Thomaths 20 : Transposée et dualité (algèbre linéaire 4)

[@latarte3931]

Je commente assez rarement, mais je tenais à vous dire que vos vidéos sont vraiment extrêmement claires et donnent ce qui manque à la plupart des cours de maths magistraux qui sont sous la forme de succession entre propriétés et preuves : VOUS DONNEZ UNE MOTIVATION à chaque nouvel objet introduit. Moi qui manipulais souvent ces outils sans avoir trop de problèmes dans la résolution d'exercices (jusqu'à un niveau M1), je n'avais pas vu la dualité de cet angle qui paraît beaucoup plus intuitif.

[@aziz0x00]

Ce video n'est pas dans le playlist d'algèbre lineaire encore.., j'ai terminé les videos du playlist, vraiment extraordinaire! MERCI encore

[@Thomaths]

Merci de m'avoir prévenue, c'est réglé ! -Eve

[@lesoleil2465]

Vidéo qui fait son effet ! J'ose à peine imaginer le temps passé , en tout cas merci c'était d'une rare clarté !

[@lesoleil2465]

Je découvre cette chaîne avec cette vidéo , et juste c'est génial

[@Thomaths]

Merci beaucoup et bienvenue :)

[@polymethh]

je viens de découvrir cette chaine, super travail franchement !!

[@Thomaths]

Alors bienvenue parmi nous :D

[@awazin4031]

Tes vidéos sont géniales. Tu expliques bien et de façon posée, c'est agréable :)

[@clarasemba2956]

C’est vraiment une super vidéo ! Je trouve déjà le concept de la base moins flou et vraiment intéressant 😊

[@alainrogez8485]

Brillant et passionnant.

[@lecokase]

cooool une vidéo d'Alex ´ la journée finie bien

[@jamelbenahmed4788]

Idem

[@nicolaslhomme2117]

Merci

[@sebwin6930]

Dur dur de vous suivre

[@magali4170]

Joli boulot !😀

[@mehdielabdaoui1955]

Par exemple à 12:31 d'où sort le Mji= ? Ce passage n'est pas du tout expliqué.

[@Thomaths]

Bonjour, cette équation est la conséquence de la discussion précédente qui explique la signification d'une entrée d'une matrice : l'entrée (i,j) (càd. i-ième ligne, j-ième colonne) d'une matrice M, c'est appliquer le j-ième élément de la base duale à M e_i (où e_i est le i-ième élément de la base). La base duale est notée (b_j). J'espère que cela vous aide. - Alex

[@Roger_Mansuy]

Bon travail d'explication. Attention il y a une coquille dans la dernière ligne à 11:27 (un f^{\top} au lieu de M^{\top}).

[@Thomaths]

En effet, merci de l'avoir fait remarquer ! Je pense que je voudrais écrire Mat(f^T)=Mat(f)^T. - Alex

[@qmmav697]

Bonjour, Merci pour votre très bon travail. Vous parlez déjà du théorème des mineurs dans votre vidéo précédente sur le rang. Je n'arrive pas à trouver de sources sur internet avec une preuve / description du théorème , pourriez- vous m'aiguiller, s'il vous plaît ! Comptez vous en parler en détail dans une future vidéo? Dans mes recherches succintes, je tombe sur le critère de Sylvester pour les matrices définies positives, et ça a effectivement l'air très lié; ou sur de la théorie des graphes.. Merci d'avance pour votre réponse.

[@Thomaths]

Bonjour, effectivement on ne trouve rien sous ce nom. En revanche il y a la page Wikipedia "Mineur (algèbre linéaire)" fr.wikipedia.org/wiki/Mineur_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire) qui l'énonce. Voir à "Application et propriétés" : "Le rang d'une matrice est égal au plus grand ordre d'un mineur non nul de cette matrice, c'est-à-dire à l'entier r tel qu'il existe un mineur non nul d'ordre r et que tout mineur d'ordre strictement supérieur à r soit nul." C'est ce qu'en prépa on m'a enseigné comme étant le "théorème des mineurs". Pour une preuve du fait que le rang de M est égal au rang de la transposée de M (sans passer par le théorème des mineurs), voir le livre d'Axler, chapitre 3F (listé en description). - Alex

[@wombat6]

Petite critique sur la pédagogie : vers 9:15, pour "voir" que les e_i et les e**_i jouent le même rôle, il serait plus judicieux d'écrire phi(e_i) comme e_i.phi, si on a déjà introduit cette notation avec le point pour insister que c'est phi qu'on voit comme une variable ! Pour montrer que e_i et e**_i s'identifient, ça n'aurait pris qu'une phrase de plus...

[@Thomaths]

Bonjour, vous avez tout á fait raison ! Je ne sais plus pourquoi je ne l'ai pas fait, j'y avais pensé en préparant l'épisode. Peut-être pour ne pas trop introduire de notations. - Alex

[@wombat6]

@@Thomaths L'inconvénient dans une vidéo comparé à un PDF écrit en LaTeX, c'est que c'est beaucoup plus de boulot pour corriger une erreur ou un oubli ! Ça ne peut pas être parfait, pour le reste la vidéo est excellente (c'est quelqu'un qui bloquait sur le point que j'ai soulevé qui me l'a montrée pour que je lui explique). Mais de toute façon, un cours dans lequel on ne trouve pas encore un petit détail à ajouter pour perfectionner, ça n'existera jamais ! Donc il faut juste passer à la vidéo suivante sans se prendre la tête :)

[@GabrielDet]

Merci.

[@mathemarthur]

Bonjour, la transposée est elle un antipode ? (je fais référence à votre vidéo sur les groupes quantiques)

[@Thomaths]

Bonjour, si on prend comme définition de l'antipode une application S telle que S(e)=e et S(gh)=S(h)S(g), alors oui. En pratique, l'antipode se définit sur une algèbre avec comultiplication (une "bialgèbre" ou "bigèbre") auquel cas la condition de compatibilité doit être vérifiée. Je ne connais aucun exemple d'algèbre de Hopf où l'antipode est la transposée. Ce serait intéressant de chercher un tel exemple. - Alex

[@mathemarthur]

@@Thomathsd’accord merci

[@noukir4724]

Est-il possible de faire une vidéo sur la réduction des endomorphismes ? J’aimerais mieux comprendre cette partie de l’algèbre linéaire. Merci

[@Thomaths]

C'est prévu :)

[@sobriquet]

Un truc qui m'a perdu dans cette vidéo et la suivante : il me semble que la formule e_i^*(e_j) = delta_ij n'est valable que dans la base canonique, non ?

[@Thomaths]

Non : la formule e_i^*(e_j) = \delta_ij est la propriété qui définit la base duale, donc elle est toujours vraie. Ce qui est vrai seulement pour la base canonique, c'est l'identification e_i^* = e_i, en utilisant le produit scalaire canonique. J'espère que cela clarifie le problème. - Alex

[@sobriquet]

@@Thomaths Merci pour ta réponse ! Je encore avoir besoin de travailler ça avant de comprendre...

[@leeroy3388]

merci j'avais pas tres bien compris la nation de dual avec les gourdons

[@pratomic]

Si un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, que une forme linéaire appartient à un espace vectoriel, une forme linéaire est donc un vecteur ,non? Et on pourrait dire de meme pour tous les tenseurs.Ou est l'erreur ?

[@Thomaths]

Il n'y a pas d'erreurs. Le terme "vecteur" est très général, mais souvent on l'utilise dans un sens restreint. D'ailleurs parfois on dit "covecteur" pour une forme linéaire. Un autre exemple est "nombre". Souvent, quand on parle de nombre, on pense soit à un nombre entier ou à un nombre réel, mais il y a aussi des nombres complexes, quaternioniques, ...

[@mehdielabdaoui1955]

Vous allez trop vite, je n'ai pas mieux compris qu'avant avoir regardé la vidéo. Mieux vaut expliquer plus lentement et traiter moins de choses.

[@pratomic]

Il faut regarder régulièrement, en laissant 1 mois d'espacement

[@amar-ali6065]

Aucun intérêt

[@Thomaths]

Bonjour, la transposée est une notion abordée en licence de mathématiques. Si vous ne faites pas d'études en maths, cela ne vous servira pas en effet ! ;) Je vous invite à repérer les miniatures avec une seule tomate dans le coin, pour des vidéos plus accessibles et ludiques que celle-ci. Bon courage ! - Eve

[@jamelbenahmed4788]

​@@Thomathsoui mais à quoi ca sert ? Le déterminant, la trace et autre ça aussi à quoi ça sert ?

[@Thomaths]

@@jamelbenahmed4788 Les applications linéaires sont omniprésentes, aussi bien en maths que pour ses applications. Le déterminant, la trace etc. sont des outils indispensables pour étudier ces applications linéaires. - Alex

[@pratomic]

L'amélioration de la puissance des ordinateurs !