【日本最高峰の開成中に挑戦】気が付けばスルスル解ける超良問【中学受験の算数】

#中学受験 #算数 #図形 #小学生
【 難易度：★★★☆☆ 】
2013年の開成中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①60°という角度がとても良いヒントになっていると思います。まずはこの60°がどうすれば上手く活用できるのかを考えてみましょう。ある補助線が引けるはずです。
②補助線が引けたらわかっている長さや、長さの比を書き込んでいきましょう。全て情報が出揃うと大きい円の半径がわかってくるはずです。
開成中学の入試問題ということで少し身構えてしまいそうですが、基礎に従っていけば難なく解ける問題だと思います。
正三角形の性質を上手く利用したとても良い問題でした。
是非正解したい1問です。
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[@user-io4hr5sh4n]

60°30°の直角三角形で斜辺=大＋小=②とすると､30°の対辺=大-小=①となり､和差算で大=1.5○、小＝0.5○＝4となり、大は4×3=12になります。

[@amadeus39]

これが、一番オーソドックスで早いと思う。

[@user-og5dr3ub2r]

動画解説は素晴らしいですね🎉 わたくしは、この本問題見て、即、解説の一番最初の所で話しがあったやり方で解いておりました。 xとyを結んだ線分を斜辺とした直角三角形を形成するとともに、円Cの半径をrとする。 半径を構成するこの直角三角形の一部である底辺=(r+4)/2…① ∴円C半径=①+4…② また円C半径はrでもあるから②=r ∴(r+4)/2+4=r r=12 しかし中学受験でしたね。解いた後で気が付きました😅

[@manavisquare]

嬉しいコメントをありがとうございます！励みになります！

[@user-of5py7bv2j]

Mから下の直線への垂線を引き交点をＮとしたとき、30°60°の直角三角形を使いMN=6(cm） 円Cと下の直線の接点をAとしたとき、AMの長さ＝MNの長さ×２＝12(cm) △XAMは正三角形なので円Cの半径は12(cm） のような感じで、遠回りしてそうだなーと思いながら解きました。

[@saysaki8392]

Mから真下に垂直に補助線を入れる。 この長さは60°直角△の比を使って2+4で6。円Cと直線の接点をEとして、EからMに補助線を入れる。そうすると正三角形ができ、MからEに60°直角△がつかてるから、MからEが6×2で12になる。 円Cの半径12ができる。 いろんな方向から行けるけど、小学生の知識だけでかなりシンプルに出来たと思う。

[@user-xk9gt4cx4t]

・大円の中心点Xから直下に垂線を引いてX' ・小円の中心点Yから同様にY' ・両円の接点Mと、同様にM' １．大円側、XX'MM'の台形で見ると、X'XMが正三角形、X'MM'がその半分の面積を持つ直角三角形 XM＝Nとすると、MM'＝1/2N ２．小円側、MM'YY'の台形を見ると、∠MYY'＝120°なので、内側に一辺が4cmの正三角形を2つと、その半分の面積を持つ直角三角形で構成されているのが分かる。 従って、MM'=6cm（一辺が4cmの正三角形１個半の長さ) ３．1/2N＝6cmなのでN=12 大円の面積は144π

[@hiDEmi_oCHi]

これは開成中の割には中学受験の範囲で普通に解きやすい問題でした。 方程式を使って解くまでもないですね。

[@dekamega999]

・大きい円の半径をRとする ・上にも同様の小さい円をとり、　大きい円の中心と、各小円の中心を結ぶ正三角形の一片の長さは4+Rとなる ・すなわち、大きい円の直径2R は 4+R+4+4 となるので、R=12になる という解き方をしました

[@ry-gh1uc]

三平方の定理で1:√3:2の関係を使えばすぐ出来ますけど、中学受験で使えないでしたっけ？ 円Cの半径をrとすると、XY=r+4 円Cの接点をHとして、YからXHに下ろした垂線の足をIとするとXI=r-4になるので、 1:2=r-4:r+4でr=12となり、面積が求まる。

[@user-ow8ed6qx8e]

受験生なら塾で習っているはず。

[@user-ei6zm3qr8s]

だからあ、小学生なんだって。算数の問題だよ。問題ちゃんとよく見てね。

[@user-kd6jo4gz6w]

にしても中３でも溶けないこの問題解けりゃそら早慶にいけないほうがおかしいわ

[@user-yr2xf8il1m]

たまたま、このチャンネルを拝見いたしましたが いやぁ、図形問題楽しいですね、やはり。 大人になり、論理的思考や頭脳を活用する 機会が失われ、何十年ぶりかでしょうか。 このチャンネルを拝見し、頭を使いましたとても楽しい。 良い意味で頭の刺激になります。この感覚久しいです。 子供の頃に、こうした順を追いながら 丁寧な解説と図式で説明してくれる先生がいれば 子供として数学をもっと楽しめたはず。 思い返せば、数学の先生というのは 頭の回転が速いのでしょう。 早口でまくし立て、授業を進行していた気がします。 当時子供ですから、そうした早い授業に ついていけないくらいでした。 思考力の熟成した大人ならそれも良いですが 小中といった子供相手ですから、 もう少し子供の論理的思考力に合わせて 掻い摘んで合わせ、嚙み砕きつつ、数学定義を 理解させながら、学期ごとの授業の進捗を 考えてほしいものです。 今は良い時代ですよね、学校の勉強以外で 塾に通わずともユーチューブ上でこうして 様々な見解を知れる、学べる機会があるのですから 動画アーカイブとして残せば、予習復習でも見直せますから。

[@Masaokin]

1:2:√3が使えないから正三角形の半分の長さという発想？が必要なのか。勉強になる

[@TM-jt3xi]

一本目の補助線で十分かな。大円の半径をrとして60度の角をまたいで小円の中心までの斜辺がr+4なので縦が(r+4)/2になる。さらに小円の半径を高さとして足して、大円の半径r=r/2+6となるのでr=12が求まる。

[@user-rv9jd9og4n]

別解感心しました。1次方程式は解けないと受からないような学校だとは思うけど、動画では方程式を解く必要がないからそういう意味でも良問ですね。 おそらくだけど入試問題では、入学してから方程式を立式してから解けるようになるのはもちろんのこと、今ある知識をどのように工夫する能力を持っているかに重きを置いているんですかね

[@kcoty8211]

頭ええなあ 方程式に逃げてもうた

[@1976yunyun]

円C円Dの接線と円Cの接点をN、直線NMを延長して円Dと交わる点をLとすると、三角形XNMとYLMは正三角形で相似になります。円C円Dの接線と円Dの接点をKとすると、Ｍを通り円C円Dの接線と平行な直線はXNとYLを共に2分しますが、この時LYは1:3で分割されるため、相似比3:1で、円Cの半径を12cmと求めました。

[@amiga4000jp]

大きい方の円をA、中心をX,小さい方の円をB、中心をYとすると 円Aの半径をRとし、Xから下の線に垂線を引く Yから上で描いた垂線に垂直な線を描き、交点をMとする 三角形XMYは内角が３０度、６０度、９０度となり、線分XYと線分XMの長さの比は2：１となる。 線分XY:線分XM＝２：１ 線分XYの長さはR＋４ 線分XMの長さはR-4 であるから R＋４：R-4＝２：１ R＋4＝2×Rー８ R-2×R＝ー１２ R＝１２ 円の面積はπR^2であるから、Aの面積は１４４π

[@user-jx4ut8bx1i]

久しぶりに算数やりました。 自己流解。間違ってるかも 円と円の接点をQとする。XYを接線に交わるまで延長。交点をPとするとXQ=PQ。Yの直径=1/2PQ。PY:PQ=3:4 以上から出ると思います。

[@user-yf6xt4nm9s]

先生の言う通りこれは開成にしては珍しいタイプ

[@user-yy8uy7jl3x]

円の中心に60ﾟを見つけると、正三角形で敷き詰めたくなる病気なのですぐ解けました。

[@manavisquare]

コメントをいただきありがとうございます。 >円の中心に60ﾟを見つけると、正三角形で敷き詰めたくなる 素晴らしい癖ですね！その癖があるとたくさんの問題に対する視野が広いのだと思います！

[@user-vy1mk6kb2g]

中高大の知識使うより算数で解いた方が断然楽しい

[@ucchaso]

これを小学生が解くと考えると、レベルの高さが凄まじい。。。

[@wy.863]

この手のやつは解きながら(あれ、このやり方中学受験の問題で使っていいんだっけ？)ってなりながらも今の知識総動員してやっちゃうわ。

[@kanehana8231]

小学生の教育内容だけで解くというのが、逆に大人には難しいというのは感じます。

[@user-gm6rx2jf5l]

こうしてみると数学って本当に便利ですね。 方程式で立式してパパパって解くものをそれを使わないで解く。

[@user-kg7ub6xz6o]

xも、三角比（1:2:√3）も使わずに解くのすっげーな。

[@daisukeishikawa9788]

円Ｃと円Ｄが接していて線ＸＹが通っている点（以下Ａ）が頂点の一つになるよう 両方の円内に、内接する正六角形を置き（それぞれ、接線が接する点が別の頂点になる） 両方とも中心を通る対角線を置く（とりあえず全部引いとけw） Ｙを通り接線に平行な線を置く （　接線からのＡの高さは、円Ｄの半径（４cm）＋２ｃｍ、６cmとわかる　） Ａを通り接線に平行な線を置く （　円Ｃの半径は、Ａの高さの２倍、１２cmとわかる　） 角度の説明とかメンドイので省略、作図してみりゃわかる　＾＾； あとは１２ｘ１２ｘ３．１４を計算するだけ　～ ・・・ でもホントかなぁ？、これで済ませたいんだけど気になる点がいくつか、、、 だってこの設問さぁ ①直線が円の接線だとは言っていない ➁Ｘと直線の間に置かれた線が直角だとも言ってない んだもん、飽くまで作図の『印象』でしかないんだよねぇ 実はまるで違うトンデモな引っかけ問題なんじゃねーの　？？？

[@megane2655]

黒板が綺麗になりましたね。 ひび割れのある黒板も味わいがあってよかったのですが、 やはり黒板は見やすい方がいいですね。

[@user-gv4zw9or3w]

僕の考え方(多分小学生の知識+aで解ける) まず、大円と小円の接しているところを点M、点Xから直線におろした垂線と直線の交点をを点A、点Yから直線におろした垂線と直線の交点を点Bとします。 次に線分AMを引き、そのままMより先に延長して小円と交差したところを点Zとします。 すると、△XAMは、一辺が正三角形となります。※1 また、△YMZは一辺が4cmの正三角形になります。※2 ここで、△AZBに着目します。 ∠Z＝60°、∠B＝90°。 なので、動画後半に解説されいる、1つの辺が60°の直角三角形の性質が使えます。 ZBは小円の直径なので、8cm。 だから、AZ＝16cm。 そこからMZ＝4cmを引くと、 AM＝12cm。 △XABは正三角形。 なので、AM＝XM。 ですから、 ABの12cmがそのまま大円の半径となります。 ※1---同じ円の半径なので、XA＝XM。つまり二等辺三角形。二等辺三角形で、ひとつの角が60°だから、正三角形になる。 ※2---上と同じように、同じ円の半径だからYM＝YZ、二つの辺が等しいので二等辺三角形。体調角は等しいので、∠YMZ＝60°。だから正三角形。

[@user-to7dq8wr2s]

円周率をπのままにするのに慣れているので、わざわざ3.14を計算しなければならないのも小学生の問題は大変ですね。

[@tgeach1073]

ふたつの円の接点から、それぞれの円の真下に2本補助線を引いてもできそう。右の円の二等辺三角形が120°30°30°なのはどうしたら証明できるかな？

[@user-oy9uj6nj7s]

方程式や相似比や接点の性質を知っている中学生ならカンタンに解けるとは思いますが、これを小学生の知識で解くのは大変ですね。 それを小学生でもわかるように教えるのはさらに難問。頭が下がります

[@himo3485]

円Cの半径をR　　　　30° : 90° = 1 : 2 R-4 : R+4 = 1 : 2 (R-4)/(R+4)=1/2 2(R-4)=R+4 2R-8=R+4 R=12 12×12×3.14=18.84×6×4=113.04×4=452.16 452.16cm²

[@pyonpyonkim922]

だからあ・・・小学生の算数の問題だって！ 代数計算は中学高校でしょ（笑）

[@user-ei6zm3qr8s]

だからあ、小学生は方程式は習ってないんですけど。問題ちゃんとよく見てねー

[@user-nb7id3ju5x]

大円の半径r 60°の直角の三角比は1:√3:2 なので 小さい三角形の斜辺は2*4 大きい三角形の斜辺は2r=r+4+2*4 r=4+2*4=12 原理的に中学で解けるの分かりますが 変数使えないと苦しいな。

[@YOU-ur8vo]

1:2:ルート3を知っていたら 2(x-4)=x+4の方程式を解くだけで半径が導き出せますね。

[@user-bh8cy1ry8g]

動画内で正三角形の半分と考えて1:2になると言われているので分かると思います。難関中学受験の図形問題では必須の知識なのかもです

[@user-wq1tv3bt5q]

√3まで入れちゃうと範囲外ですね

[@hiDEmi_oCHi]

どっちにしても√3使ってないじゃん。 よって60°を挟む二辺の比が1:2だけ知ってれば十分。

[@tricky6961]

それ、どう言う解き方ですか？

[@user-ei6zm3qr8s]

すみません、これ算数の問題です。小学生は方程式は習ってないんですけど。ちゃんと問題をよく見てくださいね。

[@livelywing]

円と円が接してる点（動画内ではM）から垂線を下ろしてその長さ（Mの高さ）を□cmとすると、□cmは小さい円の半径の1.5倍、大きい円の半径の半分になるので、大きい円の半径は4×1.5×2で瞬殺。 何故それぞれ1.5倍、2倍になるかというと、文字での説明は難しいですが、各円の中に半径を1辺とする正三角形を（正六角形になるように）6個描いてみれば、よくわかると思います。

[@hide196944]

凄い！ 大きい方は接点どおしを結んだ正三角形から気づいたんですが、それがどうした！？で終わってました。 これぞ補助線ですね。 これだから算数はおもしろい。

[@user-mk6mh1ki3q]

小学生だから一次方程式も使ってはいけないんですね。

[@tosainu1111]

円どうしの接点から左に補助線引いて306090の直角三角形を作り、接点から下に補助線引いて合同な直角三角形、小円の中心から下に補助線引けば相似な三角形が出来る。

[@shinri516]

ためになるなぁ〜

[@manavisquare]

嬉しいコメントをいただき、ありがとうございます！励みになります！

[@xpo856]

144πです。高さは斜辺の1/2。4+2=6 これは6+6=12の正三角形をつくる。だから求める円の半径は12。

[@FUNYANCO]

同じところに補助線引けたけどそこから筆が進まなかった。難しいね。

[@manavisquare]

コメントをいただきありがとうございます。 同じ補助線が引けたというと、正三角形の特性を理解されていると思うので惜しかったですね。 今回の問題は少し難しめでした！

[@cokumo]

円Cと円Dの隣接点を通る下線と並行な線と 円Dの中心を通る下線の垂直な線を引けば 30°+60°+90°の相似三角形ができるので （円Cの半径×1/2）＝（円Dの半径×1/2）+（円Dの半径）なってるのがわかる ので円Cの半径12cm 解答としてではなくCの半径を求めるのであれば 円Cの正三角形を完成し円DにYの上部まで伸ばす 上記の交点とYを結べば ２円内に各々正三角形ができるので 円Cの半径は円Dの半径の三倍になっているのが容易にわかる

[@TajiNaman]

私はこのように解きました。 円Ｃの真下に、円Ｃに接する半径４ｃｍの円を描きます。 この作った円の中心と、円Ｃの中心、円Ｄの中心を結ぶ正三角形を作ります。 円Ｄの中心から左へ水平線（正三角形に対する垂線）を入れておきます。 こうすると、作った円の半径が４ｃｍ、円Ｄの半径が４ｃｍで、その合計８ｃｍが作った正三角形の辺の半分の長さということになります。 あとは８＋４＝１２、もしくは１６－４＝１２、ということで円Ｃの半径がわかります。 たぶんこれが一番単純に見えるやり方かなぁ～と思います。

[@mirimere]

高校の範囲になっちゃいますが... 下の線と右側の円に接する円を作ることを繰り返すと、D以降の円の直径の和はCの半径(rとおく)に近づく。 作った円の半径は、作った順に4/r倍され続けるので無限等比級数で等式がつくれてそれを解けばrが出て面積も出ますね！

[@rihitotsutanishi9672]

多くの方が指摘されてるように最初の補助線の引き方のほうが普通の発想かな。 頭の中で線分図を思い浮かべれば 大きい円の半径は (4+4)÷(2-1)×1+4=12(cm) と小学生の解き方になります。

[@user-ln3qh7pb8k]

正三角形からスタートすればすぐ半径12が見える

[@user-zo2wd6dv1z]

サムネで解けました☆とりあえず4cmの円の斜めの線の長さを求めようとすると、同時に全体の解法が見えてきますね

[@abumoto1]

円Ｄを円Ｃの真下から円Ｄの半周分円Ｃに接触して転がした位置が図のようなので、円Ｄの半周分の円弧の長さが円Ｃの60度分の円弧になると考えて解きました。

[@go4118]

円Cの内側に正三角形を書いて、XYを延長させると底角が30°の二等辺三角形ができる。二等辺三角形の高さは4+4×2=6とわかるので、二等辺三角形の1辺=半径=6×2=12。という風に解きました。やってることはほとんど同じですね。

[@user-hv6ux9vl5m]

途中からはいはい言ってる人の声すんごい気になるようになっちゃったw

[@user-wz5mw6nm7p]

90° 30° 60°の三角形なので円Cの半径は円Dの3倍　3対1 よって円Cの半径は12㎝

[@YangWengLi]

問題で定義されておらず、小学校の算数の教科書に載っていない「円の直径と接線は直交する」を使用して解いても不正解とされるのでは？

[@user-zd4jq3kq3j]

円Cの半径をrとするとr+4=2(r-4)になるから簡単に解けそうです。

[@user-sh9gn2mg1k]

r+4は分かったのですが、2(r-4)はどこからくるのでしょうか？

[@pamyhe6841]

@@user-sh9gn2mg1k90°60°30°の直角三角形は辺の比が1:√3:2になるから

[@user-ei6zm3qr8s]

あのー小学生だって忘れてませんか？方程式は習ってないですよ。算数って書いてますよ。よく問題ん見てください。

[@Sugar-On]

みんなが小学生の知識の範囲でどう解くか？考えている中、大人の知識で解いてドヤっちゃうぜぃ〜、ワイルドだろぉ？

[@matsutake5half]

@@user-ei6zm3qr8s一応言っておくと、受験算数では√3は兎も角、2:1の部分は教えるよ。真ん中より上のクラスなら必須知識。

[@kamhiro9606]

この手の中学受験問題解説で方程式や公式を用いて得意げに解けた報告する人は何がしたいんだ？

[@ackey_kirich]

8+4=12cmまではすぐにわかったのですが、この12cmが一番長い斜辺全体においてどんな意味を持つのかわからず（XMが半径であることに気づけず）、結局「きっとこの12cmがわかっても解けないんだ」と諦めて色んなちょうちょ型を作ってみたり正三角形6個の正六角形に思いを馳せてみたりしましたがだめでした。 いやーー、作図が難しいのが原因じゃないかな？ｗ　何度描いてみてもどこかが大きく歪んでしまって何が何だかって感じではありました。

[@user-ed8ho2dc4m]

Yを通る線を延長したら、簡単だった。 Yの半径の２倍がYから下に延びる線なので、8ｃｍ 8ｃｍ+4ｃｍ＝12ｃｍが円Cと円Dの接点から延び、三角形の設定まで伸びる線となる。（60度のある△定規参考） 円Cの半径とこの線の長さが、同じ（円Cの半径＋この線＝円Cの半径の２倍から）のになるので、円Cの半径は12ｃｍである。 半径が確定できれば・・12ｃｍ×12ｃｍ×3.14＝452.16平方センチメートルになる。

[@jiyuunodaishow]

円周の6分の1が8πなんだか、全周で48π 全周で48πなんだから、直径は24πで半径は12π 12^2πで144π

[@gg-od7vb]

3:53-　そうなんですよね。先生はわかってくれている。頼もしいなあ。 出来の悪い俺は特にそうなんですよ。こうはっきりと言ってくれると助かる。 今回も、XYの先に補助線を引くところまでは自分でできて、 その先にさらに小さな円、さらに小さな円、と無限に円が出てくるのを想像して、手に負えない感覚になってしまった。 時間制限のある受験生が、正解に繋がっているかどうかわからない補助線を5通り考えたとして、 （Yから左に、左側にY’、上下左右に田の字型、XYの延長、円Xに内接する円Y'） いくらかの遠回りはどうしてもあるものだとしても、なるべく少なくしたい、しかし、正しいルートを切り捨てたくない、 優秀な人が試験本番でどのように考えて解くのか、答案用紙の手元が見てみたい。

[@TEST-uw5dy]

円cの半径をrとする。 横線引いて直角三角形作ったら、斜辺r+4が縦辺r-4の2倍とわかる。 ってことはr-4は8で、rは12。あっという間。 斜め線の延長は不要。

[@tricky6961]

その解き方は高校知識入りますか？

[@TEST-uw5dy]

@@tricky6961 小学校算数の知識だけだと思います。 中学受験まで頑張り中学以降遊びほうけちゃった私が解けるので。

[@恋々]

144π 何とか出せました👍 2:1:√3型の三角形が出てきて焦りました。

[@user-kp8sn5qf8d]

相似はバシバシ使う円の接線の定理も使って良くて、文字式もxyと言わずに①や②という形で実質使ってるのに、連立方程式や三平方は縛らなければいけないってのは釈然としないものがあるのよね。中学受験はそういうものなんだろうけど 実際には使っても点くれるんだろうか

[@tuujiii]

1個目の補助線でも、2(X-4)=X+4でいけますね。 ま、ほぼ同じ考え方ですが。

[@tricky6961]

どんな解き方？

[@user-ei6zm3qr8s]

だからぁ～、小学生の算数の問題だよ。方程式は中学校だから。補助線できても、あなたの式はバッテンですよ

[@anasuit1111]

⁠@@user-ei6zm3qr8s 習ってない知識を使ったらバツになるというのは教育としてあるべき形ではないと思うよ。 俺も本番で濃度の問題が出た時方程式使ったし、受験テクニック(?)のような考え方は中高で使うことはなかった。

[@anasuit1111]

思考力が〜とか言うけど、結局高校•大学受験の問題はどれだけ解法を頭の中に入れているかに依るしあまり意味はない

[@tuujiii]

@@user-ei6zm3qr8s あー考え方ね。そっから方程式にしない答え方なんていくらでも作れるw

[@user-sd4sf2wo4h]

これは難しかった…まぁいつも自分には難しいんですけど… 円の問題は一手目がわからないと永遠に彷徨い続けますね…

[@manavisquare]

コメントをいただきありがとうございます。 今回の問題は少し強めの気づきが必要な問題でしたね。 どちらかというと円よりも正三角形の特性を初手で問われる問題でした！

[@kiki.9]

僕の解法 ①XYを延長して直線と交差させて30-60-90の直角三角形を作る。交点をZとおく。 ②円Dの中心から垂線を引き、30-60-90の直角三角形を作る。交点をaとおく。 ③円Dの半径が4cmであることを利用しYZの長さを求める。YZ=4×2＝8cm。 ④円Cと円Dの交点をbとおき、垂線を引いて30-60-90の直角三角形をつくる。また垂線と直線の交点をcとおく。 ⑤abの長さを求め、その長さからbcの長さを求める。ab=8＋4=12 bc=12÷2=6 ⑥円Cと直線の接点をdとおき、bとdを結ぶことで正三角形Xbdと直角三角形bcdを作る。 ⑦⑤よりbcは6cmだからcdは12cmとなり、正三角形Xcdの長さがわかり、また、円Cの半径がわかる。 ⑧半径が判明したため円の面積を普通に計算する。 12×12×3.14=452.16 よって答えは452.16㎠

[@user-jr9jn6vy1f]

452.16　　Ｙ伸ばしたら相似の三角形ができるので比で求めて半径12と分かる。

[@LoveTonsure]

水平線を引いて60°・30°・90°の二等辺三角形が出てくるところまでは当然として、その後は方程式に逃げてしまいました。(R+r)=2(R-r) より R=3r。r=4cmが与えられているのでR=12cm。 ※当初「直角二等辺三角形」と書いていましたが、誤りでしたので訂正してあります。

[@tricky6961]

そのやり方って、どんなやつですか？

[@LoveTonsure]

@@tricky6961 失礼、直角「二等辺」三角形というのは誤りでした。訂正しておきます。 大きい円(青)の半径をR、小さい円(白)の半径をrとして、白い円の中心から水平線を引きます。そうすると直角二等辺ん角形ではなく「30°・60°・90°」の二等辺三角形が出現します。斜辺の長さはR+r、大きい円から真下に降りる垂線と先ほどの補助線との交点は「底辺から高さrの位置」なので青い円の中心からの距離はR-r。60°なので長さの比は2:1。ここから上記の方程式が出ます。

[@user-np2zf5ll7m]

なんか自信ついたわー

[@user-ro3te2ge8z]

そういえば中学受験するなら 事実上高校数学の簡単な問題は解けることは必須なのか？？

[@yoshihirofujita8548]

60度で、なんとなく正三角形の性質を利用かなと思って補助線引いたらビタっとはまり、気持ちよくとけました😊

[@Siden_kai]

三角関数と代数使って大きい円の半径求められるけど、中学受験の位置づけだとひらめきが必要ですね。

[@user-vu1yu5yd7j]

補助線を引いた時点で大きい円の半径が2:1に分割されてる事に気づけば 　4 ＋8 が導き出されて 半径12と解る！

[@user-qs7rb4wc2p]

これ方程式使った場合開成中は○？×？

[@MrGurifonn]

点Xから伸びる線が下の線に対して垂直になってるか書いて無い等、条件が不足してるので返答不能とかふざけた答えを出したらどうなるんだろｗ 門説にも図にも最初の段階では垂直になってるとも書いて無いし、また円に接してるとも書いて無いから、こう見えるからこうだろと言う予測に基づいてる。

[@enmako6827]

簡単に思うけど、大問の(1)で誘導のための問題で誰でも解ける問題だからなのですよね

[@user-le4is7tb9z]

やっぱ開成って頭ええんやなぁ

[@kentak1012]

円の接線が直角を作るのは、中心と直線の最短距離と半径が等しいからです。ちなみに接点とMを結んで正三角形を作ってr=12はすぐに出ると思う。

[@user-mq5cp2gd1h]

先生のご指導のお陰で「補助線力」がつき瞬殺でした。

[@user-nk7gn9rc3n]

相似を知ってれば簡単。問題なのはこれが中学受験で出ることだチキショー。天才すぎんじゃねーか。

[@nomadkyoto5431]

天才である必要は全くない 小学生で塾？に行って普通の生徒が遊んでる間にこういう勉強をしているのだろう。頑張ったんだね と思う。

[@user-nk7gn9rc3n]

@nomadkyoto5431 なるほど　そういう人尊敬するわ

[@RNP-xl4fu]

動画と一緒の解き方で、解けましたね。今回は、割と早く行けましに。

[@user-vt4iu3pt7s]

ごちゃごちゃ説明してるけど、皆さんのコメントにあるように、大きい円と小さい円の中心を斜辺とする直角三角形が見えればすぐ答えは出る

[@user-xu6lt7wg9r]

よっしゃ開成倒した

[@vacuumcarexpo]

1元1次方程式ぐらいを許容するならば、半径の和＝半径の差×2で出るんですがね。

[@manavisquare]

コメントをいただきありがとうございます。 実際一次方程式を使って算出している受験生は多くおられるかとは思いますし、半径の和＝半径の差×2で出せるとより短時間で解答が導けますね。

[@vacuumcarexpo]

@@manavisquare ご返信ありがとうございます。 恐らく、自分が中学受験生なら、大きい円の半径を未知数□と置いて、方程式を立てて解くと思います。 実際、自分が中学受験生だった時も、「つるかめ算」などの定型問題以外で、方程式を立てて解いた方が楽そうな問題は、未知数をxやyの代わりに、□や△で置いて解こうと思って入試に臨みました。

[@user-cv8kc8wj5s]

補助線を引いて正三角形を見つけるだけの作業

[@user-pp7pkind]

小学生の問題なんだから、基本的にcの半径をrと置いたり、xと置いたりしたらダメだろ。 みんな中学受験ということが分かってない。

[@tob41ksh]

こ…黒板のシミがなくなってるぅ～

[@d-nofu7124]

30歳です。できました！嬉しい！

[@kz-nv6tw]

これ、円錐の表面積求める手順ですれば簡単だと思う…

[@professorricardoalves6317]

こんにちは。別の方法: 中心間の距離は斜辺である R + 4 であり、角度は 60° であるため、辺は R-4 に等しく、2(R-4)=R+4 であるため、2R -R =4+8 なので、半径は 12cm

[@user-ei6zm3qr8s]

あのー小学生だって忘れてませんか？方程式は習ってませんよ。算数の問題です。問題をよく見てください。あなたの式は、小学生の先生にバッテンつけられます。

[@user-wp8vd3pe5r]

中学受験する子なら三平方の定理ぐらい知ってそう。別に計算や原理が難しい定理じゃないし

[@user-ci5gs2be2w]

12×12×3.14が一番面倒かもしれない。少なくともヒラメキの付け入る余地がない。

[@kazato333]

黒板綺麗になりました？

[@user-xg9ki3iy2d]

正三角形の斜めがr+4 正三角形の縦の半分がr-4 2:1＝r+4:r-4 ってこれ大昔の動画かよ

[@user-ow7do2zl2i]

図形の内側で考えてダメなら外側を考えろと何度も先生が教えている

[@user-uk7zm8qg5v]

え、開成中？こんなに簡単でいいの？ 小円が半径4で、交点と小円の中心とで作る三角形は60,30,90°だから、4+2で交点の高さ6 交点と大円の中心とで作る三角形は一辺rの正三角形だから、大円の半径は交点の高さを倍にしてr=12 求める面積S=πr^2=144π 問題読んでから最後の式を立てるまでなら20秒かからない 最後の3桁3桁の掛け算が一番面倒まである

[@wwasazaee]

開成中の問題が全てが難しい訳ではないし、全てが簡単な訳でもない。あなたが簡単だと思っている問題は、多くの人にとっても簡単なんですよ。20秒かからずに解けたあなたが優秀な訳では無い。

[@user-tb1mh6xs2s]

普通に図形みて、小さい円が一周したら1/3くらいってことは、 8の3/2が半径になるな つまり12^2×πが答え

[@Fokaccian]

サムネぼのぼの

[@yasgt510]

最初の補助線で出来た60度の直角三角形で 半径をaとすると、短辺はa-4、斜辺はa+4 斜辺は短辺の倍なので2(a-4)=a+4 これは小学生レベルの解き方になりますか？

[@user-ei6zm3qr8s]

だからぁ、小学生の算数なんだって。算数は方程式はならわないよ。方程式は中学校だよ。問題ちゃんとよく見てねー

[@user-rl6qf7ch9l]

こんなの、やり方が全然思い浮かばない。

[@morita..]

r-4＝（r+4）×cos60° 高校ならこれでいけるけど、これを小学生が解くのはすごい

[@user-of7zh9uf7z]

144✕3.14でいいのか?。?!

[@yukima_28]

点X、点Yを直線で結んだって記載がないね

[@hyakkun]

32歳男性です。 大きい円と小さい円の接点の真下へ線を引いて、((4 + 4*sin30度) * 2 ) ^ 2 * π　で解けました。 あ、いっけね。中学受験なのに三角関数使っちまった。 でも、正三角形の角度であることに気づいて、小さい円の半径の4cmも正三角形の辺と捉えることができれば解けますね。