Thomaths 7a : Topologie élémentaire

Dans cette vidéo niveau licence, on vous propose une introduction à la topologie, l'étude des formes globales.
Nous allons aborder :
0:00 Intro
00:53 Transformations topologiques
3:40 Notions de base (voisinage, ouvert, fermé)
7:05 Espaces topologiques et exemples
11:39 Continuité
14:16 Compacité
Petite précision : à 14'40 il est dit que "la notion de fermé est invariante par transformation topologique, et la notion de borné l'est aussi". Le sens précis est qu'une partie fermée de R^n reste fermée sous un homéomorphisme de R^n (vers lui-même), et de même pour une partie bornée.
Par contre une partie bornée de R^n peut être homéomorphe à une partie non-bornée. Par exemple l'intervalle ouvert ]0.1[ est homéomorphe à R tout entier.
Pour aller plus loin :
- Thomaths 7b sur la topologie algébrique : • Thomaths 7b : Topologi...
- le site ChronoMaths pour une introduction à la topologie générale : serge.mehl.free.fr/anx/topo_ge...
- le petit livre d'Alexandroff "Elementary Concepts of Topology" (Dover Publications), accessible ici : www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/...
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[@16mOii]

Tu mérites d'être connu par tous les étudiants en maths qui travaillent sur la topologie. Je n'avais jamais vu d'explications claires en 3 ans. Chapeau

[@Thomaths]

Oh, ça fait plaisir ! Eh bien, à défaut de nous faire connaître par tous les étudiants en maths (un peu ambitieux), aidez-nous à nous faire connaître par vos camarades ! ;) Blague à part, merci beaucoup pour votre intérêt. - Alex&Eve

[@josueetsesfunnyvideo5540]

Y a pas de mots pour décrire la reconnaissance que j'ai envers vous pour cette vidéo. Merci Infiniment.

[@Thomaths]

Merci, ça fait super plaisir de voir que notre travail aide vraiment ! N'hésitez pas à partager la vidéo si elle vous a plu ;)

[@kolanidenis]

mec je t admire vraiment quelle éloquence fluide

[@abdoulkarimkaba7344]

félicitation monsieur, les notions sont maintenant clair dans ma tête.

[@nicolaslecoq8693]

Vous avez enchanté ma matinée. Merci bcp.

[@samyhocine5556]

Excellentes séries de cours, supers pédagogiques. Simples à comprendre malgré la difficulté des sujets abordés. Merci beaucoup :)

[@mohamedelmatal6820]

tous simplement j'ai compris bien merci infiniment

[@alexvernes9264]

« Il aurait fallu que mon prof de maths en maths sup m'ait expliqué ça. Parce que moi, la topologie, j'y comprenais que dalle. Justement parce que je ne voyais pas à quoi ça correspondait. Il nous a présenté ça à la Bourbaki avec des ouverts, union et intersection d'ouverts, comme tu le fais à un moment de la vidéo. Imbitable. J'ai mis des dizaines d'années à comprendre et je ne suis pas sûr encore maintenant d'en maîtriser les notions. » A lire ce commentaire, visiblement Bourbaki fait toujours des ravages. Bourbaki est très français (la Chine et les USA ont des approches très différentes), et comme tel a les défauts des Français : élitisme, accent mis sur la complétude théorique (Thom s’érigeait là contre), dissociation artificielle entre mathématique et physique. Je me suis libéré de Bourbaki et sais désormais comment il me convient d’apprendre selon des idées que je développais depuis l’adolescence. Il est en effet totalement artificiel - et pédant, et politiquement biaisé - de prétendre comme Bourbaki que l’abstrait commande le concret. C’est en réalité tout l’inverse, mais on nous présente le film à l’envers. On fait comme si les mathématiciens avaient sorti de leur chapeau la théorie, qui au miracle, trouve des application réelle. C’est tout l’inverse. L’idée est de reléguer Platon, et de partir au contraire du souci que rencontre le mathématicien à l’aube d’ajouter sa pierre à l’édifice. Ainsi les notions de développent Thomas prennent racine dans la description de la trajectoire d’une toute petite région au sein d’un fluide. Il faut le comprendre littéralement puisqu’au début de ces recherches, l’objet d’étude est une fine lame d’huile plus ou moins chauffée, de quelques molécules duquel dont on étudiait le comportement. Certaines trajectoires étaient régulières ou divergeait après un certain temps. D’où des études sur le comportement asymptotique de ces trajectoires. Partant de cette pratique, on a développé des instruments théoriques comme la section de Poincaré par exemple. Mais j’y insiste : Thalès et Pythagore ont d’abord formalisé le savoir nécessaire à l’arpenteur pour des raisons fiscales et politiques (mauvais récolte et pas de stock= révolution), et ainsi ouvert la voie vers les coniques et Euler (je la fais très courte). Ils ne sont pas partis de la théorie pour pondre une pratique, comme l’affirme les vieux darons de Bourbaki. Il y a derrière les deux approches (Platonicienne ou aristotélicienne) des visions très différentes du monde et notamment de la causalité, la première toute plongée dans le réductionnisme newtonien, l’autre baignée de complexité, ce maître mot du XXe siècle. Ces tensions se retrouvent sur la scène politique (Pouyané vs Jouzel) et notamment dans toutes les questions touchant au climat. Penser dans les baskets du mathématicien auteur de tel ou tel concept, se poser les mêmes problèmes qui furent les siens à l’origine d’idées nouvelles, voilà une approche historique (le mathématicien vit dans le monde réel, qui influe sur ses préoccupations) et pragmatique à mon sens plus féconde que l’abstraction ex-post de Bourbaki. Ainsi certaines notions très vaporeuses deviennent subitement terre à terre, pratiques et lumineuses. la continuité ou le temps/fréquence, ce dernier terme paraissant parfaitement incongru alors qu’il devient transparent si l’on comprend qu’il s’agit bien de temps dans les dispositifs expérimentaux, de même que la continuité désigne des portions d’espace telles que leurs dynamiques soient un temps comparables. Problème pour Bourbaki : on introduit des notions floues (suffisamment proche, un temps comparable), flou qui tend, contre Bourbaki, à rapprocher physique et mathématique. Ceux qui ont lu le cours de Feynman comprendront bien en comment physique et mathématique entretiennent des rapports pas toujours idéaux.

[@abdelmajidkansoussi6904]

YOU DESERVE MORE SUBSCRIBERS

[@j9dz2sf]

Il aurait fallu que mon prof de maths en maths sup m'ait expliqué ça. Parce que moi, la topologie, j'y comprenais que dalle. Justement parce que je ne voyais pas à quoi ça correspondait. Il nous a présenté ça à la Bourbaki avec des ouverts, union et intersection d'ouverts, comme tu le fais à un moment de la vidéo. Imbitable. J'ai mis des dizaines d'années à comprendre et je ne suis pas sûr encore maintenant d'en maîtriser les notions.

[@rizgoureux2743]

C'est vraiment super sympa ! Je suis en fin de L2 Maths (et je suis très curieux), et je trouve que vous expliquez bien, en tout cas je comprends et c'est top de pouvoir avoir des bases sur des futurs cours que j'aurai ! Merci beaucoup ! Continuez comme ça, j'adore !

[@valentinroussel3877]

Merci pour ton travail. Des vidéos très sympas 👍👍

[@elhabtielidrissinajib108]

Vraiment vous avez bien saisi cette notion. Je vous félicite et merci infiniment

[@lahceen8785]

comme etudiant en maroc j'ai jamais vue une explication pareille merici infiniment

[@xavierseibi6319]

Merci ! Une approche magistrale .

[@abderrzakjraifi5005]

💚💚💚

[@tourneriealexandre7669]

Superbe vidéo !

[@aziz0x00]

Video INCRYOABLE!!!! MERCI BEAUCOUUUPP

[@angelinag5076]

Super cette vidéo !

[@cristellerenaut2647]

Merci

[@djoumsdjoums]

Quel super expérience

[@DarkAngel-jk5sg]

Bravo, vous etes formidable

[@user-qi5hq1wv4i]

Très beau merici inffffffffffffffffffinement

[@Ovoui]

merci grace a toi j'ai peut etre ma l3 chacal

[@Thomaths]

Bon courage chacal, on y croit

[@ericventalon6113]

La topologie et l analyse objet en informatique sont proches. Remarque le sql est issu de la topologie. Vos cours sont d une clartés impressionnante c est vraiment agréable. C est la base de la théorie des nœuds ?

[@Thomaths]

Merci pour votre message ! En effet, la topologie joue un rôle fondamental pour la théorie des nœuds. Les meilleurs moyens pour distinguer des nœuds que je connais sont des invariants issus de la topologie algébrique, mais aussi mélangé avec la théorie des représentations. - Alex

[@mohamedelmatal6820]

dans le definition de la continuité vous avez utilisé l'inverse de f ,donc il faut que f soit dés le départ surjective pour qu'on ait le droit d'en parler

[@Thomaths]

En effet, on suppose f bijective, càd. injective et surjective. - Alex

[@tchbast1661]

Super vidéo. J'avais du mal à comprendre plusieurs choses et j'ai presque tout compris maintenant. Juste un problème de compréhension sur un point (si qqn peut m'éclaircir dessus) : Si par exemple je veux faire une topologie sur [0,2], est ce que [0,1] peut être un sous-ensemble dans la topologie de [0,2], càd si je veux faire une topologie sur cet intervalle, est ce que [0,1] peut être un ouvert? vu que [0,1] est un fermé, je ne comprend pas trop. En définissant T={[0,2], (ensemble vide), [0,1]}, est ce que T est une topologie sur [0,2] (il me semble que T vérifie les propriétés qui défissent une topologie si je ne dis pas de bêtises)?

[@Thomaths]

Bonjour, merci pour ton retour. Pour ta question, oui en effet, il est possible de munir [0,2] avec une topologie telle que [0,1] soit un ouvert, par exemple la topologie maximale où tous les sous-ensembles sont ouverts. Juste attention, [0,1] est un fermé pour la topologie usuelle (celle qui vient avec la distance sur les nombres réels), mais il y a des topologies bizarres dans lesquelles [0,1] n'est pas un fermé (par exemple la topologie minimale ou bien l'exemple T que tu donnes qui est en effet une topologie). - Alex

[@xavierseibi6319]

@@Thomaths bonjour je veux prendre des cours pour préparer l'agrégation interne en France je suis enseignant en mathématiques.je dois tout devoir et maitriser .Je vous remercie.

[@evanpique7447]

Super vidéo. Mais qu'est ce que ça signifie exactement que f soit continue?

[@Thomaths]

Bonsoir, la définition intuitive de la continuité d'une fonction f est que f(x) varie peu quand x varie peu. La définition topologique rend cette intuition rigoureuse tout en restant très générale. - Alex

[@mickaelb3108]

Pour compléter, je rajouterai qu'un contre-exemple aide à sentir un peu la notion : si tu considères une fonction qui vaut 0 partout sauf en un point A où elle vaut 1, alors à chaque fois que tu te placera en x=A et que tu fera varier x, même un tout petit peu, tu retombera sur 0. Mettons par exemple que h soit un nombre que tu peux choisir aussi petit que tu veux, alors f(A+h) = 0 pour tout h non nul, et f(A) = 1. Bref, si tu bouges tu tombes! Pour le cas des fonctions réelles, disons que f est continue si tu peux la dessiner "sans lever le crayon", c'est pas rigoureux du tout comme formulation mais pour débuter ça marche bien :)

[@jamelbenahmed4788]

En fait cela signifie pour une fonction que tu peux la tracer sans lever le crayon la fonction tangente par exemple n’est pas continue, mais la fonction sinus l’est, car sa réciproque, elle peut être déformé en l’axe x. Je sais pas si tu as compris parce que sans feuille et stylo c’est pas clair.

[@jamelbenahmed4788]

La réponse de thomaths est juste, elle vérifie cette propriété mais si ce n’est pas clair tu peux en apprendre la définition et comprendre.

[@nolann6324]

Bonjour, merci beaucoup pour cette vidéo très claire, j'ai cependant une question sur la démonstration du fait que toute image par une application continue d'un compact soit un compact : Vous dite que f(K) admet un recouvrement (potentiellement infini) par des ouvert, ensuite on utilise le fait que l'application reciproque f^-1 conserve les ouverts pour dire que K est recouvert par des ouverts, et que puisque c'est un compact seul un nombre fini d'entre eux sont nécessaires (jusque là tout va bien), cependant pour revenir à f(K) vous appliquez f à chaque ouvert recouvrant K, or vous avez dit que l'image d'un ouvert par une application continue n'est pas forcément un ouvert, donc le recouvrement fini de f(K) ne fait pas forcement intervenir que des ouverts, et on ne peut pas conclure que c'est un compact. Si vous pouviez m'aider à saisir cette partie du raisonnement, ça m'aiderait beaucoup, bonne journée !

[@Thomaths]

Bonjour, Donnons un nom aux ouverts du recouvrement de f(K) : O_i (avec i un index qui peut parcourir un ensemble non-dénombrable). Les préimages f^(-1)(O_i) sont des ouverts couvrant K, donc on peut restreindre l'index i à un ensemble fini. Alors la dernière étape de la preuve est que les O_i avec i dans cet ensemble fini couvrent déjà f(K). C'est probablement mal dit dans la vidéo, mais on ne prend pas l'image de f^(-1)(O_i) par f, mais juste le O_i correspondant qui par définition est ouvert. J'espère que cela clarifie la preuve. - Alex

[@nolann6324]

@@Thomaths d'accord je crois mieux comprendre, merci beaucoup !

[@drdarth3115]

Excellente vidéo ! Est-ce que tu comptes aller jusqu'à une introduction à la géométrie différentielle? Tu as oublié de mettre des tomates dans la description par contre.

[@Thomaths]

Bonjour, pour les deux vidéos de topologie je ne compte pas parler de géométrie différentielle. Ce sera peut-être un sujet futur en revanche. - Alex Merci pour ton intérêt ! Qu'est-ce que tu entends par "des tomates dans la description" ? Tu penses qu'on devrait écrire la difficulté dans les descriptions des vidéos ? :) - Eve

[@drdarth3115]

@@Thomaths Oui, vous avez dit "une tomate" c'est de la vulgarisation, "deux tomates" c'est lycée/licence et "trois tomates c'est "licence/master". Je ne fais que me tenir à ce que vous avez dit dans vos premières vidéos :) Et pour la géo diff, je pensais à une perspective à moyen terme en effet. J'ai en tête la mécanique analytique à vrai dire... Qu'en pensez-vous?

[@Thomaths]

@@drdarth3115 Oui, les tomates sont sur les miniatures de vidéos, pour que vous puissiez voir tout de suite le niveau sans même l'ouvrir :) tu penses qu'on devrait aussi les mettre dans la description ? - Eve

[@drdarth3115]

@@Thomaths Oui, il vaut mieux que l'information puisse être vue en même temps que la vidéo, par soucis de clarté. Non? Pour la géo diff, je pensais à la mécanique Hamiltonienne, Théorème de Noether, importance pour la physique, tout ça tout ça :)

[@Thomaths]

@@drdarth3115 ça marche je prends note. Pour les questions d'ordre mathématique c'est Alex qui te répondra, je lui rappellerai demain ! - Eve

[@mohamedelmatal6820]

dans la minute 17:23 l'ouvert que vous avez ajouté ne convient pas car il n'est pas une partie de [0,1]

[@Thomaths]

Vous pointez un point un peu subtil : l'ouvert qu'on ajoute à 17:23, c'est l'intersection de [0,1] avec la boule montrée. Cela donne un intervalle [0,e[ pour un certain 0

[@mohamedelmatal6820]

@@Thomaths hélas je n 'y compris pas Mais posons la question suivante [0,1] est un compact ,alors trouvez une famille finie d'ouverts de [0,1] qui recouvre [0,1]

[@Thomaths]

​@@mohamedelmatal6820 Désolé pour la réponse très tardive, je n'avais pas vu votre message avant. Pour répondre à votre question précise : [0,1] est un ouvert dans lui-même (l'espace tout entier est toujours un ouvert) et il couvre bien sûr lui-même. Il ne faut pas se laisser tromper par le fait que [0,1] vit aussi dans R, où il n'est pas ouvert... La notion qu'il faut approfondir est celle de la "topologie induite". La topologie de R induit une topologie sur [0,1]. Par définition, un ouvert de [0,1] est une intersection d'un ouvert de R avec [0,1]. Voir aussi la page wikipédia fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_induite. J'espère que cela éclaire votre question. - Alex

[@mohamedelmatal6820]

@@Thomaths bien compris Merci scincerement

[@nouhailaflower182]

Est ce que on peut dire que l'univers est un espace fermé ?

[@Thomaths]

Bonjour, Oui, l'univers (défini comme "tout ce qui existe") est fermé. En topologie, l'espace tout entier est toujours fermé. Mais attention, cela n'implique pas que l'univers est fini (au sense "diamètre fini"). - Alex

[@alexvernes9264]

Ouroboros

[@cedricdjoumessi963]

Merci pour la vidéo, assez édifiante. voici un lien vers une vidéo en anglais (elle dure moins de 4 minutes), je souhaiterais que tu y jettes un coup d'oeil et reviennes m'aider à la comprendre...bref, je veux comprendre la vidéo en lien ci-dessous, elle est en anglais et me chauffe la tete. Merci. kzbin.info/www/bejne/jKbHdKd7qbOLmKs

[@Thomaths]

Bonjour, la vidéo est assez étrange. Je n'ai jamais entendu parler d'un "flot topologique". J'ai l'impression que le mot "topologie" n'est pas bien utilisé dans la vidéo, car en changeant la discrétisation, le modèle ne change pas sa topologie ; c'est justement un invariant. Peut-être que la vidéo ne parle pas de la topologie de l'objet, mais de celle du graphe... - Alex

[@fares8005]

14:40 Euh, ni la notion de fermé (complet?) ni de borné sont invariantes topologiquement. :/ Exemple : t'as R et ]0,1[ (avec topologies usuelles) qui sont homéomorphes, et pourtant...

[@Thomaths]

Très bonne remarque, merci de l'avoir soulevée. C'est la combinaison fermé + borné qui est invariante - c'est justement la compacité. Ce que je dis à 14:40 est effectivement faux... - Alex

[@fares8005]

@@Thomaths même ça, faut le prendre avec des pincettes car ça n'est pas vrai pour tout espace métrique. Chouette vidéo, sinon. Et merci à micmath de me faire découvrir ta chaîne :)

[@Thomaths]

Rebonsoir, En fait on peut donner un sens à ce que j'ai dit : la notion d'être fermé dans R^n est invariante sous homéomorphismes de R^n (vers lui-même). De même pour "borné". Donc parler d'une partie bornée / fermée dans R^n est topologiquement bien défini. - Alex

[@fares8005]

@@Thomaths J'ai peut-être mal compris ce message. Déjà, et pour éviter la confusion, est-ce que par "fermé" tu entends "complet" (Toute séquence de Cauchy converge) ? Parce que R est complet, ]0,1[ ne l'est pas, et les deux espaces sont homéomorphes. Est-ce que par "borné", tu veux dire que les distances sont majorées? Parce que ]0,1[ est borné, R ne l'est pas, et les deux espaces sont homéomorphes.

[@Thomaths]

@@fares8005 Bonsoir, par fermé, j'entends le complémentaire d'un ouvert. Sur R^n, c'est équivalent à complet. Par borné, j'entends un sous-ensemble de R^n qu'on peut inclure dans une boule (d'un certain rayon fini). Sur R^n, la propriété "fermé + borné" est équivalente à être compacte, c'est donc une propriété topologique. Comme tu l'as soulevé un fermé peut être homéomorphe à un ouvert. Donc ni "fermé", ni "borné" n'est un invariant topologique. Mais quand on considère un couple (R^n, X) avec X un sous-ensemble fermé de R^n, et un homéomorphisme h: R^n -> R^n, alors h(X) est également fermé. De même en remplaçant "fermé" par "borné". J'espère que c'est plus clair maintenant. - Alex

[@jamelbenahmed4788]

Mais… excuse moi, quelle différence entre une transformation topologique et un homéomorphisme ? Les deux sont des bijections continues dont leur bijection réciproque est continue.

[@Thomaths]

Les deux termes sont en effet synonyme. - Alex

[@jamelbenahmed4788]

Aussi pour la feuille vers 3:30 la deuxième est dans tous les cas homéomorphe à la première, donc je dirais à R2 ( sans compter la petite épaisseur mentionnée dans la vidéo sur la forme de l’univers) même un ouvert d’un espace topologique c’est quoi ? En +, un tore à n trous c un n up le tore.