OLIMPIADA de Matemáticas | FUNCIÓN W de Lambert y la resolución de ECUACIONES EXPONENCIALES

En este video, exploraremos el fascinante mundo de las ecuaciones exponenciales y descubriremos cómo se pueden resolver usando las propiedades de los logaritmos y la función W de Lambert. ¡Únete a nosotros y no pierdas la oportunidad de aprender!
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[@cristhiansanchez5556]

Genial, Tremenda respuesta

[@MathVitae]

Muchas gracias!!

[@ricardcalonge4542]

Que bien explicas las matemáticas!! Muy adictivos tus vídeos. 🔝🔝🔝

[@MathVitae]

Muchas gracias!!!

[@cucofiatpunto8723]

En primer lugar gracias por el vídeo y por los brillantísimos comentarios. Es a partir de ellos que me ha surgido la pregunta ¿cómo utilizaría yo este problema para enseñar matemáticas? En cuatro pasos: 1.- Primero conjeturar que la solución es entera e ir probando. La solución x=3 aparece inmediatamente. 2.- Segundo sugerir la pregunta ¿es la única solución entera? y usar el método de inducción para probar que sí. Quizá sería una buena ocasión para enseñar el método a quienes no lo conozcan. 3.- Tercero conjeturar que puede haber soluciones reales y buscarlas con ayuda del las gráficas. Se encontraría la solución entera y un intervalo real en el que hay otra. 4.- Solución algebráica con W. No se dice qué nivel de matematícas se supone en esta olimpiada. No creo que sea común en le bachillerato ni conocer la función W ni el cálculo numérico de soluciones. Por supuesto contrataría a los comentaristas para que explicaran sus comentarios.

[@MathVitae]

Excelente metodología. Gracias!!!

[@AFSMG]

Lambert debería pasarte una mensualidad . Genial. Un saludo .

[@MathVitae]

Así es, oh quizás debería pasársela yo 😂. Muchas gracias por su comentario. Saludos!!!

[@josemangue7031]

X=3

[@zurkalord7600]

antes de ver el video vi la miniatura y me puse a razonar cual seria x. Me pregunte cual es el numero que sumandole 5 unidades de el producto de esa potenciación, en 5 min llegue a la respuesta que es 3, por curiosidad entre al video y me encuentro que el procedimiento para conocer ese resultado es mucho mas riguroso y preciso de lo que pense... jajajajajajaja

[@MathVitae]

Es tal y como dices. Gracias por su comentario!!!

[@ktfartz]

3

[@MathVitae]

Excelente respuesta!!!

[@isaiaslorenzo]

No sería más simple suponer que x es un número impar pues 2^x es par y, por ende, 5+x también? Como la suma de impares es par, necesariamente x es de la forma 2k+1. En 4 pasos usando ese razonamiento, está resuelto. Igualmente, buen ejercicio.

[@fernandoalonsobermeoquiroz3490]

Es que en la matemática no puedes "suponer" debes demostrar como es que puedes o porque llegas al resultado habiendo un desarrollo correcto

[@fernandoalonsobermeoquiroz3490]

(no hate)

[@jllaury75]

Claramente x = 3. Cumple!!!

[@robertgerez3480]

se debe domostrar, nunca al ojo. Normalmente si la ecuacion está definida en los enteros lo que se hace es lo siguiente: Simplemente acotamos 5+x, notamos que 2^x 2^5>5+5, esto es verdadero, entonces nuestra hipotesis inductiva es que 2^n>5+n para todo n natural con n>4(es decir, empezamos desde 5, n=2 no lo demostramos pues no nos interesa) => 2^(n+1)>2(5+n)>(5+n+1), la ultima cota hay que demostrarla tambien, pero eso es sencillo. Supongamos que 2(5+n) 2n-n n4 por hipotesis, de donde 2(5+n) es mayor o igual a (5+n+1), supongamos que 2(5+n)=(5+n+1) => n=-4, nuevamente llegamos a una contradicción, de donde 2(5+n)>(5+n+1) pues si despejamos nos queda que n>(-4) lo cual es cierto, entonces volviendo a la desigualdad original tenemos que 2^(n+1)>2(5+n)>(5+n+1) => 2^(n+1)>(5+n+1) concluyendo asi nuestro paso inductivo. Por lo tanto para todo n en los naturales, con n>4, 2^(n)>(5+n). De donde nuestra única solución es x=3. Se que es tedioso pero es necesario llevar todos estos pasos con rigurosidad si queremos demostrar algo en matemáticas.

[@MathVitae]

Estupendo!!!

[@renevalladares8578]

Me gustaría ver una solución a esto sin usar el W

[@canalf007]

No hay solución explícita para la 2da solución sin W, ya que el álgebra elemental no permite despejar explícitamente la x en la ecuación. Sin embargo puedes hacer otra cosa para no usar W. Toma f(x)=2^x, y g(x)=5+x. El objetivo es encontrar los ceros de h(x)=f(x)-g(x) = 2^x-5-x Por simple inspección gráfica puedes observar que hay 2 soluciones, la primera está en [-5,-4] y la otra está en [3,4]. Observa que h(-5) y h(-4) difieren de signo, por lo tanto en [-5,-4] hay por lo menos una solución a buscar (de un total de 2 soluciones que buscamos). Si haces lo mismo con los extremos del intervalo [3,4] te das cuenta que h(3)=0, por lo tanto ya encontraste una solución al problema: x=3. La otra solución, sí o sí, es un valor de x que está en [-5,-4], lo cual es bueno porque acotamos el espacio de búsqueda. Y aquí puedes meterle, por ejemplo, algún método numérico para buscar la solución. Los más clásicos son el método de newton raphson y el método de la secante. Ventajas: evitas usar la W que es poco conocida, y trabajas sólo con funciones y operaciones matemáticas básicas, lo que facilita el cálculo y el entendimiento. Permite buscar "soluciones sensatas" a problemas donde la incógnita no puede ser despejada con el álgebra tradicional. Desventajas: en general podría ser más costoso computacionalmente, la solución buscada la mayoría de las veces es aproximada, y los métodos no aseguran convergencia, y si llega a converger no necesariamente converge a la solución. Saludos

[@MathVitae]

Maravilloso!!! Gracias infinitamente por su apoyo a esta comunidad. Saludos

[@pablogallardo331]

​@@canalf007Pero al hacer el cálculo con la función w se usa calculadora.. de que solucion explicita estamos hablando aquí? Mejor evitarse tanta tontería y utilizar el metodo de iteración de pto fijo.

[@canalf007]

@@pablogallardo331 depende del contexto. Si estamos aprendiendo análisis matemático, W es excelente opción. Si lo quieres para un proyecto de ingeniería, con tu calculadora casio de bolsillo basta y sobra.

[@pablogallardo331]

@@canalf007 en que se usa la w de Lambert en análisis? Puede ser algo interesante en el análisis complejo pero en el análisis real?. En realidad podemos crear muchas funciones como la de Lambert a través de la función inversa, pero su interés se remite a resolver cierto tipo de problemas previamente enfocados a ser resueltos usando las propiedades de dicha función... Limitado el margen de uso.

[@golantrevize6655]

X=3

[@MathVitae]

Excelente!!!