Производная x^x

Решение задач по физике и математике | resh_stud_zadach
Я Вконтакте | d_lebedev0
Я в телеграм | t.me/resh_stud
Быстрый заказ работ | t.me/Resh_stud_zadach_bot
x^x

[@IoT_]

Меня всегда забавляло, что если рассмотреть х^х и как показательную функцию и как степенную , а потом взять сумму производных , то получим верный ответ.

[@user-lw4nc6pz7i]

Да, очень странная закономерность, которую даже сформулировать сложно, чтобы проверить всегда ли так будет, а всё равно красивая)

[@user-yg3vv6cb6s]

Прологарифмировать левую и правую части функции а потом находить производную довольно просто дальше

[@user-lw4nc6pz7i]

Ну что я и сделал)

[@nikolaymatveychuk6145]

Ну если идея в том, чтобы не запоминать формулу (x^x)`, а вместо этого запомнить ряд других формул - то да... но в чём смысл? Давайте уже сразу по нормальному, с доказательствами (тем более, что не сложно ведь, если знать, что делаешь). Вычислим (e^x)`: (e^x)` = (e^(x+Δx) - e^x)/Δx = e^x * (e^Δx - 1)/Δx как мы знаем из определения числа e, e = (1 + 1/n)^n, где n стремится к бесконечности, следовательно мы можем заменить 1/n = Δx e = (1 + 1*Δx)^(1/Δx) (e^x)` = e^x * (((1 + 1*Δx)^(1/Δx))^Δx - 1)/Δx = e^x * ((1 + 1*Δx) - 1)/Δx = e^x * Δx/Δx (e^x)` = e^x теперь посчитаем v(u)`, где u - функция от x: v(u)` = dv/dx если умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Возьмём за такое число du (то есть изменение функции u при изменении её аргумент x на dx) v(u)` = (dv*du)/(dx*du) = dv/du * du/dx v(u)` = v`*u` Теперь посчитаем (ln(x))`: (ln(x+Δx) - ln(x))/Δx произведём замену x/n = Δx, где n стемится к бесконечности (ln(x*(1+1/n)) - ln(x))/Δx = (ln(x) + ln(1+1/n) - ln(x))/Δx = ln(1+1/n)/Δx = n*ln(1+1/n)/(n*Δx) = ln((1+1/n)^n)/(n*Δx) (1+1/n)^n есть ничто иное, как определение числа e (ln(x))` = ln(e)/(n*Δx) = 1/(n*Δx) = Δx/(x*Δx) = 1/x (ln(x))` = 1/x и последнее, посчитаем, чему равно (v*u)`: (v*u)` = ((v+dv)*(u+du) - v*u)/dx = (v*u + v*du + u*dv + du*dv - u*v)/dx = v*du/dx + u*dv/dx + du*dv/dx = v*u` + u*v` + u`*dv (v*u)` = v*u` + u*v` теперь можем считать (x^x)`: x^x = e^ln(x^x) = e^(x*ln(x)) (x^x)` = (e^(x*ln(x)))` u = x*ln(x) (e^(x*ln(x)))` = u` * (e^u)` = e^u * (x*ln(x))` = e^(x*ln(x)) * (x*ln(x))` = x^x * (x*ln(x))` = x^x * ((ln(x))`*x + (x)`*ln(x)) = x^x * ((1/x)*x + ln(x)) (x^x)` = (1 + ln(x))*x^x Вот что значит посчитать производную, а не то, что сделали Вы :) Но большое спасибо за видео, я помню как-то несколько раз пытался ранее вывести указанные выше доказательства, но Вы меня прям как-то вдохновили на это, что у меня получилось. :)