Теорема Пифагора

[@ШустТретьяк]

Спасибо. Вы проиллюстрировали этапы развития математики. От интуитивно понятно, до полного абстрагирования от предметов.

[@Aleks_Alekseev]

Шикарная книга! Да еще и с таким переводчиком!

[@schetnikov]

Книга правда очень любопытная. И я её переводил с большим удовольствием.

[@artemiakutin4907]

Очень вдохновляюще. Ваши видео - это теорема!

[@TopT_For_U]

Наконец-то норм видеоряд без заставки с бесящим музлом, которое я всегда мотал :) Объяснения мне лично тоже понравились, прям научпоп без дебрей, но всё систематезировано и улежено на свои полки, а кто хочет глубже - тот извольте лезть на полку и уже изучать непосредственно тему, на которую, кстати даны ссылки, и даже прямые, в виде конкретной книги.

[@artonext]

Очень хорошая подача материала и обяснение и примеры просто чёткие...вот по хорошему так и надо обяснять...Спасибо за доходчивый обзор!!

[@canniballissimo]

Огненный ведущий! С таких точек зрения я ещё не смотрел!

[@iliaelbert9127]

В детстве в журнале "Квант" в статье о теории размерностей запомнилось доказательство теоремы Пифагора, основанное на этой теории. Доказательство очень похоже на последнее, основанное на подобии треугольников и использовании площадей. Итак, замечаем, что прямоугольный треугольник определяется гипотенузой и одним из прилежащих к ней углов. Пусть он будет a . Но если это так, то и площадь треугольника можно каким то образом выразить через гипотенузу C и угол а. Т.к. площадь измеряется в квадратах длины, то формула должна быть гипотенуза в квадрате (чтобы получить размерность площади) умноженной на некую функцию от угла , т.е S=C^2× f(a). Выражаем площади маленьких треугольников соответствующим образом. Там гипотенузы - это катеты большого треугольника. Приравниваем площади, сокращаем функцию f(a) ( т. к. у всех треугольников угол одинаков ) - и получаем теорему Пифагора.

[@СергейКирсанов-р1э]

В советской школе доказательство теоремы Пифагора проводили именно на основе геометрического подобия. 👍👍 Но вырезания мне тоже очень понравились. 👍👍

[@ГалинаРоговская-д9д]

Только он забыл сказать, что параллелограмм по площади равен квадрату.

[@One-androgyne]

Спасибо большое! С большим удовольствием окунулся во времена Пифагора, Евклида, Сократа Платона и других не менее выдающихся мыслителей древности.

[@fillhenderson8351]

9:25 непонятно. Что это было? Мы доказали что паралелограм равен прямоугольнику, но автор видео утверждает что оно же равно квадрату вверху. Неочевидно.

[@ОльгаКонстантинова-ь3е]

Так в этом примере паралелограм же трансформируется в прямоугольник, по площади равный ему (паралелограму).

[@fillhenderson8351]

@@ОльгаКонстантинова-ь3е Без вас вижу. Если не поняли вопроса - не отвечайте.

[@АлександрЯруткин-о4ю]

Согласен, тоже не понял этого

[@izikigizik8981]

У него квадрат не квадратный. При проведении линии параллельно гипотенузе. Линия должна была соединить противоположные углы квадрата , разделив его на два равных треугольника. И получилася бы паралелограм разделенный стороной квадрата на два равных треугольника. Из чего следовало бы что квадрат и паралелограм равны по площади.

[@izikigizik8981]

Или треугольник не прямоугольный.

[@demicraft1933]

дякую за останнє доведення, дуже допоміг)

[@ataki2023]

5:00 Красиво !

[@МихаилДорожкин-в4ш]

Интересно и доходчиво

[@nikolozgunia3399]

Главный момент доказательства все-таки умолчали-равенство по площади квадрата и параллелограмма (до поворота)... Согласитесь, для ученика это не второстепенно.

[@mn4840]

супер! Спасибо!

[@Стас-ж4ж5х]

Со школы ещё помню оказывается 👍

[@valeritchkalov3547]

Вот я лично школьное док-во совсем немпомню, оно какое-то бестолковое, не запоминающееся было.

[@fahimcihansin2250]

Помню, как 61 год назад, на выпускных экзаменах за 8-й класс, билет с вопросом по теореме Пифагора считался самым сложным. Многие боялись нарваться на него. Но наш учитель Завдят-абый показал нам около 20 доказательств (в том числе и алгебраических, и тригонометрических), и для тех, кто их освоил, "девятый билет" стал самым лёгким.

[@getaclassmath]

хороший у вас был учитель.

[@valeritchkalov3547]

Если уже мы переходим в доказательствах к алгебре, то есть и более простое. Возьмём наш "произвольный" 3-угольник и достроим конгруэнтным, так, чтобы катет, скажем, а являлся продолжением исходного в (т.е надо его развернуть на 90°), и повторим это построение еще 2 раза. Получится картинка из 2 квадратов, меньший "косо" вписан в больший. Эта картинка как раз и есть на заставке ролика. Получается, что площадь большого □ состоит из суммы малого □ и 4 "исходных"3-угольников (площадью 1/2а*в). Или S=Sм+4*(1/2а*в)=с^2+2а*в. Но эту же площадь можно получить как (а+в)^2, или а^2+2ав+в^2. Приравняв оба выражения и сократив 2ав, получим искомое равенство.

[@vladloiq]

надо бы добавить пояснение когда добавляете и отрезаете - что по это перекладывание верхней части квардрата. А то из объяснения не очевидно сначла что делает добавление и потом отрезание - что добавили площадь и параллельной прямой отрезали аналогичную площадь

[@zlatabunjevac4094]

Spasibo

[@Vulu410]

Всегда любил всё, что связано с числами, то что можно измерить, или вычислить по косвенным измерениям(Точные науки)!

[@ЮлианаАлександровна-з1э]

спасибо

[@Жэк]

Как прлучается коэффмциент k в видео с 16:00? Точнее, так-то понятно, что он должен там быть, но вот из "первых принципов", то есть если детально рассматривать, то у меня это соотношение не получается. Получается немного другое, из которого тоже выходит теорема. И вообще что означает этот коэффициент k, его суть? Он не равен отношению площадей треунольников, он получается из других соображений.

[@schetnikov]

Коэффициент есть отношение площади треугольника к площади квадрата. Раз треугольники подобны (и квадраты подобны тоже), значит этот коэффициент один и тот же во всех трёх треугольниках. И знать, чему он равен, нам совсем не нужно, он потом всё равно сокращается.

[@Жэк]

@@schetnikov о каком квадрате идёт речь?

[@Darkspear1]

@@Жэк я тоже сначала не понял этот момент. Речь идет о квадратах на гипотенузах. Sa/a^2=k; Sb/b^2=k - мы поделили площади подобных треугольников на площади подобных квадратов и получили один и тот же коэффициент подобия отношения площадей.

[@Жэк]

@@Darkspear1 так получше, спасибо.

[@antonradkov]

Здравствуйте. На 9:28 непонятно, почему площадь получившегося параллелограмма равна квадрату на катете.

[@consequencesofactionscoa615]

Вырезанный треугольник в точности совпадает с треугольником в центре.

[@antonradkov]

@@consequencesofactionscoa615 Точно, благодарю!

[@АлексейСаламатов-ч9з]

​@@consequencesofactionscoa615 Это объяснение осталось за кадром или под ковром. А оно совершенно не очевидно.

[@consequencesofactionscoa615]

​@@АлексейСаламатов-ч9зравенство треугольников доказывается через подобие, а подобие доказывается через равенство их сторон и углов между ними. Две стороны (катета) равны т.к. являются сторонами квадрата. Основания (гипотенузы) равны т.к. они являются сторонами паралелограма. Уголы между равными сторонами (катетами и гипотенузами) равны. Следовательно, треугольники подобны. Следовательно, оставшиеся углы равны и оставшиеся стороны (катеты) равны. Следовательно, треульники равны.

[@AlexDirnitz]

А правда-ли, что теорема Пифагора неверна, для очень больших прямоугольных треугольников. Так-как там имеет место быть искривление пространства?

[@GramFun-y7g]

А как мы знаем, что паралелограм равен квадрату, после отрезания треугольника?

[@AlexandrBalak]

Мне удавалось вывести доказательство через тригонометрические тождества: в декартовой системе координат строится окружность с радиусом 1. Для любой точки на окружности будет справедлива запись ее координат вида (0х; 0у), а треугольник с вершинами 0х0у0 будет прямоугольным. Из тождества sin^2(a)+cos^2(a)=1 можно доказать следующее: синус угла, лежащего на оси х, равен отношению катета, лежащего на оси х, к гипотенузе, а косинус этого же угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; поскольку гипотенуза у нас равна 1 по построению, то синус и косинус угла, лежащего на оси х, равны длинам катета, лежащего на оси х, и противолежащего катета соответственно; из вышеуказанного тригонометрического тождества следует, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна 1, то есть равняется квадрату гипотенузы.

[@ЮвелирнаямастерскаяАлександр]

Вот это ты приколист. Но тригонометрическое тождество это и есть теорема Пифагора, просто гипотенуза всегда равна единице, чтоб задать определённые значения тригонометрических функций.

[@АлександрТор-и2ф]

@@ЮвелирнаямастерскаяАлександр Основное тригонометрическон тождество можно доказать через разложение синусов и косинусов в ряд, обходя теорему Пифагора.

[@mrgoodpeople]

Самое элегантное решение такое: площадь треугольника пропорциональна квадрату его линейных размеров. разделим треугольник на два высотой. получим два малых треугольника. площадь большого равна сумме двух малых. площади пропорциональны квадрату линейных размеров, например гипотенуз. гипотенузы малых треугольников - это катеты большого треугольника. следовательно квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

[@ЮвелирнаямастерскаяАлександр]

Тут в последнем это и есть

[@ДмитрийИкс-м1ю]

понятно - не то слово!

[@karelalex]

Ещё есть страшное доказательство, где рисуются тоде пифагрровы штаны, затем внутри хитрые треугольники, потом последовательно доказывается что некоторые треугольники равны, а из их равенства следует уже равенство площадей прямоугольника и квадрата. Правда, я постоянно забываю, как там правильно треугольники начальные нарисовать. 😀

[@schetnikov]

Таких доказательств очень много. Но по своей сути все они одинаковы.

[@kostya1306]

Я не очень понял последнее доказательство. А то, что площадь треугольников пропорциональна квадрату их гипотенуз - это не требует отдельного доказательства?

[@fillhenderson8351]

Требует,но там элементарно доказывается и подразумевается что вы это уже знаете.

[@mrgoodpeople]

В евклидовой геометрии метрика (длина) вводится как r^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2. Потому что именно такая величина сохраняет своё значение при переносах и поворотах, а также обладает рядом других удобных свойств. Получается, что Теорема Пифагора это просто следствие того, как вводится метрика в евклидовой геометрии? Отдельный вопрос конечно в том, а почему так получилось, что именно такая форма выполняется в этом случае. И ещё один вопрос, скорее физический. Известно, что во многих формулах величины падают обратно квадрату расстояния. Например силы гравитации и электрические силы. Вопрос. Это связано с размерностью пространства (с тем что оно трёхмерное), а поэтому площадь сферы пропорциональна квадрату её радиуса? Либо это как раз связано с самим свойством метрики в евклидовом пространстве (те самые квадраты в формуле), а значит это выполнялось бы при любой размерности пространства (например в "плоском мире" или четырёхмерном). Жаль проверить нельзя. Эх, что-то я расфилосовствовался =).

[@РустемМухаметшин]

В последнем доказательстве постоянство коэф в Sa a^2 * k для разных подобных треугольников следует доказывать. А это как ни странно, и есть теорема Пифагора. Те доказательство выполнено через самого себя

[@АлександрТор-и2ф]

Плошадь подобных фигур пропорциональна квадрату любого линейного элемента. Никакой "тавтологии" здесь нет.

[@ШустТретьяк]

Можно ссылку на книги?

[@schetnikov]

Наберите "Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал" и поищите, я с ходу не нашёл. И с Литцманом так же, он должен ыть на mccme.

[@ШустТретьяк]

@@schetnikov Спасибо большое.

[@ВикторМалахов]

Все это прекрасно. Но есть один тупик. Все тот же прямоугольный треугольник. постройте на его гипотенузе ступеньки со сторонами в сумме равными катетам. И из их вершин проведем к общей гипотенузе высоту. дальше без изменения условий станем бесконечно увеличивать число построенных треугольников. А наблюдать станем их вершины. Легко заметить, что они неуклонно приближаются к нашей общей гипотенузе и в конце концов должны с ней срапвнятся, превратившись в сумму точек. Что доказывает, что сумма катетов равна гипотенузе? Ну это же чушь? Докажите обратное!

[@AlexFolk101]

Интересно вы рассказываете. Хотелось бы услышать, в вашем объяснении, способы выведения запоминания формул через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы, и т.д., а также таблицу с их угловыми значениями. Я в школьные годы придумал (открыл для себя) свой способ, который легче поясняется, чем в учебниках. Хотелось бы услышать ваши пояснения. Спасибо!

[@schetnikov]

Сказать честно, я нмкргда ничего специально не запоминал. Когда разбираешься и понимаешь - всё запоминается само, через понимание. Ну и ещё через многократное применение, конечно. А что касается синусов с косинусами - там всего надо запомнить тири значения: 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2. Всё прочее - на тригонометрическом круге. Фомрмул больше, конечно, но главная из них - синус суммы, и она почти очевидна:))

[@AlexFolk101]

@@schetnikov Это всё понятно. Я тоже никогда ничего не запоминал, а просто высчитывал. Поэтому и нравится как вы поясняете, т.к. я делаю также, подобным образом. На счёт синусов, косинусов, и т.д. я ещё в школе заметил, что в таблице нужно просто запомнить 0, 1, 2 и 3 в первой строчке синусов. Далее просто везде нужно дописать корень и разделить на два - это и будет ответами. В других строчках просто всё "зеркально". Вот так всё везде легко запоминается-высчитывается. На счёт формул, и т.д. там всё ещё проще. В общем, спасибо, что ответили. Кстати, я под другим видео вопрос писал о том, куда вам писать? Эл.почта не написана, а ссылка на ВК не рабочая. Я хотел вам парочку своих задач написать. Вдруг вам для канала понадобится.

[@Massaraksh7]

Только забыли указать, что площадь квадрата равна площади параллелограмма.

[@GramFun-y7g]

А как мы знаем это? На глаз? Как мы знаем, что отнимаем, отрезаем, равновеликий треугольник и паралелограм, равен квадрату?

[@MarkBoldyrev]

П на сфере... будет ли выполняться теорема Пифагора. Ведь Вы же специально не оговорили, что речь идёт только о плоском треугольнике. Но что произойдёт, если треугольник окажется на сфере или на гиперболическом параболоиде? Неужели это неинтересно?

[@ОлексійЧебоксаровПетров]

Вы математик и очевидные вещи для вас интуитивно понятны. Материал рассчитан на школьников, которым неизвестен аппарат дифференциальной геометрии.

[@MarkBoldyrev]

@@ОлексійЧебоксаровПетров Вы не поверите, но как-то в компании в присутствии пятиклашки я рассказывал о многомерных многообразиях... и вдруг этот пятиклашка меня спрашивает: "А может многообразие иметь размерность как дробь?". Ничего так, да? А это и есть то, что надо! Он САМ поставил вопрос, который совсем неочевиден. Понимаете - САМ! А я знаю огромное количество взрослых дядь. которые не хотят заглянуть за некий предел... а вдруг там что-то интересное?!

[@Vlad_Brutov]

Помню в школе был рас..ем, не учил уроки. За теорему Пифагора получил оценку 2/5 за последнее доказательство. 😎

[@kislyak_andrei0]

2 доказательство более красивое

[@MrMrSurge]

Надо было в конце сказать, что это частный случай и что есть формула для произвольного треугольника.

[@schetnikov]

Смысла нет это здесь говорить, слова всё равно повиснут без продолжения. Вот когда выводится теорема косинусов, там и надо стартовать с теоремы Пифагора, и спрашивать: а для произвольного треугольника кау эта формула изменится?

[@АндрейШвец-у8ы]

Издайте ,пожалуйста , плейлист со всеми Вам известными доказательствами Теоремы Пифагора ... можно даже их[доказательства] расположить в порядке их появления в истории математики... , а можно и вовсе ничего не делать... ... с уважением Ваш подписчик

[@НиколайЛебедев-ч6в]

Последнее из приведённых доказательств принадлежит десятилетнему мальчику по имени Альберт.

[@НиколайЛебедев-ч6в]

Правда, фамилия мальчика Эйнштейн.

[@hmmm1482]

последнее доказательство действительно - теорема🤯

[@ЮвелирнаямастерскаяАлександр]

Все доказательства строгие, но в последнем используется больше геометрических фактов(которые уже считаем доказанными), поэтому оно более короткое.

[@natashok4346]

К сожалению для меня последнее доказательство осталось непонятным. Видимо сбивает с толку знание того, что отношение площадей подобных треугольников равно к^2. Хотелось бы прояснить ситуацию. Возможно, что k это sin alpha * sin betta: sin gamma и я так понимаю, что для подобных треугольников он одинаков

[@schetnikov]

Коэффициент конечно можно определить через тригонометрические функции. Но это не нужно: здесь важно лишь то, что площади подобных тругольников относятся как квадраты их соответственных размеров. Поэтому знать коэффициент нам не надо, достаточно лишь понимать, что он один и тот же.

[@avotini4400]

Только доказательство теоремы о площади подобных фигур опирается на теорему Пифагора. Получается как в поговорке "кукушка хвалит соловья за то, что хвалит он кукушку"

[@getaclassmath]

Быть такого не может. Оно очевидно опирается на теорему Фалеса, а та, в свою очередь, на аксиому о параллельных прямых.

[@avotini4400]

@@getaclassmath В школьных учебниках теорема о площадях подобных фигур доказывается сначала для прямоугольного треугольника, потом для любого треугольника, потом для любой фигуры, которую можно разбить на треугольники, потом как предельный случай на криволинейные фигуры.

[@Aleks_Alekseev]

Впервые в жизни встретил уместное использование в речи глагола "суть". Не считая, конечно, непонятной фразы "не суть важно", которая звучит везде.

[@otprot1347]

15:57 Автор забыл доказать, что коэффициенты k равны между собой 😅

[@unikornking367]

А можно спросить а где это знание можно применить?

[@ГалинаРоговская-д9д]

Где, где, в Караганде

[@Супергусь-г3э]

каким образом древние греки все это писали, ведь арабские цифры появились много позже Пифагора?

[@faigjalilov7169]

Вот поэтому у древних греков развивалась геометрия, а не алгебра. Алгебра стала развиваться после того, как освоили индийскую десятичную систему.

[@Micro-Moo]

@@faigjalilov7169 Интересное соображение, но достаточно сомнительное. В том-то всё и дело, что алгебра помогает абстрагироваться от конкретных чисел и тем более от форм из записи. С практической точке зрения алгебра позволяет находить общие решения для количественно разных задач и откладывать оперирование конкретными величинами на самый конец работы и минимизировать это операции с конкретными числами. При желании ваше рассуждение нетрудно обратить в противоположную сторону: в какой-то культуре была слишком замороченная система записи чисел и числовых вычислений, и это стимулировало развитие алгебры. 🙂 А ваше соображение подогнано под реальный исторический факт, но в том и дело, что любое явление возникло под влиянием многих факторов, а не одного, так что это не есть подтверждение гипотезы. Вот типологически подобный факт: в мусульманских странах искусство создание геометрических узоров вышло на такой уровень, что в этих узорах (например, замощениях) находят следы позднейших математических открытий. А в качестве одной из причин этого называют мусульманский запрет на изображения людей.

[@АлексейСаламатов-ч9з]

Вся история фальсифицирована. История математики не является исключением. Более того это самое яркое доказательство фальсификации истории вообщем.

[@Анатолийзабровский-ы6к]

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[@ОлегЛукьянов-м3ь]

Млять, какой я дремучий. 🤦😱🤭

[@Evgeny-Kasintsev]

Все же Евклид рассматривал не площади параллелограммов, а их половинки - площади треугольников

[@plutarcosilicone3372]

Интересный способ показать теорему Пифагора kzbin.info5tMA-TjDLAI?feature=share

[@Micro-Moo]

Вообще никакое не доказательство. А вообще меня всегда удивляла позиция людей якобы из технических областей, которые считают «доказательством» экспериментальные доказательства, и вообще непонимание сути математики.

[@другРазума]

Для меня, в геометрии, любые доказательсва, в конце концов, наступают себе на пятки, предположения опираются на предыдущие и все, чудесным образом, сходится. Это одновременно и объективно и субъективно, и строго доказуемо и честно нет. Как Бог.

[@fillhenderson8351]

Что значит "нет"? В геометрии все теоремы строго доказуемы. Логично замкнутые цепочки в доказательствах отсутствуют(Пример замкнутости: Бог существует ибо так написано в Библии. Почему мы доверяем Библии? Потому что ее написал Бог)

[@ВикторШадрин-г5й]

@@fillhenderson8351 вообще вы привели частный случай с неверным основанием. Вы поверили утверждению о Боге из Библии,хотя там нет такого вывода. Попробуйте найти основание,корни математики в Природе. Этл будкт метапрограмма из всех возможных версий только эта комплиментарна и соответствием математики от людей, с некими закономерностями в природе и также допускает возможность фантазийной математики от людей

[@cherenkov196]

Теорема Пифагора, частный случай теоремы косинусов.

[@schetnikov]

А теорема косинусов - это частный случай чего?:))

[@cherenkov196]

@@schetnikov Это ещё никому неизвестно.

[@ВасилийДемьянов-р9и]

..." Пифагоровы штаны на все стороны равны..."

[@Ivanov2505]

Малевич - плагиатор...