Relativité générale (séance 7b)

[@halibm9603]

Bonjour professeur. Je voulais vous remercier pour la générosité que vous démontrez en nous offrant ces cours de très grande qualité. En particulier, j’en apprécie l’authenticité. Je voulais vous demander si vous pouviez nous recommander un livre qui traite comme vous le faites, de la géométrie différentielle, en partant des bases de la topologie et couvrant tous les outils mathématiques nécessaires pour construire et comprendre la relativité générale ? Merci encore Thierry

[@nonogege6935]

Merci pour le partage !

[@Assawra]

Bonjour, Jusque là, personnellement je n'ai jamais eu l'impression de faire autre chose que de la physique. Le recours aux mathématiques étant inéluctable pour fixer les notions fondamentales qui vont nous permettre d'appréhender (physiquement) la nature de l'espace-temps. Merci pour votre travail.

[@gilldeguill]

Ce n’est pas pour rien que Einstein n’a pu avancer sur le sujet qu’en s’adjoignant un mathématicien qui l’a convaincu d’utiliser les tenseurs très peu connus à l’époque.

[@Assawra]

@@gilldeguill Bonjour, Oui, biensûr. Sans oublier qu'il était lui-même un fin mathématicien. "En 1896, Einstein intègre l'École polytechnique fédérale de Zurich (EPFZ) où il se lie d’amitié avec le mathématicien Marcel Grossmann, qui l’aidera plus tard en géométrie non euclidienne". (Source Wikipédia)

[@charleszerbib7768]

Super et merci

[@jeanpapetti]

Soit la carte(U,x)de la variété M, x est une application de M dans R^n, et soit f une application C^∞ de M dans R^n , le gradient de x_i noté dx_i est bien défini, mais le gradient de x noté dx a-t-il un sens ici ?

[@EtienneParizot]

Bonjour. Non, cela n'a pas de sens. Certains auteurs utilisent le terme "différentielle" (ou parfois "différentielle totale") pour désigner la notion de push-forward associée à une fonction lisse d'une variété dans une autre. Ainsi, à la rigueur, en considérant x comme une fonction de U (ouvert de la variété M) dans la variété R^2, on peut envisager la "différentielle de x" en ce sens, mais quoi qu'il en soit, cela n'est en aucun cas le gradient de x, car il s'agit alors, en chaque point p de U, d'une application de TpM vers T_x(p)R^n, associant un vecteur R^n au point x(p) à tout vecteur de TpM.

[@jeanpapetti]

Merci beaucoup@@EtienneParizot

[@jeanpapetti]

Bonjour, A 33mn 37s vous dites :df( ∂/ ∂x^i) dx^i=( ∂/ ∂x^i)f dx^i Ne serait-ce pas plutôt df( ∂/ ∂x^i) dx^i=( ∂/ ∂x^i)df dx^i ou j'écris un dernier df à la place de f ? En effet la forme df appliquée au vecteur ∂/ ∂x^i doit donner le vecteur ∂/ ∂x^i appliqué à la forme df et non pas le vecteur ∂/ ∂x^i appliqué à f qui n'est pas elle même une forme linéaire. Dans ce cas comment retomber sur le gradient qui est df=(∂f/ ∂x^i) dx^i ?

[@darkkevindu6982]

Je crois comprendre ce que vous voulez dire : effectivement (∂/∂x^i) f n'est pas une forme, mais il me semble que (∂/∂x^i) f dx^i est bien une forme. Je crois que c'est le dx^i à la fin qui permet de s'assurer que l'on a bien une forme. Vous avez peut-être confondu avec le df tout à gauche du tableau à 33:37 qui est bien une forme. Si j'ai bien compris le cours, en résumé : - df est une forme - les dx^i sont des formes "de base" (la base duale) - les (df)i = df (∂/∂x^i) = (∂/∂x^i) f sont les coefficients de la combinaison linéaire

[@mmb6545]

Très judicieuse cette annexe du cours précédent pour bien assimiler les notions.

[@jeanpapetti]

Bonjour, Est-ce qu’à tout vecteur de TpM est obligatoirement attachée une courbe de R dans M passant par p? Je vous pose cette question car vous avez précédemment défini X, vecteur de TpM, comme vitesse d’une courbe γ en un point p, qui est l’application qui à toute fonction f C∞,donne X(f)=(f∘γ)’ ( λ0) avec γ(λ0)=p. A 7mn, pour définir le gradient de f en p, vous dites, X étant un vecteur de TpM, que (df)p(X)=X(f)=(f∘x^-1)’(x(p)). Je ne vois dans cette nouvelle définition aucune référence à une courbe et ne vois pas comment on pourrait attacher une « direction » et une « intensité » au vecteur X. Merci.

[@EtienneParizot]

Bonjour. En effet, pour tout vecteur de TpM, c'est-à-dire toute combinaison linéaire de vecteurs d'une base donnée (par exemple celle associée à la carte x), on peut trouver une courbe (en fait une infinité ;-) ) passant par p dont le vecteur en question est la vitesse. J'y fais allusion à un moment dans un cours précédent, je crois (lorsque j'ai identifié une courbe particulière dont $(\partial/\partial x^i)_p$ est le vecteur tangent), et cette question figure également dans un exercice de la deuxième feuille d'exercices (que vous trouverez dans la description d'une vidéo précédente de la playlist). Un jour, je corrigerai cette feuille d'exercice, et vous verrez comment faire, mais vous pourrez certainement deviner comment construire une courbe répondant à votre question en regardant comment j'ai fait pour le vecteur $(\partial/\partial x^i)_p$… ;-)

[@abinadvd]

@@EtienneParizot Mr Parizot , pourquoi vous n'avez pas défini explicitement l'espace fibré comme l'ensemble des couples (P, Tp) de votre variété ? L'unicité de l'élément y est claire.

[@EtienneParizot]

@@abinadvd Bonjour. Je donnerais d'abord une première raison qui est que ce n'est pas nécessaire d'introduire de tels couples d'éléments (de nature différente), puisqu'il suffit justement de prendre l'union des TpM. Cela a la vertu, au passage, de bien souligner que tous les vecteurs tangents sont différents, ce qui est pédagogiquement utile dans le mesure où c'est un point essentiel : on ne peut pas faire la différence entre deux vecteurs appartement à des TpM différents, c'est-à-dire deux vecteurs en des points différents. Cependant, la vrai raison est de nature mathématique. En réalité, ce que vous décrivez n'est rien d'autre qu'un produit cartésien de M et de R^n (ou plus généralement d'un espace de base B et de la fibre : B x F). Un tel produit cartésien est appelé fibré trivial, et la projection du fibré est alors simplement la projection sur le premier facteur. Mais il s'avère que cette construction est trop restrictive. En effet, s'il est vrai qu'autour de chaque point p de M, il existe un voisinage U dont la préimage par π peut être identifiée au produit cartésien U x F, en revanche il n'est pas garanti que ceci puisse être fait pour l'espace en entier. Deux exemples bien connus sont la bande de Mœbius et la bouteille de Klein. En fait, un fibré est dit trivialisable (oui, c'est le terme officiel ! 😉) si on peut trouver réaliser cette indentification au niveau de l'espace total. Les fibrés sont certes toujours localement triviaux, mais pas forcément de manière globale. La définition que j'ai donnée, justement, ne fait pas d'hypothèse particulière à ce sujet, et c'est me semble-t-il la meilleure façon de procéder si on veut avancer proprement, et permettre ensuite la définition d'un champ de vecteurs comme une section du fibré tangent, puis l'introduction d'une connection affine et d'une dérivée covariante, etc. (comme nous le ferons dans le prochain cours). Cela répond-il à votre question ?

[@abinadvd]

@@EtienneParizot Je vais réfléchir un peu à cette nuance. Je ne suis pas physicien mais plutôt matheux (j'aime peu que les gens de catégorisent) et je regarde la discipline "cousine" n'ayant pas pu faire les 2. J'apprécie beaucoup qu'un prof filme ses cours. Il faut du courage au sens général, ça aide vos élèves, puis ça permet à qui veut d'assister à des cours d'un certain niveau. Merci beaucoup.

[@jeanpapetti]

Merci, mais alors pour définir le gradient de f en p, vous dites, que X(f)=(f∘x^-1)’(x(p)) qui devrait être un réel. Ici f∘x^-1 est une fonction de R^n dans R, donc (f∘x^-1)’(x(p)) devrait être (∂1f,…,∂1f)(x(p)) qui n’est pas dans R contrairement à la définition utilisée précédemment, à savoir, X(f)=(f∘γ)’ ( λ0) qui donne bien un réel.

[@LeoTaxilFrance]

Merci!