Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?

✱ Новогоднее печенье • Новогоднее печенье ✱ Н...
@arinablog наш семейный канал
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Instagram: / volkovege
Почта: [e-mail]

[@servenserov]

Я рассуждал гораздо проще: Разделил обе части на 15: x²/5 + y²/3 = 23 Каждое из слагаемых не может быть больше 23, а первое слагаемое должно быть кратно 5. Отсюда x=5, либо 10. Подходит только x=10. Тогда y=3. Поскольку x и y в квадрате, в ответ запишем ещё три пары с разной комбинацией знаков.

[@user-mf8fm9dj5m]

А почему первое слагаемое должно быть кратно 5? Может же быть две дроби, которые в сумме дают 23.

[@servenserov]

@@user-mf8fm9dj5m Ой, Владимир, уж пять месяцев прошло! Извините, но снова всё вспоминать как-то не хочется. Может я и не прав.

[@kuzhelevaonline3149]

​@@user-mf8fm9dj5m он имел в виду х в квадрате кратно 5, потому что делится на 5

[@ajdarseidzade688]

Отличное пояснение решения! Конечно кто-то скажет, что "можно проще и т.д. и т.п.", но тут главное именно подробное пояснение КАК решать и САМО решение в видео.

[@karelalex]

Вот вариант чуть быстрее, но быстрее из-за того, что числа у нас небольшие. У нас x должен делиться на 5, а y на 3. Можно просто выписать квадраты чисел, кратных 5 и 3, тогда для икса в квадрате у нас может быть 0, 25, 100, а для игрека в квадрате 0, 9, 36 (всё, что больше уже даёт перебор). Ну а дальше достаточно проверить все эти числа и получить ответ.

[@MikeBTek]

Can't understand your language, but found the answer to this equation mentally before pressing play on your video. It is obvious that 3x^2 is a multiple of 5. Therefore if x = ±5 we get 75 =5Y^2 = 345. Then 5Y^2 = 270. Then Y^2 = 54, which has no integer solution. Next try X=10 and we get 300 + 5Y^2 = 345. Then 5Y^2 = 45. Then Y^2 = 9. Thus Y=±3. Integer solution is X=±10, Y=±3.

[@noname9163]

Норм задание. На олимпиаде попадалось)

[@user-uw5nu5nt8q]

Супер! Успехов! 👍

[@user-ib8ss9nj4j]

Благодарю вас за познавательные ролики. Удачи в новом году, и побольше подписчиков и популярности.

[@ValeryVolkov]

Спасибо. С наступающим!

[@sempelx6847]

Желаю вам успехов дальше , Можно видосов со школьных задании

[@ValeryVolkov]

На канале уже решено более 2 000 школьных задач, в том числе заданий ЕГЭ и ОГЭ, поищите в плейлистах то, что Вам нужно.

[@AlexeyEvpalov]

Стандартные приёмы. Спасибо за понятное решение.

[@VlastimilCech1]

Jste pekelně chytrý chlap! Gratuluju!

[@user-be9vc5zq7g]

Идеальное объяснение! 🙂

[@user-nz7gc9lx9k]

Спасибо. Кажется, что просто. Значит хорошо объяснили.

[@alexanderlobanov3880]

Классная задачка. Спасибо за видео

[@ilhamqurbanov9024]

Привет Валерий. Спасибо за интересное уравнение.

[@fazliddinkarimov1701]

Спасибо.Красиво и доступно.

[@user-ow9qk6pk1i]

Спасибо, за прекрасный способ решения

[@user-yn2zk5og8x]

👍👍👍👍 Спасибо большое. Супер.

[@user-jj7wk2py6p]

Очень необычное и интересное решение. Спасибо

[@user-no7ez1bl3l]

С наступающим Новым Годом! Здоровья и удачи вам и вашим близким.

[@ValeryVolkov]

Спасибо, Юлия! С наступающим Новым годом! Здоровья и счастья!

[@user-yp4zu8iy3h]

Было очень интересно!

[@mi_tut]

Спасибо большое!!!

[@user-qw6sh8dn5z]

Классный способ для решение диофантовых уравнений!

[@maslinomyot]

у делится на три, если модуль у больше чем 9 то 5у^2 =>405 , это значит что можно перебрать у в промежутке (-9;9), а это 5 чисел: -6 -3 0 3 6 и перебираем

[@galinaapostolyuk7977]

Спасибо!

[@user-mc9iw8nw5z]

Волшебство :)

[@kranzproductions9568]

Гениально!

[@user-td9kt2rj7s]

Спасибо)

[@vitaliymicheev961]

Спасибо, пока подбирал варианты в экселе, обратил внимание на коэффициенты 3 и 5. и решение просто открылось. смотреть не стал, но подписался

[@user-eo4cl9sn1j]

Классненько!

[@superartmebli2452]

Класс!

[@Alexander--]

Практически так же решил. Только сразу заметил, что уравнение симметрическое относительно (0; 0), т.е., если пара (x₀ y₀) является решением, то пары (-x₀; y₀); (-x₀; -y₀): (x₀; -y₀) - тоже решения. Значит, можно решить уравнение только в целых неотрицательных числах.

[@user-fj3il3oh7h]

да!! когда то решал , но сейчас тяжело успевать за тобой! Это шахматы!

[@user-dw1xz2zo7c]

есть решение проще: нужно сразу заметить, что число 345 кратно 5, а в левой части одно из слагаемых заведомо кратно пяти, значит второе слогаемое тоже должно быть кратно 5, значит для x остаётся два вероятных варианта это либо 5, либо 10, если речь идёт только про положительные числа, конечно. Подставляем, и проверяем, целое ли x. Соответственно, для x=10 получаем решение. Если же речь идёт не только про целые положительные числа, тогда есть четыре пары решений: 10,3; 10,-3; - 10,3; - 10,-3. Да, я упустил из виду то, что y может быть равен нулю, но в таком случае просто раскладываем 345 на множители, ну и получаем 23, в качестве одного из множителей делаем соответствующий вывод:)

[@nikpuc9413]

На мой взгляд можно проще. Достаточно заметить, у

[@user-oj4pp1xj3q]

Спасибо

[@AJFantocii]

Сразу по привьюшке видно 3*100=300 + 5*9=45 =345 Люблю уравнения в целых числах) Ну и знаки из-за степени второй, в разных вариациях.

[@terrathehusky1451]

ГЕНИАЛЬНЕЙШЕЕ РЕШЕНИЕ!!!!!!!!!!+

[@DimitriuSun]

Мне стало интересно за какое время найдёт решение программа. Код: #include #include int main() { for(int x=-100; x

[@MO-sv4hc]

Отличное решение

[@kabansik510]

А что если разложить 345 на 300 и 45 и 300 разделить на 3 получим 100 получается корень из ста 10 и - 10 а 45 на 5 и получаем 9 и корень из 9 это 3 и - 3 и получаем решение уравнения

[@SaarSergey]

Да, этот корень сразу виден и находится за 5 секунд, вопрос лишь в том есть ли другие решения?

[@jeb_7749]

Если 300 ты делишь на, то и 45 тоже должен поделить

[@trolltrollskiy]

Валерий Викторович, давайте это же уравнения, но теперь с сравнение по модулю числа?

[@igorsidorin3585]

Да, оригинально. ПОшел по пути выделения квадрата (дважды), в дебри зашеп... Не учел, что в "Целых числах"... Валерий , хрчу предложить решить задачу с олимпиады 60-х прошлого века:: найти мин количество и веса разновесов (гирь), чтоб можно было взвесить ЛЮБОЙ вес от 1 кг до 40. Ответ знаю решение, увы, нет... Спасибо

[@sabagametactics381]

Я решал эты уровнения не много по другому из за этого частично пропускал пору ответов но ваше решение мне очень понравилось!

[@user-ry3mu3zy1o]

Гораздо проще можно решить. Так как второе слагаемое и сумма делятся на 5, то и первое слагаемое делится на 5. Значит x тоже делится на 5. Значит x может быть равен 0, плюс минус 5, плюс минус 10, плюс минус 15 и т.д. Так как первое слагаемое не может быть больше суммы, то для x остаются только 3 варианта: 0, плюс минус 5, плюс минус 10. Первые два отпадают, так как после подстановки в уравнение y не будет целым числом. Отстается одно решение x = плюс минус 10. После подстановки в уравнение получаем y = плюс минус 3. Итак вот ответ: x = плюс минус 10; y = плюс минус 3. Из эти чисел можно составить 4 пары и записать ответ более подробно, как у автора.

[@bobbikzdo5314]

любопытно а такое решение имеет формулирвку в терминах всяких там колец и модулей?

[@user-yv9cb5ps7u]

Почему на ночь такие сложности? Я их днём решить не могу))

[@ulugbeksaydalimov6740]

х^2+у^2=125 как надо решать это уравнение, спасибо за внимание

[@andrei_nazimov]

@@ulugbeksaydalimov6740 так же, перебирать значения от 0 до 11. (±2,±11)(±5,±10)(±10,±5)(±11,±2).

[@SayXaNow]

Ого сколько комментариев про улучшение скорости и простоты решения. Напишу и я что ли свой. int d = (int) Math.sqrt(345); for (int i=0;i

[@RotgerValdes]

Если решение целочисленное, то 345 делится на 3 и 3х^2 делится на 3. Очевидно, что и 5y^2 делится на 3, а значит y = 3, 6, 9... 9*9*5 = 405, поэтому остаётся перебрать варианты у=3 и 6.

[@someone1111212312312]

Редкий случай когда у меня проще получилось. 1. Доказываем что x делится на 5. (как у автора) Замечаем что y² >= 0. Значит (345-3x²)/5 >= 0. Т.е. x²

[@user-qw4hb7vj7t]

В средней совковой школе Диофанта официально не проходили, в тех. ВУЗах тоже. Помню, в Перельмане упоминался, но в линейной части. Чейная программа это, мож гимназий?

[@user-vk2wi1dm7d]

3x^2-300+5y^2-45=0 3(x-10)(x+10)+5(y-3)(y+3)=0 Отсюда корни (10; 3), (10; -3),(-10; 3), (-10; -3) Осталось доказать что больше нет корней ....

[@KostaniantsMykhailo]

Классно придумал! Спасибо.

[@Germankacyhay]

Класно

[@kniazew_daniil]

Зачем так усложнять y = √(69 - 3x²/5) Подберём такой x который кратен 5. √ неотрицателен, поэтому 3x²/5 ≤ 69, x²≤115, а значит x принимает значения где-то до 11 по модулю. Сразу смотрим на 3x²/5. Кратные 5 значения x. 5: вычисляем 69-15=54 такого квадратного корня нет целого 10: вычисляем 69-60=9 √9=3 y= ±3 x=±10

[@SayXaNow]

Ты забыл проверить х=0. Садись, но к сожалению только четверка.

[@bohdankolesnychenko1802]

@@SayXaNow а зачем проверять ? Основная теорема алгебры говорит что многочлен n степени имеет ровно n корней, с учётом их кратности. У нас многочлен степени 2, значит корней ровно два. Автор комментария нашел по два корня на каждую переменную x=+10,-10 y=+3,-3. Больше корней быть не может , зачем проверять ?

[@SayXaNow]

@@bohdankolesnychenko1802 Садись, двойка. Уравнение x^2+y^2=25 имеет 7 корней на каждую переменную, а уравнение x+y=17 вообще бесконечное количество решений в целых числах. У нас не многочлен степени n, а уравнение с двумя неизвестными.

[@Yerdna555]

А мне лично сразу бросилось в глаза, что 345= (3*100)+(5*9) Ну и соответственно получаем те же самые комбинации🙂

[@pavelbelik]

Ловушка для интеллекта. Мне понадобилось 5 секунд, чтоб решить это уравнение. x не может превосходить 11, т.к. 11*11*3 > 345. Значит x принадлежит [0; 10]. y в диапазоне [0; 4]. Переберем все возможныи y. Находим, что подходит только 3 и -3, откуда находим x = 10 или -10

[@user-oi8ti2yr5m]

А как называется этот метод решения?

[@meoook]

10 и 3, правда ответ сразу сам пришел :) без решения

[@ouTube20]

У это задачи есть другие варианты решения?

[@s.gilgenberg5565]

Решение понятно, но сам не додумался бы

[@ufcbjj108]

3(5k)^2 + 5(3n)^2 = 345 = 15k^2 + 15n^2, делим на 15 обе части, k^2+n^2 =23? Почему 5k^2 + 3n^2 =23 ? Если сумма целое число, то ведь возможно чтобы слагаемые были не целыми?

[@ufcbjj108]

@Rophling ок ясно, от души за обьяснение.

[@exekutter4362]

я как решил, это даже банально в уме, если устный счет ок. мне правда было лень в свои года вспоминать квадраты чисел и умножать их на 3, и я воспользовался калькулятором... если в целых числах: |x| 345) |y|

[@user-qm8oz3uz8p]

Очевидно, что значения решений ограничены по абсолютной величине. Верно подмечено, что 345 делится на оба коэффициента, из чего следует делимость первой переменной на второй коэффициент, а второй - на первый. Дальше можно вслед за автором перейти к новым переменным с последующим сокращением на 15, а можно подметить, что 345 имеет остаток от деления на 4, равный 1. Первое слагаемое, 3x^2, может иметь остаток от деления на 4, равный 0 (если x делится на 2) или -1 (если не делится). Второе слагаемое соответ Ошственно, имеет остатки 0 или 1. Так что, единственной возможностью остаётся {x=10u; y=3(2v+1)}. Это ограничивает абсолютную величину x значениями 0 или 10. Первое значение не даёт решения: 345/5=69y^2. Второе, |x|=10, дает четыре варианта решений: {10;3}, {10,-3}, {-10,3}, {-10,3}. А вот если перед одним из слагаемых поставить минус, задачу к простому перебору уже не сведешь. Многие задачи автора легко решаются благодаря удачному подбору условий

[@user-px7dk1kt2l]

Это какой класс?

[@dj_anthon]

Тот момент, когда решил уравнение, едва взглянув на него.

[@bobbikzdo5314]

просто подбором?

[@ktbhhhghg1035]

Добрый день. На 2.30 минуте при делении на 15 должно получиться k^2 + n^2 = 23 Или я что-то пропустил?

[@user-fo9wy1sq4i]

Да, пропущено очевидное возведение в квадрат. И в результате: 3*25k^2+5*9n^2=345. Далее по тексту

[@ktbhhhghg1035]

Да. Спасибо. Невнимательный!

[@saudinord2481]

А что вы считаете этим уравнением?

[@user-wm7gd2cg8c]

Решил почти так же, только перебирал сразу квадраты умноженные на 5, их всего два 5 и 20 дальше уже больше 23. плюсы минусы на квадраты не действуют.

[@sergey_r]

Поскольку 345 делится на 5, то 3x^2 должно делиться на 5, т.е. x=5n Поскольку 345 делится на 3, то 5y^2 должно делиться на 3, т.е. y=3k После подстановки поучаем 5n^2+3k^2=23. Видим, что k и n по модулю не более 2, перебором находим пару (1,1), в итоге с учётом знака четыре пары решений

[@sergey_r]

т.е. перебором находим пару (2,1)

[@VSU_vitebsk]

мой руководитель любит диофантовы уравнения

[@user-no3hd7nf6r]

я решил на много быстрее методом подстановки но я не матаметик

[@ivanzharkikh4252]

x=10,y=3

[@ouTube20]

Зачем нужна было замена на n и k, если можно было сразу приступить к следующему этапу?

[@nick8370]

чтобы меньше было подбирать)

[@hrayrhakobyan8477]

А не возможно было: 5у^2

[@tatyanaviktorova4800]

Почему 3(5k)^2 + 5(3n)^2 = 345 / 15 получается 5k^2 + 3n^2 = 23, а не k^2 + n^2 = 23?

[@Kokurorokuko]

что значит "у квадрата числа все делители парные"?

[@cyberwaldemar]

У 3 делитель только три, 3²=9, у него делитель тож только три, из простых, 3 и 3 - парный делитель 15 - делители 3 и 5, 15²=3*3*5*5, обоих делителей два, вот, парные делители

[@andrei_nazimov]

Если разложить на простые множители, они все будут в четной степени. То есть по парам.

[@ouTube20]

Там ещё корни √115 и 0 в разных сочетаниях.

[@AJFantocii]

Про 0 и корень из 69 почему не написали? Корень из 115 и 69 это не целое число. А тут условие: решить в целых числах.

[@0lympy]

что-то ошиблись при подстановке и исправили при делении на 15

[@user-tm8iq7ez9w]

Подбором за 10 секунд

[@user-iq7bk7lw3f]

Я сразу знал, что x=+-10, y=+-3

[@vladimirzadiran5609]

Решил через чет нечет. Суть та же.

[@liftovik]

Манипуляции с кратностью.

[@iohanvarennikov4054]

х=10, у=3

[@Shukfir]

А я тупо перебрал все X от 0 до 10, посчитал (345 - 3x^2)/5 и посмотрел, можно ли из этого извлечь корень

[@user-sk9oi9jl2g]

Можно было сразу у^2=69-3x^2/5. Далее рассуждения такие же. x кратно 5 (0, 5, -5,10, -10,15...). Выбираем неотрицательное выражение и полный квадрат.

[@user-bn7pm2wi5z]

А я просто представил 345, как 300 + 45, так как в левой части неизвестное умножается на 3 и 5. А потом логикой подобрал)

[@5041989lev]

3*10²+5*3² = 3*100+5*9 = 300+45 = 345 - первое решение Второе попробую найти: 3*x²+5*6²=345 3x²+180=345 3x²=345-180 x²=115-60 x²=55 - не является решением

[@Anastasia-dd1bq]

Как это на 15 поделили и такое уравнение получили

[@dovkaplan2352]

Автор решает методом Диофанта. И это хорошо. Но данный пример гораздо быстрее решается подстановкой, причём устно. Всего лишь 8 возможностей.

[@user-kv4li3xu6b]

Проще и в уме... 1. |x|

[@_over_the_gate_7939]

X=10 Y=3 Легко

[@auroraborealis293]

Так тут сходк видно уравнение эллипса, любой перваш заметит!

[@trolltrollskiy]

Да, а если ты не перваш

[@auroraborealis293]

@@trolltrollskiy ну тогда для тебя метод полного перебора 0

[@CROUDI27]

Х=0, У=+-9 разве не является решением? 2 решения упущено

[@RUSViRTuE]

Нет. При таких значениях 5*9^2 равняется 5*81=405, а у нас по условиям задачи 345

[@mentosnlink4505]

Слишком просто...не знаю, не смотрел сколько воды было вылито за 6 минут Я открыл видео лишь только коммент написать 345 = 300+45 = 3*100+5*9 => x = ±10; у = ±3

[@mentosnlink4505]

Мне хватило 10 секунд, чтоб сообразить

[@Ubp125]

Спасибо, для секса это пригодится

[@barackobama2910]

Бредятина. пара 10,3 находится перебором за 2 минуты. Других положительных пар нет (ибо х меньше или равен 10). Остальные это следствие симметрии. Три минуты максимум и без извращений.