Come trovare una base e dimensione di uno spazio -sottospazio vettoriale. Esercizi svolti

Trovare una base di uno spazio-sottospazio vettoriale e la dimensione di uno spazio vettoriale .
In precedenza abbiamo trattato il concetto di base di uno spazio vettoriale , facendo vedere delle procedure per verificare se un set di vettori sono una base di uno spazio vettoriale .
In questa lezione vedremo come determinare la base di un qualsiasi spazio vettoriale o in caso di un sottospazio vettoriale , a partire dalle equazioni cartesiane, sarà possibile determinare una base utilizzando metodi già trattati in precedenza (vedi lezione sui sistemi lineari ) .
Gli esempi saranno molto chiari e a partire da esempi molto banali , i concetti si potranno applicare anche per casi più complessi .
Non solo per gli spazi vettoriali dei vettori ordinari , ma anche per gli spazi vettoriali delle matrici o dei polinomi .
#salvoromeo #algebralineare #basespaziovettoriale

[@nunsetrovaunnomechevabbene3789]

Ho appena superato l'esame di geometria (anche oltre le aspettative) in gran parte grazie a questa serie su algebra lineare. Grazie infinite.

[@salvoromeo]

Grazie per la piccola testimonianza .Mi fa molto piacere che granite questa playlist è stato possibile superare un esame . Grazie davvero ...mi fa piacere .

[@shoun7904]

Grazie mille per i tuoi video, se ho passato l'esame di geometria e algebra lineare lo devo solo a te! continua così!

[@salvoromeo]

Grazie tanto .Fa molto piacere ricevere messaggi come questo . Reciprocamente ringrazio te .

[@azzurrabove1833]

Professore la ringrazio tantissimo, non so cosa farei senza le sue spiegazioni

[@salvoromeo]

Non devi ringraziarmi .Sono io che ringrazio te per la fiducia nei confronti dei miei contenuti didattici . Buona permanenza nel mio canale .

[@imsiria7541]

Le faccio i miei complinmenti per le spiegazioni limpide e i "trucchetti" che svela. Davvero impeccabile, la ringrazio.

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per il feedback , e sono onorato che le mie videolezioni siano utili (anche parzialmente ) . Reciprocamente ringrazio per aver gradito i miei contenuti .Buona permanenza nel mio canale .

[@Veranwe]

Professore, lei è bravissimo! Grazie per i suoi video!

[@capcrow420]

Grazie per i video e per le spiegazioni di questi concetti! Sto seguendo la serie di Algebra Lineare in concomitanza con le lezioni della stessa materia, stiamo facendo questi argomenti proprio in questo periodo

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per il gradimento dei presenti contenuti . Continui a seguire la presente playlist poiché nelle prossime settimane saranno rilasciati altri contenuti interessanti .

[@krispobeats5349]

SEI IL NUMERO UNO

[@RiccardoManzoni-dp3bv]

Grazie mille!!! Questo video è stato utilissimo per farmi capire come funziona il calcolo di basi!! Purtroppo a lezione il professore ci ha spiegato come verificare se determinati vettori sono base di un sottospazio vettoriale ma non a ricavare basi da uno spazio… grazie ancora!!

[@salvoromeo]

Buongiorno Riccardo ,intanto La ringrazio .Magari più avanti il tuo docente spiegherà anche come trovare una base (solitamente dopo aver introdotto i sistemi lineari ) .La ringrazio per la fiducia riguardo i video del mio corso di Algebra Lineare , ma faccia sempre riferimento alle disposizioni che le da il docente del corso che segue .Poi se vuole integrare con KZbin è un valore aggiunto in più 😊 . Le auguro una buona giornata .

[@RiccardoManzoni-dp3bv]

@@salvoromeo nono ovviamente io ho seguito il corso tenuto dal docente, solamente che gli esercizi proposti dal mio docente spesso richiedono applicazioni non viste in aula in maniera diretta, quindi non abbiamo proprio molti esempi su come risolvere esercizi nella pratica… ( ormai siamo alle ultime lezioni di teoria e il corso è quasi finito…)

[@RiccardoManzoni-dp3bv]

E ovviamente durante la teoria ci ha fatto svolgere insieme certi esercizi, ma alcune tipologie non le ha proprio trattate, nonostante sull’eserciziario da lui proposto fosse pieno di tipologie non affrontate insieme…

[@carlosshair91]

GRANDE!

[@tullionicolussi3963]

(grazie, grazie, grazie) è un vettore dello spazio Grazie^3 🙂

[@davidemariani9972]

Salve, ho una domanda: se in un sottospazio avessimo più equazioni (ad esempio 3 equazioni per il sottospazio che ha mostrato), la sua dimensione calcolata come nel video potrebbe essere pari a zero?

[@salvoromeo]

Buonasera Davide , domanda molto bella a cui rispondo con piacere .La risposta è affermativa .Una situazione che vede protagonista questo caso è quando Nucleo contiene solo il vettore nullo e quindi la funzione è iniettiva .

[@Procyon-A]

Buonasera professore, la ringrazio innanzitutto per i contenuti che realizza e le ottime spiegazione che fornisce. Volevo chiederle un chiarimento circa il "trucchetto" per la ricerca di vettori di una delle basi di un generico spazio vettoriale: Basandosi su quale proprietà scegliamo delle variabili libere e dopo ci ricaviamo i vettori attraverso il sistema lineare associato? Grazie in anticipo

[@ivanserra3019]

Dovresti aggiungere questo video alla playlist di algebra

[@salvoromeo]

Buonasera , la lezione è inserita nella playlist .Ha fatto bene comunque a comunicarmi ciò .

[@biagiociccone85]

Salve professore mi scusi il disturbo. Ma se per esempio mi trovassi in un esercizio in cui ho più sistemi di vettori, e l'esercizio mi dice di studiare la dimensione e la base in tal modo: i) determinare la dimensione ed una base di Ui, Ui ∩ Uj e Ui + Uj , con i, j ∈ {1, . . . , 5}, i 6= j ; ii) scrivere le equazioni, nel riferimento naturale di R3, di ciascun sottospazio al punto i). come posso svolgere l'esercizio? La ringrazio.

[@francescourciuoli8286]

Buonasera Prof volevo farle una domanda: se ci venisse chiesta di trovare la base di R3 caratterizzata dagli autovettori è sufficiente dimostrare che i 3 autovettori trovati siano indipendenti tra loro per formare una base?

[@salvoromeo]

Buonasera Francesco , se a livello pratico sembra che tutto vada bene , a livello concettuale non deve agire così , ma a tale richiesta deve verificare che l'endomorfismo sia "semplice " (è un termine tecnico) e in tale caso si possono determinare gli autovalori che saranno indipendenti .Ne ho parlato in qualche lezione di questa playlist , ma in settimana uscirà una lezione che cade a pennello su questo e avrà modo di vedere che gli autovettori sono indipendenti senza fare la verifica diretta , ma solo per il fatto che sia un endomorfismo semplice (altrimenti detto diagonalizzabile )

[@francescourciuoli8286]

@@salvoromeopiù che altro il problema si pone sul passaggio successivo, so che appunto gli autovettori sono tra loro indipendenti ma per trovare poi la base devo risolvere il sistema dei 3 autovettori? Non so se mi sono spiegato

[@salvoromeo]

@@francescourciuoli8286 Eccomi qui Francesco .Allora se consideriamo un esempio di endomorfismo in R³ , non è detto che esista una base di autovettori dal momento che se i tre autovalori (supponiamo siano reali ) non sono distinti può capitare che due dei tre autovettori siano proporzionali (uguali ) .Tutto ciò si può sapere in anticipo controllando che la molteplicità algebrica sia uguale a quella geometrica , come ho avuto modo di spiegare nel video dedicato alle matrici diagonalizzabili .Se poi si devono trovare gli sutovettori si esegue il calcolo impostando il sistema , ma la cosa buona è che già sappiamo a priori se i tre autovalori saranno indipendenti (e quindi base di sutovettori ) o meno .In quest'ultimo caso ci saranno solo due vettori l.i e quindi non concorrono a formare una base di R³ . Spero di aver capito e risposto alla domanda . In caso contrario mi scuso e sono disponibile ad ascoltarla .

[@Acelum]

Buonasera professore, ma se mi viene chiesto di ricavare una base da uno spazio vettoriale definito in variabili ? Ad es. W = {(a + 2b, -a + b, -2b + c, a + c) |a, b, c in R) è corretto trascrivere i coefficienti in forma matriciale e trovare i rispettivi Pivot della matrice da cui dedurre i vettori della base ?

[@davideloddo9085]

Salve, volevo chiederle come si procede nel caso in cui le equazioni che descrivono il sistema sono più di una. Se ad esempio si considera R3 e ho due equazioni so che la dimensione del sottospazio è 1, per cui una incognita libera da scegliere. Dunque una volta scelta l'incognita libera le altre due incognite vanno scritte in funzione di quale equazione, la prima o la seconda?

[@salvoromeo]

Buongiorno in questo identificata la dimensione si procede a determinare la base risolvendo il sistema è scegliendo opportunamente l'incognita libera .

[@andreagentilini8845]

Buonasera! Vorrei sapere come comportarmi se l'equazione dipendente non ha abbastanza variabili quante dovrebbero essere quelle libere. Ad esempio, si consideri il sottospazio delle matrici reali simmetriche 2*2. Possiamo definire questo sottospazio come W = {(x,y,z,t) £ R 2*2 : y-z = 0} poiché se simmetrica y = z. In questo caso l'equazione è una con due incognite, ma le variabili da porre libere sono 3. Come posso comportarmi? Grazie!

[@salvoromeo]

Buonasera , quelle apparentemente mancanti sono da considerarsi incognite libere .

[@dinochiari3647]

Potrebbe fungere anche con 4 incognite. Se usiamo w,x,y,z in questo caso si scelgono due incognite libere. Supponiamo di avere w-6x+2y-z=0. Quindi w-z=6x-2y. Stavolta imponiamo un valore a w e a z. Per w=8 e z=-11 viene fuori 8-(-11)=6x-2y, quindi 6x-2y=19. Raggruppiamo le incognite per due dato che i coefficienti sono entrambi pari e otteniamo 3x-y=19/2. A questo punto y=3x-19/2. Forse il ragionamento lo dovrei fare in maniera spezzata w=6x e z=2y. Avevo imposto w=8 e z=-11 in questo caso 6x=8 e 2y=-11. Questo implica che x=4/3 e y=-11/2. Torniamo al punto di partenza w-6x+2y-z=0 e sostituiamo le incognite con i valori (8)-6(4/3)+2(-11/2)-(-11)= 8-8-11+11= 0-0=0.

[@salvoromeo]

Funziona anche con 10 , ,20 ..n ..componenti .La cosa importante è scegliere correttamente le incognite libere che non è sempre scontato che si possano scegliere a caso .Ad esempio se le equazioni cartesiane fossero x+y-z=0 e x+y=0 , la Z non potrà mai essere libera in quanto vincolata ad essere zero .

[@PULCINHO]

Gentile prof. Romeo, c’è una cosa che non capisco della lezione, ovvero: con riferimento al primo esempio, lei individua 3 vettori linearmente indipendenti ed afferma come conseguenza che essi sono anche basi. Dà quindi per scontato che essi siano anche generatori. Evidentemente qualcosa mi sfugge, ma come fa a dire che i 3 vettori siano anche generatori? Grazie mille in anticipo per la risposta

[@salvoromeo]

Buonasera . Ogni base genera lo spazio vettoriale considerato , ma se n vettori generano uno spazio vettoriale non è detto che questi costituiscono una base dello spazio vettoriale dal momento che se coesistono vettori non è detto che questi siano indipendenti . Ad esempio i vettori (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) generano R3 ed e costituiscono una base di R3 . I vettori (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) e (1,1,1) generano anche R3 ma NON costituiscono una base di R3 poichè non tutti sono linearmente indipendenti . Quindi anche una base genera uno spazio vettoriale ma in modo unico .

[@Mjricipollaro5528]

Professore, perdoni il disturbo, avrei un dubbio, ma quando determino una base per lo spazio intersezione, mi basta prendere i vettori di entrambe due le basi, metterle come righe di una matrice, calcolare il rango è vedere se quest’ultimo è uguale al numero di righe indipendenti, così che i vettori che trovo sono una base per lo spazio somma, è quello che invece dipende dai restanti è una base per il mio spazio intersezione ?… Oppure posso determinare di entrambi i miei sottospazi, la forma cartesiana, farne l’Intersezione, in modo tale che mi esca l’espressione comune ad entrambi e poi metto in funzione di un parametro o più ( dipende dall’esercizio) e poi mi trovo un/più vettori che mi compongono la base ?? Non so spero di essere stata chiara nell’ esplicitazione del mio dubbio. In che modo lei mi consiglia per procedere ? La ringrazio in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera .Rispondo in maniera sintetica (via messaggio non posso fare esempi dettagliati ) 1) Metto a sistema tutte le equazioni cartesiane dei due sottospazi vettoriali . 2) Elimino eventuali equazioni proporzionali ad altre o combinazione lineare di altre . 3) Una volta che il sistema è stato "ripulito " e le equazioni sono indipendenti provvedo a determinare il numero di incognite libere (come dire la dimensione dello SV intersezione) e da lì determino una base . Comprendo che via messaggio è difficile fare capire una cosa , ma spero di essere stato chiaro .

[@Mjricipollaro5528]

La ringrazio 🙏🏻🙏🏻

[@HariCalzi]

Salve, quando afferma che la dimensione di V è data dal numero di componenti - il numero di equazioni che la "vincolano", a quale teorema ci stiamo riferendo? Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera , mi riferisco (anche se non nominato ) al teorema di Eugène Rouché -Alfredo Capelli La dimensione del sottospazio vettoriale coincide con il numero di componenti libere presenti nel sistema .

[@HariCalzi]

@@salvoromeo la ringrazio per risposta tempestiva! Perfetto!

[@pecam25]

Buonasera professore, la vorrei prima di tutto ringraziare per l'immenso aiuto che mi ha dato nello studio di geometria e algebra lineare all'università, se per lei non fosse un problema vorrei chiederle una mano per un quesito. Dato un sottospazio W appartenente a R3|x-y=0, stabilire se è un sottospazio e in caso affermativo, trovare la sua dimensione e una sua base. Non capisco come procedere in quanto la dimensione del sottospazio è 2 e di conseguenza anche le incognite libere, ma non riesco a trovare la base e come stabilire se è effettivamente un sottospazio. La ringrazio in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Giuseppe , il testo che mi ha proposto è molto simile a a quello che ho proposto io . Nel mio caso ho dato come equazione cartesiana x-y-2z=0 , mentre nel suo caso è x-y = 0 , come dire x-y+0z =0 . Cambiano solo i numeri (coefficienti ) Maci calcoli sono uguali ,basta scegliere ad esempio y e z come incognite libere .

[@pecam25]

@@salvoromeo non mi è venuto in mente che l’assenza dell’incognita z volesse effettivamente dire che ha come coefficiente 0…grazie ancora professore!

[@pecam25]

@@salvoromeo per quanto riguarda invece stabilire se è effettivamente un sottospazio? mi scusi se approfitto

[@salvoromeo]

@@pecam25 il procedimento non lo posso scrivere via messaggio , ma deve prendere due vettori generici a tre componenti , e uno scalare reale "lambda" e verificate le proprietà dei sottospazi vettoriali che ho spiegato nelle lezioni precedenti .Già che lo spazio vettoriale contiene il vettore nullo (0,0,0) è un passo avanti .Non resta che verificare le altre due come ho spiegato nelle alte lezioni . Spero di averLe chiarito il dubbio ..

[@pecam25]

@@salvoromeo sisi, la ringrazio ancora

[@francesca__5652]

Professore se al posto dei vettori ho per esempio due matrici 2x2 come faccio a trovarmi una base?

[@salvoromeo]

Buongiorno .La procedure è sempre uguale . Consideri le due righe delle matrici messe in un unica riga .Se ci fa caso è come se vedesse un vettore a 4 componenti nel campo K . In questo caso i due vettori a quattro componenti rappresentano le componenti della matrice rispetto la base canonica . Se questo due vettori sono l.i (vedi lezioni precedenti della playlist ) allora le due matrici costituiscono una base .

[@annalisalomassaro4441]

se ho 4 vettori in R3 non è possibile trovare una base con quattro vettori. è corretto?

[@salvoromeo]

Buonasera Annalisa ,andiamo con ordine . Da premettere che se i vettori appartengono allo spazio vettoriale R³ avranno tre componenti reali .Che i vettori siano 4 , 5 o dieci poco importa , la cosa importante è che ci sia il minimo numero di vettori linearmente indipendenti in base a tutto quello che ho spiegato nelle videolezioni . Ci sono casi (e si potrebbero fare parecchi esempi pratici ) in cui pur avendo 4 (anche 10 ) vettori in R³ , non sarà mai possibile estrapolare una base ; così come casi in cui da questo set di vettori è possibile estrapolare una base . Di sicuro uno spazio a tre dimensioni non potrà avere "esattamente" quattro vettori di base . Bisogna vedere (e qui non è possibile farlo ) il testo dell'esercizio e si può rispondere con esattezza .

[@andreatalotta2434]

come funziona se devo trovare la base dell'immagine e del nucleo, partendo da una matrice

[@salvoromeo]

Buongiorno nella presente playlist c''è tutta la lezione in cui spiego ciò ed esercizio annesso . Ecco il link m.kzbin.info/www/bejne/gKjIqp95j5iCd7s

[@zaididsq3548]

salve prof, ma se avessi due equazioni, ad esempio W={[x,y,z] £R3 : { x+y-z=0 , 2x+3y+z=0} come faccio a trovare la base? Perché la dimensione è 1 e mettendo a sistema le due equazioni mi risulta il vettore (0,-1,1) il che risulta sbagliato se lo sostituisco per fare la verifica. Mi faccia sapere grazie

[@salvoromeo]

Buonasera , provo a rifare i calcoli scegliendo come incognita libera la x

[@cogitabondo030]

Buongiorno Professore, avrei una domanda in quanto in questo esercizio non mi torna il fatto che dim(W)=dim (R^n) - (numero di equazioni). "Determinare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale di R^4" W={(x,y,z,w) appart. a R^4 : x-z-w=x+y-z=y+w=0} seguendo tale regola dovebbe essere dim(W)=4-3=1. Tuttavia la dimensione di W è 2, ed esce utilizzando il MEG come numero di righe non nulle della matrice... Dunque quando devo utilizzare uno e quando l'altro. Grazie mille!

[@salvoromeo]

Buongiorno , è la stessa cosa , infatti deve considerare 4 meno il numero di equazioni indipendenti (come ho detto nel video ) , da non confondere con il numero di equazioni che figurano . Quindi 4 - 2 (equazioni indipendenti) =2 =dim(W) . Il metodo è sempre unico 🙂

[@cogitabondo030]

@@salvoromeo perfetto, grazie mille

[@attiliolesilio55]

Tutto ben detto e ben spiegato, però mancano alcune dimostrazioni.

[@marcoincarbona3120]

Se avessimo un sottospazio con 2 equazioni cartesiane, come potremmo trovare una base?

[@salvoromeo]

Buonasera Marco se hai un sottospazio con due equazioni cartesiane devi calcolare la dimensione (segui il secondo esempio del video ) del sottospazio vettoriale e impostando il sistema determini i vettori di base . Nel nostro esempio del video in questo caso da te proposto ci sarà solo un vettore di base poiche dim W=3-2 =1 e quindi si procede in modo analogo a come ho fatto nel video , ma la differenza è che ho due equazioni in tre componenti che si risolve senza problemi (vedi sistemi lineari e teorema di Rouché -Capelli )

[@salvatorecaruso4724]

Professore, buongiorno. Potrebbe aggiungere nelle sue playlist una raccolta di esercizi per esercitarsi autonomamente con esempi a grado di difficoltà crescente ? Grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno Salvatore .Tutto ciò sarà realizzato ma passerà qualche annetto . Ancora sono impegnato con la realizzazione di contenuti completamente mancanti sia di analisi matematica 2 che di analisi complessa che hanno per adesso (febbraio 2023 ) priorità assoluta . Solo quando avrò completato buona parte degli argomenti di analisi , curerò le rifiniture aggiungendo anche lezioni complementari .Tra un paio di anni credo che il canale sarà abbastanza completo . È questione di attendere . Tuttavia seguendo passo passo tutte le lezioni della playlist (comprese anche i cenni di teoria ) si dovrebbe riuscire a saper svolgere qualsiasi tipologia di esercizi , anche se comprendo la difficoltà di uno studente che sta muovendo i primi passi .

[@simonedefilippo8275]

Perché, al minuto 15:08, z uguale 0?

[@ProtocolloFantasma]

Prof non capisco quando i vettori vanno messi in orizzontale e quando in verticale. C'è una regola?

[@salvoromeo]

Buongiorno in questo contesto è indiffente.I vettori vanno messi imperativamente in colonna solo quando si parla di matrice associata ad una applicazione lineare di cui ho realizzato una lezione in questa playlist che si può dire che è il cuore dell'algebra lineare .

[@ProtocolloFantasma]

@@salvoromeo grazie Prof!!

[@pinomugo8960]

5:47 nel vettore v3 il primo zero è inutile, basta lo zero in terza posizione

[@salvoromeo]

Salve Pino .La cosa importante è che siano l.i .Mettendo lo zero in prima posizione per i principianti è più semplice visualizzare gli elementi speciali in ciascuna delle righe.Considera che se in un vettore compaiono molti zeri , la base diventa più" leggera" e ciò è un vantaggio per tutto ciò che viene in seguito .In ogni modo concordo che in v3 avrei potuto mettere anche 23 (come prima componente ) consegnando sempre l'indipendenza , ma ho proferito mettere zero .

[@paolocicero3122]

Perchè l'equazione riduce la dimensione ?

[@salvoromeo]

Buongiorno .In conseguenza all'applicazione del teorema di Rouché Capelli vista nelle precedenti lezioni delle presente playlist .Ovviamente siamo di fronte a un sistema di equazioni omogenee .

[@dinochiari3647]

Se x-y-2z=0 allora -2z=y-x e questo ci implica che z=(x-y)/2. Diamo valore ad x e y. Per x=-14 e y=32 z=(-14-32)/2=-23. Torniamo al punto di partenza: (-14)-(32)-2(-23)= -14-32+46= -46+46=0. Incredibile tutto quadra...

[@salvoromeo]

Certo, è il concetto di incognita libera che definisce il concetto di dimensione del sottospazio vettoriale.