💟 Área Mágica de um Triângulo - A Matemática é LINDA! #27 💟

[@MaxMathGames]

I didn't understand a single word he said, but I understood the whole question. That's the beauty of math and that's why it is called as the language in which the universe was written .

[@zimpeckrezende4692]

To sum up, he said exactly the same: math is beautiful!

[@henriquesabino3595]

This is the magic of life and the entire universe. The Ma Ath.

[@koekjwwn]

i disagree

[@ThiagoGReis-bb9ro]

yeah man,i understood because I am Brazilian,so I speak Portuguese as a consequence,but i agree with you,math is understandable independent of the language.

[@carlosmarques987]

Gostei da solução.

[@alexandre6881]

Melhoras, professor, estamos orando pelo senhor, torcemos muito pelas suas melhoras e sucesso!

[@equacionamatematica]

Muito obrigado, amigo.

[@latheod]

@@equacionamatematica Pode esclarecer o ponto que levantei, professor?

[@renangomes5880]

O raciocínio é até relativamente simples. Acho que a maior beleza dessa questão é justamente não depender das medidas do quadrado maior. Realmente faz jus a essa série.

[@hei_tor6510]

De fato, um aluno olha para uma questão desse tipo, observa que não é mostrado o lado do quadrado maior e nem tenta fazer o que seria o mais óbvio

[@williamdouglas26]

Eu admiro pessoas que conseguem entender muito bem sobre matemática. Sempre fui péssimo pra isso. O básico consigo tranquilo mas as avançadas não entra na minha cabeça de jeito nenhum. Parabéns pra vocês.

[@PauloRoberto-nq4vm]

Outra coisa bacana nesse problema é que muitos olham para o desenho e conclui que o triângulo destacado é isósceles e aí já diz que os dois lados "iguais" medem 2, o que é um erro.

[@MatematicaTel]

Mais um belo desafio, que vou compartilhar com meus alunos. Parabéns, Paulo!!

[@canaldoobmarcos4141]

Se traçarmos a diagonal do quadrado maior, percebemos que a diagonal dele e a do quadrado menor (já representadada) são paralelas, pois tem angulos correspomdentes de 45 no lado de baixo. Assim, ao movermos o ponto do canto superior direito do quadrado maior pela diagonal dele, a área permanece a mesma pois a distância relativa deste ponto à base que consta na diagonal menor não se altera. Logo, podemos mover esse ponto até ele chegar vértice inferior e o triângulo ser metade do quadrado menor, o que corresponde a uma área igual a 1.

[@goldentortoisebeetle9741]

Excelente observação. Isso mostra que o quadrado de lado indeterminado poderia de fato ser menor que o outro.

[@luizmarcelodacarvalho601]

Um dos problemas mais bonitos que já vi. Grande resolução. Parabéns.

[@sandroartista23]

Concordo, essa foi linda ! Que o senhor fique bem professor !

[@WagnerSchmitt]

Excelente questão. Show de bola professor. A forma que resolvi antes de ver o vídeo foi: - primeiro notei que não foi dado o lado do segundo quadrado, então imaginei que a área seria independente do tamanho dele. - Já que o tamanho é independente, então assumi que ambos quadrados tem os mesmo tamanho de lado = √2. Com isso fica fácil calcular os lados do triângulo. - Com os 3 lados dá pra calcular a área (com um pouco de trabalho). A = √p(p-a).(p-b).(p-c) onde p é metade do perímetro. - No final as raízes se cancelam e a resposta dá A = 1. Show de bola professor.

[@pedrojose392]

Boa noite! Embora seja uma questão extremamente fácil. O fato legal é independer de l medida do lado do segundo quadrado. Também dá 1 u.a. para l = raiz(2) u.c. e para l< raiz(2) u.c. Muito embora é necessário que se refaça os cálculos.

[@gleydin]

“Mãetemática”, a rainha de todas as ciências! Obrigado professor!

[@antoniomarcio2787]

Concordo com toda certeza ! A matemática é surpreendente !

[@palestra_ac7408]

Bonito mesmo, prof.! Concordo que a maioria foca na área vermelha. Quando se olha para o todo a saída fica até fácil. Gostei muito.

[@luizbordoni6891]

Parabéns. LInda solução.

[@heraclitothiago]

Uau professor, você me fez relembrar os pilares da geometria, e fazem literalmente mais de uma década que eu não estudo nada sobre esse assunto.

[@mamonsho]

8 meses atrasado, mas da pra fazer pela área do triângulo (b*h/2) com a base sendo a diagonal do quadrado menor. No caso, até se o outro quadrado for menor a área vai ser a mesma porque a altura relativa a esse lado é a mesma.

[@visadatopografiavtop9847]

Isso aí, meu amigo. Tinha feito até d cabeça. Bem mais simples!

[@luisoliveira4560]

Prolonguei a diagonal do quadrado com lado raiz(2), tracei uma altura entre esse prolongamento e o ponto superior direito do quadrado, ai é fácil de ver a altura do triangulo vale metade do valor da diagonal do quadrado menor e rapidamente chego no mesmo resultado, pois tenho base e altura do triangulo. Boa questão!

[@eliphelehualvesdasilvasilv2567]

SENSACIONAL. A MATEMÁTICA É LINDA MESMO!!!!

[@ricardomalaquias4277]

Realmente esse exercício é espetacular, igualmente a matemática e claro, quando explicada de uma forma didática e espetacular como você faz fica mais fácil de se entender e torna nossa matemática mais bonita ainda. Parabéns Paulão !!!

[@oscarpauzerfilho2003]

Oi Prof. Paulo, Bom Dia. Navegando pelo KZbin, descobri seu canal por acaso e, logo que assisti o primeiro vídeo, percebi sua didática e forma de transmitir seus conhecimentos. Logo me inscrevi e passei a assistir seus vídeos. PARABÉNS pelo seu trabalho, ele é MUITO IMPORTANTE e ajuda muita gente que precisa entender e descobrir as MARAVILHAS da MATEMÁTICA. Quanto à essa questão, e e resolução, elas são SENSACIONAIS!!! Que DEUS Abençoe Muito esse seu trabalho!!! 👍👍👍

[@ERAMATEMATICA]

Excelente canal. Ótima contribuição para milhares de estudantes e outros.

[@andreslegarda565]

Excelente, muchas gracias, matemáticas bonitas de verdad

[@glaycemoreiraventura5815]

Eu fiz de outra forma com muita mais cálculo. Trabalhei com area dos triângulos, trapezios e do quadrado. Muito cálculo. Mas n tinha percebido o triângulo maior (que está insetido nos dois quadrados). Desse jeito q vc fez é bem mais fácil. Perfeito!!

[@eziolouzada1160]

Obrigado Grande Paulo Pereira

[@al-carissimi]

Interessante que brincando um pouco com os lados dos dois quadrados e mantendo a construção deste triângulo pode-se provar que sua área é sempre metade da área do primeiro quadrado. Formalmente: Sejam O, A e B três pontos distintos e colineares tais que OA=a e AB=b. Construa sobre OA um quadrado OACD (com seus vértices lidos em sentido anti-horário) e sobre AB um quadrado ABEF (com seus vértices lidos em sentido anti-horário). Então a área do triângulo OCE é igual a a^2/2. Para provar basta analisar os casos tricotômicos: ab. Os casos extremos O=A=/=B e O=/=A=B também são válidos, mas aí deve-se tomar cuidado para definir o triângulo.

[@dudaarda785]

Parabéns. Amei a questão.👏👏

[@jun060]

Incrível e criativo quem formulou está questão

[@oolhoquetudove3249]

Muito obrigado, professor.

[@juliapaschoali436]

Se você não estiver usando traje de gala o play não funciona porque a aula ta mt elegante

[@CaioArthurSimioni]

Eu estabeleci um plano cartesiano e fiz por matriz. Uma maneira que eu particularmente amo, mais uma benção da geometria analítica!!!

[@viniciusfernandes2303]

Obrigado pela resolução, professor!!

[@alexandresilveira1071]

Parece mágica’!!! 👏👏

[@jjjsilva09]

Linda questão!!! Grato professor!!!

[@carlosribeiro8921]

Realmente é uma das mais bonitas questões de geometria. Não conhecia. Parabéns.

[@alexnaldo75]

Fui por outro caminho, mas sem dúvida, a forma que vc fez foi espetacular. Parabéns Professor, aprendi muito.

[@ProfessorMarcioV]

Maravilha! Resolvi do mesmo jeito.

[@renatoruguzzoni6898]

Bom retorno professor.....que bom que sr. esta firme e forte....

[@Carlosaoferr]

Caramba! Um bicho de 7 mil cabeças resolvida de forma clara, simples e elegante. Tenho que voltar para as salas de aulas.

[@guilhermecosta9792]

Questão linda eu resolvi com outra visão ,formei um quadrilátero formado pelas somas das áreas dos triângulos ali no centro e consequentemente subtrai da área do triangulo de base raiz de 2 ,igualando então sua área destacada =1.

[@mathjitsuteacher]

Estava dando uma olhada nessa questão e a resposta saiu com apenas UMA semelhança de triângulos e usando a fórmula da área de um triângulo de maneira esperta. Bem divertida a questão.

[@eddycruz1094]

Realmente, no começo me pareceu estranho não ter informações do lado do quadrado maior. Mas quando eu percebi saiu de boa. Exatamente igual ao vosso raciocínio. Linda questão.

[@andregoncalves3252]

Excelente!

[@djimmyarealeao48]

Questão fantástica! Top

[@fulltimeenergia]

Parabéns pelo vídeo, estou revendo questões de matemática confesso que fiquei encantado.

[@cdat20]

Você é demais professor! Bela Questão!!! 👊👊👊

[@sergiofranczak7595]

Parabéns pelos problemas apresentados, show de bola 👍

[@raphaelcarvalho3824]

Melhoras professor! Queremos você com saúde para nos apresentar mais questões maravilhosas como essa! Fica com Deus

[@fabiobrito6910]

Muito bacana Parabéns Professor

[@jaimegonzalesllactas2714]

Euu. Muito agradeciao pur ensiñanzao. O mais grande du mundo. Muitos saludinhos.

[@gilsonpacifico]

Ótima questão, e excelente professor 👏👏👏

[@juracydantasgomesjuracy5758]

Muito lindo. Amei

[@CarlosSantos-me5wp]

Muito interessante, não conhecia está propriedade, como de fato a matemática é linda, obrigado prof. pela demonstração

[@killer-rf1iu]

Que Deus o abençoe professor e o purifique dessa doença

[@claudio.guittar]

Realmente, linda questão. 👏👏👏

[@kellps7251]

Mto obrigada pelo vídeo, professor!

[@redesaberoficial]

Surpreendente realmente!!

[@alex13franklin]

Você é sensacional, parabéns mestre Paulo...

[@equacionamatematica]

Valeu, Alex! Tmj! 💪🇧🇷

[@diogochadudmilagres4533]

Legal, Paulo! Eu ia partir pra diversos pitágoras pra encontrar as medidas do triângulo, calcular sua altura pensando q o triângulo fosse sempre isósceles, etc.

[@VictorXXDLeal]

amigo, o triangulo rachurado é sim isosceles. Lados 2, 1 e 1.

[@diogochadudmilagres4533]

@@VictorXXDLeal Não é pq a resolução serve para qq quadrado à direita de lado maior que raiz(2). Ou seja, o triângulo em questão muda de medidas, e não muda de área.

[@VictorXXDLeal]

@@diogochadudmilagres4533 Não entendi.

[@muriloporfirio7853]

Genralizando com o lado do quadrado menor sendo y, a área do triângulo é y²/2. O problema também funciona com o segundo quadrado tendo lado igual ou menor, e mantém o mesmo valor.

[@FireCrafty]

Muito bom, professor! Cada vez me admiro muito mais pela beleza da matemática! Parabéns ao cubo para você! 📚💟

[@lucamix5757]

Questão muito bela. Da pra fazer por geometria plana, sabendo que as diagonais dos quadrados sao paralelas, temos q a base do triangulo é a diagonal do quadrado menor (2) e a altura é a distancia entra as diagonais, que é igual a metade da diagonal menor (1). Tendo a base e a altura, fácil ver que a area será 1!

[@davilsonbenith4092]

Fantástico é redundância. Parabéns e melhoras Paulo!

[@samuelfelix9778]

A maneira como você fala da matemática é como eu a vejo, é maravilhoso

[@rudyboyca582]

Muchas gracias maestro 👌🏼

[@marioluizdasilva1179]

Show de bola, professor 👏👏👏👏👏

[@caroline995]

Ai que lindo. Acho que essa é a minha preferida.

[@miltonjosesiqueirapiresjr5604]

Bom dia, muito boa a explicação. PELO QUE PERCEBI A ÁREA É METADE DA ÁREA DO QUADRADO DE LADO PEQUENO.

[@uevisonmarques3664]

Show de bola cara!!! Parabéns mesmo pelo trabalho

[@RaiolG]

Acertei a questão percebendo e deduzindo que a área vermelha no triângulo maior caberia exatamente na área que sobrou do segundo triângulo menor. Me surpreendeu

[@dionatavielmo1993]

Mto boa a resolução. Da pra fazer por analítica tbm. Chama o lado do quadrado maior de x. Daí vc vai ficar com os vértices do triângulo nós pontos (0,0), (raiz de 2, raiz de 2) e raiz de 2 +x, x). Faz a determinante e joga na fórmula área do triângulo.

[@MrLucaspingret]

fantástico, parabéns

[@rubenspereira1745]

Adorei essa questão parabéns professor

[@LuisCarlos-79]

Paz e saúde professor, os seus vídeos já fazem parte do nosso cotidiano escolar. Forte abraço.

[@tudo150]

Resolvi com determinante, achei bem mais rapido. Muito bom exercicio

[@lucaslage1037]

Quanto conhecimento!!! Fico pasmo vendo videos assim!

[@GustavoMuzilo]

Incrível! Gostei demais prof!

[@emanueljb8155]

em primeiro lugar quero parabenizar e agradecer pelo trabalho LINDISSIMO! e eu sei que já é trabalhoso essas coisas de fazer conteúdo pro canal, mas eu acharia muito interessante se o sr. colocasse outras questões com a mesma solução

[@luizherrera5446]

Muito legal... linda a matemática, mesmo.

[@Demolorde]

Questão realmente bacana

[@felipepedroz7782]

Achei dois lados do triângulo e fiz uma redução ao primeiro quadrante de seno de 150 graus, aplicando a fórmula da área absenx/2. Maneira um pouco menos robusta, tornando a questão mais prática.

[@thalesdhemetrius92]

Linda questão e com uma ótima resolução

[@Samuel_Reboucas]

Melhoras professor. Fiz de um jeito um pouco diferente, somei as tres áreas e fiquei com 1+a^2,daí subtrair da area total que era 2+a^2. Muito legal esse tipo de questão

[@alvarofernandes5919]

Muito boa a questão, uma das melhores que já vi você apresentar...

[@caio-jl6qw]

Fiz de um modo diferente. Como não foi dado o lado do quadrado maior, assumi que a área seria a mesma para um quadrado de qualquer lado (essa assunção poderia não estar certa, já que se poderia descobrir o lado do quadrado maior por meio de manipulações algébricas). Assim, estipulei que o quadrado maior tinha também lado raiz(2), o que tornou a resolução mais fácil.

[@maytommcauley4026]

Tom McAuley Short solution:- Diagonal in first square is 2 units. Draw diagonal of second square parallel to it.. Distance between these parallels is half the diagonal in ffirst square. ie 1 unit. Area of the coloured triangle is half the product of these two measurements-- ie 1 unit square.

[@ivenslui]

Perae, mas a distância entre as diagonais n seria √2?

[@maruthasalamoorthiviswanat153]

Sir, very simple solution. First draw a diagonal in big square (parallel to small square's diagonal). Which is touching at small square's vertex. The red triangle height is same as newly formed right angled Triangle. i .e. both the Triangles are same height. So The AREA will be half of the small Square's Area.

[@Mucurex]

Realmente eh um problema muito bonito.

[@TiagoBruz]

Parabéns pela aula!

[@pedroluis5042]

Ótima aula.

[@jorgechavesfilho]

Em nenhuma parte da solução (sistema de equações de áreas) trabalhou-se com a restrição do segundo quadrado ter que ser maior. Ele pode ser menor. Portanto reduzimos o tamanho do segundo quadrado adjacente até ele ser apenas um ponto que coincide com o vértice inferior direito do primeiro quadrado. Nesse cenário, o triângulo vermelho passa a ser um triângulo retângulo que ocupa metade do primeiro quadrado. Portanto a área dele é 1. Sem cálculos.

[@danielplacido8746]

yup

[@raulvitor96]

Fica bem visível o pq, quando se projeta as duas diagonais dos quadrados e o triângulo retângulo formado pela altura do triângulo em questãos (tomando como a base do triângulo em questão a diagonal do quadrado menor).

[@MegaGamersHardCore]

Dá pra traçar a diagonal do quadrado maior e transportar a ponta do triângulo pra aresta inferior direita do quadrado menor, já que a altura se preserva

[@almariferreira6926]

Caramba, essa questão é linda, a didática do professor é shooow

[@02bangu]

Triangulo isosceles. Traçando prolongamentos. Fica lado.lado seno de 150 sobre 2. Mas questão boa

[@antoniocampos9721]

Essa questao tambem pode ser feita por geometria analítica e ,da mês forma, verifica-se q o resultado independe da medida do lado do quadrado maior.

[@yasmimleal9216]

Eu tive o seguinte raciocínio: primeiro, noto que as diagonais dos dois quadrados são segmentos paralelos. Logo se eu considerar a base do triângulo vermelho sendo a diagonal do triângulo menor, eu posso mover o outro vértice para qualquer outro ponto pertencente a diagonal do triângulo maior. Para facilitar, eu escolho o ponto situado no vértice inferior esquerdo do quadrado maior. Desse modo, a área do triângulo vermelho vale a metade da área do quadrado de lado raiz de 2, logo a área é igual a 1.

[@prof_allanIFBA]

Boa questão. Show de bola.

[@professorseverino4280]

Resolução show professor

[@LugarDoCarvalho]

Tri massa. Grato!

[@Souza-yg5xm]

Muito linda mesmo!!!

[@diegogarcia8947]

Essa questão usa um princípio elementar que parece simples demais mas é poderoso como foi nessa questão, que é a de decompor as regiões das figuras em outras (triângulos no caso).