Utiliser les suites pour calculer une racine carrée (La méthode de Héron)

Les suites semblent avoir des applications infinies. Leur maîtrise permet d'atteindre des résultats complexes, tout en déployant des efforts moindres que les méthodes de calculs classiques. Je vous propose dans cette vidéo de découvrir une application pratique des suites, en les utilisant pour calculer des racines carrées.
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0:00 Générique
0:19 Introduction
1:00 La racine carrée : rappels
1:45 La méthode par dichotomie
3:19 La méthode de Héron
4:35 Comparaison des méthodes
6:09 Conclusion
7:13 Généralisation de la méthode de Héron
8:24 Outro

[@philippepujol2806]

Excellent ! Merci, c'est rapide et clair. Bravo 👍

[@Techniquement]

Merci beaucoup, ça fait plaisir.

[@DonneLaSource]

Je découvre c est vraiment malin.

[@Techniquement]

Ah mais carrément. Je ne sais pas par contre comment est-ce que ça a été découvert. Ça reste ma grande tristesse.

[@DonneLaSource]

@@Techniquement mon hypothèse est la suivante tu cherches une suite dont la limite vaut k**(0.5) hypothèse naïve tu poses l = k / l soit x(n+1) = k / x(n) sauf que cette suite pose pb car elle diverge dem : x(1) = k / x(0) x(2) = k / x(1) = k / (k / x(0)) = x(0) du coup c'est une suite constante pour n congru 0 modulo 2 qui vaut x(0) et constante pour n congru 1 modulo 2 qui vaut x(1) = k / x(0) donc x(n+1) = k / x(n) sent bon mais ne fonctionne pas surement quelqu'un a remarque que si tu poses x(n+1) = x(n) + k / x(n) tu auras l = l + k / l, soit l**(2) + k = l**(2) elle s'est dit si je multiplie en bas par 2 j'aurai l**(2) + k = 2 * l**(2) puis il a essayé avec des valeurs faibles (4,9,16,25) et a observé une convergence donc il a di lets go on l'a trouvé après il faut démontrer que cela converge en posant x(n + 1) / x(n), on montre que si pour l'indice n tu x(n) > k**(0.5) alors la suite décroit et si pour un indice n x(n) < k**(0.5) alors x(n) est croit et si x(n) = k**(0.5) alors constante du coup tu choisis x(0) > k**(0.5) ainsi la suite est décroissante positive et tu converges comment montrer que la suite est décroissante ? soit n tq x(n) > k**(0.5) supposons que pour x(n+1) < k**(0.5) alors x(n)**(2) - 2 * x(n) * k**(0.5) +k

[@gamknigth9998]

super video!

[@Techniquement]

Merci beaucoup, ça fait très plaisir.

[@xenedon]

Une bonne vidéo qui explique bien, comme d'habitude ! À propos de l'extraction de racine carrée, j'ai appris il y a quelques années qu'il existe une méthode "scolaire" pour la poser, similaire au calcul de la division avec une potence (quoiqu'évidemment un poil plus complexe), mais je n'ai jamais réussi à la retenir, alors s'il te vient un jour l'envie de l'expliquer, je serais bien content de me rafraîchir la mémoire (et, qui sait, peut-être d'enfin la retenir…)

[@Techniquement]

Merci beaucoup du commentaire. Est-ce que tu te souviens du nom de la méthode ? Parce que je ne connais pas, et ça m'intéresse. La méthode que j'ai déjà pu voir et qui est très classe c'est celle utilisant les bâtons de Napier.

[@xenedon]

@@Techniquement Je ne me souviens pas qu'elle ait un nom. De ce que je me souviens, ça ressemble vraiment à une division, et de la même manière on commence à lire le nombre par la gauche, sauf que déjà, au lieu de traiter les chiffres un par un, on les traite par paires (complétant par 0 s'il y a un nombre impair de chiffres de la partie entière), ensuite on cherche le plus grand carré qui rentre dans les chiffres qu'on abaisse au lieu de chercher des multiplications. Puis on enlève le carré du nombre qu'on est en train de reconstruire sur la potence, on abaisse le reste, et on recommence après avoir abaissé la paire suivante. À vrai dire, je me demande s'il y a plus de choses à tenir compte, ou si c'est là la totalité de l'opération. Je pense qu'en cherchant "calculer une racine carrée à la main" il doit y avoir moyen de la retrouver, au milieu des autres techniques comme celles que tu évoques.

[@xenedon]

C'est que je fais moyennement confiance à ma mémoire ^^;

[@xenedon]

@@Techniquement Ah bah en fait j'aurais dû commencer par là : sur Wikipedia elle y est décrite dans l'article "extraction de racine carrée", sous la désignation "Algorithme de la potence". Il y a même un petit exemple !

[@xenedon]

…Et son équivalent existe pour les racines cubiques. Vu le fonctionnement, j'imagine que ça doit marcher pour toutes, même si bon, ça signifie calculer les puissances équivalentes…

[@Benoit-Pierre]

❤

[@Techniquement]

Merci beaucoup.

[@Naecofranck]

pour extraire une racine, il faut une bonne fourche bêche

[@Techniquement]

Ou il faut bien tirer sur la dent. Au choix.

[@Naecofranck]

Il est aussi possible de poser une racine comme une division, et c'est pas plus dur que de poser une division.

[@nicolechauvet6565]

Je me souviens l’avoir fait sous forme de division, mais un peu plus compliquée ! J’aimerais bien retrouver cette méthode, pourriez-vous m’indiquer où la trouver ?

[@Naecofranck]

@@nicolechauvet6565 LMGTFY : kzbin.info/www/bejne/j5bCfpesjrehm8U

[@Techniquement]

C'est effectivement possible. Mais c'est hors programme scolaire parce qu'on considère que les enfants sont bien trop idiots pour comprendre ça. Bon, y'a peut-être le fait que les heures de cours ne cessent de fondre d'année en année parce que l'État fait de la merde. Qui sait ?

[@Techniquement]

J'ai trouvé une fiche wikipedia dessus, sur la page "Algorithme de la potence".

[@Techniquement]

Je met le lien à part parce que je ne sais pas si KZbin va décider ou pas de le bloquer celui-là. fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_la_potence

[@anehonyme5831]

C'est très intéressant mais en pratique qui a déjà eu à calculer une racine depuis sa sortie de l'école ? Je suis curieux de savoir le contexte 😁

[@Techniquement]

Euh... Bah moi déjà. Mauvaise foi mise à part, c'est vrai que calculer des racines carrées à la main c'est pas non plus la chose qu'on fait le plus. C'est tellement facile d'avoir une calculatrice, ou un téléphone à portée de mains qui nous donnera la réponse. Par contre c'est intéressant à connaître pour le contexte historique, et également si on veut s'amuser à coder des petits algorithmes qui font le calcul pour nous.

[@anehonyme5831]

@@Techniquement Tu bosses dans quel domaine pour avoir le plaisir de devoir calculer des racines ? 🙂

[@Techniquement]

@@anehonyme5831 Actuellement je bosse dans un escape game. Mais vu que je suis scientifique dans l'âme, je calcule des racines carrées pour mesurer les structures avec Pythagore, ou pour mes courants alternatifs.....

[@Benoit-Pierre]

Truffaut fait une promotion sur la palette de 491 géranium, je veux les planter en carré, quel est la longueur du côté ?

[@Techniquement]

@@Benoit-Pierre Euh... 491 c'est un nombre premier. Ils font comment pour avoir une palette de 491 géranium ? Y'a quoi comme autres plantes pour compléter la palette ?

[@jean-pierre5919]

Il me semblait que c'était la méthode de Tapon, et non la méthode de Héron.

[@Techniquement]

Non mais c'est un Héron alcoolique qui désespère de retrouver une bergère mouillée par la pluie pour un concours de T-Shirts mouillés... Du coup désolé, c'est que le Héron est rond petit, pas Tapon.