Relativité générale (séance 3c)

Рет қаралды 4,265

Etienne Parizot

Күн бұрын

Пікірлер: 26

@hamidhiba 11 ай бұрын

Veuillez professeur accepter mes remerciements pour votre précieux cours que je suive impatiemment depuis longtemps

@gilldeguill 11 ай бұрын

Tout cela est absolument passionnant. J’avais déjà vu une introduction (niveau L3) à la relativité générale du professeur Taillet mais là je sens que ça va aller bien au delà.

@JeanDONNE-j8d 11 ай бұрын

Je vous remercie, professeur, pour votre générosité. Serait-ce possible que vous partagiez les fiches d'exercices et fiches de TD ?

@fesslerivan603 11 ай бұрын

👍

@EtienneParizot 11 ай бұрын

Bonjour. Dans la description de la vidéo, j'ai ajouté un lien vers le fichier correspondant à la feuille d'exercices distribuée lors du cours. Si cela ne fonctionne pas, merci de me l'indiquer.

@JeanDONNE-j8d 11 ай бұрын

@@EtienneParizot Merci infiniment professeur.

@aazizihassan9315 11 ай бұрын

Merci professeur pour ce partage et pour la réapparition …

@gilldeguill 11 ай бұрын

Pour ceux et celles que la topologie générale intéresse je recommande la playlist topologie de la chaîne Maths adultes.

@ChaineYTXF 11 ай бұрын

merci!

@Assawra 11 ай бұрын

La démarche ressemble à la construction de notions qui nous permet d'appréhender le réel physique, en veillant à ce que ces notions soient et restent cohérentes à des axiomes. Est-ce le lien entre les mathématiques et la physique ?

@abinadvd 11 ай бұрын

C'est des maths. Les matheux ont formalisé et généralisé les notions intuitives en particulier celles de la physique, c'est leur boulot. Note qu'on ne parle pas d'axiomes ici mais de définitions. L'axiomatique (propriétés qu'on admet comme vraies) nécessaire est celle que tu connais intuitivement (et dont je ne me souviens pas de la liste). Il peut y avoir un axiome utilisé parfois pour certaines démonstrations dit "l'axiome du choix". En général , on le précise en maths quand on l'utilise car il existe des théories avec ou sans cet axiome.

@skuizhopatt5318 11 ай бұрын

Y'a l'autofocus qui n'arrête pas d'autofoquer !! PS : merci pour la feuille d'exercices :)

@rh9309 11 ай бұрын

Bonjour et merci pour votre souci de pédagogie Vous est-il possible de mettre en ligne les documents que vous communiquez aux étudiants, pendant le cours ? (voire les supports de TD)

@EtienneParizot 11 ай бұрын

Bonjour. Dans la description de la vidéo, j'ai ajouté un lien vers le fichier correspondant à la feuille d'exercices distribuée lors du cours. Si cela ne fonctionne pas, merci de me l'indiquer.

@guiguillollome 11 ай бұрын

Existe-t-il des structures de variétés "non-differentiables" ? Une sorte de structure de variété fractale ?

@EtienneParizot 11 ай бұрын

Bonjour. Toute variété topologique est "non-différentiable" tant que vous n'avez pas introduit de structure différentiable sur cette variété. En ce qui concerne votre seconde question, une fractale ne répond pas à la définition d'une variété (qui doit pouvoir être localement cartographiée sur R^n - où n est un entier donné, toujours le même). On ne peut donc pas parler de variété fractale. (Ce qui n'empêche pas de parler d'espace fractal si on le souhaite, bien sûr.)

@guiguillollome 11 ай бұрын

@@EtienneParizot Merci pour votre réponse. Donc le fait de dire que localement, l'espace-temps doit être homéomorphe à R^n, provient d'une sorte "d'intuition" du réel. Certes cela à l'air cohérent de se reporter à une métrique de Minkowski localement, mais considérant maintenant les "bizarreries" quantiques, ne serait-il pas interessant d'étudier les espaces soit discontinus soit continus partout mais non différentiables ... ?

@EtienneParizot 11 ай бұрын

@@guiguillollome Par souci de clarté (pour éviter toute confusion que la lecture de votre commentaire pourrait entraîner), je me permets d'indiquer que dans la définition d'une variété de dimension n, il est en effet nécessaire que l'espace topologique considéré soit localement homéomorphe à R^n, mais il n'y a aucune référence à une quelconque métrique. En ce qui concerne la question de l'extension du cadre de la description physique à des espaces non différentiables, cela fait bien sûr partie des choses qui ont été explorées, et qui le sont encore (ainsi que de nombreuses autres extensions possibles). En France, par exemple, Laurent Nottale a plaidé pour une approche intéressante à travers une "Relativité d'échelle", dans laquelle la structure de l'espace-temps ne pourrait être donnée que relativement à une échelle particulière à laquelle les phénomènes physiques sont décris ou observés, et où des "lois d'échelle" indiquent comment la situation évolue en fonction de l'échelle. L'intérêt est de pouvoir néanmoins conserver une structure différentielle à chaque échelle, bien qu'un comportement "fractal" puisse apparaître de manière plus globale. À ce jour, cependant, les diverses tentatives d'extension du cadre de la Relativité générale (et/ou de la Physique quantique) n'ont pas abouti à un cadre général cohérent permettant de décrire la réalité physique de manière satisfaisante, même si diverses pistes explorées ont connu certains succès partiels intéressants et continuent d'alimenter les réflexions et la Recherche. Comme vous le savez sans doute, nous ne disposons toujours pas d'une théorie quantique de l'espace-temps ou d'une théorie de la gravité quantique. Mais la Recherche n'est pas morte ! ;-)

@ThomasSamray 11 ай бұрын

@EtienneParizot Il y a un point qui m'échappe concernant la topologie de la variété topologique de dimension 4 qui est l'espace-temps "réel" en relativité générale. Vous expliquez qu'on ne peut pas construire cette topologie de manière usuelle sur base d'une notion de distance (puisqu'on ne sait pas (encore ?) ce qu'est la distance sur cette variété). Mais, sauf erreur de ma part, le cours n'explicite pas la topologie de la variété en donnant ses ensembles ouverts. On énonce seulement que certaines fonctions sont continues avec cette topologie. Mais quels sont les ouverts de la topologie de la variété ? Peut-on les déduire en disant que la composée "x après gamma" doit être continue au sens usuel pour toute courbe gamma ? Mais dans ce cas, cette définition de la topologie de la variété n'est-elle pas "ad hoc" et garantit-elle vraiment qu'une trace sur la variété est continue si et seulement si sa préimage dans R^n l'est au sens usuel ? Peut-on les déduire en utilisant la topologie induite en plongeant la variété topologique de dimension 4 dans R^m (avec m >4) muni de la topologie usuelle ? Mais dans ce cas, ne rentre-t-on pas en contradiction avec le principe énoncé dans le cours de travailler dans la variété de manière intrinsèque, sans la plonger dans un R^m "plus grand" qui n'aurait pas de signification physique ? Merci d'avance si vous trouvez le temps de répondre à toutes (ou à une partie de) ces questions ! Merci de toute façon pour la mise en ligne de vos passionnants cours !

@EtienneParizot 11 ай бұрын

Bonjour. Par définition, une variété topologique de dimension 4 est un espace topologique - donc muni d'une certaine topologie -, que l'on peut cartographier localement dans R^4. Il faut entendre par là que pour chaque point de la variété, il existe un voisinage ouvert de ce point et une application homéomorphe (càd bijective, continue, à inverse continue) vers un ouvert de R^4. Ainsi, la topologie est toujours localement celle de R^4. Mais cela ne dit rien sur la topologie globale. Quoi qu'il en soit, comme vous les voyez, il faut d'abord que l'espace topologique sur lequel s'appuie la variété soit muni, par lui-même, d'une certaine topologie - sinon il n'y a pas de sens à dire qu'une application de cet espace (ou d'une partie de cet espace) dans R^4 (ou une partie de R^4) est continue. Ainsi, je ne suis pas sûr de saisir ce qui vous gêne. Il est vrai que nous ne définissons pas une topologie sur la variété en la faisant découler d'une notion de distance. Mais lorsque vous dites que « le cours n'explicite pas la topologie de la variété en donnant ses ensembles ouverts », ou lorsque vous demandez « mais quels sont les ouverts de la topologie de la variété ? », qu'appelleriez-vous "donner les ensembles ouverts" ? Les ouverts sont ce qu'ils sont, mais je ne sais pas comment vous souhaiteriez les voir désigner. En donnant la liste de leurs éléments ? Mais ils sont justement en nombre infini non dénombrables, puisqu'ils leurs points sont en relation bijective avec R^4. La seule chose que l'on puisse dire, c'est qu'ils sont cartographiables dans R^4. Je crois comprendre que ce qui vous gêne, c'est que cela ne permet pas de désigner précisément des points. Mais songez à ce qu'il en est dans le cas très simple du plan euclidien, par exemple. Comment pouvez-vous désigner des points dans ce plan ? Ou "donner ses ouverts" ? Tout ce que vous pouvez faire, c'est choisir un système de coordonnée vous permettant de désigner un point par un doublet de nombres réels (abstenons-nous pour l'instant de parler de distance). Ce faisant, vous établissez une correspondance entre le plan euclidien et R^2. Ceci étant fait, vous pouvez maintenant désigner des points par leurs coordonnées, et l'hypothèse implicite est que ce système de coordonnées est "fidèle", au sens où une courbe continue dans la carte (c'est-à-dire en l'occurrence dans R^2) est également continue dans "l'espace réel" (le plan en question), et inversement. Pour que cela ait un sens, il faut bien qu'il y ait une notion de continuité dans l'espace réel, donc une topologie. Cependant, comment pourriez-vous désigner les éléments de cette topologie ? Maintenant que vous avez une carte, vous pouvez le faire en disant qu'ils sont les préimages des ouverts de R^2 par la carte. Mais ces ouverts sont ouverts quoi qu'il en soit - avec ou sans carte. Sans carte, l'espace existe bel et bien, mais il est clair que vous ne pouvez pas en faire grand chose. C'est pourquoi l'exigence de pouvoir cartographier l'espace paraît difficilement contournable en Physique, et c'est pourquoi l'hypothèse minimale qui est faite lorsqu'on considère l'espace-temps, c'est de dire qu'il s'agit d'une variété. Je ne sais si ces quelques commentaires vous éclairent partiellement. Je crois que votre questionnement est très sain et très légitime, et il me semble qu'il peut vous mener à prendre une juste mesure de ce qu'on nomme espace (ou espace-temps) en Physique est effectivement extraordinairement abstrait, même si on ne s'en rend généralement pas compte. Il nous est très difficile de détacher l'espace de la cartographie qu'on en fait. On a l'impression que dans le plan euclidien, on peut directement "donner les ouverts", comme vous dites. Mais ce n'est pas le cas. Les ouverts sont ce qu'ils sont : nous n'y pouvons rien. Ce sont eux qui définissent l'espace en tant qu'espace topologique. On croit pouvoir dire quels sont les ouverts à partir des éléments, comme s'ils étaient en nombre fini et qu'on pouvait désigner les éléments en les identifiants de manière distincte les uns des autres. Mais non : on donne généralement les ouverts à partir de la topologie usuelle de R^2. Or attention, R^2 n'est pas l'espace. R^2 est une carte de l'espace. Au bout du compte, on s'en sort quand même, précisément parce que la cartographie est censée être fidèle au territoire (du point de vue topologique). Mais il n'empêche qu'en réalité, vous avez toujours eu recours à une carte, et cette carte n'est forcément qu'une carte parmi une infinité d'autre possible. Cet arbitraire-là pourrait être catastrophique, mais la bonne nouvelle est qu'en réalité il ne l'est pas : car toute autre carte (également fidèle - c'est-à-dire réalisant un homéomorphisme) conduirait exactement à la même structure. Bon, j'ai bien conscience que tout ceci est un peu abstrait. Mais peut-être ces quelques éléments pourront-ils nourrir votre réflexion à ce sujet, dont je répète qu'elle me paraît extrêmement saine. Choisir un système de coordonnées pour parler des points de l'espace paraît être une chose banale, mais le fait est qu'elle ne l'est pas tant que ça. Einstein lui-même a semble-t-il mis des années pour véritablement comprendre que affirmation devenue banale, mais dont l'évidence est bien plus subtile qu'il n'y paraît : « la carte n'est pas le territoire » !

@ThomasSamray 11 ай бұрын

@@EtienneParizot Bonjour et merci pour votre réponse ! Je vais appeler "ouverts de l'espace-temps réel" les ouverts de la topologie de la variété topologique de dimension 4 (l'espace-temps "réel" de la RG). Si je comprends bien votre réponse, les "ouverts de l'espace-temps réel" sont (a minima) toutes les préimages d'ouverts de R^4 (ou d'une partie de R^4) par n'importe quelle carte. Lorsque vous écrivez : "Les ouverts sont ce qu'ils sont : nous n'y pouvons rien." , je pense que vous faites référence aux "ouverts de l'espace temps réel" et que vous leur attribuez une existence propre, intrinsèque, indépendante de toute cartographie. Je peux admettre que ces ensembles préexistent en tant qu'ensemble de points ("points-événements"), mais il me semble que c'est l'action de cartographier qui leur donne "l'étiquette d'ensemble ouvert". Or, décrire la topologie d'un ensemble consiste précisément à distinguer, parmi tous ses sous-ensembles, ceux que l'on qualifiera de "ouverts". La cartographie du monde réel est certainement indispensable à la physique, mais sur ce point elle ne me semble pas "neutre". En affirmant que les cartes sont des fonctions continues, on induit que les "ouverts de l'espace-temps réel" sont les préimages d'ouverts de la topologie usuelle de R^4, qui est elle-même induite par la notion de distance usuelle (que l'on ne voulait pas utiliser). Cela me renvoie à l'image d'un serpent qui se mange la queue ! Mais peut-être qu'un autre élément de votre réponse me met sur la voie ? Lorsque vous écrivez : "Ainsi, la topologie est toujours localement celle de R^4. Mais cela ne dit rien sur la topologie globale.", doit-on comprendre que imposer que les cartes soient continues (et que la topologie de l'espace-temps réel le permette) traduit notre "intuition de continuité locale de l'espace-temps" tout en permettant via ce modèle d'envisager d'autres topologies globales. Pour prendre un exemple plus simple, si l'univers était (topologiquement équivalent à) un cylindre, je pourrais croire qu'il est un plan euclidien (puisque le plan euclidien et le cylindre ont la même topologie locale), jusqu'au jour où je me rendrais compte que, si je me déplace dans une direction bien précise, je peux revenir à mon point de départ en avançant toujours tout droit. J'attends votre prochain cours avec impatience !

@EtienneParizot 11 ай бұрын

@@ThomasSamray Bonsoir. En ce qui concerne la première partie de votre commentaire, en effet, lorsque je disais "Les ouverts sont ce qu'ils sont : nous n'y pouvons rien", je faisais bien référence aux "ouverts de l'espace temps réel", auxquelles on peut attribuer une existence propre, intrinsèque, indépendante de toute cartographie. Vous dites que c'est pouvoir admettre que ces ensembles préexistent en tant qu'ensemble de points ("points-événements"), mais qu'il vous semble que c'est l'action de cartographier qui leur donne "l'étiquette d'ensemble ouvert". Or non : l'idée derrière tout cela, c'est qu'il y a bel et bien une notion de continuité d'une trajectoire dans l'espace-temps. Lorsqu'on lâche un objet dans un champ de pesanteur, ou qu'on lâche un ressort initialement étiré, ou qu'on soumet un charge électrique en mouvement à un champ électromagnétique, etc., il apparaît que leur trajectoire est *continue* (et même différentiable : cf. le cours suivant), pour autant qu'on puisse en juger, et cette continuité est alors un « fait du monde », indépendamment des cartographies que l'on peut souhaiter faire de "l'espace-temps réel". Si la trajectoire est continue (ou si elle ne l'est pas), c'est en référence à une notion de continuité définissable intrinsèquement dans l'espace-temps lui-même (en liaison avec une topologie qui lui est propre, et que nos cartes ne font que traduire dans l'intuition géométrie qui est la nôtre - et qui bien sûr, découle de nos interactions avec le monde). Alors, bien sûr, la trajectoire elle-même se moque éperdument (si l'on peut dire) de savoir si elle est continue ou non : c'est nous qui la décrivons comme telle, parce que nous remarquons sur l'ensemble des trajectoires constatées (et des évolutions physiques quel que soit leur type) une certaine propriété générale et universelle que nous formalisons en introduisant la notion de continuité. Mais le fait est que les trajectoires se prêtent bel et bien, universellement, à une telle modélisation, et c'est cela, in fine, que nous appelons « être continu ». Or qu'elles se prêtent à cette modélisation est une propriété de la réalité physique. Nos cartes n'y sont pour rien. En ce qui concerne la seconde partie de votre commentaire, oui, l'exemple du cylindre est pertinent. Il y a d'ailleurs eu diverses explorations de la possibilité de modèles cosmologiques avec des topologiques globales non triviales, par exemple des topologies qui, tout en étant plates, pourraient être de volume fini, et donner lieu est images multiples d'une même région de l'espace, etc. À ce jour, cependant, il n'y a que des limites inférieures à ce que devrait être la "taille" de tels univers pour que cette topologie globale passe (pour l'instant du moins) inaperçue.