Olimpiada de MATEMÁTICAS | ECUACIÓN exponencial: x^(x^x) = (x^x)^x

[@MathVitae]

Hola, x=-1 también es una de las soluciones de esta ecuación. El problema es que estas funciones están definidas en los REALES para valores positivos, mientras que para valores negativos del dominio las imágenes son COMPLEJAS (por ejemplo para x=-1/2). Por esta razón -1 es una SOLUCIÓN COMPLEJA de esta ecuación, lo hermoso es que -1 es un número complejo cuya parte imaginaria es igual a 0, por lo que es real puro y más aún es entero, pero para obtenerlo debemos analizar estas funciones en dominio de los número complejos.

[@sebastello5124]

El cero también no sería una solución?

[@jorgemeji2410]

​@@sebastello5124 Si propones x=0 como solución no sería correcto. Esto es porque la función x^x si la evalúas en 0 no tiene imagen, es una indeterminación. Esta indeterminación la puedes "concluir" haciendo que 0^0=0^(1-1)=0/0 que también es una indeterminación. Por otra parte, si x=0 fuese solución de la ecuación, entonces también tendría que existir ln(0), pero no existe ningún número real c tal que c=ln(0). Puedes verlo graficando la función y viendo que si límite por la derecha se va al menos infinito.

[@nickfaire]

​​@@jorgemeji24100. ¿Segun tú 0¹=0²/0¹=0/0 luego 0¹ está indeterminado? No. Ese argumento está mal, estás usando propiedades de la exponencial que, para ser ciertas, entre las hipótesis deben incluir que la base sea no nula. 1. 0⁰ NO está indeterminado. La indeterminación algebraica de una operación y la indeterminación analítica de llos límites con cierta forma algebráica no tienen por qué coincidir, y 0⁰ es el caso de manual. Los límites de la forma (x_n)^(y_n) donde tanto x_n como y_n tienden a 0, llamados límites de la forma 0⁰, están indeterminados en el sentido de que dependiendo de cuál sea la sucesión x_n y cuál y_n el resultado del límite (x_n)^(y_n) puede ser cualquier número. Ahora bien, algebráicamente, la exponencial de dos enteros no negativos a y b, a^b, se define como la cantidad de funciones que existen desde un conjunto con b elementos a un conjunto con a elementos. Si tienes dos conjuntos de 0 elementos (dos conjuntos vacíos), existe una única función entre ellos (la función vacía), luego 0⁰=1. ¿Esto significa que la exponencial, vista como función del plano en la recta que lleva cada par (x,y) en x^y, no es continua en (0,0)? Efectivamente. Pero algebráicamente 0⁰=1. 2. La indeterminación algebráica ocurre cuando defines una función como la inversa de otra y esa otra no cumple ciertas propiedades de inyectividad al fijar el valor de las distintas variables. Por ejemplo, la operación división se define como aquella que lleva cada par (x,y) en el número x/y tal que (x/y)×y=x, es decir, la inversa del producto (como el producto es conmutativo tiene una sola inversa). El problema con esta operación surge en que para cada par (x,y) distinto de (0,0) existe un único real que cumple esa ecuación, pero para (0,0) cualquier número que pongas la cumple. De ahí que se diga que "0/0 está indeterminado". Por otro lado, si para algún par de elementos no existiese solución a la ecuación (cosa que no ocurre con el producto) se diría que la operación en ese par está indefinida. Por ejemplo, el logaritmo se define como la operación que lleva cada par (x,y) en el número z tal que x^z=y (logaritmo en base x de y), y si la evaluas en (x,y)=(0,1) (logaritmo en base 0 de 1) no existe ningún z que verifique 0^z=1, luego el logaritmo está indefinido en (0,1), mientras que para el par (x,y)=(0,0) cualquier z>0 te verifica que 0^z=0, de manera que el logaritmo en (0,0) está indeterminado en los reales positivos. ¿Por qué este último punto? Por lo que dices de que "si x=0 fuese solución debería existir ln(0)". No. El problema es se da cuando aplica las propiedades de los exponentes y logaritmos, ya que solo son válidas si la base NO se anula. Por ejemplo, si tomas la ecuación x=x², sus soluciones son claramente x=0 y x=1, pero si sacas logaritmos naturales, ln(x)=ln(x²), y aplicas la misma propiedad que en el vídeo, ln(x)=2ln(x), te sale que necesariamente ln(x)=0, ergo x=1. Te has cargado la solución x=0. ¿Por qué? Por aplicar el logaritmo natural a funciones exponenciales sin tener en cuenta el caso en que sus bases se anulan. ¿Alguien diría que 0 no es solución de x=x² porque "entonces ln(0) debería estar definido"? Por supuesto que no. Pues es exactamente lo mismo con la ecuación del vídeo.

[@AdriOshu98]

​@@nickfaireexcelente explicación!

[@AdriOshu98]

​@@sebastello5124 Si asumimos el valor algebráico de 0⁰=1 (no del limite indeterminado de cálculo) Al remplazar x=0 nos quedaría de la siguiente manera 0^(0⁰) = (0⁰)^0 0^1 = 1^0 0 ≠ 1 Por lo tanto no se cumple la ecuación para el valor x=0 (Como dato extra x^(xˣ) es inyectiva en todo su dominio, mientras que (xˣ)^x es inyectiva solo para valores de imagen y>1 tal que su dominio es x>1, esto nos permite intuir que para x

[@danielgarciatormo1390]

Gracias por compartir tus conocimientos

[@MathVitae]

Con mucho gusto. Gracias a usted!!!

[@javierferrandizlarramona6588]

Una ecuación preciosa!

[@MathVitae]

Así es, muchas gracias por su comentario. Saludos!!!

[@AlainPontPascual]

Muchas gracias profesor.

[@MathVitae]

Con mucho gusto. Gracias por su apoyo. Saludos!!!

[@AdriOshu98]

Gracias por considerar mi ejecicio propuesto 😊

[@MathVitae]

Para nada, gracias a usted por la excelente recomendación!!!

[@AFSMG]

Muy elegante. Felicitaciones. Un saludo

[@MathVitae]

Muchas gracias, aprecio sus palabras. Saludos!!!

[@ricardoreyvenegas6019]

Una explicación excelente

[@MathVitae]

Gracias 😊

[@canalf007]

Este ejercicio es interesantísimo porque de hecho hay una TERCERA solución, y es real. (Más aún, es entera). Daré una pista: la propiedad de 1:10 es válida cuando a>0. ¿y si a

[@MathVitae]

Excelente, gracias por la observación!!! La tercera solución es (-1), este resultado es válido para la ecuación inicial pero cuando aplicamos ln en ambos miembros obtenemos ecuaciones no definidas para ese valor, por otra parte si a es menor que 0, la propiedad de potencia de potencia no se verifica siempre. Todo esto me hace preguntarme si existe algún método algebraico por el que podamos obtener las tres soluciones ¿Qué cree usted? Saludos y gracias nuevamente.

[@canalf007]

@@MathVitae exactamente. Al tomar logaritmo automáticamente se asume que x>0, eliminando la otra solución. Resolución gráfica tampoco sirve porque x^x sólo es continua para x>0, y descarta soluciones enteras negativas. No he metido mucho lápiz, pero imagino que con algun cambio de variable se podría resolver x^x=x, o bien usar variable compleja para sí definir log para negativos. Log en complejos NO es inyectiva, por ende ahí podrían salir las otras soluciones

[@carlosvillalba5815]

Si tomás log como función multivariada log x=0, implica 0=log |x|+(arg(x)+2k.pi)*i, esto es x=e^k.pi, k entero, es decir x=1 o x=-1.

[@canalf007]

@@carlosvillalba5815 Justamente. k*pi*i. Faltó un i jeje

[@joselucena5822]

Excelente desarrollo

[@MathVitae]

Gracias!!!

[@HugoTravaglini]

Excelente

[@MathVitae]

Gracias!!!

[@YoelIsaac-vb9xb]

Bravo

[@MathVitae]

Gracias!!!

[@DarkMetal2303]

Siempre teniendo en cuenta que cuando tenemos potencia de una potencia nos aseguremos de que la base sea positiva. Si es negativa dependemos ya de cuanto valga cada exponente para ver si se puede o no multiplicar exponentes.

[@MathVitae]

Excelente análisis, gracias por compartirlo. Saludos!!!

[@lomejordelfutbol4765]

te dejo un problema si lo quieres resolver, - Si a y b son enteros y si las soluciones del sistema Y - 2 x - a = 0 y^2 - x.y + x^2 - b = 0 Son racionales, demostrar que las soluciones son enteras.

[@MathVitae]

Excelente problema, pensaré en la solución. Gracias!!!

[@lomejordelfutbol4765]

@@MathVitae lo sigo esperando jajajaj

[@robertgerez3480]

Profe no se anima a hacer uno de geo ? Muchas personas suben mucho contenido de algebra elemental, pero muy pocos sobre geometria plana. Si se anima le dejo un problema. Sea ABCD un cuadrilatero convexo. Probar que si el angulo en B más el angulo en D suman 180°, entonces por A, B, C y D pasa una misma circunferencia.

[@MathVitae]

Muy buena recomendación!!! de hecho mi pasión es la geometría la disfruto mucho. Pensaré en el problema y haré un video. Muchas gracias!!!

[@JPTaquari]

Se eu entendi o problema, que me parece simples a única solução (além dos valores 1 e zero ) é o número 2 X^(X^X) = 2^4 = 16 (X^X)^X = 4² = 16 Acho que binguei, pero no lo sei !

[@MathVitae]

Exactamente, 2 es una de las soluciones. Gracias por comentar. Saludos!!!

[@javierferrerabreu8831]

Bonita ecuacion

[@MathVitae]

Gracias!!!

[@robertgerez3480]

Supongamos que x es entero no nulo. Tenemos: (x^x)^x=x^(x^x) => x^(x²)=x^(x^x) Veamos que pasa cuando x≥1: Y mas aún, supongamos que x>2 Por algebra tendriamos, x^x>x² exponenciando por x a ambos lados(y recordando que x es entero positivo para este caso) => x^(x^x)>x^(x²), pero x^(x^x)=x^(x²) por hipotesis, luego x^(x^x)>x^(x^x), absurdo. De donde concluimos que x≤2, probamos los casitos y nos da que x=1 y x=2 andan(funcionan, sirven, igualan la expresion, etc). Ahota veamos que pasa cuando x≤-1: Como bien dijo uno de los comentarios que me respondió, cuando x

[@MathVitae]

Excelente método!!! Gracias por compartir. Un saludo

[@carlosvillalba5815]

Tené cuidado que si el exponente es negativo, el entero x^x es una fracción. De todas formas deberías decir: si la ecuación tiene soluciones entera son estas", porque en tu prueba asumiste esa restricción sobre x.

[@robertgerez3480]

@@carlosvillalba5815 Me cito textualmente "Supongamos que x es entero no nulo". Por eso presente la notación de divisibilidad al inicio

[@carlosvillalba5815]

​@@robertgerez3480 ok lo que decís. De todas formas veo que la prueba llega a la solución correcta sin embargo el procedimiento no es del todo correcto. Me explico, cuando x

[@robertgerez3480]

@@carlosvillalba5815 Entiendo, ya veo a que te referis y es cierto, acoté mal x^x, pues x^x no es entero en los negativos. Ya lo voy a ver bien cuando vuelva a mi casa, voy a probar con parte entera a ver si sale una solu bonita, sino me voy con algebra

[@josepazp]

Misma base=x entonces los exponentes son iguales x^x=x^2,...

[@MathVitae]

Excelente!!!

[@hectorromero5086]

x=2 ✌🏼 x=1 🇦🇷

[@MathVitae]

Excelente respuesta!!! Gracias por participar.

[@teodoroenriquegarciamoquil1889]

Y SI PARTIMOS DE LA PROPIEDAD QUE DICE QUE CUANDO LAS BASES SON IGUALES LOS EXPONENTES TAMBIEN SON IGUALES

[@MathVitae]

Excelente método!!!, solo que tendríamos que analizar la inyectividad de las funciones para no desechar soluciones. Gracias por compartir!!!

[@robertgerez3480]

Se pierden soluciones pues el lado derecho tiene como base (x^x) mientras que el lado izquierdo tiene como base a (x)

[@edgardomunoz5275]

profesor hagala mas facil...😅😅😅😅

[@victorchoripapa2232]

C.S.: {1, 2}

[@MathVitae]

Estupendo!!!

[@jimyVWXYZ]

X= 2 es la respuesta

[@MathVitae]

Maravilloso!!! efectivamente "2" es una de las soluciones. Gracias por comentar. Saludos!!!

[@ktfartz]

2

[@MathVitae]

Excelente, esa es una de las soluciones. Gracias por compartirla!!!

[@alexhuamani8818]

le falta una solucion mas son tres soluciones, -1 tambien es solucion

[@jaimemargarit2202]

No, porque X es mayor que cero. Las funciones logarítmicas no están definidas para números negativos.

[@MathVitae]

Hola, es tal y como dices, son tres soluciones y -1 es la que falta, el problema es que estas funciones están definidas en los REALES para valores positivos de la variable y para valores negativos las imágenes son COMPLEJAS (por ejemplo para x = -1/2) Por esta razón x=-1 es una solución compleja de esta ecuación, lo hermoso es que para este caso -1 es un número real puro. Gracias por la observación!!!

[@SidneiMV]

x^(x^x) = (x^x)^x (x^x)ln(x) = x²ln(x) ln(x)(x^x - x²) = 0 ln(x) = 0 => *x = 1* x^x - x² = 0 x^x = x² xln(x) = 2ln(x) *x = 2*

[@MathVitae]

Así es, esta es una de las soluciones. Gracias por compartir

[@valentinmontero3957]

Soluciona : x!*x=18

[@MathVitae]

Interesante ecuación, pensaré en la solución. Gracias por la recomendación. Saludos!!!

[@AdriOshu98]

Creo que la forma facil sería delimitando que x∈ℕ x!*x = 18 n!*n = 18 Si divido a ambos miembros por n no pierdo soluciones porque ya establecí que trabajaría con naturales y existe una sola combinación factorial que cumple la igualdad. n! = 18/n Sabiendo que n es divisor de 18 entonces los candidatos son n: 1, 2, 3, 6, 18 En el miembro izquierdo tenemos un factorial que crece mas rapido que la división en el miembro derecho por lo tanto el factorial de n tendra que ser menor a 18, por ello podemos descartar valores grandes como 6 y 18. Y para valores pequeños tendremos que el factorial no crece tanto comparado a la división, es decir con n igual a 1 y 2, por lo tanto el valor posible a probar es n=3 n!*n = 18 3!*3 = 18 6*3 = 18 Se cumple la igualdad La forma dificil sería analizar con la función Gamma de Euler los valores de x que satisfacen que x!*x = 18 (como está contemplada en los valores negativos y tiene extensión a los complejos a priori puede que tenga infinitas soluciones negativas y también infinitas soluciones complejas)

[@valentinmontero3957]

​​@@AdriOshu98 ¿Crees que existe alguna manera analítica y resolver eso? porque es que si , orobando se puede y podemos deducir que x=3 por que 3!×3=18. Pero ¿existira manera de redolver mediante funciones o analiticamente? Por que podria ser con la funcion gamma sabiendo que x!=gamma(x+1) Y utilizando la integral para la funcion gamma , así que quizás de alguna manera se puede lograr pero me interesaría saber cómo.

[@valentinmontero3957]

​@@AdriOshu98y las soluciones negativas ests claro que deberian ser no enteras ya que el factorial para numeros enteros negativos no esta definido ya que eso implica dividir por 0 , por ejemplo (-1)!=1/0 Y eso no esta definido pero muy probablemente si puede existir el factorial de números negativos que no sean enteros.