Spazi vettoriali con prodotto scalare (positivo) standard e non standard .Norma di un vettore

Spazi vettoriali con prodotto scalare standard e non standard .Norma di un vettore.
La presente lezione introduce gli spazi vettoriali (su campo reale ) dotati di un prodotto scalare positivo .
Tale concetto è propedeutico per quanto riguarda l'ortogonalità dei vettori e degli spazi vettoriali ortogonali tra loro , soprattutto per presentare uno dei teoremi fondamentali dell'algebra lineare : il teorema spettrale .
Quando pensiamo al prodotto scalare non dobbiamo limitarci a pensare al solito prodotto scalare introdotto al liceo , dal momento che quest'ultimo riguarda un caso molto particolare .Anzi oltre al prodotto scalare standard , si possono definire ulteriori leggi che definiscono prodotti scalari (positivi ) non standard .
Si introdurrà anche il concetto di norma di un vettore e come normalizzare un vettore .Tali concetti seppure banali e apparentemente di poco interesse , sono fondamentali per i concetti che vedremo nel futuro .
#salvoromeo #algebralineare #prodottoscalare

[@marcoperazzini7927]

Non smetterò mai di commentare i tuoi video. FENOMENO basta questo. Ottima spiegazione complimenti davvero!

[@salvoromeo]

Buonasera Marco mi fa piacere che il materiale didattico sia di tuo gradimento .Reciprocamente sono io a ringraziare te e tutti gli utenti che come te sostengono e apprezzano i miei contenuti . Senza di voi non avrebbe avuto senso continuare a rilasciare materiale didattico .

[@user-bc6uf9uz7p]

ottima spiegazione e precisa

[@marcobernardi7905]

Scusi prof, nell'esempio in R2 di < v, w > la proprietà commutativa mi risulta che non è verificata, grazie e saluti.

[@marcobernardi7905]

Se tuttavia scambia il - della formula con +, il problema è risolto, mi pare. Ma non funziona lo stesso perché in questo caso salta la proprietà >=0.

[@leonardodolcini6176]

Buongiorno professore, Mi scusi per la domanda forse banale: l'esempio con il prodotto scalare non standard era quello riguardante le funzioni continue chiamate f e g, delle quali ha effettuato il prodotto di f e g mediante l'integrale definito da h a K o era un altro? La ringrazio in anticipo per la risposta...lunedi 11 ho il parziale di AG2 su queste cose

[@salvoromeo]

Buongiorno Leonardo .No il prodotto scalare non standard è quello del secondo esempio dove ho dato una legge del tipo 4x1y1 .....(non ricordo cosa ho inventato e cosa ho utilizzato come lettere ) .Di sicuro ricordo che iniziava con un coefficiente 4 . Se prendi infatti due vettori ortogonali , ti accorgerai che con il prodotto scalare standard questo risulta zero mentre per un prodotto scalare non standard gli stessi vettori non daranno il risultato zero .

[@leonardodolcini6176]

@@salvoromeo la ringrazio. Potrei chiederle anche se mi riuscisse a fare un esempio di una mappa lineare suriettiva ma non iniettiva? Grazie

[@leonardobattisti5100]

Salve professore volevo chiederle se potrebbe fare qualche esercizio sul calcolo degli autovalori quando abbiamo matrici parametriche perfavore

[@salvoromeo]

Già fatta .Vada a vedere la lezione sulle matrici personalizzabili .Vi è una matrice di ordine 4 con un parametro reale h . Se non lo trova chieda puro e fornisco il link .

[@salahloukili4966]

@@salvoromeo Io non lo trovo. Potrebbe fornirmi il link? Grazie

[@salvoromeo]

@@salahloukili4966 buongiorno . Ecco il link m.kzbin.info/www/bejne/jZjVm6l_fK-MmtU

[@stefanobisignano9106]

Carissimo professore, le scrivo per ringraziarla di questa playlist, l'ho seguita tutta conoscendo già le basi dell'algebra e mi ha aiutato a fissare i concetti. Il 23/02 avrò l'esame di algebra al politecnico di Torino e quindi volevo chiederle quante lezioni farà sulle isometrie e soprattutto parlerà di endomorfismi simmetrici? Grazie prof, un saluto e buon lavoro.

[@salvoromeo]

Buonasera Stefano , parlerò si di tali argomenti , ma non adesso .Per le isometrie se ne parlerà più avanti , mentre per gli endomorfismo simmetrici entro marzo sarà tutto pronto .Purtroppo devo rispettare una tabella di marcia nel rilascio delle videolezioni . Entro un anno nel canale ci sarà moltissimo materiale .

[@Gigi-bn9kr]

Come ti è andato? Devo farlo anche io!

[@marcelloraggi1601]

scusi professore, non riesco a capire perché la prima forma bilineare dovrebbe essere simmetrica, e quindi il perché risulta essere un prodotto scalare, io credo che invertendo x e y non venga la forma corrispondentemente simmetrica. Mi faccia sapere.

[@ProtocolloFantasma]

Prof non ho capito la differenza tra norma e modulo

[@salvoromeo]

Buonasera il modulo è un caso particolare di norma e si ha tale coincidenza solo nel caso in cui utilizziamo il prodotto scalare standard . Per altri tipi di prodotto scalare (non standard ,come riportato in un esempio del video ) se prova a fare il prodotto scalare (non standard ) di un vettore per se stesso e la relativa radice , si accorgerà che la norma non coincide con il modulo .Riveda attentamente il video da capo e ponga attenzione all'esempio del prodotto scalare non standard .Per qualsiasi domanda chieda pure .

[@ProtocolloFantasma]

@@salvoromeo Grazie prof sempre chiarissimo!!

[@ProtocolloFantasma]

@@salvoromeo Grazie prof sempre chiarissimo!!

[@giacomoriccieri7058]

Bel video, peccato non sia vero che esistono solo prodotti scalari positivi, sono solo quelli definiti tali. Abbiamo anche i prodotti scalari definiti negativi e quelli indefiniti, con rispettivi indici di positività, negatività e nullità, che definiscono la segnatura. Strano non se ne parli in un video così utile

[@salvoromeo]

Buonasera Giacomo , comprendo il suo messaggio perfettamente , ma ricordiamoci che queste lezioni sono solo basilari .Sarebbe stato bello parlare anche di prodotti scalari negativi , o di prodotti scalari nel campo complesso , ma non posso dilungarmi più di tanto . Sono il primo che è contro a realizzare video di 10 minuti , ma non posso nemmeno inoltrarmi oltre un certo tempo .Le lezioni su youtube sono solo per dare le prime informazioni preliminari a chi si avvicina a tali discipline , e il resto può essere approfondito in separata sede. Dei concetto di segnatura ne parlerò più avanti e sperò che gradirà i contenuti . Potessi dedicarmi di più al canale sarebbe bello , ma gli impegni lavorativi nel mondo reale non rendono ciò possibile . Dei concetti di segnatura ne parlerò più avanti :-)

[@giacomoriccieri7058]

@@salvoromeo capisco il suo punto di vista e la ringrazio per la pronta risposta, ma occhio a dire che esistono solo prodotti scalari positivi, si potrebbe creare confusione in studenti, appunto, che non hanno ben chiari questi concetti. Grazie e buon lavoro

[@salvoromeo]

@@giacomoriccieri7058 ottima e soprattutto costruttiva obiezione che apprezzo moltissimo . Anzi ti ringrazio 🙂