Теорема Брианшона. Стереометрия помогает планиметрии | Ботай со мной

Теорема Брианшона. Стереометрия помогает планиметрии
Ботай со мной #068
Если шестиугольник описан около окружности, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Купить книжку "Геометрия в картинках" Арсения Акопяна можно здесь:
- на русском: biblio.mccme.ru/node/6133/shop
- на английском: www.amazon.com/Geometry-Figur...
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/ege11b
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fizteh11
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@proglife3936]

"опять он решил неправильно" - аахахаха улыбнуло, опять люди лезут на терминатора с красным глазом.

[@trolltrollskiy]

Борис Викторович, а как насчёт записать видео по полярным координатам, и где их можно использовать?

[@zubenko1592]

как геодезист могу сказать что этот метод описания положения точек широко используется в моей профессии. по крайней мере, в классическом ее исполнении) если не принимать во внимание GPS/ГЛОНАСС методы измерений, то напрямую вычислить координаты точек на местности сразу в прямоугольных координатах инструментально-измерительными методами невозможно. Вместо этого, в "полевых условиях", зная координаты двух исходных точек (А и В), вычисляют дирекционный угол (полярное направление) прямой АВ (выполняют обратную геодезическую задачу), далее измеряют теодолитами или тахеометрами угол АВХ (Х - точка, координаты которой нужно определить) и длину (горизонтальное проложение) ВХ. По формуле вычисляют дирекционный угол прямой ВХ и с помощью прямой геодезической задачи получают координаты искомой точки Х. Таким образом, можно, опираясь на 2 точки с известными координатами, определить координаты любой точки на местности. Зная координату точки Х можно определить координату следующей точки Х1, опираясь на точки В и Х и так до бесконечности. Этот способ называется теодолитный ход. Естественно, существует много методов оценки точности измерений и исправления невязок (уравнивания) теодолитного хода, ведь в в высокоточных измерениях имеет значение каждый миллиметр даже при ходе в десятки километров. Также существует тахеометрическая съемка, которая используется для определения большого количества точек с одной "станции", то есть не переходя на точку Х1 и так далее, а с точки Х определить много других. это нужно например при съемке элементов ситуации местности (например углов здания, деревьев, опор ЛЭП, колодцев коммуникаций...) и составление по полученным координатам карты местности. Если копнуть еще немного дальше, то подобным методом измеряют и превышения между точками и "рисуют" на картах рельеф в виде изолиний (горизонталей). Но здесь есть куча своих тонкостей и нюансов. вкратце как-то так...

[@kotik725]

@@zubenko1592 вааау😍

[@user-lq3cg5qj3c]

@@zubenko1592 Приветствую, Коллега! А меня в данный момент интересуют методы измерений превышений GPS/ГЛОНАСС.

[@user-wz2pv1os5z]

Тема очень интересная, я не очень хорошо разбираюсь в геометрии и решаю задачи, но после таких роликов становится намного проще и понятнее + развивается пространственное мышление

[@servenserov]

Очень сложно мне было следить за ходом доказательства, но со второго раза смог и оценил красоту решения!

[@user-lq3cg5qj3c]

Лайк! Однозначно! Напомнили мне молодость на физмате. Геометрия - не такой интересный предмет, как кажется, а еще интересней!

[@pervysage2006]

Спасибо вам за столь интересный ролик!

[@kda5581]

Оооооооочень интересно . Нужно продолжать

[@cnfnbcn3227]

Надеюсь, когда нибудь вы найдете время рассказать, что такое кватернион, как вы это умеете, "на пальцах". В программировании приходится использовать, но хочется еще и понимать что это такое.

[@fhffhff]

Через углы Эйлера понятнее

[@cnfnbcn3227]

@@fhffhff понятно, что можно использовать углы Эйлера, но насколько я могу судить, для движка Unity (я там их использую) они все равно преобразуются в кватернионы. и понятно, что не обязательно это знать, чтобы вызвать соответствующие функции, но знать хочется, это полезно

[@user-te7vz4zx1r]

Борис Викторович, все еще интересна геометрия на серьезном уровне. Хотелось бы продолжения. Про все темы, которые вы упомянули в конце ролика. Спасибо вам, ваши видео очень помогают в это время.

[@user-lq3cg5qj3c]

Геометрия - не такой интересный предмет, как кажется, а еще интересней!

[@user-dj1wl7mm7n]

Мне больше нравится доказательство через радикальные оси. Ещё я слышал, что эта теорема через поляры решается. Хотелось бы ещё увидеть подобные видео с такими интересным задачами.

[@user-cu4hx7yf2y]

Очень интересно! Продолжайте, пожалуйста👍

[@einszwei1769]

Крайне интересно, продолжайте

[@user-nr5tp2jo3u]

Эта теорема верна и для эллипса.

[@xmm8025]

Это великолепно!!

[@Nikolay_2_2_8]

Очень интересно

[@humaniora_for_all]

Спасибо, здорово!

[@user-ef8pq5yh1l]

Нужно продолжать!!!

[@Schriftsteller1703]

было не просто честно говоря )) но вроде понял

[@user-jc4gr3yc8t]

Ставлю лайк стоя👍👏

[@OleGuCCi]

Продолжайте конечно

[@maximpushkar91]

Да, сложная геометрия очень интересна, хотелось бы её побольше!!)

[@user-lq3cg5qj3c]

Геометрия - не такой интересный предмет, как кажется, а еще интересней!

[@IraklyHelloWorld]

+1 за геометрию

[@KOT_c_XBOCTOM]

Нарисовал окружность как Dog!

[@kartavy4707]

Офтоп. Борис Викторович, опубликуйте пожалуйста презентации с курса по подготовке к Физтеху. Хотя бы в чат, в вк

[@trushinbv]

Да, сделаю

[@alien13th61]

А что за чат? Туда можно?))

[@craftsmanPE]

Спасибо, Борис Викторович, как всегда очень красиво и понятно. Можете как нибудь рассказать про подобие треугольников, просто мне рассказывали в школе это просто как факт, и я не могу без симметрии и фактов использующих подобие как основу доказать, почему если у 2х треугольников углы равны, то отношение из соответствующих сторон постоянно.

[@trushinbv]

Если "на пальцах", то если вы движением совместите их так, чтобы совпала вершина и две стороны одного легли на стороны другого, то третьи стороны будут параллельны. Отсюда легко вытянуть пропорциональность сторон.

[@craftsmanPE]

@@trushinbv спасибо, после попробую доказать что эта пропорциональность постоянна Фалесом

[@AT_geometr]

@@craftsmanPE Фалесом вряд ли получится, можно теоремой о пропорциональных отрезках. Но теорему о пропорциональных отрезках доказывать сложно, нужен математический анализ. В общем, тут не всё так просто. Самое простое, что я придумал - это воспользоваться три раза леммой об отношении площадей треугольников с парой равных углов (это отношение равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы). Эта лемма доказывается без использования подобия и какой-либо тригонометрии. Но она использует понятие площади, которое тоже не так просто...

[@crazycat1503]

@@AT_geometr не нужно матанализа, почитайте учебник волчкевича вроде, за 8 класс, там есть доказательство без матана

[@servenserov]

Чрезвычайная сложность доказательства сводит на нет его красоту и оригинальность. Да и конечная цель теряется под сложностью дополнительных неочевидных утверждений и построений.

[@user-hg9ef9rj4e]

Видео топ, спасибо. Но лично мне не хватило рекламы.

[@trushinbv]

Рекламы чего? )

[@user-hg9ef9rj4e]

@@trushinbv Да это шутка. Просто показалось, что было слишком много рекламных роликов в течение видео. Около 8. Но это мелочи)

[@trushinbv]

@@user-hg9ef9rj4e хм, это странно ютуб перестарался )

[@VNPetroFF]

Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля. Поэтому одновременно доказали и теорему Паскаля. И наоборот, зная доказательство теоремы Паскаля через двойственность как следствие получается доказательство теоремы Брианшона. Определение поляры точки относительно окружности. Рассмотрим окружность k(O, r), с центром в точке O и радиусом r. Пусть A* образ точки A после инверсии относительно k. Прямая a проходящая через точку A* и перпендикулярная к OA называется полярой A относительно k. Наоборот A называется полюсом прямой a относительно k. en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pole_and_polar&oldid=885541931 Утверждение 1. Пусть a и b поляры точек A и B относительно k. A∈b тогда и только тогда, когда B∈a Доказательство. По свойству инверсии, она сохраняет углы ∠OB*A=∠OA*B. A∈b тогда и только тогда, когда ∠OB*A прямой угол. Аналогично для B∈a. Доказательство двойственности. Будем точки обозначать заглавными буквами латинского алфавита, а их соответствующие поляры такими же маленькими буквами. Обозначим Mi, i=1,2,...,6 точки касания Ai_Ai+1 c k. Так как mi=Ai_Ai+1 мы имеем Mi∈ai, Mi∈ai+1, поэтому ai=Mi−1_Mi. Пусть bj=Aj_Aj+3, j=1,2,3. Тогда Bj=aj ⋂ aj+3=Mj-1_Mj ⋂ Mj+2_Mj+3. Мы должны доказать, что существует точка P, такая что P ∈ b1, b2, b3 или по двойственности, что есть такая прямая p, что B1, B2, B3 ∈ p. Другими словами мы должны доказать, что точки B1, B2, B3 лежат на одной прямой. Однако это сразу следует из теоремы Паскаля применённой к вписанному шестиугольнику M1M2M3M4M5M6. Доказательство теоремы Паскаля: www.geometry.ru/persons/blinkov/11/Paskal.pdf Обобщение теоремы такое, что если все точки попарных пересечений, кроме быть может одной, в 4n+2 угольнике лежат на одной прямой, то тогда вообще все точки пересечений лежат на одной прямой. Применительно к теореме Брианшона, если в 4n+2 угольнике почти все диагонали, кроме быть может одной, пересекаются в одной точке, тогда все диагонали пересекаются в одной точке.

[@alexiskra1180]

Борис Викторович, помогите разобраться с арифметическими и алгебраическими корнями, не могу понять когда какой корень надо использовать, а тот факт, что за 11 лет учёбы я ни разу не слышал об разделении корня на два разных, сносит мне крышу

[@WingedDusk]

Здравствуйте, Борис! Недавно наткнулся на видео kzbin.info/www/bejne/mKO4ZqyCop53kK8 Не беря физическую суть того вопроса, там имеется очень красивая геометрическая интерпритация. Напрашивается задачка по геометрии на построение вида: "Дан острый угол, в него влетает луч света, отражающийся от стенок угла так, что угол падения равен углу отражения. Сколько раз луч отразится от стенок, прежде чем вылетит из угла?" Решение в своей основе элементарное. Всё что нужно знать, это то, что вертикальные углы равны. Остальные углы равны по условию или в силу построения. Но понять, что именно нужно сделать, чтобы не пытаться строить сам ход луча, где погрешность на построении сделает невозможным получение правильного ответа... Хотя, может это и "баян", но я не помню, чтобы в школе подобное было. Что Вы об этом думаете?

[@animaaad]

Круто! Но как вообще додуматся до этого доказательства? Кошмар какой-то.

[@trushinbv]

Я думаю, что его придумали более чем через 100 лет после того, как Брианшон установил этот факт. Красивые доказательства не так легко придумать )

[@fhffhff]

х³+3ху+у³-1|х+у Х³+х²у Х²-ху+у(3-у) -х²у+3ху -х²у-ху² Ху(3-у)+у³-1 Ху(3-у)+у²(3-у) у³-1+у³-3у=(у+1)(2у²-2у-1), у=1, у=(2±√(4-4*2(-1)))/4=0,5±√3/2 х=-1, х=-0,5-+0,5√3, х=(у±√(у²-4у(3-у)))/2=у/2±0,5√(5у²-12у),ує(-∞;0],[2,4;+∞) х=0/,х=0,5(0,5-0,5√3)±0,5√(5(0,25-0,5√3+0,25*3)-12(0,5-0,5√3))=0,25-0,25√3±0,5√(-1+3,5√3) 12,25*3-1=35,75

[@altfq5237]

Будет стрим на 60 тысяч подписчиков?

[@trushinbv]

Будет ) можете нагонять друзей

[@altfq5237]

@@trushinbv Хахахах)

[@magam9819]

Ждем продолжение матана

[@user-yo9wz4mc1b]

А этот факт верен только для шестиугольника? Или для любого четного многоугольника, в который можно вписать окружность?

[@trushinbv]

Только для шестиугольника. Это легко понять. Возьмите и "отрежьте" две противоположные вершины. Это убьет одну диагональ, и породит новые две. Так как это можно сделать как угодно, то почти очевидно, что эти новые диагонали не обязаны проходить через старую точку пересечения.

[@user-yo9wz4mc1b]

@@trushinbv ,Спасибо

[@elka_melka]

Здравствуйте, Борис Викторович. Я не могу решить одну задачу. Смогла только разложить cos^2(α) по формуле и всё. Можете направить на дальнейшее решение этой задачи: доказать, что cos^2(α)+cos^2(β)+cos^2(γ)+2cos(α)cos(β)cos(γ)=1

[@VNPetroFF]

Очень простое "доказательство", пусть α=β=γ=0, тогда 1+1+1+2=5≠1

[@panPetr0ff]

Это углы в треугольнике α+β+γ=180

[@user-vw2bi3tt7e]

Борис Викторович, как с вами связаться? Я второй счастливчик)

[@trushinbv]

Оставьте свою электронную почту или ссылку на профиль в любой соцсети. Или можно прямо здесь указать: - ближайшее к вам отделение boxberry: boxberry.ru/find_an_office/ - полное ФИО, как в паспорте

[@user-ch7ts5sq1j]

Гомотетия будет?

[@trushinbv]

Будет

[@y2j202020]

а гомотопия?

[@user-eu9ml8hc8k]

Задача: обнаружить сумму первых ста натуральных значений x, при каждом из которых x² + 1 есть число простое.

[@sanek711]

Последовательность будет начинаться 1, 2, 4, 6, 10... Задача больше для программистов, особого интереса она не представляет.

[@ableenk]

Там же вроде не только окружность, а любое сечение конуса

[@trushinbv]

Да-да. Это простое следствие доказанного факта, если понимать, что такое проективные преобразования

[@user-kt8mg3kd3h]

Если классное видео про плоскости и Панчина

[@user-kt8mg3kd3h]

оно родненькое

[@andrewsaraev3552]

А там разве не 3 пары параллельных прямых? Как мы их связали между собой? Почему они все друг другу параллельны?

[@alexiskra1180]

Этот факт можно на ЕГЭ использовать?

[@trushinbv]

Нет, но в ЕГЭ он вам точно не понадобится )

[@xanaxsandwich5441]

Отправил вам заявку ВКонтакте, Борис Викторович. vk.com/zhenya1729

[@Shabalin2002]

побольше "матана". Не очень люблю геометрию. Но всё равно спасибо за Ваш трудъ

[@mrrzhaka3857]

Там могут быть и самопересекающиеся шестиугольники, а их шестиогульник пересечения - описанным. Отсюда и случай параллельности всех трёх диагоналей

[@user-gf4ux1pm5n]

.

[@user-os1zk5qc3c]

Можно этот факт использовать без доказательства?

[@trushinbv]

Где? )