Теоремы Гёделя о неполноте

[@ozonvideo6540]

Спасибо большое. Для меня как не подготовленного математчески человека это как фантастический фильм. Но с не вылуманной проблематикой. Очень интересно. Пересматриваю втрой раз.

[@Suav58]

Это больше чем фильм и даже больше чем сериал. Если же сравнивать с сериалом, то это сериал в котором одни и те же сюжеты снимаются уже свыше 10 000 лет (люди делали какую-никакую математику до того, когда твёрдо обрели письменность - это предположение но довольно хорошо обоснованное); снимали одиночки, сейчас снимают всё новые съёмочные команды и, как выше сказано, многие* стремятся выпустить свою серию раньше всех. Что интересно, это сколько нового можно найти в этих старых сюжетах. Если на заострять внимание (а скорее всего "зажмурит глаз", как от разящего солнца) то видны эти нити-лучи идущие сквозь тысячелетия. Наблюдать это прелесть сама в себе. * Бывают и исключения. Гротендик работал как отшельник и было впечатление, что ему нет дела до мирского признания (en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck)

[@егорполетаев-з6б]

Спасибо. Владею математикой на уровней 8 класса общеобразовательной школы. С вашей подачей я что то понял😅 Очень круто.

[@mrasasin243]

Я конечно не все смог понять и уложить в голове, но мне понравилось.

[@ВалерийКим-з3х]

В начале XX века Давид Гильберт поставил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел. 7 сентября 1930 года в Кёнигсберге на "Научном конгрессе по основаниям математики" молодой математик Курт Гёдель, оппонируя мэтру, представил две теоремы о неполноте, которыми доказал, что программа Гильберта не может быть реализована. Да, теорема была обращена к математическому сообществу, поэтому математики кинулись доказывать её альтернативными способами. Но научное сообщество разглядело в ней загадочное утверждение в части теоретических построений. Поэтому ученые разных наук проявили интерес к этой теореме. И этот интерес не остановил даже обнаруженный в ней "парадокс лжеца". А т.к. обсуждение бесплодно, то сама собой возникла проблема: или обсуждение не о чем, или неверна исходная позиция. Итак, начну ab ovo. Теорема о неполноте в трактовке К.Геделя: если система Z (содержащая арифметику натуральных чисел) непротиворечива, то в ней существует такое положение А, что ни само А, ни его отрицание не могут быть доказаны средствами Z. Но поскольку число - это субъективно умозрительная категория, то теорему переформулирую в обобщенную форму: Какой бы стройной и непротиворечивой ни была теория, в ней обязательно есть положение А, суть которого за пределами области применимости данной теории. Смысл не изменил, но теорему вывел из математики в область гносеологии - науки о познании и особенностях человеческого мышления. И для начала откопаю из глубин веков максиму др.философов: Мир един, и всё в нём взаимосвязано. В современной формулировке это всеобщий закон Единства: В развитии Природа в целом и каждой частью стремится и существует едино целым объектом. И да, например, Вселенная - это единство галактик, каждая из которых - единство звезд,... молекула - единство атомов и т.д. При этом суть всякого единства в его обособленности и непрерывности. Т.е. Природу следует рассматривать непрерывным без зазоров и трещин пустоты ограничено-локальным пространством содержимого. А всеобщая взаимосвязь содержимого предполагает некую информационную структуру, всеобщую программу упорядочения Природы, Др.философы её неделимую назвали Абсолютной истиной - информацию о Природе в целом и каждой части. Тогда мы, человечество, ничтожно мизерная часть Природы, являемся столь же мизерным элементом А.истины. А т.к. нам предзадано познавать мир, суть которой А.истина, то возникает противоречие с всеобщим законом Сохранения: Целое - А.истину, невозможно вместить в её же часть - человечество. Чтобы убедиться в этом, попробуйте втиснуть пальто в его же кармашек - не получится. Видимо поэтому др .философы установили: А.истина непознаваема. Т.е. познавать надо, а не моги. И Природа заморочилась: если не можете познать целым, то познавайте частями, информационными дискретами. И для этого дала нам способность абстрагировать и идеализировать. И да, обращая свое внимание на определенную область непрерывного пространства реальной действительности, мы абстрагируем её и, обрубив связи с общим, идеализируем отдельным объектом. При этом для своего удобства приписываем ему выдуманные свойства, характер и название, в результате имеем конкретный предмет, событие, явление, суть которого частичка А.истины. И для её познания сначала кровоточащие обрубки связей "забинтовываем" в аксиомы, а потом разработанными теориями обнаруживаем программную суть этой частички А.истины. И все бы ладно, но если заглянуть вглубь теории, то обязательно упремся в аксиомы, обрубки, направленные во вне. По теореме Геделя эти аксиомы и есть положение А, суть которых в соседних областях познания. В принципе ничего нового, давно известно, если потянуть за информационную нить ничтожного события, то вслед потянется информация о смежных событиях и в пределе обо всем мире, т.е. А.истина. И на стыках двух наук возникает смежная наука, как продолжение одной науки в другой. В качестве примера рассмотрим физику Ньютона. Да, это стройная и непротиворечивая теория, причем, научная теория, потому что обусловлена им же открытыми объективными законами динамики. Но полная ли она? Если заглянуть в неё недра, то тут и там обнаружатся постулаты А, аксиомы, которые воспринимаем само собой разумеющимися. Но если "разбинтовать" аксиому, например, тела, то обнаружится целый пучок обрубков. Так, если под телом понимать вещество, то его суть следует искать в химии. А если это звезды и планеты, то в космологии и т.д.. А аксиома прямолинейного движения отправит в геометрию Евклида. Это тоже стройная и непротиворечивая теория, а положениями А являются известные постулаты. "Разбинтуем" постулат прямой. По Евклиду прямая - это линия без кривизны, на которой всякая точка равноудалена от любой другой точки, линия - это длина без ширины, а точка - это часть от ничто, пустоты. Но точка и линия - это ничем не обусловленные выдумки Евклида, т.е. это вовсе ее направленные обрубки, а замкнутые на себя положения. Поэтому надо отличать аксиому от постулата - постулаты могут быть только в умозрительных науках, например, в арифметике это постулат числа, а в естественных науках это направленные во вне аксиомы. Таким образом, по большому счету теорема о неполноте является законом гносеологии, посредством которого устраняются многие проблемы архитектоники теории. Так, что признание настоящего гения Курта Геделя еще впереди.

[@ИльяБольшаков-д9п]

Из всех объяснений этой теоремы для меня это самое понятное. Правда понял я ,едва ли треть) Кажется начинаешь что -то ухватывать, но быстро запутываешься в формулах. Это правда интересно, но я слишком тупой для этого к сожалению.

[@andreyandrey516]

Найдите Бессонова и оригинальные формулировки теорем самого Гёделя

[@alexanderpopov5417]

🎉Можно ли по геделевскому номеру выяснить содержит ли формула рекурсию на себя, т.е. ссылается ли на себя явно или не явно? Существует ли множество таких безрекурсивных формул и доказумы ли они? Спасибо.

[@uAnalytiCon]

Прекрасные вопросы. Обратите внимание, что гёделево предложение напрямую само о себе не говорит, оно говорит, что если взять какую-то другую формулу и сделать в ней подставновку, то получится формула, для которой нет доказательства. Подобных гёделевых предложений можно сколько угодно разных сформулировать, но только по их (без рассмотрения того, в какую формулу следует делать подстановку) определить, что в итоге получится (будет рекурсия или нет) нельзя. Может быть, можно придумать какой-то метод, который бы позволял эффективно отсеивать формулы с рекурсией, я такой не знаю. Соответственно, определять безрекурсивные формулы мы тоже (пока) не можем, либо мне об это ничего неизвестно.

[@alexanderpopov5417]

@@uAnalytiCon Правильно я понимаю что мощность множества доказуемых формул всегда больше мощности всех истиных формул и поэтому есть не полнота? Почемуто во всех ( ну может не Колмогорвского) доказательствах появляются рекурсии и возникает желание построить множество безрекурсивных формул. Я далек от этой области, ни одно из доказательств до конца не понимаю, но наиболее привлекательным выглядит Колмогоровское. А вы понимаете как во множестве натуральных чисел может быть не перечислимое подмножество? Спасибо!

[@uAnalytiCon]

Наоборот. Множество истинных формул содержит такие формулы, которые не являются элементами множества доказуемых, но множество доказуемых содержит только такие формулы, которые также являются элементами множества истинных. То есть множество доказуемых формул является собственным подмножеством множества истинных формул. Однако это не значит, что по мощности они обязательно будут различаться. Например, оба могут быть счётно бесконечными, как, например, в случае с натуральными и чётными. Далее, во множестве натуральных чисел не может быть несчётного подмножества. Вообще любое подмножество счётного множества является счётным.

[@alexanderpopov5417]

@@uAnalytiCon Спасибо, но в последнем вопросе я имел ввиду понятие перечислимость, а не счетность, его ввел Колмогоров, как я понимаю, это вычислимые и упорядочиваемые множества. По Комогорову во множестве натуральных чисел есть неперечислимые подмножества следствием чего является теорема Геделя. Брошура Владимира Успенского посвященная теореме Геделя . Вот я непонимаю как подмножество множества N может быть неперечислимо?

[@uAnalytiCon]

Не знаю, что под перечислимостью имеют в виду Колмогоров и Успенский, надо разбираться. Если посмотреть другие работы, например, книгу Булоса, Бёрджеса и Джеффри "Вычислимость и логика", то там перечислимое множество -- это множество, которое можно перечислить (записать в виде списка); при таком понимании любое перечислимое множество является счётным и наоборот.

[@anspoetic]

Спасибо за материал. Вопрос: а есть ли какая-то связь между теоремой Геделя и парадоксами Рассела? (аля парадокс критянского лжеца, парадокс брадобрея, "каталога всех каталогов" и т.д.)

[@uAnalytiCon]

Да, связь есть. Теоремы Гёделя тесным образом связаны с парадоксом лжеца и парадоксом Карри. Это видно по структуре гёделева предложения и вообще по автореференции, используемой в теоремах.

[@anspoetic]

Любопытно, что с подобным же "парадоксом" работает философия. Там он проходит под термином "расщепленного означающего" и "различия акта и содержания высказывания". Это когда означающее встречается дважды: на уровне темы или собственно содержания публичного высказывания ("нигилизм" у Юнгера), и на уровне той ситуации сказывания, где само означающее действует (тот "нигилистический" способ, которым сам Юнгер понятие нигилизма и пытается продумывать). Т.к. я не математик, более плодотворно эту параллель развить не могу) Но меня очень удивило то, насколько "бытовое" (гумманитарно-филлософское понимание) теоремы Геделя отличается о самой теоремы Геделя.

[@anspoetic]

Добрый день. Возник такой вопрос: 1. Гедель конструирует формулу, которая является примером такой формулы, которая предъявляет неполноту арифметики (формула G). Данная формула саморекурсивна: сама утверждает о собственной недоказуемости. Такой формулой Гедель показал, что в математике возможны утверждения, которые будучи истинными, не могут быть доказаны (это и есть неполнота). 2. Вопрос: я предполагаю, что таким свойством (быть истинными но не доказуемыми) в рамках арифметики могут быть только саморекурсивные утверждения. Так ли это? И еще один момент: я не понимаю операции, когда конкретное натуральное число в один момент используется как код формулы, а в другой - как просто натуральное число. Смотрел лекцию Сосинского, но тоже как-то не понял этого хода: почему так можно делать, как определить, является ли данное натуральное число просто числом или же оно - номер геделевской формулы.

[@uAnalytiCon]

Добрый день! 1. Теоремы Гёделя показывают, что в формализованной арифметике недоказуемы G и непротиворечивость этой самой формализованной арифметики. В дальнейшем было получено несколько результатов, которые имеют более "привычный" математический смысл. Например, Лоуренс Кирби и Джефф Парис доказали, что в арифметике Пеано недоказуема теорема Гудстейна (она доказана для неформальной арифметики, а также может быть доказана в более сильных, чем арифметика Пеано, формализованных системах арифметики). Также Джефф Парис и Лео Харрингтон доказали, что усиленная конечная теорема Рамсея недоказуема в арифметике Пеано, так как её доказуемость влечёт доказуемость непротиворечивости системы, что противоречит второй теореме Гёделя. 2. Гёделевы номера формул являются обычными натуральными числам. Определить, какое натуральное число является номером истинной (в некоторой данной интерпретации) или доказуемой формулы -- задача нетривиальная, так как это предполагает разложение на простые множители, а номера "интересных" формул обычно являются очень большими числами. Переключение между "думанием" о каком-то числе как о числе на "думание" о нём как о номере формулы и обратно является переключением с математического способа мышления на метаматематический и обратно. Можно привести очень грубую аналогию: об автомобиле можно думать как о наборе запчастей, а можно -- как о транспортном средстве.

[@ЧебурекаЧё]

Спасибо, я поняла, что Вселенная многогранна очень

[@ВикторШадрин-г5й]

Математика это средство что от людей,что от Природы. От людей еще не поняла своих корней. МетапрограммаВозьмите Тесла автопилот ,компьютер. И примените там о неполноте. Вселенная организм с конечнвми характеристиками и Алгоритмом, называемым законами. Аналогия великий оптимизатор и помощник в познании. Я не знаток математики,но мне кажется в теореме о неполноте некоректно описаны условия рассматриваемой системы. Любая конечная система с конечным числом параметров ,а у Теслы только кажущаяся бесконечность вариантов, но в рамках конечной программы может, мне кажется изменить подход к теореме, тем более к выводам по ней

[@michaelsidorov5508]

Жена Курта Геделя называла его "Курци".

[@СергейКомаров-с4б]

Это не теорема, а гипотеза и доказана она не будет никогда.