ВЗВЕШИВАНИЯ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ! ЗАГАДКА КОРОЛЯ И ЮВЕЛИРА!

Здесь завершается разбор трудного и красивого
листочка про взвешивания. Последняя задача про
короля, ювелира и украшения - это украшение на
торте математики, просто настоящая вишенка!!!
Друзья!!! Надо вот это сделать:
🎯 Поддержать популяризацию математики на Бусти:
boosty.to/savvateev
, а то у меня немного проседают доходы по иным
моим видам деятельности. Помогайте держаться
на плаву семье Савватеевых :-)))!
Ресурсы про школьное образование:
Телеграм-канал о проблемах образования: t.me/alexei_savvateev
Для добровольцев спасения школы: [e-mail]
Сайт: роднаяшкола.рф/, тег: #роднаяшкола
Ещё ресурсы, уже просто мои:
alexei_savvateev
/ aleksey_savvateev
savvateev.livejournal.com
savvateev.xyz
t.me/savvateev_xyz

[@user-rb8ux1no6j]

Ребзя, всем спасибо за разные варианты решений!!!!! Я не могу вникнуть во всё, но классно, что высылаете на всеобщее обозрение!!!! Привет с Байкала!!!!

[@user-oz6gi9hz9o]

Папа у Маши силен в математике. учится папа за Машу решать. где это видано, где это слыхано папа решает , а Маша сдает.

[@rmnmlv9328]

Чтобы ни у кого не было «затыков» в таких задачах. Включаем информационные соображения: (приведу пример рассуждений в задаче 8) Всего исходов 8, за тест имеем три ветки (>, и < штуки симметричные, поэтому количество исходов в этих пространствах равно, а значит единственный вариант разбиения: 3, 3, 2, а значит хотя бы 1 монета каждого материала участвует в первом взвешивание, причем монеты одного материала на разных чашах. Все три на одну чашу положить не можем (равенства не будет), поэтому приходим к единственному возможному первому взвешиванию: З1 + С1 / С2 + Б2 (единственному, очевидно, до перестановки элементов и индексов). В равенство заходит 2 исхода, просто С1 / С2 взвешиваем, остается разобраться с >, где исходов 3. Тут возникает несколько вариантов, но суть в том, что если между З и Б равенство, мы однозначно определяем фальшивое оно или истинное (я про качество монет), поэтому второе взвешивание можно сделать кучей способов, главное понять, что есть 3 исхода, 3 варианта ответа, ну и воспользоваться информацией предыдущего взвешивания. В общем разбирайте пошагово пространство моделей, либо докажете, что алгоритма нет, либо найдете его (разумеется, что работает не всегда, но в большинстве школьных задач, особенно за пятый класс, уверен, что да)

[@mikhailevdokimov7853]

Добрый день, Алексей. Рад, что вам понравилась моя задачка про царя и ювелира. Для меня задачки для олимпиад (ММО, Тургор и других) это просто хобби, работа совсем другая:) Некоторые задачки моего авторства также разбирались на этом канале. Канал хороший, мне было бы интересно посотрудничать. Мне кажется, что мы занимаемся одним делом - популяризация математики. Например, я много лет сотрудничаю с замечательным журналом "Квантик", который рекомендую всем детям, кто серьёзно увлекается математикой.

[@user-rb8ux1no6j]

Привет, Михаил !! Супер!!!! С удовольствием запишу тебя!!!!! Готовь подборочку самых красивых задачек :-)))! Вернусь в Москву, найдём осенью денёк и запишемся у нас на студии!!!!!!!!!! Пиши на hibiny собака мейл ру!

[@mikhailevdokimov7853]

Привет, Алексей! Отправил на почту)

[@SykrinEgor]

Школа 444 - лучшая! 10-ый класс - 18 часов математики в неделю.

[@Святой_Патрик]

Третья 4 и два вроде. Ах ты ж. ювелир... Нельзя упускать! =) Я не решил. =) Классная задача.

[@user-yb4rr4jz2n]

О 6 и 7 задачах. Этим способом можно решать от 3 до бесконечного количества монет. Главное - чтоб условия по фальшивым не менялись. Суть в том, что все монеты делятся на три примерно равные части и сравниваются с калибровкой по количеству. если третья кучка по количеству монет не меньше первой(1 и 2 кучки равны по количеству) и не больше 2 первых, то мы получаем ответ, в какой из них тяжелая/легкая.

[@dontechmash]

Можно обобщить для общего количества монет кратное 4.. тогда два взвешивания можно определить кота Базилео: на взвесить половинки: выявить меньшую половину, а потом взвесить четвертинки меньшей: 1) если второе взвешивание равенство - тяжелая половина имеет монету тяжелее 2) если не равно значит в одной из четвертинок одна монета легче!

[@michaelbuzuverov67]

Я решал 8-ю задачу так: Первое взвешивание: кладем на одну чашу весов золотую + серебряную монеты, на вторую - серебряную + медную. Мы знаем что одна серебряная монета настоящая (тяжелее), а вторая - фальшивая (легче). 1. Весы в равновесии. Это может быть только в том случае когда рядом с настоящей серебряной монетой лежит фальшивая, а с фальшивой - настоящая. И у нас еще две монеты - золотая и медная, который, очевидно, разные (одна настоящая, вторая фальшивая). Тогда второе взвешивание - взвесить их. Отсюда мы поймем какая фальшивая (допустим золотая). Тогда золотая, которая участвовала в первом взвешивании - настоящая, медная - фальшивая и лежавшая с ней на чаше весов серебряная - тоже настоящая. 2. Весы не в равновесии. Тогда чаша которая опустилась вниз содержит настоящую серебряную монету. Предположим это правая чаша. Возможны варианты: а) золотая и медная - обе настоящие. б) золотая и медная - обе фальшивые в) на левой чаше - фальшивая, на правой - настоящая. Предположим что на правой чаше лежит медная монета. Второе взвешивание - берем медную монету с правой чаши и взвешиваем с золотой монетой, которая не участвовала в первом взвешивании. Варианты: а) весы в равновесии. Обе монеты фальшивыми быть не могут, так как это означало бы что в первом взвешивании весы должны были остаться в равновесии. Значит обе монеты настоящие. Серебряную мы знаем из первого взвешивания, задача решена. б) весы склонились. Тогда мы знаем настоящую и фальшивую монеты из золота и меди, соответственно, знаем и настоящие. А настоящую серебряную мы уже нашли из первого взвешивания.

[@romanapanovich5267]

Такс. Другой метод для 5-6 задач берём по 4 монеты. Если равны - то остаётся одна (две,три,четыре) монеты неиспользованные - взвешиваем их с соотв. количеством из первого взвешивания - тут всё понятно. Если в первом взвешивании первые четыре монеты тяжелее, то разбиваем их на две части - две по две. И взвешиваем между собой те, что тяжелее. Если во втором взвешивании чаши равны - значит, в первом взвешивании фальшивые монеты были во второй чаше - соотв. Если вторая чаша была легче - это Алиса, если тяжелее - это Базилио Если во втором взвешивании одна чаша тяжелее - значит, фальшивая монета находится среди этих четырёх, а суммарно они были тяжелее второй чаши - соотв. у нас есть одна монета, которая тяжелее остальных - значит, это монета Базилио.

[@romanapanovich5267]

такс. 8я. Берём по одной монете каждого вида на одну чашу - и по одной на вторую. У нас два варианта - либо чаши равны, либо одна больше другой. - предположим, чаши равны. Тогда у нас одинаковое количество фальшивых монет на каждой стороне - но это априори невозможно, ведь фальшивых монет три. - следовательно, мы определим, что в чаше А одна фальшивая монета (чаша А тяжелее), а в чаше Б - две. Убираем с чаш медные монеты. Тогда у нас остаётся две монеты золотые и две серебрянные. Более того, серебрянные монеты меняем между собой местами после второго взвешивания у нас может быть три ситуации а) если чаши выровнялись, значит, у нас на данный момент количество фальшивых монет одинаковое. Значит, фальшивой монетой в чаше А изначально была медная (предположим, что это не так и изначально фальшивой монетой была золотая только. Тогда переложив из чаши Б серебрянную монету в чашу А мы бы имели две фальшивые монеты в чаше А. Если же изначально у нас фальшивая была серебрянная, то поменяв местами серебрянные, в чаше А мы бы не оставили ни одной монеты). Тогда ясно, что медная фальшивая монета - это та, которая изначально была в чаше А. Золотая осталась неподвижной - поэтому она в чаше А настоящая, а в чаше Б фальшивая. А серебрянная - наоборот. б) если чаша А осталась тяжелее чаши Б - это означает, что медная монета в чаше А изначально была настоящая (иначе мы бы имели картину, описанную в первом случае). И на данный момент в чаше А обе монеты настоящие, иначе чаша А была бы равна или легче чаше Б в) соотв. если чаша А стала лешче чаши Б - значит, медная монета в чаше А изначально была настоящая, а на данный момент обе настоящие золотая и серебрянная лежат в чаше Б.

[@Святой_Патрик]

Вторую задачу через паузу решил. =) 3-3 2-1

[@Святой_Патрик]

Ой, пропустил видос. 5 дней... Лето. Да, у всех лето, давайте поинтересней или продолжу срач в ЖЖ. =)

[@user-ki9jq5zb5s]

В задаче номер 6 есть еще одно решение.Сначала взвешиваем четыре и четыре монеты,если первая четверка перевесила-то взвешиваем две и две монеты,которые входят в юту четверку.Если весы показали неравно,то во второй четверке настоящие монеты,а в первой монета кота базилио,если же весы показали рвно,то фалишивая монета во второй четверке,это будет монета лисы алисы. Аналогично поступаем,если весы показали,что первая четверка меньше. Если весы показали равно,при взвешивании четверок,то фальшивая монета последняя,просто взвешиваем ее с любой из оставшихся восьми монет и по результату определяем ее тип.

[@user-yb4rr4jz2n]

В 7 это тоже сработает.

[@zengardius8471]

я минут за 10 решил задачу с золотыми, медными и серебряными монетками. Если кому интересно, я расскажу алгоритм

[@user-oq3gg1dv9u]

Кладем золото, серебро, медь на обе чаши весов. Там где вес больше - там 1 фальшивая.. Второе взвешивание- берем кучку с одной фальшивой и взвешиваем две любых из неё. И определяем какая фальшивая. Она будет на чаше весов, если весы не уравновешены, либо не на весах, если весы уравновешены. Всё.

[@vd0venk0]

в первом случае на чаше с большим весом может и не быть фальшивых, а будут все настоящие

[@Nina_Ruban]

Алексей, а вы когда-нибудь работали в КГУ?

[@user-rb8ux1no6j]

вроде нет :-)) КГУ бывают разные :-))

[@agrd6762]

Первое взвешивание золото+серебо vs. серебро+бронза Одна золотая и одна бронзовая монеты не взвешиваются. При этом возможны восемь вариантов. В двух - весы в равновеси. Три варианта если серебро и золото тежелее. И три, если серебро и бронза. Второе взвешивание. При равновесии взвешиваем золото и бронзу, которые были на весах. Если равновесия нет, взвешиваем золото, которое было на весах и бронзу которое отложили. Это позволит определить всё остальное. Все варианты здесь слишком долго расписывать.

[@user-jf3ir7fc3l]

монеты: з0 с0 м0 з1 с1 м1 1-е взвешивание: з0с0 / с1м1 Варианты настоящих: 1) з0 с0 м0 - 1-е взвешивание > 2) з0 с0 м1 - 1-е взвешивание > 3) з0 с1 м0 - 1-е взвешивание = 4) з0 с1 м1 - 1-е взвешивание < 5) з1 с0 м0 - 1-е взвешивание > 6) з1 с0 м1 - 1-е взвешивание = 7) з1 с1 м0 - 1-е взвешивание < 8) з1 с1 м1 - 1-е взвешивание < 1-е взвешивание: з0с0 / с1м1 если з0с0 > с1м1 => НН>ФФ или НН>ФН или ФН>ФФ (с0=Н) Остались варианты: 1, 2, 5 2-е взвешивание: з0 / м0 з0 = м0 => Н=Н - это вариант 1) з0 с0 м0 з0 > м0 => Н>Ф - это вариант 2) з0 с0 м1 з0 < м0 => Ф НФ Н>Ф - это вариант 7) з1 с1 м0 з1 < м1 => Ф ФН=ФН или НФ=НФ Остались варианты: 3, 6 2-е взвешивание: с0 / с1 с0 > с1 => Н>Ф - это вариант 6) з1 с0 м1 с0 < с1 => Ф

[@romanapanovich5267]

такс) 9я задача. Пауза ... добрёл до такого решения 39+38+37+36 = 32+31+30+29+28 И это единственный расклад, когда первые четыре монеты будут другим пяти (в левой части максимальная сумма из 4х слагаемых, в правой - минимальная из пяти). Тогда мы точно знаем, что вес неиспользованных украшений = 33+34+35 = 102. Кладем их на правую чашу. А в левой оставляем 39 и кладем туда ещё 32 и 31. 39+32+31 = 33+34+35 Ни одно другое сочетание одного веса из левой чаши и двух весов из правой чаши первого взвешивания не даст такой суммы (мы взяли наибольшее число из левой чаши и сложили с двумя наибольшими числами из правой). Следовательно, мы действительно доказали, что данное украшение имеет вес 39

[@romanapanovich5267]

УРА)))

[@user-yl3jo7dj2l]

Мама у Маши слаба в математике - Маша поэтому и родилась

[@elordis287]

По 8 задаче. 1) Взвешиваем З1+М1 ? С1+М2. 2) Если одна группа легче другой, то в ней обе монеты фальшивые, а в другой - настоящие. То есть мы сразу получили, что, допустим, З1, М1 - фальшивые, а С1, М2 - настоящие. З2, С2, очевидно оказываются настоящими. 3) Если получили равенство, то значит у нас в обеих группах по одной настоящей и одной фальшивой монете. Варианты ФФ=ФФ и НН=НН невозможны, так как получится, что у нас медные монеты одинаковы. 4) Просто убираем медные монеты и взвешиваем З1 ? С1. Равенства быть не может в силу соображений из п.3. и того факта, что мы точно убрали из набора одну фальшивую и одну настоящую (медную) монету. Получаем, что, допустим З1 - фальшивая, С1 - настоящая. Значит М1- настоящая, М2 - фальшивая. Ну а значит З2 - настоящая, С1 - фальшивая.

[@iljas275]

8 задача. 1 взвешивание: з1+с1 против м1+с2. Если з1+с1 тяжелее, то они настоящие, м1 и с2 фальшивые, з2 фальшивая, м2 настоящая. Если перевес в другую сторону, то все наоборот. Если в первом взвешивании равенство, то 2 взвешивание : з1+с2 против з2+м2. Заметим, что з1и с2 одинаковые по весу, а з2 и м2 различные. Значит равенства быть не может. Если з1+с2 > з2+м2, то з1, с2, м2 настоящие, з2, м1, с1 фальшивые, а если з1+с2

[@user-mf8fm9dj5m]

"8 задача. 1 взвешивание: з1+с1 против м1+с2. Если з1+с1 тяжелее, то они настоящие, м1 и с2 фальшивые, з2 фальшивая,... " з1 и м1 могут быть фальшивыми, либо настоящими одновременно.

[@iljas275]

@@user-mf8fm9dj5m Спасибо! Нужно второе взвешивание : з1+м1 против з2+м2. Если з1+м1>з2+м2, то з1 и м1 и с1 настоящие, остальные фальшивые. если з1+м1 < з2+м2, то з2, м2 и с1 настоящие, остальные фальшивые. Огромное спасибо, я исправлю текст!

[@vadimzh186]

8 задача решается за 2 минуты в уме, если её переозвучить как "из 6 монет 3 фальшивые...". Если золото, серебро и бронза весят одинаково, то это избыточное условие

[@romanapanovich5267]

ну... априори - не лишнее. Кроме того, что 3 фальшивые, такое условие нам даёт ещё и информацию о попарности - т.е. не просто 3 из 6 фальшивые, а одна из этих двух + одна из этих дву + одна из этих двух. Такое условие мне позволило решить задачу. А вот в том условии, которое предлагаете вы - ммм - сходу не придумывается. Сейчас подумаю.

[@romanapanovich5267]

Итак, мы знаем, что три монеты фальшивые, и что они весят меньше. Это 20 всевозможных сочетаний (трёх фальшивых монет из шести). А нам за два взвешивания максимум возможны 9 исходов (3x3). Значит, не согласен с вами. При данных вами условиях невозможно решить задачу.

[@user-yb4rr4jz2n]

8 задача. Берем монеты А1, Б1 и взвешиваем. Если А1>Б1, тогда А1-настоящая, Б1- фальшивая, а Б2 настоящая. Сравниваем А1 с В1 и если А1>В1, то В2 настоящая, а В1 фальшивая.

[@olegrybalko5953]

А если А1=Б1?

[@user-yb4rr4jz2n]

@@olegrybalko5953 хорошо, что ты спросил. Я об этом не подумал. В таком случае у нас будет А1=Б1; А2=Б2. Тогда берём одну монету из этих пар и сравниваем с монетой из пары В1. Допустим опять А1. Если А1 больше или меньше, то всё решается, а если опять равно, то нет, поэтому решение неправильное. Но вероятность этого 12,5%.

[@Moma_Fugu]

В первой задаче за 2 взвешивания удастся лишь определить, в какой кучке есть фальшивая. А далее нужно сделать еще одно взвешивание, чтобы определить, какая из 3 фальшивая. Т.е. получается три взвешивания: 1. 3 и 3 2. Если они не равны,то надо оставшиеся 3 (наст) взвесить с одной кучкой с первого взвешивания 3. Если они не равны, то из ненастоящих взвесить по одной, чтобы определить фальшивую За 2 взвешивания можно узнать, если четко знать, что фальшивая тяжелее или легче

[@Moma_Fugu]

Ой, я именно искал фальшивую, а не просто определял, тяжелее или легче 🤦‍♂️

[@Святой_Патрик]

Но почему фальшивая больше-то весит? Не наоборот? =)

[@rotoboravtov4354]

Спойлер: Альтернативный шаг 2 в последней задаче: 39 + 35 > 37 + 36. Такое возможно только если мы выбрали 39 из наибольшей группы.

[@olegrybalko5953]

На одну чашу кладем золотую и серебряную. На другую медную и серебряную. Если равно то варианты: 1. Зол фальш + сер наст = мед наст + сер фальш. 2. Зол наст + сер фальш = мед фальш + сер наст. Второе взешивание Сравним золотую и серебряную, которые лежали в одной чаше Та которая тяжелее - настоящая. Соответственно остальные вычисляются. Если чаша с золотой и серебряной тяжелее то варианты: 1. Зол наст + сереб наст > сереб фальш + мед фальш 2. Зол наст + сереб наст > сереб фальш + мед наст Второе взвешивание Сравниваем сереб и медную с одной чаши, если равы, то обе фальшивые. Есле медная тяжелее, то она настоящая, а серебряная фальшивая. Варианты когда зол и серебряная легче аналогичен

[@user-sc3ti6gl1h]

Чет не понял а как рассчитать по первому способу медную? Точнее как найти не настоящцю медную

[@olegrybalko5953]

@@user-sc3ti6gl1h если серебряная настоящая, то медная фальшивая. Если золтая, то наоборот

[@agrd6762]

Вы не учитываете вариант 3. Зол. фальш + серебро наст > серебро фальш + медь фальш В моём решении медь только названа бронзой. И при равенстве действия другие. Но при равенстве можно и как у вас действовать.

[@olegrybalko5953]

@@agrd6762 да. Вы правы

[@olegrybalko5953]

@@agrd6762 учитывая третий вариант. Нужно переложить серебряную на одну чашу. А медную с золотой. Тогда если равны, то золотая настоящая, медная фальшивая. Если серебряная перевесила, то золотая и медная фальшивая, если золотая и медная перевесила, то обе настоящие

[@Dymer-wi2fd2nj6r]

Но ведь мы не нашли 1 фал шивую, а нашли 3 , среди них фал шивая-задача не решена

[@oleksandrdrevytskyi2768]

Нужно не найти фальшивую, а узнать, тяжелее она или легче настоящей

[@mr.tablett2586]

Задачка на внимательность)

[@user-nq9kr8ws4o]

Последняя задача не решена. Всё 6 весов можно уменьшить на 1

[@xenon_kms]

Мы берем три, которые не трогали в первый раз. По другому их взять нельзя, и такой вес другими монетами, при условии, что из тяжелой группы берем только одну, тоже набрать нельзя. Вариант единственный использован.