Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной

#БотайСоМной #050
Принцип Кавальери. Как найти объем:
- параллелепипеда, призмы, цилиндра;
- тетраэдра, пирамиды, конуса;
- шара.
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/ege11b
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fizteh11
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/library/courses?re...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@notorious9568]

30 минут - доказательство того, что объясняют без доказательства в школе несколько месяцев. Аплодисменты стоя, Борис

[@user-qj4wz9td7l]

@Oleg Neschadimov, через интеграл с погрешностями?) Мне казалось, что интеграл в точности выводит площадь той или иной фигуры. Если бесконечно тонкие прямоугольники просуммировать, то выйдет фигура, площадь которой стремится к искомой фигуре, подвергшейся разбиению на эти бесконечно малые прямоугольники по толщине. Погрешность будет, если говорить, что именно сумма этих маленьких прямоугольников равна площади нашей фигуры, а не стремится к ней. Мы понимаем, что если мы возьмём предел этого бесконечного суммирования, то он будет равен площади нашей фигуры при бесконечно большом разбиении. А найти предел того, куда стремится сама площадь бесконечно тонкого разбиения есть В ТОЧНОСТИ площадь нашей фигуры. Насколько я слышал, то строго это доказывается в ВУЗе, там ещё доказывается, что разбиение и суммирование не только стремится к площади нашей фигуры, но и её предел равен интегралу) Да и назвать БЕЗ ОСНОВАНИЙ (подчёркиваю) непонимающим человека, который преподавал в ФТ, занимался наукой, было бы странным. Вам разве не показалось, что он хотел, что бы мы просто прочувствовали то, откуда это берётся? Разве вывод через интеграл даст такое чувственное понимание и ощущение этих вещей?

[@stepan-klyukin]

в школе между темами заставляют решать задачи

[@Vjvivkv]

Вообще-то не 30,а 29.50. Мы на канале математики или где, ёптваю?

[@anarchaqueerswillsavetheworld]

@@Vjvivkv ну, не 29,50, тебе нужно ещё секунды перевести в минуты, будет 29,8(3) минут, если я правильно посчитала, конечно, время бесячее

[@coscosru]

10 лет преподаю математику, но настолько красивое и наглядное объяснение меня просто сразило. Спасибо!

[@servenserov]

Спустя год прослушал снова, как хороший художественный фильм пересмотрел! Жаль второй лайк 👍 не поставить.

[@sassas5121]

Настолько просто и красиво, что можно включать в школьный курс. Великолепно объяснено. С Уважением!

[@kazekekassenov6840]

так оно и есть школьной программе :/

[@memhispeedrun7368]

@@kazekekassenov6840 Где оно в школьной программе? Мне никто ни разу это не доказывал (я в 11 классе)

[@user-li4fe1wf1i]

Блин, смотрел про шар и аж как прозрел! Про 1/3 я знал, а вот загадочные 4/3 всегда интересовали. Огромнейшая благодарность за объяснение! Теперь буду знать и смогу ребёнку объяснить, когда ему понадобится! А лучше покажу видео!

[@gitely4613]

Это были единственные полезные 30 минут за сегодня, спасибо!

[@user-ec8gk2ws8q]

как же я люблю, когда вы говорите "красиво, да?"🙂

[@ibrahimpasha3035]

Когда за 15 минут (v 2х) видео узнал больше, чем за всю третью четверть на геометрии. Так интересно подать материал, вы просто нечто! Спасибо вам!

[@atfasa1004]

Аве Куристина, куда поступать будешь?

[@ibrahimpasha3035]

@@atfasa1004, на физтех пмф, скорее всего

[@atfasa1004]

@@ibrahimpasha3035 ух, красавчик, удачи🌚🍀

[@qwerty3973]

Куда поступил?

[@ibrahimpasha3035]

qwerty, на физтех (ФУПМ).

[@nickyurov6558]

выведение объема шара - красота

[@the_naikam]

Как обычно и бывает: "ребята, запомните этот коэффициент и не вникайте откуда он взялся, вам это не нужно". Я иду в 11 класс в сентябре и кажется так и будет. Соглашусь, что класс у меня "глупенький" и они это точно не поймут, но мне это могут объяснить, поскольку знают, что я люблю сложности и люблю копаться в чём-то сложном для других для того, чтобы лучше понимать как устроен этот мир) Это действительно полезно знать - это развивает мышление, логику, понимание. Спасибо, Борис!

[@user-kw5fx9ix9x]

Многии коэфиценты в физике и химии появились потому что...потому что так померяли!! То же число пи померяли

[@fail_0112]

@@user-kw5fx9ix9x это шутка?)

[@user-kw5fx9ix9x]

@@fail_0112 нет. Число пи =3.14.... бо таково соотношение, почему оно такое? Потому что так природой создано. И многие величины в физике/химии/математики именно померяли, почему они равны именно этим цифрам мы НЕ знаем и никогда не узнаем точно.... Это от природы так

[@fail_0112]

@@user-kw5fx9ix9x Но его ведь математически вычислили, а не померяли) можно вычислить с любой точностью взяв вписанный и описанные многоугольники) хоть до миллионов знаков после запятой!

[@iam9601]

Здравствуйте, Борис! Это единственное краткое и интересное видео на ютубе, где так красиво выводятся эти формулы. Было бы невероятно здорово, если бы такое вышло и про площади. Заранее спасибо!

[@user-go2ls8zo4u]

Прекрасный ролик, я когда-то доказывал то же самое, но с помощью интегралов. А способ с конусом и полусферой оказался очень красив.

[@Shilka23-4]

здраствуйте, можете ли посоветовать видео по доказательству чернз интегралл?

[@ivansmarzhevskiy4752]

Блеск! Как Борис объясняет, это сказка! Я сам препод, понимаю как это сложно - объяснять просто, слушаю и наслаждаюсь! Супер!!!!! Спасибо! И дочке школьнице теперь есть что показать!

[@YaVajax]

Оооооообалдеть!!!!!!! Суууупееер!!!!!!!!!!!!!!!

[@NikolajMihajlenko]

Интеграл даёт результат, а Трушин - понимание человеческое! Спасибо! Thank you!

[@user-ki4se8lt4h]

Боряяя!!! Ты один из тех немногих самых лучших!!!!!!

[@user-py1gv3kd5l]

Просто волшебство какое то, а так даже и не скажешь что они равны, ай да принцип Ковальери, круто!!!

[@streetworkout3690]

Мне больше всего понравился выведение объема шара. Очень интересная зависимость!!!!

[@nickyurov6558]

Три года прошло с момента, как я в первый раз посмотрел этот ролик. Кстати, а про площади, вроде, так и не появился ролик.

[@vedmafia]

Всё это знал, но забыл. Спасибо за видео! Вспомнил и теперь не забуду!

[@user-nu2zt1ut6x]

господи, спасибо большое за этот ролик, у меня в тестовой части постоянно 8 задание хромала, теперь разобрался, благодаря этому видео...Благодарю!!

[@tastypie2276]

Спасибо!!!Круто...просто КРУТО!!!!!!!

[@skvDave1]

29 минут удовольствия) спасибо большое!

[@begula_chan]

Офигеть, это гениально! Спасибо!

[@user-ec8gk2ws8q]

Вы первый, с кем стало интересно учить математику. Спасибо вам большое, Борис

[@andreyshudrik1140]

Огромное спасибо!

[@romb2011]

Красота!)

[@user-ro8gr1yv9k]

Хорошо, что Трушин существует. Несколько дней понятное семикласснику объяснение искал.

[@ivmusic7714]

Борис, и ролик великолепный получился, и вы великолепны, как обычно ! ‼️

[@Homayoun197250]

Спасибо большое за ваши отличные видео из Германии.

[@user-fw9wy9ii1g]

Восхитительно!!!

[@user-iv5bh9mh2m]

Спасибо за видео. Очень помогло)))

[@shameless2150]

Крутое объяснение, спасибо большое!

[@user-wz7uo6cc2k]

Очень круто! Спасибо

[@user-nl7bh7gf4x]

Спасииибо!

[@user-rl3jh5us2j]

Благодарю Вас

[@lirxgod]

Это гениально!!!

[@awthgq729]

очень полезное видео! сразу стало все на свои места😉

[@daniilyanenko5946]

Trushin the best!)

[@mirmirov9527]

Это гениально

[@user-kp5og5so7f]

Ты лучший... Готовлюсь к цт в свои 36, и поражаюсь, почему в школе мне так не объясняли...

[@user-db3gs1sc2v]

Замечательное видео, жду разбор площадей! Спасибо Вам!

[@elenaklimenko3320]

Дождались, Артур? Я что- то не нашла разбора площадей. Кто знает, по площадям поверхностей тоже видео есть? И про поверхность шара?

[@user-gd7tz9js8g]

Супер)!

[@user-du9xs4tb1w]

Спасибо большое

[@user-td5bu2nr5y]

Вау, спасибо)

[@witaliyspirid6929]

Круто!!!

[@quantum1065]

Борис, вы не могли бы, пожалуйста, записать про вычисление неопределённых интегралов будь-то способы взятия и тп. Уж очень интересно было бы послушать об этом от вас, спасибо.

[@NovAl83]

Огонь.!

[@user-mu7gg4bp3b]

Отличный учитель

[@wasys1309]

Красиво

[@user-qj5ld3vy7j]

Вывод объема шара невероятно красивый!

[@user-yr1gy5to7o]

Спасибо вам за прекрасный ролик Борис. Вы элементарно объяснили тему.

[@math_777]

Ждем видео, где будет разобраны площади поверхностей!

[@rammbrbad3283]

Давай вывод теоремы ПИКА

[@user-wn5tv2sp1t]

Ты про формулу Пика?

[@dashkindashkin]

И безо всякого там интегрирования. Изящно

[@AS_tutor]

С шаром просто прекрасно, аплодирую стоя!

[@ibraimzaripov]

Лучший

[@smarthedgehog3185]

Спасибо за красивое объяснение. А как насчёт объёма произвольной фигуры вращения :)

[@Kaktus_77]

Мне 33. За плечами два высших - магистратура экономическая и высшее техническое в области систем управления. Никогда не задумывался про доказательство "железных" формул, но оооочень понравилось видео про тонкости))))) Мне нужен был такой учитель по математике в школе!!!!! Молодец!

[@Black-hl3xr]

Я очень жду видео про поверхности! Когда в школе это объясняли пробовала сама это вывести, но немного не получилось

[@dlemish]

🔥

[@craftsmanPE]

Спасибо за видео Борис Викторович, как всегда на высоте. Очень хотелось, чтоб вы рассказали про первообразную и интегралы, просто лично я не очень понимаю почему, площадь под графиком |v(t)| в координатах (v;t), за опр. промежуток времени, будет равна путю тела за этот промежуток времени. так-же я не очень понимаю почему среднее арифметическое всех значений функции f(x), на определенном промежутке, в координатах (f(x),x), будет равна площади под графиком на этом участке, деленная на его длину.

[@trushinbv]

У меня есть заготовки на видео про интеграл. На какие-то из этих вопросов оно ответит.

[@BackStab1988]

Жесть, круто с шаром

[@user-bh3bh1jh5y]

Борис Трушин расскажите пожалуйста про ряд Тейлора.

[@user-ys7se6ox4d]

Спасибо Борис. Помню летом задался вопросом, как вывести объемы элементарных фигур, не используя интегралы. Сам решал эти старые задачи и придумал похожие методы (не хотелось смотреть в учебник, чтобы самому найти ответ на этот вопрос). Школьникам это уж точно полезно.

[@user-iw7vy5io1j]

Когда Трушин сказал, про то, что объем имеет отношение к интегралу - мне стало очевидно :)

[@NikolayVityazev]

ага, красиво!

[@jerkoffer]

Анша Абдуль!

[@DmiFre]

Не знаю, откуда этот стишок взяла наша учительница математики, но я его помню уже очень много лет: «Объём же шара лаконичен, И, как ни странно, гармоничен. Звучит, как наш оркестр в клубе: Четыре третьих пи эр в кубе» Пользуйтесь, не благодарите :)

[@ikelarev]

очкруто, спасибо!

[@timofejmazniov8529]

Вот бы мне в школе кто-нибудь хоть на одну треть так объяснял.

[@zippka]

Объяснение объёма круга классное)

[@sergeymesky535]

класс

[@brewdc]

эх вот бы про площадь поверхности ролик

[@davidblbulyan3077]

26:02 У меня чуть-чуть другая мысль возникла, если рассматривать половинку шарика и "воронку", образованную если из цилиндра выскребсти конус. ТО эти два объёма равны. Т.е. площади в каждом сечении одинаковы.

[@user-pl5gy3se7i]

Образующая у конуса (прямая) и кривая шара малосопостовимы, не так ли?

[@cnfnbcn3227]

Хотелось бы услышать доказательство формулы площади круга.

[@aastapchik8991]

Определенный интеграл в помощь)

[@user-dh6ul4yv5x]

Считаем доказанным, что для любой окружности отношение ее длины к радиусу постоянно и равно 2π. Т.е. L=2πR. Разобьём круг на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник с длиной основания L и высотой R, который тоже разобьём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса r и длины l=2πr можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины l. Тогда, по принципу Кавальери, площади круга и треугольника равны. Площадь треугольника находится как произведение длины его основания на половину высоты: S=LR/2=2πR×R/2=πR²

[@k0tyak1t15]

Ее можно вывести на коленке за 5 минут

[@user-uh3xy4in1c]

Все отмечают красивую логику в выводе формулы обьема шара но по моему переход от обьема призмы к обьему конуса не менее хорош.

[@user-bp3wb5js9z]

с 18:00 просто слушал голос, ничего не понятно но очень интересно

[@MsAlexandr76]

Нахождение объёма шара - ГЕНИАЛЬНО!!!!!

[@leonidsamoylov2485]

ну да. а площать поверхности шара отсюда очень просто получается. это даже в учебнике Киселёва есть! спасибо. Я именно в учебнике Киселёва принцип Кавальери нашёл, он для объема шара приведён в этом учебнике в приложении.

[@user-yh4tl9sf7o]

Борис Викторович,когда Вы каждый раз говорили "клякса" я орал на всю квартиру.

[@gLg359]

Какую задачу решал Кавальери придя к такому выводу (принципу)? И какая точная формулировка самого принципа?

[@miaymiay03]

Ооо, Спасибо Больше за такой разбор !!! Теперь я понимаю формулы, а не тупо заучиваю их !!

[@servenserov]

Есть юбилейный 1000-й лайк! Наивно думал, что без интегрирования эти формулы не вывести.

[@ilyaprolomov2166]

Хотелось бы увидеть ролик по формуле Пика. Просто, вы какая я понял, что не совсем честно ей пользоваться и мы её не понимаем. Даёшь дискретную геометрию!

[@user-lf5bi1fe2o]

не понял на моменте 17:59 . как у одной и той же пирамиды может быть 2 основания?

[@user-ix7de6wh3m]

Добрый день! Как вычислить объем сложной фигуры (например орган человека), если известны площади параллельных сечений и высота фигуры. Применима ли формула: средняя арифметическая площадь сечения умноженная на высоту

[@dinnerbone6706]

В теории можно засунуть орган в сосуд с водой и отмерить на сколько поднялся уровень воды (h), и зa формулой (h × пи r²) узнать объем)

[@user-sj3hb6mb2j]

интеграл же

[@user-tl6do9of6x]

Здравствуйте, вы очень хорошо обьясняете, не могли бы вы сделать пожалуйста видео о 11 заданиях (ЕГЭ Мат. Профиль 2019), вообще не понимаю как что куда)))

[@bormansin]

подождите, а как же нерешенная задача о квадратуре круга? 8:52

[@dangerenok]

Наконец узнал как доказываются формулы объемов.. Не было этого в нашей программе. Спасибо! Все-таки считаю что современная программа обучения более сложна.

[@trushinbv]

В современной программе вообще ничего не доказывают (

[@vkarpinsky]

Интересно, что объём и площадь поверхности шара связаны через производную: (4/3 * πr³)' = 4πr² А также площадь круга и длина окружности: (π r²)' = 2πr Можно это прокомментировать? Справедливо ли это и для других фигур?

[@user-ox9yb1qr6l]

Вот это здОрово!!!!! А ведь верно! Что- то в этом есть!!!! Но что???... Мироздание не зря это сделало, Математика- ( в лице _Vladimir Karpi)-это подметила. Объяснить КАК???!!! Без "ТРУШИНЫХ"-не обойтись... Ждём обоснований-обьяснений. Хотя интуитивно всё правильно. Ускорение- скорость- путь. Обьём- площадь- длина... ...Где Вы- НЬЮТОНЫ-ЛЕЙБНИЦЫ 21 века?!

[@F_A_F123]

Если подумать, то понятно почему. Изменение объёма шара при каком-то маленьком изменении радиуса - это объём "сферы" с толстыми стенками, и он (примерно) равен площади поверхности настоящей сферы, умноженной на толщину "сферы", т.е. на изменение радиуса. Производная объёма шара относительно радиуса - это предел отношения изменения объёма к толщине, т.е. это и есть площадь поверхности. ΔV = S * ΔR + o(ΔR), => S = (ΔV - o(ΔR))/ΔR = = dV/dR . Аналогично с кругом: ΔS = C * ΔR + o(ΔR) C = (ΔS - o(ΔR))/ΔR = dS/dR. И понятно, что аналогично можно сделать и для других фигур: изменение объёма куба при маленьком изменении длины ребра - это объём "полого куба с толстыми стенками" (или как это называется). Объём этого "полого куба" - это площадь поверхности нормального куба на толщину этого "полого куба". Понятно, что толщина этого полого куба - половина изменения длины стороны. Вот и получаем: ΔV = S * (Δa/2)+ o(Δa/2) S = (ΔV - o(Δa/2))/(Δa/2) = = dV/d(a/2), т.е. производная объёма относительно половины длины ребра. И это так и есть: a³ = (2 * a/2)³ = 2³ * (a/2)³ = 8 (a/2)³ Обозначим x = a/2: (8 x³)' = 8 * 3x² = 24 x² = 24 * (2x/2)² = 24/2² * (2x)² = 6 * (2x)² = 6a² - всё верно. Аналогично с квадратом.

[@user-ei6kk6sl1g]

не уж то новая веб камера?? Картинка четче стала

[@mp443]

Как найти объем Ленина? Нужно ширину Ленина умножить на длину Ленина и умножить на высоту Ленина!

[@user-yv3iw4hp8y]

Да уж, все оказывается, совсем не сложно

[@user-yv3iw4hp8y]

Спасибо вам, Борис Викторович

[@user-bb8qv9yt3k]

Это конечно не совсем стереометрия Но на егэ, во второй части, возможно вообще рассуждение? Т.е., если я вижу неравенство, где числители одинаковые(например они содержат корень, одз которого я знаю), а знаменатели разные, и при этом нужно, чтобы одно было больше другого Могу ли я написать, «так как равны числители, то чем меньше знаменатель, тем больше сама дробь», сразу отбросить решение числителя? Потому что в «Ткачук» не возбраняет такие способы, если я правильно понял

[@trushinbv]

Если известно, что числители и знаменатели положительны, то конечно можно. Это же простой факт из 6 класса. Почему это может "возбраняться"?

[@amznn6852]

Вау

[@alexiskra1180]

Вы что то сделали? Просто уже несколько роликов кажется что качество картинки улучшилось 👍

[@user-gg1sg1uf4b]

26:40 😮

[@catalinalove5458]

Почти закончила 9 класс, учусь в Фоксфорде, думаю, что буду заниматься в курсах с Вами, когда будут 10-11 классы! Спасибо за такое объяснение, недавно как раз изучали объёмы!

[@trushinbv]

В 9 классе уже объемы? Здорово )

[@catalinalove5458]

@@trushinbv да, уже. И достаточно много задач решили с ними, заодно некоторые и с ЕГЭ с ними.

[@talashka88]

kruto!