Relativité générale (séance 7a)

[@gilldeguill]

J’ai enfin compris ce qu’est un tenseur. Merci

[@EtienneParizot]

Eh bien, j'en suis ravi ! 🙂Pour une raison qui m'échappe, les tenseurs sont souvent présentés d'une manière si obscure que cela finit par effrayer tout le monde, alors qu'il s'agit d'une chose à la fois très simple et très naturelle.

[@Assawra]

On ne peut pas se tromper parce que quand on se trompe on le voit ... (ce qui est équivaut à) ... On se trompe quand on ne peut pas voir qu'on se trompe.

[@jeanpapetti]

Bonjour, le gradient de f en p est-il égal au gradient de df en p qui est la fonction linéaire tangente de f au point p ?

[@EtienneParizot]

Bonjour. Je ne comprends pas bien votre question. Qu'appelez-vous "gradient de df" ? Ce qu'on note df est une forme linéaire. On ne peut en prendre le gradient.

[@AMieuxYRegarder]

Pardonnez ma question, mais il y a une lacune dans ma formation: Pourquoi est-il nécessaire d’utiliser les tenseurs en physique ? Je ne comprends pas bien « l’essence » de cet objet. Merci d’avance.

[@EtienneParizot]

Bonjour. En fait, les tenseurs interviennent naturellement si l'on souhaite attribuer des propriétés physiques aux différents points de l'espace(-temps). Ce sont ces propriétés qui donnent un contenu physique au monde. Or quel type de propriétés peut-on associer aux différents points. L'exemple le plus simple est celui d'un champ scalaire, c'est-à-dire une simple fonction définie en chaque point représentant par exemple la température au point considéré, ou la densité de masse, ou la pression, ou la densité de charge électrique, etc. Mais il se trouve que, dans notre monde physique, il semble y avoir d'autres types de "grandeurs". On a ainsi pu identifier des grandeurs physiques qui ne se laissaient pas décrire par un simple nombre, et qui "portaient en elles" une notion de direction. Par exemple : le champ électrique. Ce n'est pas simplement une valeur en un point, mais une valeur associée une certaine direction. C'est pourquoi on parle de champ vectoriel : en chaque point, il y a une certaine propriété qui est caractérisée par un vecteur défini dans un certain espace vectoriel associé à ce point. Il en va de même du champ de vitesse des "éléments de fluide" dans une rivière, par exemple. Mais ce n'est pas tout : nous avons une certaine notion d'angle entre deux directions. Cela paraît simple, mais c'est une structure qui n'est pas immédiate. Comment définir un angle entre deux directions, par exemple entre les directions définies par deux vecteurs vitesses au même point ? Pour cela, on a besoin d'une notion de produit scalaire. Or le produit scalaire est déjà un tenseur de rang (0,2), c'est-à-dire prenant 2 vecteurs en un point, et donnant un nombre. En fait, les tenseurs sont les grandeurs les plus simples qu'on puisse définir sur l'espace(-temps): ce sont des objets définis de manière intrinsèque, "géométrique", agissant linéairement sur des objets "déjà présents", les vecteurs (et les formes linéaires associées). Ensuite, la question est de savoir si ces objets, qui apparaissent naturellement dans la structuration géométrique de l'espace-temps, permettent bel et bien de décrire ce qu'on observe dans la réalité physique, et la réponse semble être oui ! Dès lors, pas besoin de chercher plus loin ;-) (du moins pour l'instant)… (NB: en fait la découverte de l'espace-temps à travers la Relativité nous a fait réaliser que le champ électrique, qu'on peut considérer comme un champ vectoriel dans l'espace 3D, est en fait une composante d'un champ tensoriel dans l'espace-temps. Donc, déjà avec l'électromagnétisme, les champs de vecteurs ne suffisent pas. C'est le tenseur "champ électromagnétique" (de rang 2) qui est la grandeur pertinente, ayant en chaque point une certaine "valeur", et dont on peut extraire, dans un référentiel donné, les composantes correspondant à ce qu'on appelle le champ électrique et les composantes correspondant à ce qu'on appelle le champ magnétique.) Cela répond-il à votre question ?

[@AMieuxYRegarder]

@@EtienneParizot Tout à fait ! Merci beaucoup

[@AMieuxYRegarder]

@@EtienneParizot en fait, il y a encore un petit point qui m’échappe : les formes linéaires et l’espace dual... Il semble tout à fait naturel d’associer un espace dual à un espace vectoriel. Je ne comprends pas vraiment pourquoi. Je comprend pas non plus l’importance des formes linéaires et pourquoi il parait si évident de les associer pour créer un tenseur. Que représentent-t-elles physiquement ? Encore merci d’avance.

[@EtienneParizot]

​@@AMieuxYRegarderEn ce qui concerne les formes linéaires, je dirais qu'elles sont également naturelles dès lors que les vecteurs sont introduits, puisqu'elles permettent "d'extraire" un nombre à partir des vecteurs. Vous pouvez penser au gradient, par exemple, qui est en réalité une forme linéaire, et qui permet de caractériser comment, localement, une fonction varie dans l'espace. De manière très générale, si vous avez un vecteur défini en un point, n'est-il pas naturel de s'intéresser à ses composantes dans une certaine base ? N'est-ce pas ce qui se passe lorsqu'on effectue une mesure ? Le résultat d'une mesure est un nombre, et si la grandeur mesurée est vectorielle, alors c'est bien souvent une composante particulière du vecteur en question (même si rien n'empêche de mesure aussi, par ailleurs, une autre composante…). Or l'application qui à un vecteur associe sa composante dans une certaine base est précisément une forme linéaire ! Et la base duale est précisément l'ensemble des formes linéaires qui associent à un vecteur ses composantes dans la base initiale (de l'espace vectoriel) !

[@AMieuxYRegarder]

@@EtienneParizot merci une fois encore !

[@Assawra]

Bonjour, Un étudiant qui arrive à 16'34" après le début du cours n'est pas sérieux. A mon époque, on ne rentrait plus au cours. Merci pour votre travail.

[@ibi3846]

Grand merci nous ne sommes plus à votre époque.

[@Assawra]

@@ibi3846 Bonjour, Heureusement que nous ne sommes pas dans le même référentiel.

[@LeoTaxilFrance]

Merci!

[@sbitikhalid3562]

Si l'on projette tous les vecteurs d'un espace sur un vecteur, il y aura forcément des projections qui seront différentes de la projection sur un autre vecteur, même si certaines de ces projections peuvent être identiques et donner le même nombre, mais pas toutes. D'où l'existence d'une bijection. (isomorphisme d'espace vectoriel)

[@sbitikhalid3562]

En gros l’isomorphisme entre un vecteur et une forme, est due au fait que cette forme est unique dans le sens que si on l'applique à tous les vecteurs, même si elle donne le même réel pour une partie des vecteurs, elle reste unique. Êtes vous d'accord ?...

[@jeanpapetti]

df est un élément de TpM*, si ∈ X** est dans TpM** alors X**(df)=df(X). Par identification de TpM** et de TpM on a X**=X donc X(df)=df(X). On se retrouve avec df(X) = X(df) ce qui est en contradiction avec la définition du gradient qui dit que df(X)=X(f).

[@sbitikhalid3562]

et à l'inverse c'est la même chose pour le bidual..