Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной

[@notorious9568]

30 минут - доказательство того, что объясняют без доказательства в школе несколько месяцев. Аплодисменты стоя, Борис

[@МайвандАмири-х5у]

@Oleg Neschadimov, через интеграл с погрешностями?) Мне казалось, что интеграл в точности выводит площадь той или иной фигуры. Если бесконечно тонкие прямоугольники просуммировать, то выйдет фигура, площадь которой стремится к искомой фигуре, подвергшейся разбиению на эти бесконечно малые прямоугольники по толщине. Погрешность будет, если говорить, что именно сумма этих маленьких прямоугольников равна площади нашей фигуры, а не стремится к ней. Мы понимаем, что если мы возьмём предел этого бесконечного суммирования, то он будет равен площади нашей фигуры при бесконечно большом разбиении. А найти предел того, куда стремится сама площадь бесконечно тонкого разбиения есть В ТОЧНОСТИ площадь нашей фигуры. Насколько я слышал, то строго это доказывается в ВУЗе, там ещё доказывается, что разбиение и суммирование не только стремится к площади нашей фигуры, но и её предел равен интегралу) Да и назвать БЕЗ ОСНОВАНИЙ (подчёркиваю) непонимающим человека, который преподавал в ФТ, занимался наукой, было бы странным. Вам разве не показалось, что он хотел, что бы мы просто прочувствовали то, откуда это берётся? Разве вывод через интеграл даст такое чувственное понимание и ощущение этих вещей?

[@stepan-klyukin]

в школе между темами заставляют решать задачи

[@BilyJean831]

Вообще-то не 30,а 29.50. Мы на канале математики или где, ёптваю?

[@anarchaqueerswillsavetheworld]

@@BilyJean831 ну, не 29,50, тебе нужно ещё секунды перевести в минуты, будет 29,8(3) минут, если я правильно посчитала, конечно, время бесячее

[@ЖанатБек-к7г]

С,чего,началось,интегральное,вычесление

[@coscosru]

10 лет преподаю математику, но настолько красивое и наглядное объяснение меня просто сразило. Спасибо!

[@kot_obormot]

Вы так расказываете, как будто какую то историю, с неожиданными сюжетными поворотами, прописанными персонажами и захватывающими пейзажами и всё каким то таким мягким таинственным голосом! Невероятно

[@sassas5121]

Настолько просто и красиво, что можно включать в школьный курс. Великолепно объяснено. С Уважением!

[@kazekekassenov6840]

так оно и есть школьной программе :/

[@memhispeedrun7368]

@@kazekekassenov6840 Где оно в школьной программе? Мне никто ни разу это не доказывал (я в 11 классе)

[@servenserov]

Спустя год прослушал снова, как хороший художественный фильм пересмотрел! Жаль второй лайк 👍 не поставить.

[@gitely4613]

Это были единственные полезные 30 минут за сегодня, спасибо!

[@inside9226]

Это шедевральное видео. Такое интересное и простое доказательство, вижу в первые. Спасибо за проделанную работу

[@АлександрТ-ц3ч]

Блин, смотрел про шар и аж как прозрел! Про 1/3 я знал, а вот загадочные 4/3 всегда интересовали. Огромнейшая благодарность за объяснение! Теперь буду знать и смогу ребёнку объяснить, когда ему понадобится! А лучше покажу видео!

[@vfhufhbnfvfrhblbyf]

как же я люблю, когда вы говорите "красиво, да?"🙂

[@ibrahimpasha3035]

Когда за 15 минут (v 2х) видео узнал больше, чем за всю третью четверть на геометрии. Так интересно подать материал, вы просто нечто! Спасибо вам!

[@atfasa1004]

Аве Куристина, куда поступать будешь?

[@ibrahimpasha3035]

@@atfasa1004, на физтех пмф, скорее всего

[@atfasa1004]

@@ibrahimpasha3035 ух, красавчик, удачи🌚🍀

[@qwerty3973]

Куда поступил?

[@ibrahimpasha3035]

qwerty, на физтех (ФУПМ).

[@persej911]

Доказательство на пальцах Офигеть! Сложное это сумма простых.

[@vesnaq8]

Спасибо, за Ваши видео. И, правда, болтать лучше с Вами!

[@АртурЮсупов-о3в]

Прекрасный ролик, я когда-то доказывал то же самое, но с помощью интегралов. А способ с конусом и полусферой оказался очень красив.

[@Shilka23-4]

здраствуйте, можете ли посоветовать видео по доказательству чернз интегралл?

[@the_naikam]

Как обычно и бывает: "ребята, запомните этот коэффициент и не вникайте откуда он взялся, вам это не нужно". Я иду в 11 класс в сентябре и кажется так и будет. Соглашусь, что класс у меня "глупенький" и они это точно не поймут, но мне это могут объяснить, поскольку знают, что я люблю сложности и люблю копаться в чём-то сложном для других для того, чтобы лучше понимать как устроен этот мир) Это действительно полезно знать - это развивает мышление, логику, понимание. Спасибо, Борис!

[@МаксимМаксим-э5л]

Многии коэфиценты в физике и химии появились потому что...потому что так померяли!! То же число пи померяли

[@fail_0112]

@@МаксимМаксим-э5л это шутка?)

[@МаксимМаксим-э5л]

@@fail_0112 нет. Число пи =3.14.... бо таково соотношение, почему оно такое? Потому что так природой создано. И многие величины в физике/химии/математики именно померяли, почему они равны именно этим цифрам мы НЕ знаем и никогда не узнаем точно.... Это от природы так

[@fail_0112]

@@МаксимМаксим-э5л Но его ведь математически вычислили, а не померяли) можно вычислить с любой точностью взяв вписанный и описанные многоугольники) хоть до миллионов знаков после запятой!

[@nickyurov6558]

выведение объема шара - красота

[@ЕвгенийСалров]

Ну шарик конечно пи тот ещё, но мне понравилось. Раза 3 пересмотрел, теперь точно понял и даже сам для себя доказал. Думаю, что с такими эмоциями я объем этого шарика уже никогда в жизни не забуду.... Борису как всегда огромное спасибо :)

[@ivansmarzhevskiy4752]

Блеск! Как Борис объясняет, это сказка! Я сам препод, понимаю как это сложно - объяснять просто, слушаю и наслаждаюсь! Супер!!!!! Спасибо! И дочке школьнице теперь есть что показать!

[@svetlanaivanova3538]

Спасибо! Всегда полезно смотреть ваши видео!

[@АлмазМухамедьяров-у6я]

Боряяя!!! Ты один из тех немногих самых лучших!!!!!!

[@iam9601]

Здравствуйте, Борис! Это единственное краткое и интересное видео на ютубе, где так красиво выводятся эти формулы. Было бы невероятно здорово, если бы такое вышло и про площади. Заранее спасибо!

[@NikolajMihajlenko]

Интеграл даёт результат, а Трушин - понимание человеческое! Спасибо! Thank you!

[@YaVajax]

Оооооообалдеть!!!!!!! Суууупееер!!!!!!!!!!!!!!!

[@One-androgyne]

Просто волшебство какое то, а так даже и не скажешь что они равны, ай да принцип Ковальери, круто!!!

[@vfhufhbnfvfrhblbyf]

Вы первый, с кем стало интересно учить математику. Спасибо вам большое, Борис

[@НикитаШевчик]

Хорошо, что Трушин существует. Несколько дней понятное семикласснику объяснение искал.

[@streetworkout3690]

Мне больше всего понравился выведение объема шара. Очень интересная зависимость!!!!

[@NazarBrudkov]

Всегда мысленно использовал принцип Квальери

[@БахаСуханов-з9в]

господи, спасибо большое за этот ролик, у меня в тестовой части постоянно 8 задание хромала, теперь разобрался, благодаря этому видео...Благодарю!!

[@РусланПолянский-х7б]

Ты лучший... Готовлюсь к цт в свои 36, и поражаюсь, почему в школе мне так не объясняли...

[@ivmusic7714]

Борис, и ролик великолепный получился, и вы великолепны, как обычно ! ‼️

[@Homayoun197250]

Спасибо большое за ваши отличные видео из Германии.

[@vedmafia]

Всё это знал, но забыл. Спасибо за видео! Вспомнил и теперь не забуду!

[@Kaktus_77]

Мне 33. За плечами два высших - магистратура экономическая и высшее техническое в области систем управления. Никогда не задумывался про доказательство "железных" формул, но оооочень понравилось видео про тонкости))))) Мне нужен был такой учитель по математике в школе!!!!! Молодец!

[@begula_chan]

Офигеть, это гениально! Спасибо!

[@nurik2009]

Красавчик 😊😊😊

[@skvDave1]

29 минут удовольствия) спасибо большое!

[@tastypie2276]

Спасибо!!!Круто...просто КРУТО!!!!!!!

[@romb2011]

Красота!)

[@ВикторКонтуров]

Вывод объема шара невероятно красивый!

[@artmus208]

Замечательное видео, жду разбор площадей! Спасибо Вам!

[@elenainyoutube3320]

Дождались, Артур? Я что- то не нашла разбора площадей. Кто знает, по площадям поверхностей тоже видео есть? И про поверхность шара?

[@РоманХохлов-я6щ]

Когда Трушин сказал, про то, что объем имеет отношение к интегралу - мне стало очевидно :)

[@Гольяновская]

Восхитительно!!!

[@lirxgod]

Это гениально!!!

[@КамиллаМаремкулова-ф4э]

Спасииибо!

[@АбдуллажонАтажанов]

Спасибо вам за прекрасный ролик Борис. Вы элементарно объяснили тему.

[@абвг-о6у]

Отличный учитель

[@dashkindashkin]

И безо всякого там интегрирования. Изящно

[@НадеждаГоннова]

Благодарю Вас

[@awthgq729]

очень полезное видео! сразу стало все на свои места😉

[@andreyshudrik1140]

Огромное спасибо!

[@davidblbulyan3077]

26:02 У меня чуть-чуть другая мысль возникла, если рассматривать половинку шарика и "воронку", образованную если из цилиндра выскребсти конус. ТО эти два объёма равны. Т.е. площади в каждом сечении одинаковы.

[@АндрейКононенко-п2м]

Образующая у конуса (прямая) и кривая шара малосопостовимы, не так ли?

[@daniilyanenko5946]

Trushin the best!)

[@СашаЛифляндский]

Очень круто! Спасибо

[@shameless2150]

Крутое объяснение, спасибо большое!

[@ДмитрийАндреев-щ5м]

Спасибо за видео. Очень помогло)))

[@mirmirov9527]

Это гениально

[@DmiFre]

Не знаю, откуда этот стишок взяла наша учительница математики, но я его помню уже очень много лет: «Объём же шара лаконичен, И, как ни странно, гармоничен. Звучит, как наш оркестр в клубе: Четыре третьих пи эр в кубе» Пользуйтесь, не благодарите :)

[@leonidsamoylov2485]

ну да. а площать поверхности шара отсюда очень просто получается. это даже в учебнике Киселёва есть! спасибо. Я именно в учебнике Киселёва принцип Кавальери нашёл, он для объема шара приведён в этом учебнике в приложении.

[@nickyurov6558]

Три года прошло с момента, как я в первый раз посмотрел этот ролик. Кстати, а про площади, вроде, так и не появился ролик.

[@ДенисТакарчук]

Все отмечают красивую логику в выводе формулы обьема шара но по моему переход от обьема призмы к обьему конуса не менее хорош.

[@мишароман-о7ф]

Вау, спасибо)

[@quantum1065]

Борис, вы не могли бы, пожалуйста, записать про вычисление неопределённых интегралов будь-то способы взятия и тп. Уж очень интересно было бы послушать об этом от вас, спасибо.

[@АндрейПеревеев-и7п]

Спасибо Борис. Помню летом задался вопросом, как вывести объемы элементарных фигур, не используя интегралы. Сам решал эти старые задачи и придумал похожие методы (не хотелось смотреть в учебник, чтобы самому найти ответ на этот вопрос). Школьникам это уж точно полезно.

[@rammbrbad3283]

Давай вывод теоремы ПИКА

[@АртёмБаранов-г9и]

Ты про формулу Пика?

[@MsAlexandr76]

Нахождение объёма шара - ГЕНИАЛЬНО!!!!!

[@sapfiria1133]

Супер)!

[@AS_tutor]

С шаром просто прекрасно, аплодирую стоя!

[@Black-hl3xr]

Я очень жду видео про поверхности! Когда в школе это объясняли пробовала сама это вывести, но немного не получилось

[@math_777]

Ждем видео, где будет разобраны площади поверхностей!

[@zippka]

Объяснение объёма круга классное)

[@timofejmazniov8529]

Вот бы мне в школе кто-нибудь хоть на одну треть так объяснял.

[@witaliyspirid6929]

Круто!!!

[@NovAl83]

Огонь.!

[@ԱնժիկՄարտոյան]

Спасибо большое

[@ДанилПетров-ф8к]

Борис Трушин расскажите пожалуйста про ряд Тейлора.

[@wasys1309]

Красиво

[@vkarpinsky]

Интересно, что объём и площадь поверхности шара связаны через производную: (4/3 * πr³)' = 4πr² А также площадь круга и длина окружности: (π r²)' = 2πr Можно это прокомментировать? Справедливо ли это и для других фигур?

[@ВасилийДемьянов-р9и]

Вот это здОрово!!!!! А ведь верно! Что- то в этом есть!!!! Но что???... Мироздание не зря это сделало, Математика- ( в лице _Vladimir Karpi)-это подметила. Объяснить КАК???!!! Без "ТРУШИНЫХ"-не обойтись... Ждём обоснований-обьяснений. Хотя интуитивно всё правильно. Ускорение- скорость- путь. Обьём- площадь- длина... ...Где Вы- НЬЮТОНЫ-ЛЕЙБНИЦЫ 21 века?!

[@F_A_F123]

Если подумать, то понятно почему. Изменение объёма шара при каком-то маленьком изменении радиуса - это объём "сферы" с толстыми стенками, и он (примерно) равен площади поверхности настоящей сферы, умноженной на толщину "сферы", т.е. на изменение радиуса. Производная объёма шара относительно радиуса - это предел отношения изменения объёма к толщине, т.е. это и есть площадь поверхности. ΔV = S * ΔR + o(ΔR), => S = (ΔV - o(ΔR))/ΔR = = dV/dR . Аналогично с кругом: ΔS = C * ΔR + o(ΔR) C = (ΔS - o(ΔR))/ΔR = dS/dR. И понятно, что аналогично можно сделать и для других фигур: изменение объёма куба при маленьком изменении длины ребра - это объём "полого куба с толстыми стенками" (или как это называется). Объём этого "полого куба" - это площадь поверхности нормального куба на толщину этого "полого куба". Понятно, что толщина этого полого куба - половина изменения длины стороны. Вот и получаем: ΔV = S * (Δa/2)+ o(Δa/2) S = (ΔV - o(Δa/2))/(Δa/2) = = dV/d(a/2), т.е. производная объёма относительно половины длины ребра. И это так и есть: a³ = (2 * a/2)³ = 2³ * (a/2)³ = 8 (a/2)³ Обозначим x = a/2: (8 x³)' = 8 * 3x² = 24 x² = 24 * (2x/2)² = 24/2² * (2x)² = 6 * (2x)² = 6a² - всё верно. Аналогично с квадратом.

[@gLg359]

Какую задачу решал Кавальери придя к такому выводу (принципу)? И какая точная формулировка самого принципа?

[@BackStab1988]

Жесть, круто с шаром

[@craftsmanPE]

Спасибо за видео Борис Викторович, как всегда на высоте. Очень хотелось, чтоб вы рассказали про первообразную и интегралы, просто лично я не очень понимаю почему, площадь под графиком |v(t)| в координатах (v;t), за опр. промежуток времени, будет равна путю тела за этот промежуток времени. так-же я не очень понимаю почему среднее арифметическое всех значений функции f(x), на определенном промежутке, в координатах (f(x),x), будет равна площади под графиком на этом участке, деленная на его длину.

[@trushinbv]

У меня есть заготовки на видео про интеграл. На какие-то из этих вопросов оно ответит.

[@АлександрФилин-н2ф]

с 18:00 просто слушал голос, ничего не понятно но очень интересно

[@brewdc]

эх вот бы про площадь поверхности ролик

[@dangerenok]

Наконец узнал как доказываются формулы объемов.. Не было этого в нашей программе. Спасибо! Все-таки считаю что современная программа обучения более сложна.

[@trushinbv]

В современной программе вообще ничего не доказывают (

[@leon_gothier]

Борис Викторович,когда Вы каждый раз говорили "клякса" я орал на всю квартиру.

[@cnfnbcn3227]

Хотелось бы услышать доказательство формулы площади круга.

[@aastapchik8991]

Определенный интеграл в помощь)

[@МихаилУжов-е2й]

Считаем доказанным, что для любой окружности отношение ее длины к радиусу постоянно и равно 2π. Т.е. L=2πR. Разобьём круг на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник с длиной основания L и высотой R, который тоже разобьём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса r и длины l=2πr можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины l. Тогда, по принципу Кавальери, площади круга и треугольника равны. Площадь треугольника находится как произведение длины его основания на половину высоты: S=LR/2=2πR×R/2=πR²

[@k0tyak1t15]

Ее можно вывести на коленке за 5 минут

[@СтепанКоровицкий]

не понял на моменте 17:59 . как у одной и той же пирамиды может быть 2 основания?

[@miaymiay03]

Ооо, Спасибо Больше за такой разбор !!! Теперь я понимаю формулы, а не тупо заучиваю их !!

[@xlenchik]

про объем шара гениально. так и думала, что есть простое объяснение откуда взялось 4/3. Кстати, аналогично можно объяснить про площади плоских фигур - площадь треугольника - это 1/2 высоту * на основание (так как прямоугольник разрезается на два треугольника), параллелограм - основание на высоту, трапеция - два основания, значит, берем их среднее арифметическое и умножаем на высоту и т.д.

[@servenserov]

Есть юбилейный 1000-й лайк! Наивно думал, что без интегрирования эти формулы не вывести.

[@ibragimzaripov4]

Лучший

[@sergeymesky535]

класс

[@smarthedgehog3185]

Спасибо за красивое объяснение. А как насчёт объёма произвольной фигуры вращения :)

[@umudumu]

Получил геометрический оргазм. Оказывается, всё так просто и логично. Вас бы клонировать и в каждую школу вести математику с такой страстью, пониманием и интересом.

[@АндрейАризоль-е3й]

Получил оргазм? Подрочил?

[@ilyavpro]

Хотелось бы увидеть ролик по формуле Пика. Просто, вы какая я понял, что не совсем честно ей пользоваться и мы её не понимаем. Даёшь дискретную геометрию!

[@NikolayVityazev]

ага, красиво!

[@catalinalove5458]

Почти закончила 9 класс, учусь в Фоксфорде, думаю, что буду заниматься в курсах с Вами, когда будут 10-11 классы! Спасибо за такое объяснение, недавно как раз изучали объёмы!

[@trushinbv]

В 9 классе уже объемы? Здорово )

[@catalinalove5458]

@@trushinbv да, уже. И достаточно много задач решили с ними, заодно некоторые и с ЕГЭ с ними.

[@andrerussian4016]

почему на 22:10 гипотенуза треугольника == R? Не очевидно

[@skinscreams2375]

Потому что R это отрезок проведенный из центра к любой точке поверхности шара

[@skinscreams2375]

Меня больше волнует вопрос в самом конце 27:40 если пирамида равна 1/3 цилиндра, а 2 пирамиды равны шару, то две пирамиды и шар в сумме будут давать 4/3 от цилиндра

[@ikelarev]

очкруто, спасибо!

[@МихаилВасюков-р2д]

Добрый день! Как вычислить объем сложной фигуры (например орган человека), если известны площади параллельных сечений и высота фигуры. Применима ли формула: средняя арифметическая площадь сечения умноженная на высоту

[@dinnerbone6706]

В теории можно засунуть орган в сосуд с водой и отмерить на сколько поднялся уровень воды (h), и зa формулой (h × пи r²) узнать объем)

[@ИсламАушев-ч5ж]

интеграл же

[@dlemish]

🔥