Теорема Наполеона

Центры трёх равносторонних треугольников, построенных извне на сторонах произвольного треугольника, сами образуют равносторонний треугольник.

[@МихаилБорисов-д6я]

Всегда прекрасные рубашки на видео . Спасибо, что радуете глаз

[@vladimirmanusevich4144]

Отлично. Большое спасибо. Качественный метод решения! Практически без вычислений. Спасибо автору этого решения!

[@anev_math]

Спасибо 🙏

[@drdynanite]

Понравилась идея с предоставлением возможности продолжить доказательство самому на разных этапах решения. У меня часто так бывает, что начинаю думать над решением задачи, но не возникает никаких идей, и я просто сдаюсь и смотрю предложенное решение. А с таким подходом возникает возможность хоть как-то "поучавствовать" в решении)

[@schetnikov]

Попробуем делать так и дальше.

[@ІванФедак-й9ъ]

А як Вам така ідея? Якщо всі кути трикутника BGF менші за 120 градусів, то шестикутник ABCGEF опуклий і в ньому сума кутів B, G, F дорівнює 360 градусів, бо кожен з трьох інших по 120, а всі 6 разом 720. Тому, якщо вершини цих кутів симетризувати відносно сторін АС, СЕ, АЕ відповідно, то отримаємо єдину точку (вмію довести!). Отже, кут САЕ дорівнює половині кута BAF і дорівнює 60 градусів. Аналогічно для кутів АСЕ та АЕС. А для трикутників з більшим тупим кутом, думаю, теж пройшла би подібна ідея у дещо зміненому вигляді.

[@aypepa]

Здорово! Единственно можно заметить, что |BD| = |DF|, а следовательно, оба отрезка равны BF/SQRT(3), т.к. уже показано, что длина |BD| равна этому корню (т.е. не нужно отдельно доказывать для BD).

[@ВасилийЗайцев-н9ю]

После выведения равенства треугольников пропущен шаг сопоставления, какие именно стороны равны Поворот на 60 - это было предположение

[@Aleks_Alekseev]

Хорошая задачка! Надо прицепом выявить зависимость между длинами исходного треугольника и получившегося равностороннего... Как будто периметры равны...

[@АлексейДудников-ш3у]

Савватан тоже доказывает эту задачу с помощью вращений, но по-другому. Он считает задачу Наполеона чуть ли не произведением искусства и самым красивым, что он видел в жизни.

[@АндерсБеринг]

Треугольники можно и внутри произвольного строить. Теорема работает.

[@user-pjz12349]

такая же правильная фигура получается и для любого прямоугольника. квадрат. аналогично для любого n угольника получится правильный n угольник, полученный из соединения точек пересечения биссектрис треугольников/диагоналей квадратов, построеннных на сторонах исходной фигуры. причем строить можно как квадраты, так и правильные треугольники на сторонах. проверила для любых треугольников и прямоугольников. ДОПОЛНЕНИЕ. АНАЛОГИЧНО НА СТОРОНАХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ МОЖНО ПРИРИСОВЫВАТЬ КВАДРАТЫ. В ИТОГЕ ТОЖЕ БУДЕТ РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

[@OlegVlCh]

Отлично!👍

[@ВладимирДмитриевский-з5ф]

Замечу, что теорема верна в двух случаях. Если все равносторонние треугольники растопырены из треугольника и если все равносторонние треугольники растопырены внутрь треугольника. И вот простое доказательство. Сторона треугольника Наполеона строится на отрезках a/sqrt(3) и b/sqrt(3). Каждый отрезок растопырен на 30 градусов относительно соответствующих сторон. Общий угол растопыривания 60 градусов. Квадрат стороны треугольника Наполеона по теореме косинусов: (a^2+b^2-2abcos(alp+60))/3. Раскрывая скобки в косинусе, используя теорему косинусов с^2=a^2+b^2-2abcos(alp) и формулу площади S=absin(alp)/2, получим выражение для квадрата стороны треугольника Наполеона. (a^2+b^2+c^2)/6+2S/sqrt(3), то есть выражение симметричное относительно перестановки a,b,c. Если же равносторонние треугольники растопырены во внутрь, опять симметричная формула (a^2+b^2+c^2)/6-2S/sqrt(3)

[@mike-stpr]

При стремлении любой стороны желтого треугольника к нулю, оставшиеся два синих треугольника образуют ромб с равносторонним треугольником внутри (в силу расположения точки пересечения медиан), а сл-но длина сторон желтого треугольника на этот факт не влияет. СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[@Simonas.G]

Это еще надо доказать, что не влияет. Это даже не треугольник, и следовательно не частный случай, когда одна сторона ровна 0. Но идея интересная 👍.

[@quadrugue]

Вот это мозги у вас!

[@sergeysedelnikov3015]

Раз Наполеон был в артиллерии, то он, очевидно, стрелял из пушки, чтобы доказать теорему.

[@alexanderchentsov8113]

Мне кажется, что если построить равносторонние треугольники не извне, а во внутрь, то и в этом случае центры этих треугольников будут являться вершинами вновь образованного равностороннего треугольника. Решать и доказывать не пытался, просто догадка.

[@ЕвгенийЕфимов-ы8т]

Есть ли связь между теоремой морли и теоремой наполена и как относятся равносторонние треугольники в них?

[@mrLumen2]

Мало того, что он равносторонний. Площади желтого и красно-стороннего треугольника - так же равны.

[@МихаилПартизанов]

Фух, получилось доказать. Геометрией, как автор любит, не получилось. Применил алгебру+тригонометрические тождества. Если кратко, заменил равносторонние треугольники, равнобедренными с вершиной 120° и три эти вершины являются вершинами искомого треугольника. Выразил длины ребер достроенных треугольников через радиус окружности, описанной около исходного треугольника и синусы противолежащих углов. Потом выразил квадрат каждой стороны искомого треугольника через те ребра и косинус угла между ними. Потом попарно вычел выражения для квадратов длин сторон друг из друга. После кучи преобразований, разницы посокращались до нуля. То есть стороны одинаковые. Ч.Т.Д. P.S. пробовал было считать соотношения, а не разницу квадратов сторон, и ушел в глубокие тригонометрические дебри. Чуть не сдался. Теперь смотрю авторское решение.

[@ЭммаТерехова-Солод]

С нашей стороны мы видим куб, каждая из сторон состоит из равных треугольников.

[@MsSportgirl7]

Мне бы женский журнал позапрошлого века для развлечений. Откуда взялся √3 в доказательстве подобия треугольников? 😥

[@paulsnow2809]

2sin60° = 2cos30° = √3...

[@MsSportgirl7]

@@paulsnow2809 спасибо!

[@MsSportgirl7]

@@carrot_ax 2sin30°=2*1/2 =1 2cos30° = 2*√3/2= √3

[@paulsnow2809]

Прошу прощения за опечатку. Исправил. Надеюсь, все поняли, в какую сторону копать.

[@MsSportgirl7]

@@paulsnow2809 да, конечно! Спасибо!

[@nikolaysharapov6298]

Теорема интересная.А чему равны стороны этого треугольника?

[@АндерсБеринг]

Равностороннего? От сторон исходного? Посчитай.

[@sergeybeauts7204]

всякое в жизни пригождалось... но Такие задачи выглядят как : не хрен делать, разомнёмся. может я и не прав. всех благ!

[@Aleks_Alekseev]

посмотрел еще раз, ох и муторное доказательство.

[@hmmm1482]

доказательство не очень и сложное: Для начала представим, что у нас равносторонний треугольник, тогда шестиугольник описанный будет идеальным, все углы по 120°. Соединяя углы получаем 2 равносторонних треугольника (получается флаг израиля). Оставляем нечетные углы по 120°, а остальные 3 меняем как хотим. В итоге первый треугольник всегда равносторонний, а второй зависит от чётных меняющихся углов

[@schetnikov]

непонятно, почему при этом сохранится связь из условия про то, что равносторонний треугольник соединяет центры равносторонних треугольников.

[@hmmm1482]

@@schetnikov меняя 3 угла такого треугольника можно получить любой треугольник, от очень острого до тупого. И треугольник Напалеона тоже в этом промежутке. Тут детально доказывать и не нужно, и так ясно, что такой треугольник существует.

[@МихаилПартизанов]

Мы не можем менять четные углы как хотим. Нужно менять так, чтобы еще и длины ребер при углах 120° были попарно одинаковые.

[@hmmm1482]

@@МихаилПартизанов да, я это понимаю. Дело в том, что меняя четные углы можно получить любой треугольник, а значит и наполеоновский

[@МихаилПартизанов]

@@hmmm1482 как только начнете перестраивать эту "звезду Давида", нарушится исходное условие: вершины нечетных углов перестанут быть центрами равносторонних треугольников. После получения "любого" треугольника, нужно будет показать, что это условие восстановилось (если оно восстановилось).

[@servenserov]

Тёмный лес! Не догоняю, совершенно. Слишком много линий.

[@servenserov]

Красиво, нет слов! Однако, вопрос не по теме: неужели лет этак через 200 мы будем вспоминать достижения Гитлера (например в строительстве дорог, в повышении благосостояния немецкого народа)? Ведь Наполеон тоже много бед принёс на нашу землю, да и сгоревшая Москва в конечном счёте на его совести.

[@ИмяФамилия-э4ф7в]

Одна претензия к Наполеону: не до конца спалил москву.

[@Simonas.G]

Теорема заворожила и не давала покоя 3 дня :) Решил подвигать одну вершину исходного треугольника и посмотреть, куда движутся 2 вершины равностороннего треугольника. Отправная точка - когда две вершины исходного треугольника совпадают, дальше - по горизонтали и вертикали. "Нашёлся" еще один интересный невидимый равносторонний треугольник KLF. См. рисунок. drive.google.com/file/d/12EkgPyYuaerWW0fegylcbD0wZYaG-5WU/view?usp=sharing