【灘中入試算数】周期と公倍数で解く整数問題｜中学入試問題解説授業

[@Fろん太]

自力で解けました。13と17の最小公倍数が２２１で4倍すると８８４になり、そこから20を足すと両方のあまりが３と７になります。 寄って答えは９０４となります。これからビデオで答え合わせします。

[@gakusensei-channel]

良い解き方だと思います。 他にも面白い解法を見つけたら、ぜひ教えてください。

[@yhira2010]

素晴らしい！ 同じ解法にたどり着いたのですが、速算のひらめきできずにくどくど書き出す方法しか思いつけませんでした。 求める数は、最小公倍数221の倍数に題意の余りを足した数であってはならない。 ∵このような数字は、題意条件の前者を満たすなら後者を満たすことはできず、逆もまたしかり。 ので求める数は区間（884+3、999）にあるという推定が可能。　 この区間にある17の倍数は 901 918 935 952 969 986 これに3を加えると 904 921 932 949 966 983 ここから7を引くと 897 914 925 942 959 976 この中で13で割り切れるのは897だけ。 ∴答えは904 by頭の回転…激落ちぢゃあ……な昭和じじい😢

[@いまひろ09]

x,yを0以上の整数として 17x+3=13y+7より 17x-13y=4 mod13の元で 17x≡4x≡4(mod13) ∴ x≡1 (∵4と13は互いに素なので割り算しても良い) よって x=1+13m (mは整数) より 17x+3=17(1+13m)+3 =13×17m+20 =221m+20 これが3桁の整数で最大になるのはm=4のとき すなわち 221×4+20=904 なお 13×17は 10の位が同じで(1と1) 1の位の合計が10(3と7) なので 1×(1+1)=2 3×7=21 より 221と暗算できますね (15×15=225の拡張版) 例題 34×36=1224 3×(3+1)=12 4×6=24 73×77=5621 7×(7+1)=56 3×7=21 など

[@nisshisio]

最初に数直線で考えました 便宜上文字を使った式で表すと 17で割ると3あまる数字=17x＋3と表せる これは13x＋4x＋3と変形出来、13で割ると7余る事からこの式をさらに 13x＋4（x−1）＋（4＋3）と表してみると 13xの部分と4（x−1）＋4の部分が13の倍数となることがわかり、かつ17の倍数でもあることが数直線上で確認出来る よって求める数は13と17の公倍数に3を足したものとなる

[@gakusensei-channel]

ご紹介ありがとうございます。 数直線で表現するのも面白いですね。 詳しく助かります。

[@YukkuriReimu]

公倍数に基準値(便宜上の仮称)を足せば常に成立するうちの最大値、って問題になりますね 基準値19の出し方 『6で割って1あまる、8で割って3あまる』の両方が余りで分かりにくいので、余りがない位置にズラして 条件に一致する場所を探しやすいように文章を次のように置き換える 『8をｘ倍して2を足すと、6の倍数になった』として考える この形なら、恐らくその出来上がった数字は18だろうと思いつく 最初の1をズラしてるのを戻して19という基準値に辿り着く 本題の20に戻って 『17で割ると3あまる、13で割ると7あまる』 →　『13の倍数に4を足すと、17の倍数になる』　→　明らかにｘ＝1で17　→　つまり基準値は20 　→　13と17の公倍数(221のｘ倍)に20を足した3桁の最大値 　　→　221なのでまぁ884だろう、つまり904 数字を列挙して一致を探すのもいいですが、たまに遥か彼方ってトラップありえるので こういう置き換えをしたりすることも有効だったりするのが、数学は文章力だの言われることもある所以ですかね

[@gakusensei-channel]

仰る通り、片方の余りが0になるように調整すると見やすくなりますね。 例題と本題の両方ともご解説くださり、ありがとうございます。

[@epsom2024]

3+17=7+13=20 x≡3≡20 (mod 17) , x≡7≡20 (mod 13) , したがって x≡20 (mod 17*13) つまり x≡20 (mod 221) x=221k+20

[@gakusensei-channel]

合同式を用いた解法のご紹介、ありがとうございます。 途中式も大変嬉しいです。

[@himo3485]

17と13の最小公倍数は221 17+3=20 13+7=20 3桁の整数で最大のものは20+221×4=904

[@gakusensei-channel]

途中式のご紹介、ありがとうございます。

[@air-nx2wk]

お世話になります。 皆さんの中で私に数学を教えてくれるいませんか？とコメント欄に私の連絡方法をのせて、コメントしても良いでしょうか？

[@gakusensei-channel]

KZbinの規約を調べましたが、連絡先の掲載は自動的にスパム扱いになってコメントが削除される可能性が高いです。 動画で紹介した問題についての疑問をコメントする程度にしておくのがよろしいかと思います。

[@air-nx2wk]

@gakusensei-channel ありがとうございます、基本連絡先は自己紹介の書いてます

[@air-nx2wk]

@@gakusensei-channel 解けました!今すぐ数学の先生は必要ありません。しかし、今後、分からない時コメント欄に書くかもしれません。