How to derive the sum-product formula “in an instant” is explained from scratch.

This time we dealt with the sum-product formula, which many people have difficulty with in mathematics and trigonometric functions.
If you are trying to memorize this formula, you are surely studying mathematics in the wrong way, so please take this video as an opportunity to correct your course!

[@peekminn]

"いつでも導けるようにした上で"、暗記すれば最強な気がする ・師は信仰 (sin和sincos) ・師引越し(sin引cossin) ・子は孝行(cos和coscos) ・子引く負け獅子(cos引 -sinsin)

[@山田-f8b]

こういう語呂考えるの好き（もちろん理解した上で）

[@デモゴルゴン-u1j]

ありがとう(もちろん導ける前提で)

[@int_nasu]

思い出しにきた人向け 2:33 前置き 2:33 7:20 積和変換 7:20 15:03 和積変換 15:03

[@ヴィ゙エ゙-l9g]

河野さんの動画はある程度知識を得てから見たら凄いと感動するようになるよね。 今その状態ですっごく数学楽しくなった！！

[@isikazu0131]

加法定理マジでめちゃくちゃ使えるので「加法定理は小林幸子で覚えろ」と教えてくれた先生に感謝 俺は逆張って輿水幸子で覚えちゃったけど（変わらない） 追記：プラスマイナスの向きは sin(α+β) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α+β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ と並べた時にそれぞれの右辺でプラスマイナスの向きがちょうど｢幸｣の字っぽくなり覚えやすいので、覚え方としてはこちらをオススメします

[@user-gi9pm2hw4e]

デレステPさんですかっ？！？！

[@isikazu0131]

@@user-gi9pm2hw4e ですです～

[@user-vp2zr9nh9i]

触って擦って擦って触って

[@user-gi9pm2hw4e]

@@isikazu0131 勉強系のKZbinのコメ欄でPさんに会えるってなんか感慨深いです笑 担当は誰です〜？？

[@isikazu0131]

@@user-gi9pm2hw4e まぁ最近はあまりやってないんですけどね...笑 アナスタシア、輿水幸子、遊佐こずえ、早坂美玲、神谷奈緒です

[@user-vf6cr8qh1j]

この和積公式がんばって何回も覚えても 忘れてしまってたから こういう導き方の解説はとてもありがたい！

[@meerssen_treaty]

この前の細井先生に対抗してる感じまじでおもろい笑やっぱ覚えやんでいいよな笑

[@crusher-fr8xc]

どの動画？

[@おにわうちふくわそと]

@@crusher-fr8xc 森鉄のマネーの虎

[@tktkz]

覚えようとしなくても勉強してる人なら何回もやるうちに覚えてしまうような公式だから覚えてない時点で勉強不足って意味なんじゃないかな？

[@rlc7410]

@@tktkz 自分の数学の先生でも覚えてない人いるのでそういう訳でもないと思います

[@take3789]

あの緊張した場面でいきなり聞かれたらテンパりますよね、、

[@ただのサングラス]

某ドラゴン先生をタイトルから皮肉っててて大好き

[@user-xp9jx4sv5s]

河野さんは本当にエッセンスを抽出して言語化する能力が高い。導出を言語に直すと普通は正確性から一瞥では理解しにくい文章にまとまるが、河野さんは限りなく必要な一文句だけで表すから頭に残りやすい。流石神脳。

[@チンギスハン-v6w]

3行目、なんと読むんですか？

[@チンギスハン-v6w]

一番初めです（僕の端末では少なくとも）

[@user-xp9jx4sv5s]

@@チンギスハン-v6w 「いちべつ」やで。

[@fake_akitakejo]

なんか偉人集まってるから便乗しとこ

[@dynamic-O-panty]

@@fake_akitakejo ワロタ

[@みつきち-w3m]

三角関数は加法定理と相互関係だけ覚えとけばほとんど導出できるから、導出の仕方だけ覚えとけば大丈夫。そして何度も導出してうちに覚える。

[@hiroto619v6]

何度も導く練習してると覚えてくるよね

[@のなめ-o4o]

東大「加法定理を証明せよ」

[@ドゥラメンテ-u7p]

@@のなめ-o4o 旧帝レベルでもその証明は出るだろうな 余弦定理やベクトルでも導けるの面白いよね

[@ng_23-j8g]

@@ドゥラメンテ-u7p 何も面白くなくて草

[@サリチル酸-v9m]

@@ドゥラメンテ-u7p 無理せんでいいんやで

[@詩島剛-z7o]

3倍角も含め加法定理から導けると分かっていれば何回も演習を積んでいつのまにか覚えてた、ってなるのが理想ですかね

[@bubblytalker1]

和積公式、積和公式は確かに覚えるものじゃなくその場で導いて使うものだ、というのはどの先生も言うことだよね。

[@nappa1408]

最初は本当に分からなかったのですが、動画を見てだんだん理解できるようになってきました。 解くスピードはまだまだ遅いけどもっと演習頑張って速くなります！ 河野さん、本当にありがとうございます！🙇

[@boya6251]

河野さんは紛れもない天才（もちろん努力家でもあり天才の一言で片づけるのは失礼であるのはご海容いただきたい）。 天才にも自分が分かってても人に教えるのが全くダメの人も多い（一般人が何が分かってないのかを分かろうとしないため）。 しかし、河野さんは一般人が何が分かってないか上で、おさえておくべきポイントが何なのかを提示している。だから視聴者も増える。

[@user-ko3ly3fi1e]

再生回数伸ばすだけの金儲け主義動画とは違う。。わからない側の視点に立ってこの動画は作られている金儲け主義ではないのがいい

[@ヒカリバエ-w1o]

秀才と呼ぶのが正解

[@忘れ去られしヌオーの化身]

天才とも秀才とも形容できなかったから、神脳っていう形容詞が生まれたんだよ

[@kai-mn3we]

ちょうど和積のところで悩んでいたのでとても助かりました！

[@user-g748]

一回一回sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]を変形して導出してましたが、動画のような導出の方が断然早くて革命が起きました！ありがとうございます😊

[@user-lx7lv4uc6p]

数IIIで積和の方は結構使うから覚えてるけど、和積は全然使わなくて覚えてないからいちいち導出してる。

[@jewel1310]

テスト前日に出してくれるのは流石に神です

[@Shinichi_Kudo-]

？？)高3の夏の時期で積和、和積の公式が秒速で言えないようじゃちょっと困っちゃうかなぁ、とは思っちゃうんですが、、

[@gan356xs7]

細なんちゃら先生ですね(白目)

[@たらこぱすた-q8d]

@@gan356xs7 名前に龍が付きそうだなぁ……

[@佐藤龍-g8f]

細いドラゴン

[@ねるぽいてとー]

やっぱ数学力とか推し量れるっすもんね

[@user-to6ht2xb8e]

草

[@こなん-m6n]

細井先生のやつだ笑笑 河野さんが見てたと思うと面白い笑

[@球-o3k]

タイミング良すぎです やばい、解った､､

[@user-lr1yc8en5l]

来週の中間テストの範囲がここで困ってたんですよ😭本当にありがとうございます🙇‍♂️

[@dao__5321]

今高1で、三角比の余弦定理とかですら暗記してやってたからほんとに数学は暗記じゃダメなんだって再確認した。こうやって柔軟に考えられるように意識して勉強しようかなって思う イメージを大切にしてげんげんの徹底基礎講座使って頑張る❤️‍🔥

[@dx4971]

余弦定理は暗記でいいと思うよ。三平方の定理の拡張っていうイメージも大切やけど。定理使うときはその証明ができるか自問自答すれば忘れない！

[@あいう-u7j]

がんばれー

[@dao__5321]

@@あいう-u7j ありがとうごさいます！

[@TV-hr6cz]

ベクトル習えば余弦定理は暗記しなくていい

[@ria4635]

暗記しなくていいんじゃなくて 暗記は必須で、原理も理解してた方が良いが正しい。

[@user-maythgaming]

すっげぇ！！！ やっぱ数学面白い！ これは神授業だ😳

[@bot-xt1bk]

河野さんがいる時代に生まれて良かった、革命や

[@ミルミル-z2f]

ここ苦手だったところだー来週が入学試験なので復習して頑張ってきます！！！！

[@肛隙おでん]

がんばれ！

[@fal3916]

※　　　和　　差 sin　　　2SC 　2CS cos 2CC 　-2SS って覚えました。導出より速いのでおすすめです

[@りゅうりゅう-k4h]

自分は、加法定理の公式に結びつけて覚えました！ sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBっていう、sin→cos→cos→sinの順番に出てくるので、それを sinA+sinBとsinA-sinBの公式の順番にリンクさせました！ 同様にcosも、cos(A+B)の加法定理で出てくるのと同じ順番なので（個人的には）結構楽です！cosA-cosBが-2になるのだけは注意するように覚えましたが

[@appearenceace4096]

数学公式定理の導出とか証明の大事さは勉強進むにつれてかなり大きくなってくる 積分とか特に

[@kasazaki_shishi]

数3でつまずいた部分を自分で導けるようになって助かりました！

[@user-zn2qs2bg7f]

三角関数の積分ですかね

[@5g529]

数3でも使うけどこれが出てくるのって数2じゃね

[@user-pc5ik6mw2i]

@@5g529 計算の最後に綺麗な形にするのに使うことがあると思います

[@5g529]

@@user-pc5ik6mw2i いや初めて習うのが数2って言ってるだけで数3で使わんとは言ってないやん

[@5g529]

@@user-kt2xe7bk3f やってない

[@user-nb7id3ju5x]

覚えなくても出せるのは、 三角関数の基本的計算力と応用力を付ける意味で大事ですね。 ついでにtanの公式も出せるようにすれば完璧。 オイラーの公式を使った導出も紹介します。 exp[±iθ]=cos[±θ]+isin[±θ]=cosθ±isinθ exp[i(A±B)]=exp[iA]exp[±iB] cos(A±B)+isin(A±B) =(cosA±isinA)(cosB±isinB) 展開すると、実部が余弦の加法定理、虚部が正弦の加法定理です。 和積はどうするかというと exp[i(A±B)]=exp[iA]exp[±iB] から exp[i(A+B)]±exp[i(A-B)] =exp[iA]exp[iB]±exp[iA]exp[-iB] =exp[iA](exp[iB]±exp[-iB]) exp[i(A+B)]±exp[i(A-B)] =exp[iA](exp[iB]±exp[-iB]) exp[i(A+B)]+exp[i(A-B)] =exp[iA](exp[iB]+exp[-iB]) =exp[iA](2cosB) =2(cosA+isinA)cosB exp[i(A+B)]-exp[i(A-B)] =exp[iA](exp[iB]-exp[-iB]) =exp[iA](2isinB) =2iexp[iA]sinB =2i(cosA+isinA)sinB =2(icosA-sinA)sinB 実部、虚部の比較で積→和の公式が出ます。 和→積は α=A+B β=A-B とする 【積→和】 exp[i(A+B)]+exp[i(A-B)]=2(cosA+isinA)cosB exp[i(A+B)]-exp[i(A-B)]=2(icosA-sinA)sinB 【和→積】 exp[iα]+exp[iβ] =2(cos[(α+β)/2]+isin[(α+β)/2])cos[(α-β)/2] exp[iα]-exp[iβ] =2(icos[(α+β)/2]-sin[(α+β)/2])sin[(α-β)/2] 途中式を省けば10行位で計算可能なので、 慣れると3分強で計算できます。

[@JinLeonard]

流石に神

[@biginside8746]

明後日の試験、ここ範囲なのでめっちゃ助かりました!

[@らーめん屋神授業]

暗記で覚えていたのですが、理解し!て導くとわかりやすい！

[@山田太郎-r8o5r]

倍角と半角とかも最初ほんとにどっちがどっちかわかんなかったけど、加法定理のβをαに代入して…とか考えたら忘れなくなったから絶対にそうしたほうがいい

[@user-zl6oz1yc7d]

書いといてくれる名大ありがてぇ

[@つるりん-w2w]

三角関数と数列、ベクトルは慣れるとゲラゲラ笑いながら解けるからたのすぃ

[@素揚げ-v6m]

三角関数いつも単位円で考えていたので公式出してもらえるのはありがたいです。

[@user-kn4bg2nb5c]

???「和積積和の公式で数学の力って推し量れるもんなんですよ」

[@abcdeeeeeen]

たしかに加法定理の引き算をテスト始まったときに計算用紙に書いてそれみながらテスト解いてくのはいいかもしれない

[@forwork727]

”意味を理解せずただ公式を丸暗記するやつは理系に来るな” これは物理の教師に言われた言葉です。当時はこの強い言葉に衝撃を受けましたが、全くもってその通りだと今なら言えます。

[@drew_9992]

やまぐちやん

[@S36KM80XYZGH]

説明が分かりやすい。

[@Liverpool_YNWA66]

このタイミングでこの動画は笑うわw

[@ムメイ-y6u]

これ欲しかった！ありがとうございます！

[@Vanessa-ih6wv]

自分は単位ベクトルで図形的に導くの好きだな。

[@ネモジャ]

そんなこと出来るんですか！？

[@kanegahosiii]

こりゃすげーわ。資格試験でこんなん覚えてるかーおもたら、これあれば詰まらんかった。

[@kylien2409]

Vietnam is also studying sin cos tan cot like your country. I am in 10th grade, you teach very well. I support you 😀

[@まかろん-b8y]

数Ⅲの積分でめっちゃ出てきてすぐ出す方法ないかなって漁ってたらやっぱあなたが1番やった

[@orange-kl7ne]

ありがとうございました！ 自分用まとめ 和積公式は暗記せずに、同類の加法定理(+,−分けて)を足し引きすることで左辺に三角関数の和を右辺に積を作ることができる。縦で式を並べるところが数列の和っぽいな。問題を解くときは、その導出する形にA(x+y).B(x-y)を代入してどのようにすれば三角関数の和or積の形に持っていけるかを考える。 加法定理を変形する！

[@ささのは-b9r]

凄すぎて途中から笑い止まらなかった

[@よっしーー-o4p]

解ける！ありがとうございます

[@userdirection5526]

うわぁめっちゃ解きやすくなった

[@石垣太郎-n9x]

す、すげぇ頑張って名大入れるように頑張ろう。

[@KANTA-h8c]

導出を問題を通して繰り返してれば自然に覚えられる

[@ためてかいほう]

分かりやすすぎる！！

[@user-im6zb3nl7b]

今三角関数やってたので大変勉強になりました。

[@まーなみかん]

あんなに覚えれなかったものが証明するだけでスッと入った

[@たるたるソース-n3c]

こういう動画まじでありがとうございます。 受験こわい

[@XxxxxX-eb1vs]

受験生直前期になるとずっと使ってるから自然と覚えるよね

[@misa_yurayura]

回帰分析、単回帰分析、重回帰分析の解説して欲しいです！今大学でやってるのですがさっぱりです🙇‍♂️

[@Kuroda7777]

これで令和の虎で導けます

[@さち-u6m8t]

非常に分かりやすかったです。大変助かりました！ 他の単元も見させていただきます。

[@yamatakaflum]

下ネタで覚えちゃったからもう忘れられない

[@あいうえお-e5e]

なんて覚えたのか教えて欲しいです！

[@nuts_macadamia]

マジでわかりやすい

[@みい-u3n]

生粋の文系で なんや数学！！って思ってたけど すんごい面白い、、。なるほどこうなってたんか、、。 となりました。ありがとうございます！

[@ラマヌジャン-i4s]

貴方は神です

[@腰の上のポニョ]

天才は覚えなくても一瞬だから良いけど、凡人の私は導けるようにして更に覚えてたよ！　試験では導く時間も惜しいからね。 と言っても20年以上も前の話ｗ　懐かしいなぁｗ

[@user-Te_Ruru]

加法定理すら覚えてなかったので、この動画で覚えられました

[@ttM-ss1gj]

お陰でわかりました！共通で使わなかったので二次で活用できるよう頑張ります

[@もっとやわらかい風]

素晴らしい

[@のみな-n7h]

まだ習ってないけど予習として見ておこうと思います

[@benjaminabarok_]

大学の積分で嫌というほど出てくる積和公式

[@みょ-f2x]

ほんとうにすごすぎる。

[@user-nw1vu3wc6h]

質問です！ 修学旅行の時も勉強してましたか。

[@アノス-z6y]

そんな時まで勉強するなら普段もっと勉強すればいいんですよ。

[@kame-l5x]

お〜速い速い！やっとできたー！

[@えび-m6j]

これを毎授業やってくれたり、自分でyoutubeに動画アップしてた数学の先生、ほんとに数学好きだったんだろうなあ…

[@man-g5n]

うん

[@user-ic9jk2np9j]

加法定理は覚えていいんですか？

[@user-qb6mz5wo1k]

まじでありがたいです。暗記するのは数学の本質ではないですからね！

[@yudetamagoyuderu]

覚えてるけど一応加法定理で導出してしまう公式ランキング第1位

[@marika_a967]

数学のトリセツ？の迫田先生の動画で見たことあったけど導き方忘れてました､､ありがたすぎます🤦‍♀️

[@jajamaaal]

導き方を暗記するんですね！わかります！

[@山田-f8b]

ちがうちがう♪ そおじゃ♪ そおじゃなぁ〜ぃ♪

[@noro2532]

さすがです

[@shirasagos]

覚える必要はないが、瞬時に導出する訓練を繰り返すことで面接の緊張感の中でも即座に暗算で導出する冷静さと頭の回転の速さが求められていたんだと思う。 あ、例の話です。

[@大鑑巨砲主義-y1c]

分かりやす！

[@ti8985]

ちょうど今日数学のテストが終わって絶望してるところにこの動画出てくるのマジで草www（再試の時に生かさしていただきますw）

[@user-bm6oh8wp3u]

むっちゃいい！

[@橋本淳-w6u]

覚えるのが苦手だったので 覚えずにその場で公式を導いてから問題を解いてました。😅

[@morita..]

これほとんど微積でしか使わないのに文系でやらされるの可哀想だな

[@mn___n000]

すごい！！！！！！！！！！！！！

[@ひろ-p2j7q]

テスト直前に見つけれてよかった

[@Yusaku-sn4qq]

天才すぎた

[@yuraumi9778]

片方やってると片方忘れてしまう。

[@定積分だけは絶対に許さない]

めっちゃわかった。ありがとう河野

[@user-jhftikbfrhkob]

ぶっちゃけ合格するための点を取る数学なら覚えた方が絶対良い

[@jogo7501]

こわいねえーーーー この分かりやすさ

[@inu._.]

ありがてぇ〜

[@sakaguchikentarou]

これ数2ででもちゃんとできた方がいいですか？

[@アア-r2d]

前日に絶望しながら解説動画求めこの動画に行き着いて救われました。ほんとにありがとうございます、、、🙏🏻

[@マック痔]

確率漸化式について教えて欲しいです🙇‍♂️🙇‍♂️

[@転生したら父が中山廉人だっ]

nのときの状況を排反に分ける。それだけ。 難問はもう少し工夫が必要だけど。

[@user-oe5rx5tq8t]

ガチ感動

[@user-bx4cd9nh9p]

これ、絶対に某You Tubeみてたよね（笑） 和積積和は暗記すべきと言っているInternet先生がいましたが、その人が教えている動画をみると、やはりゲンゲンの動画とは違い、数学の掘り下げ方がレベル低かったです。（指摘したら、動画を消されちゃいましたけど） こういうので、数学力を推し量ることができますね。

[@user-zs2ij7gr4c]

演習しまくった結果覚えてしまったならいいことだけど覚えろっていうのは確かにおかしいわ