Base ortogonale , base ortonormale , vettori ortogonali. Ortonormalizzazione di Gram - Schmidt

Vettori ortogonali Base ortogonale e base ortonormale . Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt .
Dopo aver introdotto in concetto astratto di spazio vettoriale di prodotto scalare , è il momento di introdurre l'importantissimo concetto di vettori ortogonali che sfrutta appunto il concetto di prodotto scalare .
Quando parliamo di prodotto scalare , non ci riferiamo solo al prodotto scalare standard , ma ad un qualsiasi prodotto scalare positivo e viene svolto anche un semplice esercizio a riguardo .
Il concetto di ortogonalità ci permetterà di definire la base ortogonale e ancora meglio la base ortonormale come ad esempio la base canonica .
Termineremo la lezione introducendo un algoritmo particolare (ortonormalizzazione di Gram-Schmidt) che a partire da una base generica , ci permetterà di ottenere una base ortonormale con dei semplici passaggi algebrici .
Tale argomento è di fondamentale per poter introdurre l'ortogonalità di due sottospazi , e il teorema spettrale , detto anche il teorema fondamentale degli endomorfismi autoaggiunti .
#salvoromeo #algebralineare #vettoriortogonali

[@lucavitali776]

È il migliore professore di algebra e geometria, grazie di esistere

[@nostradamus4856]

professore, devo dirle che grazie a lei ho compreso più in solo video che in mesi di studi, la ringrazio infinitamente di tutto l'aiuto che da a noi giovani. Una buona serata :)

[@salvoromeo]

Grazie per la scelta .

[@elenadelonge3987]

Ho superato l' esame proprio grazie ad un trucchetto che ho visto in uno dei suoi video,grazie il quale son riuscita a fare un compito in 15minuti!grazie mille

[@lucacaporaletti7276]

quale trucchetto?? ho l’esame lunedì dillo pure a me😂😂

[@elenadelonge3987]

@@lucacaporaletti7276 ciao,ma IL MiO Caso era molto specifico , l esercizio chiedeva di determinate IL valore di k che minimizzava IL rango . semplicemente son riuscita a determinarlo ad occhio,vedendo le colonne lin.indipendenti

[@Sim_Salv04]

Prof io lunedì ho il parziale di Geometria 1 a Matematica e, come è accaduto per Algebra lineare, i suoi video sono di fondamentale importanza, colgo l'occasione per ringraziarla e per complimentarmi per il suo lavoro.

[@alessandrourbinati4864]

Professore grazie mille per queste lezioni. Sono oro! Le auguro il meglio

[@marianoamato2092]

prof lei è un grande, ho analisi 2 + algebra linerare (purtroppo il programam del polimi tende a unire cose già complicate da sole) tra 4 giorni e ci voleva proprio un ripasso generale. Grazie veramente, è un eroe.

[@SatchelChannel]

C'è da dire che al politecnico siete seguitissimi. Ho un mio ex compagno delle superiori che ora sta studiando ing. meccanica al polimi e dice che metà delle sue lezioni sono tutorati praticamente ahahah. A Napoli per esempio molti corsi non hanno tutorati e molti professori fanno pochi esercizi. Qui è più "semplice" perché altrimenti nessuno passerebbe tanto che ci lasciano a noi stessi ahahah, penso che più al sud vai e meno aiuti ci sono a causa delle università sottofinanziate. Voi pagate 3000€ l'anno di tasse ma almeno avete laboratori e tutorati top livello

[@marcoperazzini7927]

Avrei piacere di mostrarle il materiale didattico di una sua collega ma non lo faccio per rispetto, lei è riuscito a spiegare l'ortonormalizzazione di gram-schmidt in modo conciso con un esempio del tutto facile e comprensibile. Complimenti ancora professore! sto ultimando le ultime lezioni di algebra lineare per passare alle coniche e poi agli integrali doppi. Buon week end.

[@ivanmagini7086]

super come sempre grazie infinite per la sua lezione

[@losciar]

Grazie professore, menomale che c’è lei

[@edoardogribaldo2870]

Spiegazione eccellente, complimenti!

[@salvoromeo]

La ringrazio .

[@matteotosi26]

Prof Lei sta aiutando un sacco di studenti!! È un grande!! Ho guardato tutta la playlist solo che ancora non riesco a chiarire un dubbio enorme!!! Come fa a scrivere nel nulla??? È un vetro e scrive al contrario ??? 😂😂 ti prego aiutami a risolvere questo dilemma che mi perseguita e non mi lascia dormire la notte!!! Apparte gli scherzi, complimenti, spiegazioni chiarissime!! Continui cosi!!! 💪

[@davidenatali8996]

Specchia l'immagine

[@matteobastarelli5378]

grazie mille professore, veramente utili queste videolezioni, magari le suggerisco di farne alcune incentrate solo su esercitazioni per rendere il concetto completo al 100%, ma per il resto tutto veramente di grande aiuto soprattutto per me che a breve avrò un esame su tali argomenti.

[@salvoromeo]

Buonasera Matteo , grazie per il commento e per il consiglio .Comprendo che svolgere ulteriori esercizi rende certamente completo al 100 % il concetto .Considera che il canale è sempre in fase di sviluppo e ancora sto dando precedenza a molti argomenti non presenti nel canale (quadriche , argomenti di analisi 2 ecc ecc. ) . Tuttavia quando in ogni lezione propongo gli esempi , sono la base per qualsiasi esercizio che capita nei temi d'esame ...magari cambiano i numeri e la complessità dell'esercizio , ma la base da cui partire è sempre quella . Di sicuro tra un anno il canale sarà ancora più ricco di contenuti .Consideri che fino ad aprile 2021 il canale contava esattamente 32 videolezioni e ad oggi sono oltre i 250 .Considera che rilascio due videolezioni a settimana e per motivi lavorativi non posso dedicare più ore al canale .Sarebbe bello rilasciare un video al giorno , ma non mi è possibile purtroppo . Comunque grazie per il suggerimento che apprezzo tantissimi e cerco in tutti modi di seguire . Buona serata 🙂

[@elenadelonge3987]

Thanks!

[@christiannegri5165]

Ciao, ti volevo ringraziare perchè con i tuoi video di geometria sono passato all'esame d geometria analitica e algebra lineare. volevo chiedere, farai dei video su Taylor e del l'hopital(con esempi ed esercizi svolti),mostrando madari le loro applicazioni a limiti etc? ti ringrazio ancora e continua così!!

[@salvoromeo]

La ringrazio per il commento che mi riguarda anche in prima persona . Per adesso sto continuando soprattutto con algebra lineare e in futuro sono previste anche i contenuti di analisi due . Per quanto riguarda Hopital ho un video in cui spiego qualcosina , ma non ho intenzione di continuare a realizzare altri video su Hopital dal momento che quello che ho realizzato basta e avanza . Per Taylor farò una sola lezione .Entro la fine dell'anno ci saranno tante novità .Ci vuole un po' di tempo dal momento che realizzo i video una volta a settimana e spesso i contenuti che pubblico oggi sono stati realizzati anche quattro mesi prima . Nell'attesa Le auguro buona serata e congratulazioni per Algebra Geometria (il cui merito è stato principalmente Suo 🙂. )

[@christiannegri5165]

@@salvoromeo grazie per la risposta !!

[@filippodoukas9138]

Buonasera, l'algoritmo da lei descritto vale anche nel caso di spazi vettoriali con prodotto non standard?

[@matteonebbia2180]

grazie ora so ortonormalizzare le cose

[@fili5928]

Grande prof, impeccabile e coinciso come al solito I video nella playlist sono in ordine per argomenti? O sono in ordine un po’ sparso?

[@salvoromeo]

Salve Filippo , grazie per il commento .La presente playlist è perfettamente ordinata .Si parte dagli spazi vettoriali ,vettori l.i , generatori , basi , applicazioni lineari e via dicendo ... La può seguire tranquillamente in ordine

[@fili5928]

@@salvoromeo grazie prof, il 17 ho l’esame di algebra lineare e geometria, e grazie a lei è tutto molto più chiaro 🙏🏻

[@fabio.dipierno.learning]

Buonasera Prof. la procedura Gram Shmidt che è al minuto 25:00 è valida per qualsiasi prodotto scalare o solo per quello standard euclideo? Sto provando con un prodotto scalare così definito = 2a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2 + a3b3 è il testo di un esercizio, non ho verificato che sia un prodotto scalare a dire il vero, ma ho provato l'algoritmo e mi ritrovo con w1 = (1,0,0) e w2 = (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0) e senza andare a calcolare w3, noto che w1 e w2 non sono ortogonali tra loro. Cosa sbaglio?

[@fabio.dipierno.learning]

Prof. ho trovato l'errore... sbagliavo nel calcolo della norma, sebbene applicassi il prodotto scalare corretto per il numeratore, nel calcolo della norma al denominatore applicavo (per abitudine credo) quello euclideo. Devo ricordarmi che la norma è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore con se stesso... Domani ho l'esame, speriamo bene.

[@filippomuzi5803]

Ottimo video professore . Sarebbe utilissimo un video sulla posizione reciproca delle rette .

[@salvoromeo]

Buonasera Filippo .Il video in questione già è pronto da mesi ma custodito nel mio hard Disk e pronto per essere rilasciato in futuro . Ho allentato il rilascio della parte della geometria poiché rispetto ad algebra lineare ha meno gradimento del pubblico (in termini di visualizzazioni ) e per adesso ho dato priorità ad algebra lineare . In ogni caso non solo sarà rilasciato il video in questione , ma ci sarà anche almeno un video on cui vengono svolti esercizi di geometria nello spazio . Stia in attesa che entro un mese ci saranno anche tali video .

[@filippomuzi5803]

@@salvoromeo va bene professore

[@mysteriousXsecret]

Ma è corretto dire che il processo di ortonormalizzazione di Gram Schmidt rende la matrice finale non invertibile? Perché ho trovato questa frase su degli appunti, ma non mi sembra corretta.

[@giochi6973]

Buongiorno Prof. ho un dubbio su un esercizio che riguarda questi argomenti. L'esercizio mi dice: Trovare in R4 una base per il Ker e Im (esercizio con un parametro), una volta trovato ortonormalizzare. La mia domanda era la seguente: Ho trovato le basi (nel mio caso ci sono due casi, per b=0 e b=/ 0 ), per ortonormalizzare devo prendere e "unire" le basi del Ker e dell'Im? Grazie mille

[@salvoromeo]

Buonasera , l'esercizio è molto più generale rispetto al video .Quello che deve fare è determinare la base dell'immagine e trovati i vettori di base (possono essere da 2 a 4 a secondo della struttura dell'esercizio ) e deve ortonormalizzare . Stessa cosa per quanto riguarda il Ker f che rappresenta uno spazio vettoriale diverso dall'immagine ,e non farei alcuna unione di basi Non avendo con me il testo originale , lo sto interpretando così .

[@giochi6973]

@@salvoromeo Grazie mille, purtroppo capisco che sono stato troppo generico, ma è stato davvero chiaro. Quindi per ortonormalizzare devo ortonomarlizzare le basi dell'Immagine e poi quelle del nucleo, sono "separate" in poche parole

[@raffaelederoberto]

Buonasera prof! Ma alla fine dunque ottenendo la base ortonormale, quella risulta anche ortogonale? Una base per essere ortonormale deve essere in primis per forza ortogonale giusto?

[@salvoromeo]

Esatto ben detto . Per essere ortonormale deve essere per forza ortogonale .Ortonormale vuol dire non solo ortogonale ma anche con norma unitaria

[@dinochiari3647]

Allora i vettori che ho messo in questione per renderli "ORTONORMALI" dovrei dividerli per 4 o per 8? Voglio dire v1 (-8;0;8) v2 (0;16;0) e v3 (8;0;8) dovrei portarli così: v1 (-2;0;2) v2 (0;4;0) e v3 (2;0;2) oppure così: v1 (-1;0;1) v2 (0;2;0) e v3 (1;0;1)?

[@salvoromeo]

Devi dividerli per la norma , in accordo con quanto ho fatto nella precedente lezione in cui ho parlato degli spazi vettoriali con prodotto scalare .

[@MUHAMMEDWAIGA]

Grazie gentilissimo prof per la spedizione. Infatti grazie ai tuoi video sono riuscito a capire questi concetti. Per piacere mi giri anche il video riferenti alla Norma che devo andare guardare?

[@salvoromeo]

Buongiorno , il video della norma è il seguente. m.kzbin.info/www/bejne/haLUip-kq953mqM

[@MUHAMMEDWAIGA]

@@salvoromeo grazie gentilissimo per il link. Adesso corro a guardarlo!

[@andreatonetti9885]

Professore ma (2,3) e (3,-2) non sono ortogonali fra loro?

[@salvoromeo]

Buonasera Andrea .Si sono vettori ortogonali .Sono ortogonali in uno spazio vettoriale dive è definito un prodotto scalare standard . In altri spazi vettoriali in cui è definito un prodotto scalare diverso gli stessi vettori possono essere non ortogonali tra loro .

[@dinochiari3647]

Un esempio di vettori ortonormali può essere questo: v1 (-8;0;8), v2 (0;16;0), v3 (8;0;8). La loro norma potrebbe essere pari a 4.

[@salvoromeo]

Ok Dino , probabilmente volevi dire base ortogonale (anche a me capitano questi lapsus ) . La base è ortonormale quando i vettori oltre ad essere ortogonali , hanno norma unitaria . Comunque hai colto il concetto . In ogni spazio vettoriale dotato di prodotto scalare ammette sempre una base ortonormale .

[@levicaptain321]

mi scusi, per caso lei scrive al contrario su un vetro?