Algebra lineare compito d'esame : endomorfismo, autospazi, nucleo , base sottospazio vettoriale

Esercizio di algebra lineare : studiare l'endomorfismo , determinando autospazi, e il nucleo .
Nella presente lezione è stato svolto un esercizio molto simile a un testo d'esame in cui si assegna un sottospazio vettoriale V e si chiede di determinare la dimensione e una base .
Viene inoltre assegnata un'applicazione lineare da V ad R3 cui si richiede di determinare per quale valore di un parametro h , tale applicazione induce un endomorfismo da V in V .
Si richiede inoltre di determinare una base del nucleo dell'applicazione lineare (ker f) e di determinare gli autospazi , stabilendo se esiste una base di autovettori .
L' esercizio richiede la conoscenza dei concetti di :
.Base di uno spazio (sottospazio ) vettoriale .
-Applicazione lineare
-Nucleo e immagine di applicazione lineare
-Matrice associata di un'applicazione lineare
-autovalori ed autovettori
-autospazi
Lezione relativa alla matrice associata : • Matrice associata appl...
Lezione relativa al nucleo ed immagine : • Nucleo e immagine appl...
#salvoromeo #algebralineare #esercizioesame
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[@irenemazzoleni2922]

Volevo ringraziarla di cuore. Sono al primo anno di Fisica e grazie ai suoi video e alle sue spiegazioni chiarissime sono riuscita a superare l'esame di geometria.

[@salvoromeo]

Buonasera Irene , leggere messaggi come questo fa molto piacere , e sono onorato di tutto ciò . Si ricordi che se ha superato tale disciplina il merito non è mio .A studiare giornate intere è stata Lei in prima persona così come a svolgere decine e decine di esercizi è stata sempre Lei .Su KZbin ho dato solo delle nozioni essenziali e basilari . Complimenti per il suo esame e mi compiaccio che in parte sia stato coinvolto personalmente . Buona continuazione con i suoi studi nel Suo corso di laurea in fisica (che ammiro molto ) .

[@irenemazzoleni2922]

@@salvoromeo grazie mille davvero

[@21gianx77]

Brava Irene.

[@gionnybanana9613]

domani ho l'esame di gal. grazie mille dei video anche di analisi, mi hai aiutato moltissimo, si capisce la competenza di un insegnante quando riesce a spiegare un concetto in parole semplici come lei. complimenti e grazie ancora

[@fraaaancesco]

Tra 3 giorni ho l'esame, grazie mille per continuare a postare questi video e per il lavoro che fa!

[@salvoromeo]

Grazie a Lei Francesco per la scelta dei miei contenuti La playlist (al tempo presente febbraio 2021 ) pur non essendo completa al 100 % già si può dire abbastanza coperta per quanto concerne gli argomenti basilari .

[@fraaaancesco]

@@salvoromeo Assolutamente si prof! Gli argomenti principali ci sono già ormai tutti e sono spiegati in modo impeccabile

[@user-px9yh1oe6j]

Grazie prof di esistere ♥️

[@mancio6786]

Grazie mille, come sempre chiarissimo

[@salvoromeo]

Grazie a Lei

[@emanuelepazzola9840]

Grazie mille prof

[@andreamazzurco1524]

Prof Salvo, la voglio bene

[@aldopellerito6249]

Video utilissimo!

[@salvoromeo]

Grazie

[@antoniogentile6685]

Buongiorno Professore, volevo farle una domanda: gli elementi di uno spazio vettoriale sono sempre vettori o possono essere anche funzioni ? e in questo caso come funziona ?

[@salvoromeo]

Buongiorno Antonio , gli elementi di uno spazio vettoriale possono essere sia vettori , matrici , polinomi e anche FUNZIONI . Ad esempio, nello spazio delle funzioni considero i due elementi v1= sen x e V2= cos x , in questo caso sono due elementi linearmente indipendenti poiche cos x non può essere ottenuta in nessun modo da sen x . Questo è solo un banalissimo esempio e se ne potrebbero fare altri lavorando anche con applicazioni lineari .

[@badcomma2044]

Grazie per tutti i contenuti che offre gratuitamente! Avevo una domanda: se io volessi moltiplicare la matrice associata per un vettore generico del dominio della funzione (ad esempio per trovare la funzione lineare esplicita di tipo (x,y,z) --> ( ... )), come dovrei approcciarmi? Non posso moltiplicare una matrice quadrata di ordine 3 per un vettore a 4 componenti :(. Grazie in anticipo.

[@salvoromeo]

Buonasera di sicuro siamo nel caso di un sottospazio di R⁴ e in quel caso non possiamo mettere il vettore esplicito ma le componenti del vettore a quattro componenti rispetto la base considerata . Purtroppo via commento è difficile da spiegare .

[@gerardozaccaria4756]

buongiorno professore, volevo ringraziarla poiché i suoi video mi stanno aiutando moltissimo, volevo inoltre chiederle se per caso ha fatto qualche video sul come determinare se un'applicazione è ortogonale o simmetrica?

[@salvoromeo]

Buongiorno Gerardo , grazie per il commento . La parte degli spazi ortogonali è stata realizzata .I video sono ma sono in attesa di rilascio e tutta la serie degli spazi ortogonali fino al Teo Spettrale sarà rilasciata da questo mese in poi . Come ho detto diverse volte in altri commenti (ma con piacere lo ripeto ) attualmente (febbraio 2022) le playlist sono in fase di costante aggiornamento e spero che fra qualche anno il canale copra una buona parte di argomenti suddivisi fra analisi matematica 1-2 , algebra lineare e geometria . Purtroppo non posso pubblicare domani il teorema spettrale (ad esempio) poiché prima del teorema spettrale occorrono delle nozioni propedeutiche che saranno rilasciate nei video che precederanno quelle del teorema spettrale . Mi dispiace per l'attesa , e vi ringrazio per la fiducia che proponete (parlo al plurale) nei confronti dei miei contenuti e Vi ringrazio tutti .

[@edoardosaglietti4906]

Buonasera Prof avevo una domanda. Se al minuto 31:20 circa la molteplicità geometrica non fosse stata uguale a quella algebrica ma fosse stata ad esempio 1, sarebbe stato impossibile trovare l’autospazio associato a lambda=1 o semplicemente avremmo avuto solo 1 autovettore che lo costituisse? Grazie

[@salvoromeo]

Un solo autovalore 😊 che genera quell'autospazio 😊

[@profiloyt]

Buongiorno Prof. avevo un dubbio al minuto 21:20 - 21:30 : Se metto i vettori in riga anziché in colonna mi trovo che la base ""camuffata"" del Ker è (-1,1,0), se invece metto i vettori in colonna mi trovo che la base ""camuffata"" del Ker, mettendo z come incognita libera, è (0,-1,1), se invece metto i vettori in colonna mi trovo che la base ""camuffata"" del Ker, mettendo y come incognita libera, è (0,1,-1). La mia domanda era se fosse giusto in tutti e 3 i modi o dovevo svolgere come lei e quindi mettere y come incognita libera? È un dubbio che non riesco a risolvere, spero possa farlo lei, grazie P.s. Non mi riferisco solo a questo esercizio, ma a tutti di questo tipo

[@resinyit]

Da studente che deve dare Algebra e Geometria credo non cambi niente, soprattutto quando si sceglie il parametro libero. Ora il dubbio è sorto anche a me, aspetto @salvoromeo per una risposta a questo punto

[@salvoromeo]

Buonasera , ottima domanda .Il vettore di base (0,1,-1) oppure (0,-1,1) è uguale , in quanto come spiegato nelle lezioni precedenti una base è definita a meno di un coefficiente di proporzionalità .La cosa importante è sceglire bene l'incognita libera come spiegato nelle lezioni precedenti .La scelta di un 'incognita libera sbagliata , crea loop di sostituzioni che provocano incompatibilità con le stesse equazioni cartesiane .

[@profiloyt]

@@salvoromeo Grazie mille prof, in effetti non ci avevo pensato. Se mi permette le volevo fare un'ultima domanda, siccome il 10 dovrò sostenere il mio primo esame orale di Algebra e Geometria, le volevo chiedere se mi sfuggisse una domanda, verrei immediatamente bocciato? Purtroppo, anche se mi sento preparato la mia testa a volte non mi aiuta. La ringrazio comunque perché è grazie a lei che ho preparato questa affascinante materia

[@lucalongo3298]

Buongiorno professore, ho una richiesta per lei. È possibile avere un video in cui spiega come ricavare il sottospazio ortogonale ad un altro? Grazie in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Luca , i presenti video sono già stati realizzati e custoditi nel mio hard disk in attesa di essere caricati a tempo debito.Il rilascio di tale parte è prevista per marzo dal momento che prima di pubblicare tale parte bisogna introdurre altri concetti preliminari e propedeutici.Tutto già è stato programmato . Nell'attesa di visionare il video richiesto (La ringrazio per la pazienza ) Le auguro una buona serata

[@filippodeana2013]

scusi una cosa ho un dubbio.... quando calcola l'equazione cartesiana nel punto b come sa che ce n'è una sola? Seguendo la sua altra lezione so che si dovrebbe fare la differenza tra le due dimensioni degli spazi ma essendo dimV-dimV non dovrebbe fare 0? Oppure nello stesso spazio c'è semplicemente un unica equazione cartesiana? Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera, il numero di equazioni è pari al numero di componenti x,y,z ...t meno il numero di vettori linearmente indipendenti .Se siamo in R3 e abbiamo tre vettori indipendenti come la base canonica allora non ci sono equazioni cartesiane , ma se siamo in un sottospazio di R3 e abbiamo due vettori linearmente indipendenti allora 3-2 equazioni cartesiane , ovvero una sola equazione cartesiana .

[@filippodeana2013]

@@salvoromeo grazie mille per la risposta, ora è tutto molto più chiaro

[@elisapenna828]

buongiorno professore , una domanda : quando andiamo a fare la matrice associata , il testo dell esercizio ci fornisce già l applicazione rispetto ai relativi vettori della base (v1 v2 v3) , quindi come mai le colonne della mia matrice associata non sono i vettori già forniti dal testo? (cioè (1,1,0,0) (0,0,1,1),(0,0,1,1)

[@salvoromeo]

Perché per definizione di matrice associata , le colonne non sono i numeri reali che figurano nei vettori , ma "le componenti dei vettori rispetto la base .Per intenderci sono quelli che nelle varie videolezioni sparse di tutta la playlist chiamo sempre con le lettere greche :alpha , beta , gamma .... Sono in caso di base canonica i numeri che figurano nei vettori sono per coincidenza le componenti aloha , beta e gamma .

[@elisapenna828]

@@salvoromeo grazie mille professore, ho capito ! Ero convinta che come base di arrivo potessi usare la base canonica, e quindi di conseguenza mettere direttamente i vettori in colonna. Ma invece bisogna usare anche in arrivo, esattamente come in partenza, la base B la quale viene data dal testo. Svolgendo i calcoli alla fine mi risulta. Grazie professore non so come ringraziare la sua disponibilità

[@antoniobastanza8426]

Buonasera professore, le volevo chiedere un paio di cose: Lei di dov'è? Il suo accento rende tutto più bello Come fa a porsi dietro al piano di scrittura e comunque far comparire a noi le scritte nella direzione giusta? Sa scrivere al contrario? Quest'ultima è una richiesta, potrebbe fare una lezioni riguardo le controimmagini nelle applicazioni lineari? Mi sarebbe molto utile La ringrazio inoltre per le sue lezioni, sempre un piacere da seguire e soprattutto chiare ed esplicative come pochi sanno farle :)

[@salvoromeo]

Buongiorno Antonio grazie per il tuo messaggio .Ti rispondo un tantino di fretta .Sono di Catania , e per quanto riguarda la controimmagine potrebbe essere interessante (e ci sta a pennello ) una lezione sulla controimmagine .Si tratta comunque di un concetto isolato molto banale ed è un immediata applicazione del teorema di Rouchè -Capelli . Tutto sta a costruire solo la matrice associata all'applicazione lineare.

[@gabriele350]

salve professore, ho un dubbio, al minuto 6:00 per risolvere la seconda domanda ossia “per quali valori di h f induce in un endomorfismo…”, non avrei potuto calcolare il rango della matrice (1,h,0,0 0,0,1,2h-1 0,0,1,1). E far si che il rango di questa matrice venga 3 gestendoci il parametro “h” di conseguenza? grazie in anticipo.

[@salvoromeo]

Buongiorno Gabriele .Il fatto che la matrice sia tre non è detto che si induce un endomorfismo .Spazio di partenza e spazio di arrivo possono avere la stessa dimensione (es 3) ma non è detto che un applicazione lineare tra gli spazi stessi sia un endomorfismo .

[@gabriele350]

@@salvoromeo grazie mille per la risposta , super disponibile!!

[@FrancescoMancini-fl7qw]

Buonasera professore, volevo farle una domanda , ma nella molteplicità geometrica lei prende la dimensione di V (3), invece non va presa la dimensione della matrice associata di cui stiamo trovando gli autovalori ovvero dimensione =2 - la dimensione della matrice in cui abbiamo sostituto l autovalore 1 = 1 ?

[@salvoromeo]

Buonasera Francesco .Mi può indicare il minuto esatto ? In ogni caso per trovare la molteplicità algebrica va considerata la differenza tra il numero di incognite meno il rango della matrice che solitamente chiamo H e che coincide. Con la matrice M-t *I dove t è l'autovalore e I e la matrice identità mentre M è la matrice associata alla'endomorfismo . Se qualcosa non è chiaro indicano il minuto e darò lieto di farti tutte le delucidazioni che necessiti .

[@riccardociaffoni2197]

@@salvoromeo Buonasera, Francesco penso si riferisse al minuto 31:20 dove viene calcolato Mg, nella lezione delle matrici Diagonalizzabili dice che si calcola facendo (Ordine della matrice Associata) - r(M-t *I). In questo caso la matrice associata ha rango 2, quindi dovrebbe venire Mq=2-1=1, invece nel commento dice che bisogna prendere in considerazione il numero di incognite (3) che è diverso dall'ordine della Matrice a 20:43. (Secondo questa logia il calcolo verrebbe come nel video, Mg=3-1) Quindi a quale definizione dovrei attenermi?

[@salvoromeo]

@@riccardociaffoni2197 buonasera Riccardo la regola è : molteplicità geometrica = dimensione dello spazio vettoriale V meno il rango della matrice (M-t*I ) . In maniera equivalente Dimensione della matrice M-t*I .

[@lorenzocrippa4565]

Buongiorno professore, ho un domanda: se la matrice associata è 3×3 come faccio a moltiplicarla per un vettore di 4 componenti?

[@salvoromeo]

Buongiorno Lorenzo .Molto semplice : non si può moltiplicare una matrice di ordine tre con un vettore colonna 4x1 . La può moltiplicare solo per un vettore colonna a tre componenti .

[@lorenzocrippa4565]

@@salvoromeo allora mi sa che non ho capito niente... Quella non era la matrice che moltiplicata per i vari vettori dell'insieme di partenza restituisce i vettori dell'insieme di arrivo?

[@salvoromeo]

@@lorenzocrippa4565 esattamente .Finché di tratta di matrici associate di applicazioni che vanno da R ³ ad R⁴ e via dicendo allora tutto viene istintivo , ma quando si tratta di sottospazi con delle restrizioni non è possibile mettere direttamente il vettore a quattro componenti poiché non funzione .Bisogna mettere il vettore che rappresenta le componenti rispetto la base data . Quando tra qualche mese realizzerò una seconda esercitazione , metterò qualcosa a riguardo , anche a livello di base .

[@lorenzocrippa4565]

@@salvoromeo ah ho capito, grazie mille per la spiegazione!

[@roger3000.]

salve professore ho notato che al minuto 8 e 36 il determinante viene (t-z) e non (z-t) sia con SARRUS che con LAPLACE sbaglio io? Oppure lei ha commesso un piccole errore ?Grazie mille per tutti i contenuti che ci regala ogni giorno!!!

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio , La ringrazio per il commento .Ha ragione da vendere in quanto il determinante viene t-z . Tuttavia poiché sono interessato all'equazione cartesiana messa secondo l'ordine x y z t , devo porre il determinante quguale a zero e quindi ho messo z-t=0 che come equazione è equivalente a t-z =0 . Mi sono permesso tale abuso al fine di scrivere l'equazione ☺️ . La ringrazio per averlo fatto notare . Le auguro una buona serata .

[@Salvoo38]

Scusa ma avendo un endomorfismo con le immagini assegnate e in una per esempio f(v1) abbiamo f(v1) appartiene al ker, cosa vuol dire?

[@salvoromeo]

IL Ker(f) è quello che viene chiamato nucleo di un 'applicazione lineare.Divsicuro avrà già visto il mio video nelle lezioni precedenti (nella presente playlist)

[@Salvoo38]

@@salvoromeo si ma come faccio a ricavarlo se ancora non ho costruito la matrice associata

[@rannerdj1379]

salve professor, i suoi video mi stanno aiutando moltissimo, solo che non capisco, il determinante è t-z, come mai a lei risulta il contrario?

[@salvoromeo]

Buonasera .Si il determinante è t-z , ma poiché devo porlo uguale a zero ho cambiato di segno al fine di presentarla nella forma ordinata con le lettere in ordine alfabetico .Se non avessi posto il determinante uguale a zero allora avrei dovuto lasciarlo come t-z rigorosamente

[@rannerdj1379]

@@salvoromeo ah va bene ok perfetto, grazie mille ancora

[@user-lb7nk6kl3v]

Professore mi scusi, ho un dubbio. Al minuto 28:44, quando dobbiamo sostituire 1-λ con λ=0, lei ha scritto x=0, non dovrebbe essere x=0?

[@salvoromeo]

Buonasera infatti ho scritto x=0

[@user-lb7nk6kl3v]

Mi scusi, volevo scrivere x=1, ma ho trovato l'errore e adesso mi torna che la risposta giusta è 0. La ringrazio e scusi per il disturbo

[@salvoromeo]

Nessun disturbo anzi ha fatto bene a scrivere il commento .Non è raro che qualche utente gentilmente mi ha fatto notare qualche mia imprecisione dovuto a banali distrazioni.Quindi sono io a ringraziare .

[@dinochiari3647]

Al minuto 22 per quanto riguarda la matrice associata ho notato 2 vettori uguali identici. Guardando le colonne il primo vettore è indipendente avendo valori (1;1;-1). Invece guardando le righe il vettore indipendente sarebbe il terzo con i valori (-1;1;1). Mentre gli altri 2 hanno per valore (1;0;0) se mi affido alle colonne oppure (0;0;1) se mi affido alle righe. In conclusione vedo che l'unico elemento speciale è "-1", dato che non si ripete, mentre 0 non lo sarà mai e 1 ha molteplicità 4, inoltre compare o in riga o in colonna ma non in diagonale.

[@salvoromeo]

Ciao Dino , infatti essendo la matrice di ordine tre è indifferente e noterai che nella spazio delle righe vi è un vettore riga dipendente dalle altre due righe ,ma dualmente anche nella spazio delle colonne , una di esse è dipendente dalle altre tre colonne.

[@mohamedfarahat7515]

buongiorno professore, il primo punto quando lei dice vettori linearmente indipendenti non li dobbiamo mettere in righe e non in colonne; in tal modo ci usciranno gli elementi speciali? perchè è vero che nella prima colonna c'è un elemento speciale con sotto tutti i 0 ma le altre 2 colonne invece i 0 stanno sopra..

[@salvoromeo]

Gli elementi speciali non per forza devono essere considerati per righe , ma anche per colonne .Se vuoi vederli meglio basta che i tre vettori li metti orizzontalmente e vedendoli per righe (tre rogne ) le vedi meglio .

[@mohamedfarahat7515]

Professore scusi, ma nel punto c, minuto 20:40 il rango è 2 perché una riga è combinazione lineare?

[@salvoromeo]

Ci sono due linee proporzionali

[@mohamedfarahat7515]

Perfetto grazie

[@matteogianelli3239]

professore forse ho capito il dubbio che mi era sorto oggi,così come per il nucleo,quando trovo l'immagine e la base del codominio non è canonica quando ottengo le colonne indipendenti della matrice associata,devo moltiplicare ciascuna componente dei vettori indipendenti per i vettori della base del codominio. Spero abbia capito cosa voglio dire

[@matteogianelli3239]

quindi nel caso dell'immagine moltiplico i vettori indipendenti della matrice associata per i vettori del codominio,per il nucleo invece moltiplico i vettori per il dominio

[@salvoromeo]

Perfetto ha trovato il video .Se ci fa caso quando la base non è canonica deve moltiplicare le componenti del vettore trovato per i vettori di base stessi . Se il vettore trovato è (1,2,3) e la base non canonica è V1 ,V2, V3 in questo caso si deve fare 1*V1+2V2+3*V3

[@Mikegix]

salve professore, ma lei quando scrive alfa, beta e gamma, è come se stesse scrivere a1, a2 .... an?

[@salvoromeo]

Buonasera , si esattamente .I coefficienti di possono chiamare in qualsiasi modo .

[@Raffaele3569]

Salve, non riesco a capire come cambino x e y nelle immagini se l'equazione è solo y-z= 0

[@salvoromeo]

Buongiorno le componenti sono (1,0,0) e (0,1,1) ma la base non è la canonica ma la v1 v2 v3 e quindi il primo vettore di base è 1*v1+0*V2+0v3 ovvero v1 , mentre l'altro vettore di base è 0*v1+1*V2+1*v3=v2+v3 esegua questa somma e trova il secondo vettore di base .

[@Raffaele3569]

@@salvoromeo ho seguito questa parte, ma non capisco come (0,1,0,0) possa avere come immagine il vettore nullo se l'equazione non dice nulla di x e y

[@plankalkulcompiler9468]

7:10 Determinante non deve essere t - z invece di z - t?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .Si ho scambiato i segni .In ogni caso poiché ho dovuto porre tutto a zero , diventando un 'equazione il concetto non si è alterato . A rigore comunque il determinante è opposto .

[@mattialaszlodaday869]

il determinante non è t-z ?

[@salvoromeo]

Buongiorno Mattia , grazie per il commento .Mi può dire esattamente il minuto e il secondo in cui si calcola questo determinante ? Scriva con calma e Le darò conferma se c'è stato un errore . Grazie

[@mattialaszlodaday869]

@@salvoromeo Al minuto 7:07 non capisco come mai il determinante sia z-t. Forse sbaglio qualche piccolezza sicuramente, non è la prima volta

[@salvoromeo]

@@mattialaszlodaday869 perfetto grazie .Il determinante è t-z , ma poiché pongo uguale a zero diventa una equazione e ho cambiato i segni .

[@mattialaszlodaday869]

@@salvoromeo okok capito grazie mille