[편미분방정식] 1편. 파동방정식 유도 (모델링, ODE 와 PDE의 차이점)

안녕하세요 여러분 :0
파동방정식의 물리적인 유도 과정을 보여드리면서
PDE의 모델링하는 기초를 다져보는 영상이 되겠습니다
항상 감사합니다 :)

[@bosstudyroom]

[참고] 09:48 부분 설명 : 제가 당시 영상에서 설명을 할 때, 선밀도를 언급하고서 곧바로 x방향의 미소변위를 곱했고, 설명을 생략하였네요. 그리고 최근의 댓글에 오류있는 답변을 드렸습니다. ρ에 Δx를 곱하는 것은 중간과정이 생략된 것입니다. ρ는 (x방향이 아닌) 일반적인 선밀도가 맞아요. 따라서 원래는 Δx^2 + Δu^2에 루트(sqrt)를 씌운 것에 ρ를 곱해야 합니다. 다만 여기에서 들어간 가정은 sqrt(Δx^2 + Δu^2) = Δx*sqrt(1 + (Δu/Δx)^2) 에서 (Δu/Δx)가 매우 작다는 것입니다. 즉, (Δu/Δx)^2가 1보다 매우 작도록 가정하는 것이죠. 이는 서로 다른 x인 x1과 x2를 고려할 때, 그 두 지점이 매우 근방에 있으면 각각의 높이인 u1과 u2의 차이는 매우 작다는 것이에요. 따라서 ρΔx가 미소질량이 됩니다. 당시에 영상을 만들 때 이러한 부분을 설명드리지 않았고, 이것이 거의 3년이 지난 영상이라 답변할 때 혼동이 있었던 것 같습니다. 앞으로는 애초 설명을 자세히 드리거나, 옳은 설명으로 답변을 드리겠습니다.

[@미스타윤]

6:04 "현의 운동은 미소 '횡진동'이다" 여기 이유가 있었군요 이렇게 성의있는 답변을... 너무 감사하고, 이동영상 많은 도움이 됐습니다, 감사합니다

[@yinyl]

정말 좋은 강의입니다

[@bosstudyroom]

좋은 피드백을 남겨주셔서 감사합니다 : )

[@최혜원-l7i]

감사합니다!! 방학때 미리 강의 들으면서 공부해서 좋은 학점 받았습니다! 다양한 과목의 강의 제공해주셔서 감사합니다 ☺️

[@bosstudyroom]

친절한 댓글 남겨주셔서 저도 정말 감사합니다 :)

[@DXRP-so3gu]

정말 좋은 영상에 다시 한 번 감사드립니다, 보스님을 존경하게 되네요ㅎㅎ

[@bosstudyroom]

늦게 확인하여 이제야 답글 드립니다 ^^; 과찬이시지만 저도 너무 감사합니다

[@몰보냐-x1l]

깔끔한설명 감사합니다.

[@bosstudyroom]

좋은 댓글 감사드립니다 :)

[@파인넛]

대학교 1학년부터 벌써 수학이 너무 어려워서 힘들었는데 도움이 됐어요! 너무 감사합니다…!

[@bosstudyroom]

^_^ 친절한 말씀 남겨주셔서 정말 감사드립니다 :)

[@Jimyeong-hw1dr]

좋은 영상 감사합니다. 덕분에 이해가 잘 되었어요.

[@bosstudyroom]

:) 좋은 댓글 감사드려요 ..^_^

[@히로익테일스]

감사합니다 너무 좋아요

[@bosstudyroom]

답글드리지 않은 댓글들을 이제 확인 하는 중이라 늦게 답글 드렸습니다 ㅠ 친절한 말씀 정말 감사드려요 ㅎ ㅎ :)

[@김진규-f9l]

잘들었습니다.이해가 잘됐습니다. 계속 시청하겠습니다.감사합니다.

[@Harry-serious]

좋은 영상 감사합니다. 덕분에 학교에서 발표할 때 도움이 많이 되고 있습니다. 다만 궁금한 점이 하나 있는데요. 13:21 에서 좌변을 x에 대한 변화량으로 u에 대한 변화량을 나눈 것이라고 말씀해주셨는데 여기서 그냥 u의 변화량이 아니라 이미 u가 x에 대해 편미분된 상태에서의 변화량인데 u에 대한 변화량이라고 말씀하신 부분이 조금 헷갈립니다. 자세한 설명 부탁드리겠습니다!

[@zacca857]

잘보고가여😃

[@bosstudyroom]

^_^ 감사드립니다 :)

[@dd-uf5dl]

감사합니다

[@bosstudyroom]

감사드립니다!

[@물꼬기-l3l]

질문드려도 될까요? 위치 u(t)에 대해서 이계도함수 가속도인거는 알겠습니다. u(x, t)일때 t에대한 이계도가 왜 가속도가 되는건가요? x도 u에 영향을 주는데 고려해줄 필요는 없는건가요? 일반물리를 안배워서..근본이 없다보니 잘모르겠습니다.

[@bosstudyroom]

현재 해주고 있는 미분이 '편미분' 이라서 그렇습니다 ㅎ (선밀도×미소길이 만큼의) 질량을 갖는 작은 부분의 줄에 대해서 세로방향으로 가해지는 힘을 계산하는 부분 말씀이시죠? 우선 어떤 방향으로 가해지는 힘은 그 방향 변위에 대한 '시간에 대한 이계도함수' 인 것은 맞긴한데, 질문 주신 부분에 대한 답변을 드리자면 다음과 같은 예로 설명 가능합니다 :) f(x,t)=xt^3-3x^2+t 위와 같은 (일단 PDE와는 무관한) 간단한 함수를 예로 들었는데, 이때 특정한 x부근에서 미소길이에 대한 힘을 계산한다고 생각하면 즉, 시간에 대해 두번 편미분 한다면 3xt^2 이 됩니다 (t에 대한 미분) 이런식으로 't에 대해서만' 미분을 하면 x에 대한 의존성도 그대로 남게 되어 이미 t뿐 아니라 x에 대한 함수입니다 :) 답변 요약 : (1) 힘은 변위를 시간에 대해 두번 미분하고 질량을 곱해준 것은 맞고 (2) 그러한 미분을 t에 대해 해주더라도 x에 대한 함수로 남기 때문에 x에 대해 의존성이 기존에 내포되어 있습니다 감사합니다 :)

[@JY-fh1fe]

제가 중3인데 양자역학에 관심이 생겨서 파동방정식이 뭔지 알고 싶어서 영상을 열심히 찾다가 이 영상이 나왔는데 도움이 많이 됐습니다. 그런데 선밀도 구하는것부터 무슨뜻인지 잘 모르겠는데 쉽게 설명해주시면 감사하겠습니다.

[@Choi_seoung_hyeon]

양자역학의 파동방정식은 영상에서의 파동방정식과 달리 슈뢰딩거의 파동방정식입니다. 슈뢰딩거의 파동방정식은 이 파동방정식과 비슷한 형태를 띄고 서로 연결 가능하다는 점에서 파동방정식이라고 불리는 것이지 파동의 운동을 나타낸 방정식이 아닙니다,

[@김하영-y9i]

영상 잘 보았습니다!! 근데 제가 편미분을 아직 잘 이해하지 못한 것 같은데 혹시 du/dx가 왜 편미분을 한 형태인지 설명해주실 수 있나요ㅠㅠㅠ? 편미분은 어떤 변수를 상수 취급하고 미분한 것인데 여기서 어떻게 쓰였는지 잘 모르겠습니다..

[@미스타윤]

선밀도가 일정하다는 것은 고무줄이 모든 부분에서 일정하게 늘어나서 밀도가, 같은 길이에서는 같은 밀도다, 그런뜻이 아닐까... 기울기가 부분마다 달라서 X의 구간길이가 같다고 거기에 해당하는 선의 길이가 다 같지는 않을탠데...

[@bosstudyroom]

고정댓글 참고해주세요.

[@Alpha__Omega]

좌변의 u는 y방향에 대한 것이고, 우변의 u는 속도인가요??

[@드브로이-g8o]

줄이 흔들리면 파동 방정식으로 기술 했는데 이 때 흔들리는 파동이 가지고 있는 에너지는 어떻게 표현되나요? electron에 대한 슈뢰딩거 파동방정식을 유도 하기전에 진동하는 줄의 파동방정식에서도 파동에너지를 어떻게 표현해야하는지 갑자기 궁금하네요..

[@이주용-y8v]

혹시 편미분 방정식은 따로 재생목록을 만드시지는 않았나요?

[@bosstudyroom]

최근에 다시 만들어서 정리중입니다 :)

[@오정서-x3t]

혹시 선형대수학도 예정있으신가요?

[@bosstudyroom]

아뇨 :) 저는 아직 PDE 기초 하고 심지어 ODE도 마무리 짓지 않았기 때문에 .. 복소해석 까지 해야되서 당분간 불가능할 것 같네요 ^^; (사실 제가 블로그에서 기초를 약간 다룬 적은 있지만 그 자료로는 부족할 것 같습니다)

[@오정서-x3t]

@@bosstudyroom 항상 좋은 영상 감사드리고 응원합니다!

[@그여름날의추억]

10:53