Teorema di De L'Hopital: esempi e dimostrazione

Teorema di De L'Hopital: esempi e dimostrazione.
Enunciato del teorema di De L'Hopital nel caso di forme indeterminate del tipo 0/0, con dimostrazione, possibili generalizzazioni e osservazioni. Spiegazione di come applicare il teorema nel calcolo dei limiti, facendo attenzione alla verifica delle ipotesi del teorema.
#FrancescoBigolin #analisimatematica #delhopital
00:56 enunciato
02:23 dimostrazione
05:40 osservazioni e generalizzazioni
08:43 esempi ed esercizi
14:58 generalizzazione al caso di limiti verso infinito
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• Funzioni derivabili
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/ @francescobigolin
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[@armando5542]

Molto utile prima di un'orale di analisi 1, grazie mille.

[@FrancescoBigolin]

Grazie

[@massimomorgani152]

Molto bravo!!!

[@FrancescoBigolin]

Grazie!

[@ChristianCitarella]

Salve professore, davvero un ottimo video, molto chiaro e completo. Sono uno studente universitario e mi sto preparando per Analisi 1 e devo dire di aver seguito la dimostrazione anche in aula, senza averci capito molto, soprattutto a causa delle ipotesi, le quali risultavano essere diverse (quasi dei casi specifici) di quelle osservate nel video. Per esempio: - Si è considerate le funzioni f e g derivabili in tutto l’intorno di x0, senza escludere x0; - Si è considerato solo il caso il caso in cui i limiti di f e g per x->x0 sono uguali a 0 e non il caso in cui le funzioni stesse per x=x0 si annullano; - Si è posta la condizione di "derivate continue'' di f(x) e g(x) anche se non ne capisco a questo punto la necessarietà (d’altronde, pur essendo derivate non continue, mica cambierebbe qualcosa, la derivata continua non è importante solo nel caso in cui io debba calcolare una eventuale derivata seconda? O forse sbaglio...) - Si è posta la derivata della funzione g(x) diversa da 0 persino per x diverso da x0... Queste ipotesi poste in aula sono diverse da quelle del video? A me sembrano quasi sempre dei casi specifici, anche perché... e qui le domande che vorrei porle (relative al video): 1- Nella ipotesi 2, le funzioni f e g sono poste derivabili in (a,b) \ x0, ma si tratta di una condizione eventuale giusto? Nel senso, se per x0 la derivata dovesse esistere, mica sarebbe errore? (che poi è proprio una delle ipotesi poste in aula...) 2- Nella ipotesi 3, stesso discorso: la derivata g(x) è posta diversa da 0 per tutte le x diverse da x0 (il che significa che la derivata in questione può risultare uguale a 0 per x=x0 giusto?). Anche qui, se la derivata dovesse essere diversa da 0 anche per x=x0, sarebbe errore? (E anche questa è una delle ipotesi poste in aula...) 3- Infine, nel caso della generalizzazione, quando si va a escludere la continuità delle funzioni f e g in x0, ci riconduciamo al primo caso osservato risolvendo un punto di discontinuità eliminabile giusto? In quel caso poi, dopo aver costruito quelle funzioni, si afferma che il teorema è valido anche per il secondo caso perché è incluso nel primo caso? Scusi per il numero elevato di domande e la complessità del commento, mi rendo conto di quanto sia impegnativo.... Grazie mille in anticipo, buona giornata. P.S: video veramente di fondamentale importanza per me. Grazie mille.

[@FrancescoBigolin]

Ciao, spesso i teoremi vengono migliorati riducendo il più possibile le ipotesi. L'enunciato di cui mi parli mi sembra segua questa idea: le ipotesi sono state ridotte il più possibile. Ad esempio spesso si possono considerare continuità e derivabilità su intervalli bucati (come dicevi nelle domande) piuttosto che su tutto l'intervallo. Nel preparare i video cerco solitamente di dare una esposizione completa e corretta, ma non troppo complicata in modo che risulti abbastanza comprensibile, visto lo scopo didattico del canale.

[@GianCarloAsara]

Lei dice che le funzioni f e g devono essere continue e derivabili in (a,b); ma non basterebbe dire che esse sono derivabili (essendoci un teorema che ci assicura che se una funzione è derivabile è anche continua)

[@davestapess]

in generale in questi teoremi la continuità riguarda un intervallo chiuso (estremi inclusi) mentre la derivabilità un intervallo aperto (estremi esclusi). forse è per questo ma non sono sicuro

[@FrancescoBigolin]

esatto

[@SqueezeWizard]

Buongiorno, intanto complimenti per la chiarezza e la completezza di tutti i video. Un dubbio, a 4:27 non si sta implicitamente assumendo che f' e g' siano continue per portare il limite "dentro l'argomento" ?

[@FrancescoBigolin]

Ciao, il passaggio è giustificato semplicemente dal fatto che x0

[@federicoprognoli2564]

Buonasera professore.Volevo chiederle un’informazione.Lei ha (come fa anche il mio libro) generalizzato questo teorema anche per le funzioni non continue in x zero.Ma ho un’obiezione: non crede sia illecito prolungare la funzione? Perché se lei prolunga la funzione la rende continua, quindi non ho capito perché è stata scelta la funzione prolungamento come esempio.Anche il mio libro fa così, ma se non capisco a questo punto comincio a pensare che il teorema di de l’hopital possa imbrogliare… grazie mille professore e mi scusi il disturbo

[@lorenzogabban5551]

estremamente chiaro, peccato che io debba studiarmelo inutilmente a memoria per un esame universitario, dove dopo 5 minuti dalla fine della prova lo avro' gia dimenticato

[@FrancescoBigolin]

Grazie. Facendo questi video spero che la matematica possa piacere un po’ di più