soit la notation adoptée. De plus le signe radical peut très bien être étendu. Il n’est pas forcément exclusif de la racine positive d’un nombre positif. En mathématiques élémentaires on se restreint à la racine positive, mais en arrière fond, géométriquement une quadratique a typiquement deux racines, dussent-elles être confondues ou complexes. Par suite la notation radicale peut être naturellement étendue à noter, notamment en notation fonctionnelle, non pas la mais LES racines carrées. Cette « fonction radicale » ✔️ étant alors multivaluée au lieu d’être monovaluée comme en mathématiques élémentaires. Choses encore « plus vraie » lorsqu’elle s’applique aux nombres complexes. Ou à des matrices, etc. Et sans aller « si loin », il est très simple d’étendre légèrement les règles, même de la « racine carrée habituelle », pour l’utiliser avec les imaginaires, et plus généralement les nombres complexes. En effet, il suffit de rappeler d’abord que par CONSTRUCTION (démontrée ou admise, et non pas par « définition »): (✔️-1)✖️(✔️-1) = -1 Puis que précisément, l’exception (la seule) qui fait la règle est la suivante : (✔️-1)✖️(✔️-1) N’EST PAS ÉGAL À ✔️{(-1)✖️(-1)} Mais qu’en revanche la règle habituelle tient pour : ✔️{-4} = ✔️{(-1)✖️4} = (✔️-1)✖️✔️4 = 2✔️-1 Ce n’est donc pas la chimérique « absurdité » d’une telle notation ou opérateur qui est en jeux. Mais on évite de l’utiliser pour d’autres raisons. Tout d’abord qu’il est indubitablement trois fois plus compact et plus rapide, tout simplement, d’écrire « i » que « ✔️-1 ». Raison non négligeable, et renforcée par l’importance que joue cette clé des nombres complexes. On est donc pas fâché et plutôt bien avisé de lui consacrer une notation, « i » pour « imaginaire », que les électriciens ont l’habitude de noter « j » pour éviter les confusions avec l’intensité électrique. Choix malheureux néanmoins dès qu’on utilise des quaternions, dont la notation « i, j, k » coule de source (presque prémonitoire. Ensuite, par peur compréhensible (c’est l’objet de votre remarque), des confusions possibles élèves. Mais cela est plus ou moins justifiable, car si l’on veut éviter toute confusion, le mieux c’est de ne rien écrire et de rester chez soi. Et encore… Blague à part, il y sans cesse des règles nouvelles dans la vie, et c’est plus la flexibilité de s’y adapter qui compte, que la « protection » à la Sidharta enfant (futur Bouddha)… La troisième raison, elle décisive, est qu’on n’a pas besoin en fait, véritablement, dans les calculs, de noter ✔️(d’un nombre négatif). On « l’évite » en effet comme suit, par exemple : a^2+4 = a^2-4i^2 = a^2-(2i)^2 = (a-2i)(a+2i). Et cela suffit pour tous les calculs. C’est en revanche un peu moins « justifiable », lorsqu’on ne factorise pas comme il se doit par les identités remarquables (qui restent valables sur le corps des Complexes), mais qu’on utilise trop systématiquement, sans réfléchir -crédo de l’éducanégation nationale », les formules toutes faites, par exemple du discriminant : delta=b^2-4ac et x={-b+/- ✔️delta}/(2a) pour un trinôme (sur les réels) du type ax^2+bx+c=0. Évidemment on contourne là encore le « danger » en exprimant tout delta négatif : -D, comme un monôme imaginaire de la forme : {(✔️D)i}^2. Et le tour de passe-passe est joué. En outre, par delà ces remarques disons sur la forme, c’est plus encore sur le fond que votre présentation pose problème. Car vous laissez à penser aux élèves que de simples tours de passe-passe de notations servent à créer sans rigueur, des concepts ab nihilo, sortis de l’arbitraire de la cuisse gargantuesque de Jupiter. Ce qui est faux. Passe si votre démarche ici est seulement « heuristique » et sans prétention de faire sentir, voir et comprendre ce que sont les imaginaires. Le problème est qu’elle apportera plus d’illusions encore que de confusion, plus de manque de rigueur que de compréhension, malgré sa valeur introductive très basique. Car vous ratez tous les portiques sérieux d’une présentation véritablement éclairante. Les « nombres complexes » ne sont en effet qu’in fine des « nombres ». Mais pour en arriver là il faut pas mal de travail. Ce qui directement accessible en revanche tout en restant parfaitement rigoureux, infiniment plus intuitif et visuel, et pédagogiquement utile, est une des approches géométrique. Celle des vecteurs, des couples de Hamilton, des aires orientées ou encore des matrices. Seule la dernière est « plus spécialisée ». Les autres sont fondamentales et complémentaires. Et sont infiniment mieux que de se contenter de tours de passe-passe symboliques et notationnels, sans queue ni tête, sans racine ni vue d’ensemble, et surtout sans rigueur. Car c’est ainsi que tout le « ludique » d’une monde n’empêche pas les élèves de sortir à 20 ans, totalement ignares et impotent en Sciences, surtout en Mathématiques. Quoi de plus normal, ils n’ont jamais vu de leur vie, déjà d’adulte, une seule DÉMONSTRATION! Les tours de passe-passe forment les amuseurs publiques dont la Politique est farcie jusqu’à la nausée, mais aucunement les scientifiques, ni même les citoyens éclairés. Désolé mais vous faites partie d’un Titanic de « l’éducanégation nationale » qui coule, avec les élèves, de plus en plus incultes et illettrés. Les amuser est bien, les instruire est mieux. Or l’instruction ça fait un peu mal à l’huile de coude et aux méninges. Ça demande de s’accrocher et d’attaquer rapidement de l’alpinisme. Pas de papillonner dans les bacs à sables de « jardins d’enfants ». Par delà la structure d’espace vectoriel il y une structure fondamentale que constitue les « nombres complexes ». Il y des identités remarquables propres qui en autorisent l’existence. Il y des constructions limpides et éclairantes, des définitions précises et rigoureuses, des théorèmes clés et des applications innombrables. C’est l’un des plus important chapitre de toute la scolarité. Sinon la pierre d’angle et de voûte. La borne historique qui marque le passage crucial entre les Mathématiques du moyen âge, et celles de la Renaissance, qui préparaient l’ère moderne où il s’est créé plus de Mathématiques en 50 ans que dans les cinq derniers milliers d’années. Bonne méditation et excellente journée.

[@malokk1789]

Monsieur, je pense que ton raisonnement de i≠racine- 1 a un problème. Vous avez utilisé la règle racine -1 fois racine -1=racine(-1 fois -1), mais cette règle n'est pas vraie pour négatif

[@brunovilasecavanoekel7880]

Au delà de ça, écrire racine de -1 n'a juste pas de sens

[@laurentt.1127]

J’ai bientôt 60 ans, obtenu chanceusement un BAC D (scientifique) à 18 ans par bachotage, sans posséder tous les fondamentaux en maths, par fainéantise sûrement mais peut-être aussi par des professeurs soporifiques et/ou fades. Ce prof est passionnant avec une aptitude à vulgariser sa matière. Ses élèves ne mesurent probablement pas tous la chance qu’ils ont d’avoir un tel enseignant 👍👏

[@hadochadoc8581]

Bien reçu et bien dit monsieur de votre part,on a le même âge et ayant subit le même dictat.

[@EmmanuelRoyalty]

Tricheur là

[@rodin6297]

@laurent Le césame était le BAC C qui ouvrait la porte royale des Maths, physique, et des sciences... Mais bon, félicitations car après le Bac c c'était le D et ensuite le F2, F3, F1 ( Électronique, électromécanique, mécanique ) niveau math les 3 derniers Bac que j'ai cité il fallait être aussi très costaud😅😅... Aujourd'hui les bacs sont largement plus simple😂😂😂 et mince je parle comme un vieux😢😢😢. J'ai 50 ans, les années 80' me manque terriblement, pas pour ma jeunesse, mais pour la mentalité, quel époque, je n'envue pas la jeunesse d'aujourd'hui, je les plains...

[@oscargoldman5143]

@@rodin6297 Vous oubliez le bac E, bien moins accessible qu'un bac C.

[@Christian_Martel]

Dans votre démonstration « Pourquoi i n’est pas égal à rc(-1) ?» à la quatrième ligne: Il est faux de dire que rc(-1)*rc(-1) = rc(-1*-1). C’est vrai pour les nombres réels, mais le domaine des complexes il faut assigner une valeur à la fonction rc(-1) avant de faire le produit. Par example pour x = rc(-4)*rc(-9) On assigne i*rc(4) à rc(-4) et i*rc(9) à rc(-9) tel que i^2 = -1. Donc: x = (i * rc(4))*(i * rc(9)) x = (2i) * (3i) = 6*(i^2) = -6 i^2 = rc(-1) * rc(-1) = (i*rc(1)) * (i*rc(1)) = (1i) * (1i) = i^2 = -1

[@FranckMoreau38]

Tout à fait

[@zoni23k]

Bravo vous êtes vraiment extra! Sur un mode taquin, pourquoi on ne créerait pas un nouvel ensemble qui résoudrait le problème du dénominateur égal à zéro?

[@NicoLoffredo]

c'est en Anglais mais il donne la demonstration kzbin.info/www/bejne/gGPdZqiwpt19hLc

[@Igdrazil]

Il a déjà été inventé et s'appelle "la droite (réelle) achevée" comprenant donc + et - l'infini. Et se note R avec une barre au dessus.

[@adikokoman7436]

Ce n'est pas possible,on atteindrait une singularité

[@evn-tan8663]

pour ce qui est de i != de sqrt(-1) j'ai un gros doute : car si c'est vrai alors : sqrt(-a) = i * sqrt(a) devient faux et on devrait écrire sqrt(-a) = sqrt(-1) * sqrt(a) et se serait non simplifiable ! démonstration 1 : sqrt(-a) = i * sqrt(a) sqrt(-a) = sqrt(-1) * sqrt(a) sqrt(-1) * sqrt(a) = i * sqrt(a) i = sqrt(-1) démonstration 2 : sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a*b) certes mais (sqrt(a))² = a donc : sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt((-1) * (-1)) = sqrt( (-1)² ) = sqrt( 1 ) = 1 (sqrt(-1))² = -1 1 = -1 contradiction car (sqrt(-1))² = sqrt(-1) * sqrt(-1) sqrt((-1)²) = sqrt(-1) * sqrt(-1) donc (sqrt(-1))² = sqrt((-1)²) or visiblement non donc il y a un soucis ! ça veut dire qu'une des 2 règles ou les deux sont pas 100% valide dans R maintenant à savoir laquelle ? (1) sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a*b) (2) (sqrt(a))² = a

[@danielderoudilhes4413]

Je te raconte l'anecdote de ma banque qui savait pas compter dans Z. Je vais au distributeur et je consulte avant de retirer:" Solde créditeur: 540e(--)" Alors je retire. Et je fais ça plusieurs fois vers la fin du mois. Et je reçois un appel de la banque parceque je suis de +en+dans le rouge. Et là, le gars m'explique que j'aurais dû comprendre que 540(--) signifiait (--) 540, cad:" Moins 540e", et que leur logiciel faisait pas la dif entre "Créditeur", et "Débiteur". Par contre leur p***** de logiciel de m**** calculait très bien les intérêts.

[@monsieurpanda7068]

😂😂😂😂😂😂😂😂😂

[@denisfrancois852]

Ce qui prouve que lorsque vous avez un compte négatif vous devenez un cas complexe pour le banquier.

[@12Gergovie]

C'est logique de la part de la banque, créditeur négatif, c'est débiteur

[@danielderoudilhes4413]

@@12Gergovie Ouais, mais bon, en langage humain, le concept de " Crédit négatif" est aussi débile que " Le plus grand nain du monde". C'est vrai que depuis quelques décénnies l'idée d' "Evolution négative" est couramment employée dans la novlangue économique et politique. Faut reconnaitre, c'est quand même plus classe que " Là, on commence à être sérieux dans la m*** grave." Heureusement que dans ce monde aux valeurs de plus en plus floues, il demeure quelques domaines où la raison trouve un refuge: Les maths, la musique, la peinture, la poésie.

[@gregvaillant4046]

Le nanisme est une maladie, dire le grand nain du monde a du sens...

[@Lexoka]

La vidéo est chouette, mais je trouve qu'il manque un truc important : pourquoi vouloir résoudre x² = -1 ? À quels problèmes concrets ça répond ?

[@frankyghost7256]

Ide, je trouve que les nombres complexes n'ont aucune réalité tangible, comme les precedents, donc aucune utilité

[@Lexoka]

@@frankyghost7256 Ah, si, si, si ! Ça sert à pleeeein de choses ! C'est simplement que la vidéo ne les évoque pas.

[@adikokoman7436]

​@@frankyghost7256oh la la la ! ça sert à beaucoup de choses ; ex: dans les phénomènes vibratoires, l'électricité ( loi d'ohm), les équations elliptiques, les équations algébriques dans la démonstration du théorème d'Abel et la théorie de Galois ; au point Albert Einstein disait à propos "" ce qu'il ya d'incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible ""; c'est à dire,de façon schématique,avec des notions abstraites, difficiles à gérer,on explique des phénomènes naturels...

[@thisismycoolnickname]

Mais √-1 est en fait égal à i. On ne peux pas utiliser cette preuve-là que vous avez montré parce que cette regle functionne malhereusement seulement avec les nombres positifs.

[@ceytixg2508]

La fonction √ (racine carrée) est définie comme la réciproque de la fonction carrée définie de R+ dans R+ (elle n'est pas bijective sinon), donc √-1 n'est juste pas défini Mais on peut tout de même dire que "les" racines carrées de -1 sont i et -i

[@alexwithaura2578]

Bonjour j'ai une question, a la fin de la video lors de votre raisonnement par l'absurde pour prouver que i ≠ √-1 vous utilisez la formule √a x √b = √a×b Cependant il me semble que cette formule ne marche qu'avec a et b positifs, or ici ce n'est pas le cas, donc ici on ne pourrai pas utiliser cette formule, la démonstration ne marche donc pas non ?

[@Christian_Martel]

Vous avez raison. J’ai fait la même remarque. Les fonctions racines ont priorité sur les fonctions multiplicatives ou exponentielles. En maths pour ingénieurs, vous l’apprendrez à vos dépend. 😂

[@alexwithaura2578]

Okk ça marche merci

[@DavidDavid-ek3wo]

J'ai une question. En fait j'ai cite la preuve que i n'est pas egal a racine de -1 mais il y en a un qui m'a dit qu'on ne peut pas appliquer la propriete : racine de a fois b = racine de a fois racine de b et inversement si a ET b sont negatifs. Donc je voulais savoir si c'est bien vrai ou si tu as vraiment raison sur cette demonstration (dsl pour les accents je ne suis pas sur un clavier francais)

[@julientripon1092]

To be continued... Si j'ai bien compris, c'est pô fini, mais pas dans le cadre de cette chaîne. Par contre, j'aurais aimé avoir un vrai contexte pour l'apparition de i. Pourquoi un type c'est dit : j'ai besoin de ça. ? Mais sinon excellente vidéo.

[@Piorte]

Merci pour cette vidéo, je l'attendais avec impatience ! Tu m'as passionné dès que tu as fait la vidéo sur l'équation 𝑥² + 5𝑥 = - 25

[@jeanyvestirel4848]

Pourquoi j’ai pas eu un prof de math comme lui. Il aura fallu que j’attende 62 ans pour enfin comprendre des notions de math qui m’étaient restées obscures voir inaccessibles. merci Monsieur et merci aussi KZbin 😊

[@brunor832]

Du coup, pourrait-on créer un ensemble de nombres qui pourrait permettre de "résoudre" la division par 0 ? Comme on crée des nombres, ça devrait être probable ? Genre quelque chose qui dit x / 0 = [quelque chose] qui serait valable dans un ensemble de nombres qui soit ni R ni C ?

[@MichelSLAGMULDER]

Oui on peut le faire il suffit de considérer l'infini comme un nombre. On pose x*0 = 1. Cependant ça n'a pas beaucoup d'intérêt et surtout ça amène plein de contradictions.

[@12Gergovie]

​@@MichelSLAGMULDERun infini spécial, un infini qui est à la fois négatif et positif

[@12Gergovie]

Je me suis déjà posé la même question que vous En fait non, parceque des divisions par zéro ne font pas des nombres, mais une seule et même chose qui est l'infini dans le sens positif et négatif à la fois, quelque chose d'impossible à considérer et qui n'a aucune application possible en mathématiques

[@mekestuboidoudoudidon5886]

Plus passionnant que n'importe quelle série sur Netflix !

[@colombani222]

On pourrait utiliser les matrices pour montrer que le carré de i est (-1)

[@pascalmalle2240]

Vidéo magnifique

[@mrlama1193]

Désolé de pinailler mais j'ai plusieurs choses à redire : - si l'objectif était de présenter une chronologie, une approche historique, alors le fait de parler de l'équation x-4=0 dès le départ est une mauvaise idée. Le fait d'écrire l'inconnue d'une équation x est arrivé très tard d'un point de vue historique, bien plus tard que le fait de compter 4 moutons. - ton raisonnement par l'absurde est faux pour la simple et bonne raison que la racine carrée de -1 n'est pas bien définie. La fonction racine carrée ne doit s'appliquer qu'à des nombres réels positifs. Et c'est complètement faux d'écrire que la racine de -1 fois elle-même vaut 1 !! La propriété que tu utilises sur le produit de deux racines est uniquement valable pour des nombres positifs dans la racine. Un peu de rigueur s'il te plaît ! Mais pour finir sur un mot positif, je regarde tes vidéos parce qu'elles abordent toujours des sujets intéressants, bravo ;)

[@IssaKone-dz4nk]

Et qui t'as dit qu'il ne connais pas tout ce que tu viens de dire mais il veut juste atteindre un objectif ici avec des gens qui n'ont pas besoin de tous ces détails. L'enseignement n'est pas seulement la connaissance académique mais c'est aussi la pédagogie et la didactique, j'espère que tu comprends ce que je veux dire.

[@mrlama1193]

@@IssaKone-dz4nk Si on commence à me raconter que la Terre est plate de manière pédagogique ça n'en reste pas moins faux. Le raisonnement par l'absurde est faux. Ce n'est pas être académique, mais simplement ne pas raconter des bêtises. Sur la chaîne Science Étonnante, on a un bon exemple de pédagogie, et en même temps de rigueur : je te conseille cette chaîne pour comprendre qu'on peut faire preuve de pédagogie tout en étant rigoureux et en montrant qu'on connaît le domaine dans le fond.

[@mrlama1193]

@@IssaKone-dz4nk En résumé : c'est possible de faire de la vulgarisation, c'est à dire simplifier, ne pas rentrer dans tous les détails pour rendre le sujet plus accessible, sans pour autant raconter des choses fausses. Quand on commence à raconter n'importe quoi je trouve cela un peu problématique...

[@IssaKone-dz4nk]

@@mrlama1193 Je pense qu'il est facile de critiquer que de concevoir, j'aurais aimé que tu nous fasses une vidéo dans laquelle tu vas expliquer le même problème aussi simplement et avec la même durée pour qu'on puisse se comprendre.

[@IssaKone-dz4nk]

@@mrlama1193 De plus tout ce que tu soulignes tu crois en connaître mieux que lui??

[@COUCOUCESTOIM]

Cette vidéo est un bol de vitamine pour le petit-déjeuner de mon cerveau. Merci ! ;-)

[@azizhra6223]

Bravo cher Monsieur, j'ai eu une formation scientufique et j'ai fait des etudes supérieures mais je n'ai jamais eu la chanse d'avoir un seul enseignant qui explique les maths de cette façon aussi claire et aussi limpide. Encor BRAVO.

[@richardheiville937]

Le symbole racine carrée ne s'applique qu'à des nombres réels positifs (ou nul) tels que vous l'avez défini donc vous ne pouvez pas considérer la racine carrée d'un nombre négatif. Ce dont vous parlez dans votre démonstration est de la fonction x donne racine carrée de x dont vous voulez étendre le domaine de définition, de l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls à l'ensemble de tous les réels, en gardant la propriété sqrt(a fois b)=sqrt(a) fois sqrt(b). Il existe un autre ensemble de nombres qu'on peut considérer comme contenant l'ensemble des nombres complexes: l'ensemble des quaternions qui lui-même est contenu dans l'ensemble des octonions.

[@denisfrancois852]

Votre explication intéressante est elle-même complexe.

[@richardheiville937]

@@denisfrancois852 Ce n'est pas un sujet simple.

[@richardheiville937]

Imaginez que vous vouliez grimper une montagne très haute, vous vous dites la plus courte distance pour aller d'un point A à un point B est la ligne droite donc je vais grimper tout droit. Vous allez vous prendre en pleine face la forte pente. Si vous aviez regardé plus attentivement vous auriez sans doute vu qu'il y a un chemin qui serpente tout doucement autour de la montagne en pente douce et qui mène au sommet. Souvent les nombres complexes sont comme ce chemin qui serpente en pente douce et qui vous évite de vous prendre de face la forte déclinaison.

[@paulclavier4424]

Ca me fait rire que tu dises comme si c'était évident que pi ou racine(2) ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction alors que pour avoir fait ces démonstrations en prépa, c'est vraiment pas si évident que ca ahah 😁Sinon très bonne vidéo pour pour montrer aux gens que les nombres complexes ne sont pas si méchant que ca !

[@tontonbeber4555]

Pour racine de 2 c'est évident, c'est connu depuis l'antiquité et cela se démontre en trois lignes. Pour pi c'est effectivement plus compliqué, mais la démonstration d'irrationalité de pi reste abordable. Par contre celle de la transcendance, là l'avoue que mes compétences sont dépassées, mais dommage que l'ensemble des algébriques entre Q et R ne soit pas abordée ici ...

[@paulclavier4424]

@@tontonbeber4555 je pense pas que ce soit évident et connu depuis l'antiquité pour le public de @Headacademy mais oui une fois qu'on a vu un peu plus de maths la démonstration nest pas si difficile 😂

[@koishi6979]

Bravo pour cet historique des ensembles numériques. Il me reste une lacune (ou oubli de ma part) sur comment calcule-t-on la racine carrée (ou autres racines d'ailleurs) d'un nombre complexe. Ce sera peut-être l'objet d'une prochaine diffusion, dans ce cas, oublie ce post qui ferait doublon.

[@algebrilleexceller3455]

Tu mets sous forme exponentielle ton nombre complexe : reⁱᶿ et ses racines carrées sont √re⁽ⁱᶿ/²⁾ et -√re⁽ⁱᶿ/²⁾ 😉

[@donaldduck4829]

Il n'y a pas vraiment de "pourquoi" : c'est une invention conceptuelle purement géniale et aux applications concrètes invraisemblablement variées ^^ Keep going the good work ! Bonne journée

[@alexvernes9264]

Bravo pour ce travail, avec un bémol. Pour montrer ce que sont les complexes, cela ne va pas. Il faut partir sur des exemples de rotation centripète, un mouvement spirale, et comment les praticiens puis les mathématiciens ont compris et formalisé leur interaction en introduisant une opération, le calcul matriciel. Je crois que le charpentier, le menuisier, l'horloger, le tourneur, le régleur, et même le tailleur polisseur des âges magdaléniens et bien avant encore comprenaient intuitivement par le geste la dialectique des forces contradictoires, mais sans la formalisation qu'apporte le calcul matriciel. C'est donc une notion très intuitive, quand on a à faire une tâche où l'optimum s'atteint non dans les extrêmes mais dans le dosage. Le calcul matriciel formalise l'intuition, mais il faut le poser pour le faire comprendre: ad + bc = i . Avec les bons coefficients et en doublonnant mécaniquement l’opération : (ad+bc) x (ad+bc) = i x i =i2 = -1. A mon sens il faut partir du geste du tourneur, du potier, du tailleur polisseur pour bien faire sentir la réalité des complexes. Merci pour votre enthousiasme et votre didactisme.

[@AndreTewen]

On peut prouver que i**2=-1 en disant que C = lRxlR, en posant i = (0,1) et en utilisant la multiplication des nbres complexes (x,y).(u,v)=(×u-yv,xv+yu). Donc i.i = (0,1).(0,1)=(-1,0)=-1.

[@solipsisme8472]

Super introduction aux ensembles, personne ne m'avait jamais expliqué pourquoi on les a inventés. J'ai une question à ce sujet : quelle a été la situation pratique qui a mené à la création de i ? J'arrive à concevoir des situations pratiques impliquant les Réels (périmètre, croissance exponentielle,...) mais aucune avec les Complexes. Est-ce pour ça qu'on les appelle Imaginaires ? Ce n'est peut-être pas l'ensemble en lui-même qui l'est, juste ses applications. Merci à qui voudra m'éclairer ! 😊

[@algebrilleexceller3455]

Excellente question! J'y réponds 😉

[@cocolou6760]

Hey petit question bête je suis en première mais dans l'équation x carre=-1 il n'y a simplement pas de solution ? Cela peut être possible qu'une équation n'est aucun solution donc pourquoi cela n'est pas le cas ? On m'a toujours appris qu'une racine carré ne peut être négative

[@kingdav5794]

Excellente vidéo comme d'habitude. C'est extraordinaire comment vous arrivez à rendre compréhensibles des notions qui paraissent obscures pour qui n'est pas crack de maths. Est-ce sue vous pouvez faire une vidéo pour nous expliquer comment on a trouvé les lois qui régissent ces ensembles, ainsi que les notions de groupe, corps, etc... Merci par avance

[@josephcools5066]

Remarque: on ne peu pas faire directement racine(-1)*racine(-1)=racine (-1*-1) car racine(-1)=i*racine de 1 et donc racine(-1)*racine(-1)=i*racine(1)*i*racine(1), ce qui est bien égal à -1. Il faut faire très attention en manipulant les racines de nombres négatifs. racine(-4)*racine(-5)= (i*racine(4))*(i*racine(5))=-1(racine(20) et pas racine(-4*-5) car racine d'un nombre négatif est un nombre imaginaire et doit donc être traité comme tel.

[@MohamedMohamed-px4sr]

C est le mathématicien MUSULMAN ALKHAWARIZMI qui a découvert les chiffres teleque le 4 . On comptant le nombre d'angles dans chaque numéro. C est pas imaginaire. Tu es un arabe tu dois connaitre ça.

[@alduinv4475]

6:36 ça me fait me poser la question : 2 et 5 sont les diviseurs de la base (10), est ce que sur une base quelconque, ce qui fait que la division s'arrête est d'avoir une combinaison des diviseurs de la base dans lequel tu as tes nombres ?

[@urluberlu2757]

oui

[@sebseb8877]

Voilà une très bonne question ! Ça serait intéressant une démonstration de cela

[@koishi6979]

Très bonne observation. La réponse est oui. Au premier niveau, je constate que c'est valable pour les diviseurs premiers 2 et 5, ainsi que 1 et 10 qui sont des diviseurs triviaux. Dans tous les cas, le résultat appartient à D avec un nombre fini de décimales. On peut donc multiplier par 10^k (k étant suffisamment grand pour que le résultat soit de nouveau un entier) et on peut recommencer... donc, tous les nombres dont la décomposition en facteurs premiers ne comporte que 2 et 5 donneront un résultat appartenant à D.

[@julienrichard7463]

Par exemple , en base 3, 1/3 s'écrit 0,1.

[@saimir7758]

Bonjour, la démonstration de i^2 ≠ sqrt(-1) est fausse car la propriété sur sqrt(ab)=sqrt(a)sqrt(b) que pour à,b des nombres positifs donc on ne peux utiliser cette propriété avec -1 tu ne peux pas dire que sqrt(-1)sqrt(-1)=sqrt(-1*(-1))…

[@chbou77730]

x² = -1 i² = -1 Donc x = i Heuuu bhà je vois pas comment cela solutionne le problème, car ce n'est qu'une lettre, x, y, z, i, j, b, d... bref la lettre au carré qui donne -1, je vois tjs pas comment

[@Nomousse]

Petite question : i^2=-1 Donc sqrt(i^2)=sqrt(-1) i=sqrt(-1) Mais si i n’est pas égal à la racine carrée de -1, i^2=1 est donc aussi incorrecte ?

[@12Gergovie]

Il y a une façon de donner concrétement le contexte de R, je te donne une barre de fer bien dure bien rigide, et je te demande de mesurer sa longueur en cm (par exemple) exactement! mais absolument exactement!!! Bah tu ne peux pas, parce que ça va faire par exemple 12,2586479531045785......................... (a l'infini) cm. Sa longueur exacte en cm sera obligatoirement un nombre dans R mais sans être dans Q

[@Igdrazil]

Non, les mathématiciens (de Cardan à Euler) ne les ont pas appelés « imaginaires », « parce qu’ils ont été imaginés comme les autres nombres et choses ». Précisément l’inverse! L’appellation « imaginaire » signifiait « NON RÉEL », « IMPOSSIBLES », « HORS RÉALITÉ », « ARITHMÉTIQUEMENT ABSURDES », « LOGIQUEMENT ICONOCLASTES », « HÉRÉTIQUES », « FÉÉRIQUES », « CHIMÉRIQUES ». Car ils violaient le Principe du tiers exclus. ✔️-1 en effet était clairement non nul, puisque 0✖️0=0, mais ni positif ni négatif non plus puisque le carré de tout nombre connu (à l’époque : Entiers, Rationnels, Irrationnels) est positif, et ne peut être égal à -1. Ils n’étaient ainsi ni « plus que rien » ni « moins que rien »! Le terme « imaginaire » rappelle donc dans quel malaise et embarras se trouvaient alors les mathématiciens face à de tels objets étranges, iconoclastes et exotiques, absurdes à priori, mais qui POURTANT, MALGRÉ TOUT, malgré le « tour de passe-passe illégal et interdit » de leur usage, se montraient néanmoins utiles pour résoudre certaines équations algébriques du troisième degré, appelées par Cardan « cubiques irréductibles », qui possédaient bel et bien des solutions « réelles », et qu’on arrivait ainsi à retrouver par des calculs « absurdes » passant par le « no men’s land imaginaire » d’un « Ailleurs » de l’Arithmétique orthodoxe légale! Ces « nombre imaginaires » étaient donc vus comme des chimères. Et sans L’UTILITÉ étonnante du tour de passe-passe « illégal » (pour l’époque ») de leur usage, ils auraient été abandonnés avant même l’accouchement. C’est donc un miracle que les mathématiciens aient néanmoins persévéré avec leur maniement. Et un second miracle que de telles chimères, se soient finalement paradoxalement révélées « plus réels que les réels », lorsqu’on finit, après trois siècles de traversée mentale du Tartare et de malaise perceptible jusqu’à Euler, par commencer à comprendre enfin leur vraie nature et à trouver comment les définir parfaitement rigoureusement. Bombelli s’en sert sans complexe, mais c’est vraiment Argan qui comprend le premier leur nature géométrique, en identifiant la chimère arithmétique ✔️-1 à un quart de tour anti horaire du plan euclidien, et donc son « carré », sa « composition avec lui-même », logiquement et simplement à un demi tour que traduit « -1 ». Puis c’est Hamilton qui, en inventant les vecteurs puis ses fameux quaternions, découvre l’interprétation VECTORIELLE à deux coordonnées, de ces « nombres imaginaires ». Mieux, montrant non seulement qu’ils peuvent être donc vu comme de simples vecteurs ordinaires du plan, mais surtout que leur existence, en tant que NOMBRES, est en outre justifiée par celle d’une MULTIPLICATION, cachée jusque lá, entre les vecteurs du plan euclidien. Hamilton découvre ainsi leur double nature fondamentale. Celle de VECTEURS du plan, mais de vecteurs avec lesquels on peut faire plus que se qu’on croyait licite de faire jusque là. A savoir, les MULTIPLIER ET DIVISER entre eux, en plus des règles connues permettant de les ADDITIONNER (par Chasles) et de les « DILATER » (les multiplier par un nombre « reel », appelé« scalaire », par Thalès). Ce qui en fait ainsi, non seulement des VECTEURS DU PLAN, mais aussi des NOMBRES à part entière, munis des quatre opérations de base de l’Arithmétique traditionnelle et séculaire. Vu donc comme des « nombres/vecteurs du plan » à partir d’Hamilton, leur expression algébrique « d’extension de Corps Galoisien » de la forme a+bi (semblable à 4+5✔️2 par exemple), conduisit à les renommer au cours du 19 et 20 ème siècle, « nombre complexes », parce que composés de DEUX nombres réels et du fameux i=« ✔️-1 ». À partir de là on conserva l’appellation « imaginaire » pour les « nombres complexes » de partie réelle nulle et donc de la forme bi, aussi appelés (pour enfoncer le clou) « imaginaires purs ». Appellation qui rappelle aussi qu’avant que ne soit pleinement et universelle adoptée celle de « nombres complexes », on distinguait ainsi les « imaginaires » généraux du type a+bi et ceux particulier du type bi appelés « imaginaires purs ». Une tendance s’est plus ou moins établie depuis d’appeler « nombres complexes » les généraux du type a+bi, et simplement « imaginaires » (sans l’adjectif « purs ») ceux particuliers du type bi. Certains nerveux et rabat-joie s’offusquent qu’en Mathématiques on utilise des vocables « ambigus », « oxymoriques » et « trompeurs » comme « nombres imaginaires » pour désigner des êtres mathématiques, géométriques, algébriques et analytiques qui existent pourtant bel et bien. Ceux là sont peu sensibles à la Poésie réelle des Mathématiques, à la patine exquise de l’Histoire, au charme fou de la Légende des Siècles, et oublient qu’elles sont humaines autant que « surhumaines » et « nouménales », « transcendantes » et « archétypes ». Autant enracinées dans l’archéologie spirituelle des hommes que dans le monde platonique abyssal des « Idées »; monde « sans histoire » et sans âge qui transcende la matière, l’énergie, l’espace et le temps. Fi donc d’une telle divine fragrance? N’est-ce pas au contraire sublime, exquis et délicieux de telles brises de poésie et de fraîcheur, dans un monde de rigueur et parfois d’alpinisme aride et escarpé? Ces brises parfumées comme des Edelweiss montagnardes d’une exquise fragrance sont en fait légions, et heureusement! Celle de l’importante méthode Lagrangienne de « variation des constantes » n’est-elle pas savoureuse? Diamant espiègle dans son écrin d’oxymore… 😂

[@isselmoumohamed769]

Mais en posant i=-1^0,5 =>i^2 = -1 : en simplifiant la racine avec le carré !!! Et pourtant, la majorité -si c'est pas le tout- des systèmes universitaires , utilise la quantité "-1^0,5" généralement en la considérant le nombre imaginaire "i" !!!

[@haceneait]

Je suis accro de hedacadamy, que je regarde régulièrement, j'ai 60 ans, j'étais matheux au lycée et j'adore les maths mais j'ai fait médecine🤦😜 Juste un remarque, dans cette vidéo vous avez dit que pi est dans R mais pas dans Q Mais il y a 45 ans j'ai appris que pi=22/7 et sur la calculatrice ça donne ça 3,142857 Alors vrai ou faux? Merci

[@ibrahimibrahim4109]

i n’a pas été imaginé, c’est comme l’infra rouge , il existait déjà on l’a juste découvert!

[@bonnetomiray4616]

i^2=-1 car si l’on prend le nombre i entier, qui est (a+bi), avec a=0 et b=1, i^2= a^2+abi-b^2=-1, ce qui fait, 0^2+2×0×1-1^2=-1

[@JeremyGasperowicz]

👍Merci pour cette série de vidéos qui pourraient toutes être regroupées dans une playlist YT sur les complexes, je dis ça j'dis rien 😉

[@mauricetournie5210]

Bonsoir Je suis le 634eme commentateur. Intéressant mais réserver à un public d'initié, mon Certificat d'Etude Primaire ne me permet pas de comprendre deux termes en début: Wou et spoiler. Et en plus tu parles trop vite ma compréhension naturelle ne suit pas. Dommage car j'avais aimé quelques vidéos (de mon niveau BEPC BAC ).

[@JeanSarfati]

Pas d'accord. Historiquement ça vient de racine de moins 15 qui a été utilisé tel quel par un mathématicien italien vers 1500. Et une fois le calcul d'équation fait il s'en est débarrassé à la fin. Ça a été réutilisé ensuite. C'est donc bien racine de moins 1. Et c'est bien contradictoire. Mais alors ? C'est simple: comme dans toutes les maths, par principe, on enferme la contradiction (dont tout le réel est truffé !) dans un Symbole. C'est ici i qui n'est pas du tout "imaginaire" (il est inimaginable, sinon montrez le !) mais Symbolique. Par Convention, pour ne pas montrer la contradiction inventée vers 1500, on n'écrit jamais i=racine de moins 1, mais en toute rigueur, si i^2=-1, alors i=racine de moins 1. Ça n'empêche rien en fait, car on ne peut pas calculer i, et on l'assume. Le résultat pratique est qu'on s'en débarrasse à la fin des calculs grâce à i^2=-1, ou i/i=1, ou ix0=0. C'est une Hénaurme erreur de croire que les maths ne sont pas contradictoires, alors qu'ils sont basés sur l'enfermement de la contradiction dans un Symbole opératoire efficace dans le calcul. Ex: impossible de définir exactement la valeur d'un périmètre de cercle de rayon 1. 3,14159etcetc. Eh bien on symbolise par pi, et on calcule, sachant qu'on ne peut donner la valeur exacte qui sera toujours infinitésimale approchée. La même logique gouverne x en tant que "inconnue". On ne la connaît pas par définition, mais on travaille avec le Symbole ! Et ça marche car le Symbole est une boîte fermée dont on peut donc se passer du calcul "interne" ce qui permet de se contenter du calcul "externe" comme les Calculi des Mésopotamiens!

[@claudeBgf]

Moi, je vois l'origine autrement, via la représentation d'un vecteur dans un plan, c'est plus "instinctif". Passer d'un vecteur à son opposé revient à le multiplier par (-1). Dès lors, une rotation de 180° d'un vecteur revient à le multiplier par (-1) Mais une rotation de 180°, ça équivaut à deux rotations de 90°. On pose (i) étant le multiplicateur correspondant à une rotation de 90°: On se retrouve alors avec un vecteur multiplié par "i" (90°) et de nouveau multiplié par "i"(90°) qui se retrouve égal à ce vecteur multiplié par "-1" (180°). Donc: i . i = (-1) -> i² = -1. Pour moi, elle est plutôt là, l'origine de i, c'est pour permettre de travailler sur des vecteurs dans un plan en évitant de manipuler des angles. Parce qu'à chaque expression faisant intervenir "i" on peut avoir un équivalent trigonométrique. Mais bon, ce n'est évidemment que ma propre vision des choses :)

[@guillaumeabadie7178]

Merci pour toutes tes vidéos supergeniales. J'imagine ( sans jeu de mot) que t'es élèves t'adorent. Prévois-tu, un jour, d'expliquer quelles opérations ou techniques opératoires se cachent derrière les racines carrées et les logarithmes décimaux ou népérien? En somme, comment calculer V3 ou log3 ou encore ln3 à la main?

[@abderrahmanebelazouz1574]

bonjour votre raisonnement est incomplet en fait: i2=Racine de 1 admet deux solutions (+1 et -1) donc votre hypothèse.....

[@adogonasidecar1262]

Très décevant. Autant vous avez une méthode de communication qui marche pour faire découvrir les choses simples aux débutants, autant ça coince pour les sujets sérieux. Aussi, en français on dit imaginaires pour l'ordonnée et complexes pour le plan dont on exclut l'abscisse et l'ordonnée. Ça fait du sens, du coup. Et aux US (ou j'habite) aussi...

[@jmlfa]

L'invention des nombres négatifs (Indes - 6e siècle) est infiniment plus étonnante que celle des nombres complexes (16e siècle).

[@armandcoulmier7943]

Bonjour, je passe le Grand Oral bientôt, suivant l’option Maths Expertes, j’ai voulu faire un sujet original et j’ai choisi « pourquoi i2 = -1, pensez vous que cela est intéressant (sachant que je parle de la création des premiers ensemble, mais aussi de comment nous sommes arrivés a i2 = -1 plus en détails, notamment avec l’équation de Bombelli

[@sheytacbaretts8621]

Historiquement c’est faux. Les nombres complexes ( à l’époque on parlait de nombres impossibles) ont été utilisés avant même qu’on admette l’existence des nombres négatifs en tant qu’objet mathématique. Va voir ce que d’Alembert disait sur l’existence des nombres négatifs. Néanmoins le théorème fondamental de l’algèbre s’appelle théorème de D’Alembert-Gauss. Cette présentation que tu nous fais là est une présentation de manuels scolaires qui piétinent la réalité historique. Son avantage c’est sa pédagogie. Même moi je l’ai appris comme ça au lycée. Quand j’ai su que la réalité historique différait j’ai vraiment eu la haine.

[@adriengerber6712]

Bonne approche historique. Après formellement, i n'est qu'une notation pour décrire le point (0,1) du plan. Ce nombre n'est donc pas qu'une simple imagination

[@espremanetienne2585]

Excellent ! J'en arriverais même à aimer les maths. Pourquoi n'ai-je pas eu un prof comme vous lorsque j'étais étudiant ?

[@borisjaulmes5773]

J'ose pas te contredire mais sqrt(-1) c'est une hérésie. ta démonstration par l'absurde ne sert pas tant à démontrer que i est différent de sqrt(-1), mais plutôt que le simple fait d'écrire sqrt(-1) va *forcément* te conduire à une aberration mathématique. C'est pour ça que la fonction racine carrée (ainsi que la notation associée) n'accepte aucun nombre négatif. Même en théorie, même pour une démonstration par l'absurde.

[@Marneus_Calgar]

Très bonne vidéo, qui explique avec justesse les différents ensembles en restant concis. Tu fais même la demo de pourquoi i != sqrt(-1) Ça aurait été top de faire la même pour racine de 2 qui n'est pas un rationnel 😊 Mais top

[@etiennewelschb5725]

À mon souvenir, pas tout à fait d'accord sur la démonstration, si x2= y, x=racine y ou x= - racine de y Autrement dit si x2=4, soit x=2 soit x= - 2 : même si dans l'exemple de l'hypoténuse la réponse est forcément positive. Pour la démonstration de i : il suffit d'expliquer que la racine carrée ne se conçoit dans le monde des reels qu'avec un positif donc l'équation i2= -1 ne se conçoit que dans le monde complexe, À mon sens et selon mes vieux souvenirs, j'insiste.

[@thierryealet381]

Bonjour, Super exposé ! Je me souviens, en terminale D (à l'époque), j'avais un super prof de maths qui arrivait en cours les mains dans les poches, sans aucune note. Ils nous avait introduit les complexes en passant par les matrices (je ne souviens plus du cours, mais c'était passionnant). Je me souviens aussi en prépa avoir résolu des problèmes électriques à l'aide des complexes avec un certain "z". Pour revenir sur ta démonstration par l'absurde à la fin de ta vidéo, tu dis racine de 1=1, donc contradiction. Mais racine de 1=-1 aussi ? Qu'en penses-tu ? Sinon, encore bravo pour tes vidéos 👏

[@bastoktok]

Alors oui... Mais non... tout ce que tu dis est complètement faux. Personne ne s'est réveillé un matin en se disant tiens, si on inventait la notation √ pour résoudre l'équation x²=2. √2 est un calcul (voire une notation), pas un nombre. C'est juste qu'on accepte qu'on ne soit pas capable de de résoudre l'équation. Pour i, c'est encore pire. Jamais personne ne s'est dit "hmmm ça serait cool qu'on ait un nombre pour résoudre l'équation X²=-1". Les complexes sont à la base des étapes de calcul (tout comme les racines), qu'on suppose vraies parce qu'elles permette de résoudre des problèmes, mais dans lesquelles, à la fin les racines disparaissent, et historiquement, c'est sur la résolution des polynômes du 3ème degré que les complexes sont utilisés. Je ne comprend pas pourquoi on continue à apprendre aux élèves ce genre d'histoires inventées. Alors que c'est tellement simple de montrer l'équation de Cardan x(10 - x)=40 et de se rendre compte que ses solutions sont 5+√-15 et 5-√-15 et que, quoi ce ces nombres veuillent dire, ils sont bien solutions de l'équation, même si on admet qu'ils n'ont pas de sens dans R. Pourquoi toujours dire "hey regardez i²=-1" ? C'est aussi stupide d'incompréhensible pour un élève. C'est comme ça qu'on se retrouve des années plus tard avec des gens sur internet qui viennent te dire que la somme des nombres entier est égale à -1/12, et que si si ça a été "prouvé" par la science avec l'effet Casimir, sans rien comprendre des tenant et aboutissant de ce genre de chose.

[@antoine8975]

Il y a un problème avec la démo i≠racine(-1). -1 n'est pas dans l'ensemble de définition de la fonction racine par construction donc écrire racine de -1 n'a pas de sens. La démo peut se justifier simplement par définition de la racine carrée. Et puis racine(a*b)=racine(a)*racine(b) si a et b sont positifs donc dans le cadre de cette démo par l'absurde, cette propriété n'est pas utilisable.

[@loicgeeraerts]

13:18 La règle qui permet de regrouper ou de séparer des racines n'est vraie qu'avec les nombres positifs. D'ailleurs les anglo-saxons qui utilisent sqrt(-1) le savent et n'ont pas de problème avec sqrt(-1).

[@ReneSomas]

Bonjour, merci pour cette superbe vidéo Je ne comprends pas une chose dans ta démonstration i=!-racine carrée (-1). Tu as donné la définition de RC: nombre tel que multiplié par lui-même... D'après la définition, la 2e ligne devrait donner i2=-1 et la démonstration est terminée. Si en faisant des manipulations, on arrive à un résultat incohérent, ce sont les manipulations qu'il faut remettre en cause. Pour moi la définition doit l'emporter. Ne devrait-on pas limiter la factorisation de la RC à l'ensemble R et non C?

[@joluju2375]

J'aime bien l'aspect historique. Pour démystifier les adjectifs "complexe" ou "imaginaire", j'aime à imaginer un mathématicien fou de l'âge des cavernes qui aurait imaginé des nombres négatifs, ce qui ne servait à rien puisqu'on ne pouvait pas posséder -4 moutons. On aurait pu dire que -4 ne sert à rien, que c'est un truc "imaginaire" qui n'existe pas. Et pourtant ... on s'y est habitué, plus personne ne saute en l'air et on ne trouve plus ça absurde.

[@Informationlogique]

Maintenant c'est Q pour nombre rationnel et Q' pour nombre irrationnel, avec la nouvelle réforme des mathématique. Car ''D'' et ''Q'' sont des nombre décimal, les deux, un peut se terminera avec des chiffre et l'autre est indéfinissable. Je travail aussi sur la théorie de la racine carré d'un nombre négatif, car -4 = 2 *-2, alors es que la racine carré de 4 peut être égale soit à 2 ou/et à -2? Comment savoir car nous devon multiplier 2 signes différent pour créer un nombre négatif avec la multiplication? Pourtant -4 /-2 = 2. Si nous faisons la racine carré de 4, on revient sur un nombre naturel ''2'' plutôt que d'arriver sur -2. Es que les signe positif prendrons toujours avantage sur les signes négatif? Car le double de la même division est positif et quand on parle de racine carré, on parle de son double. 2 nombre négatif sont des doubles. On arrivent donc à un nombre positif. Si nous voulons un nombre négatif, nous devons l'ajouté manuellement pour y croire. Début de ma theories.

[@momoazer]

Il n 'y a moyen de montrer l 'existence de i. Sans passer par IR2 OU l'ensemble des matrices carrières munis des lois de compositions internes spéciales : la première additive et la deuxième multiplicative . Ces deux lois font que IR2 et l'ensemble des matrices carrières d'ordre 2 soient des corps commutatives complet après ça on définie un isomorphisme entre l'un des deux corps et le future corps complet des complexes . L'isomorphisme permettra de noter les couple de IR2 (a , b) = a(1 ,0 ) + b(0 ,1 ) = a+ bi .

[@sebastienr988]

On a imaginé le nombre i pour pouvoir résoudre x=-4 par exemple (j'ai vu ta vidéo avec x3=125). Quand tu as fais le raisonnement par l'absurde je me suis demandé: est-ce qu'il serait possible d'inventer un nouvel ensemble de nombre pour le contexte de "résoudre un problème, une équation absurde". Quelque part ma question est jusqu'où peut-on faire intervenir l'imagination dans les maths, qui sont vues pour un individu lambda comme le domaine de la raison, logique et l'exactitude. A priori cela semble plutôt opposé. Je te remercie que tu aies pu élargir ma vision des choses.

[@bassirougarba3255]

J'apprécie ton effort mais il fallait amener un problème réel (genre géométrie, électricité...) qui nécessitait la création de i²=-1

[@FertiCompany]

Désolé mais il manque une démonstration concrète pour les nombres complexes. Dans les ensembles précédents il y avait des pommes, des écus, ... hormis cette remarque, vous êtes un modèle de pédagogie, merci

[@pascalvaquie3273]

Je sais pas à quoi tu carbures mais je suis certain que ça doit pas être en vente libre. Ben tant mieux, continue comme ça ! Moi en tout cas, tu m'as fais replonger dans les maths avec bonheur. J'suis devenu accroc à tes énigmes et vidéos diverses. Ma femme me prend pour un fou et ma fille me fuit avec des "vade rétro Satanas !". Pas certain que ce soit très positif pour mon image de père... Aller, encore une ou deux et j'vais me coucher, promis.... 😂

[@ilafya]

Tout simplement la multiplication par 1 c’est la rotation de centre O et d’angle zéro de 1 ,la multiplication par -1 c’est la rotation d’angle Pi et finalement la multiplication paî c’est la rotation d’angle pi/2 et c’est pour ça i^2 est deux fois rotation de 1 d’angle deux fois. Pi/2 Qui est pi et le 1se transforme en -1. Salam

[@ericvanderperen7548]

Deux erreurs (ou une ?) dans cette vidéo. Historiquement les nombres complexes sont apparus non pas avec l'équation donnée dans cette vidéo, mais avec l'apparition bizarre de valeurs négatives à l'intérieur des racines en résolvant des équations polynomiales, la simplification un peu abusive peut être critiquée (ou pas?). Après les nombres complexes, il y a l'ensemble des quaternions et des octonions.

[@chrispizz1327]

J'adore tes vidéos , bravo d'ailleurs pour leur qualité , c'est toujours un plaisir Par contre dans cette vidéo , finalement tu n'as pas dit pourquoi i²=-1 , perso je connais la réponse mais je pensais que tu allais l'expliquer à ceux qui ne savent pas avec ta pédagogie exemplaire et habituelle

[@mocheromy]

Par hasard j'ai tombé sur cette vidéo et j'espère que vous savez que x=i ou x=-i la même chose pour le racine attention à ce que vous apprenez au jeunes. Merci.

[@philippenoviant860]

Pour ta racine, dans un cadre concret, tu pourrais avoir à te dire : j'ai un terrain qui représente un carré. Ce terrain a comme surface 2 (m², dam², peu importe). Quelle est la longueur du côté de mon carré ? Ou encore plus concrètement : 2 hectares ont brûlé, ça représente un carré de combien sur combien de mètres ?

[@aigleimperial]

Il c'est bien tout ce discour, mais ça sert à quoi dans notre vie d'avoir des nombres imaginaires? A part ajouter une complexité?😉☺😊😇

[@aurel4617]

Super. J'aime pas les deficites banquaires pour les négatifs. Depuis tout bébé mon petit fils à l'arrière de ma voiture explorait l'affichage de mon tableau de bord. Il avait un intérêt particulier pour la température. Ainsi il a eu acces rapidement aux négatifs qu'il a aussi rencontré dans les ascenseurs. Un jour en rentrant de l'école, il etait en Ce1, il me dit : la maitresse à demander si on pouvait calculer 3-5 et toute la classe a dit non. Je lui demande et toi qu'est-ce que tu en penses ? réponse du gamin, c'est parcequ'ils ne connaissent pas les négatifs. Moi :Et donc ça fait combien ? -2. Quand on presente les relatifs en 5ème ou 4ème, je suis toujours etonnee de voir les élèves galérer dans les signes, ca devient une espèce de recette de cuisine.

[@Mdk4987]

Merci beaucoup pour vos trucs Ssi Amine . π est un nombre réel jusqu'à preuve du contraire.

[@vatakidosso3599]

La présentation serait parfaite si une place était réservée aux nombres IRRATIONNELS qui ont été omis

[@joelbosse4307]

J’ai failli raté mon bac math élem en 1965 à cause de ce i2, coefficient 7 heureusement la physique, coefficient 6 a bien rattrapé.

[@loicgeeraerts]

En toute rigueur, il ne faudrait pas écrire x = 4 dans la colonne solution mais simplement 4. Les solutions sont des nombres et non des équations, même si ces dernières sont triviales. En fait, x = 4 est une équation équivalente à x - 4 = 0, c'est-à-dire que ces deux équations ont exactement le même ensemble de solution(s).

[@lounesamazigh1677]

Le passage de i2 =sqrt(-1) sqrt(-1) à i = sqrt(-1x(-1)) est mathématiquement incorrect

[@jimmygoffart8202]

Merci, si vous le permettez, lorsqu'on explique des math, il faut parler beaucoup plus lentement, plus calmement. Signé un ancien cancre

[@francoisp3625]

5:31 excellente idee de presentation :) tres pratique/efficace

[@ilafya]

i=i*1 qui est la rotation de 1 d’angle 90 degré avec le meme raisonnement i*i=i^2 c’est aussi la rotation de i d’angle 90 degré et finalement i^2=-1 remarque la rotation ce fait tjr dans le sens trigonométrique géométriquement parlant .

[@marclelouer4109]

Imaginons une personne qui veut clôturer son champ qui a la forme d'un triangle rectangle isocèle, avant d'aller au magasin acheter de la clôture, il faut qu'il mesure le périmètre du champ. Supposons que le champ à un coté de longueur 1, son périmètre vaut 2 + racine de 2. Il a donc besoin de calculer cette racine.

[@MrBalou06]

Passionnant comme toujours, mais l'aspirine peut être utile ;-) Merci et bravo pour cette série, retour de 45 ans en arrière pour ma part, un bonheur partagé par beaucoup, visiblement.

[@PatriceFERLET]

Pour les nombres négatifs, le principe des températures est un peu plus simple à comprendre pour un gamin que de l'argent qu'on n'a pas. Mais super vidéo en tout cas. EDIT: OK, tu donnes l'exemple finalement.