Welchen FLÄCHENINHALT haben die GELBEN HALBKREISE?🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie

Bei der Geometrie Aufgabe dieser Woche geht es um Folgendes: In einem Rechteck befinden sich zwei Halbkreise, die sich berühren. Außen an dem Rechteck befinden sich drei weitere Halbkreise, die alle einen Flächeninhalt von 16 haben. Der Durchmesser eines solchen Halbkreises entspricht also gerade der Seitenlänge des Rechtecks. Die Länge der anderen Seite des Rechtecks wiederum setzt sich zusammen aus dem Durchmesser des kleineren inneren Halbkreises plus dem Durchmesser eines Halbkreises mit Flächeninhalt 16. Mithilfe dieser Informationen soll der Flächeninhalt der beiden inneren Kreise herausgefunden werden.
Kommst du auf die Lösung? 😉
Welchen FLÄCHENINHALT haben die GELBEN HALBKREISE?🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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[@RealNelsonC]

Wie du das Pi schreibst, macht mich wahnsinnig... das sieht bei dir aus wie ein u mit Strich drüber 😄

[@popogast]

Substitution: Pi = u quer.😀 Der Rest passt schon.

[@ralfbauerfeind8236]

8:20 32/pi + 4 mal 32/pi ist 5 mal 32/pi Oder irre ich mich da? 😉

[@entwurzler]

Stimmt so kann man es auch zusammenfassen :) das Ergebnis bleibt aber das gleiche 5x(32/pi)= 160/pi

[@hubertroscher1818]

Geht auch ohne "Zahlenrechnen- Orchidee"🤓... Sieht jetzt nur etwas "VIEL" aus, weil ich jeden witzigsten Schritt erkläre, was die Sache etwas "textlastig" macht. 👹 Nennen wir mal den Radius dieser roten Kreise: "a" (der Wert ist ja aus der "16" berechenbar). Dann haben wir ein Rechteck: Oben: r + r + a + a = 2r + 2a Unten: R+R = 2R Links bzw rechts: a+a = 2a Vergleich Oberkante mit Unterkante ergibt: 2r + 2a = 2R 👉 r = R - a ‼️ Brauchen wir mehrmals! Verbinde die Mittelpunkte der gelben Kreise über ihren Berührungspunkt: r + R = ? ... Wir ersetzen "r" durch "R - a": Dann ist diese Strecke: "2R - a" und die brauchen wir als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wir fällen das Lot vom Mittelpunkt des oberen (kleinen) gelben Kreises auf die "untere" Seite des Rechtecks. Da haben wir die eine Kathete des Dreiecks mit der Länge 👉 "2a". Zweite Kathete ergibt sich aus der Differenz: R - r = R - (R - a) 👉 = a. Also zusammengefasst: Rechtwinkliges Dreieck, gleich in Pythagoras-Form geschrieben: (2a)² + (a)² = (2R - a)² Ausmultipliziert mit zweiter binomische Formel: 4a² + a² = 4R² - 4aR + a² Ein a² links und rechts und die "4" kürzen sich raus, bleibt: a² = R² - aR Umgestellt... R² - aR - a² = 0 Das "riecht" schon mal nach p-q-Lösungsformel für quadratische Gleichungen mit R als Unbekannter. R = 0,5a +/- Wurzel(0,25a² + a²) Die negative Lösung können wir getrost vergessen. Die positive Lösung vereinfacht: 👉 R = a(0,5 + Wurzel(1,25)) Da so ein Zahlen-Monster nur nervt, sperren wir es in eine Konstante: K = 0,5 + Wurzel(1,25). 👉 R = aK Groß-Err "R" haben wir: jetzt brauchen wir noch Klein-Err "r". Da hilft uns unsere Beziehung von ganz oben... r = R - a Also ... r = aK - a 👉 r = a(K - 1) Da wir jetzt "R" und "r" haben, können wir die "Summe der Flächen", nennen wir sie "F", der beiden gelben Halbkreise, rechnerisch ansetzen: F = 0,5 Pi (R² + r²) = 0,5 Pi ( a²K² + a²(K -1)² ) = 0,5 Pi a² (K² + (K² -2K +1) ) = 0,5 Pi a² (2K² - 2K +1) Dieser Term "0,5 Pi a²" ist übrigens die Fläche "16" jedes dieser roten Halbkreise. Damit wird... F = 16(2K² - 2K + 1) Erinnern wir uns: K = 0,5 + Wurzel(1,25). Der Term (2K² -2K +1) besteht nur aus Zahlen und er gibt ausgerechnet: 👉 (2K² -2K +1) = 3 (Ich könnte das Ausrechnen der "3" noch unter diesen Post hängen). --- Die gesuchte Fläche "F" ist also... F = 16 mal 3 = 48‼️‼️

[@entwurzler]

Danke für die Mühen für diesen alternativen Lösungsweg 🙏

[@hubertroscher1818]

Ausrechnen der "3", also Terms T= (2K² -2K +1) Wir erinnern wir: K = 0,5 + Wurzel(1,25). Ich nenne mal die Wurzel(1,25) einfach "W". W² ist dann 1,25. --- T = 2*(0,5+W)*(0,5+W) -2*(0,5+W) +1 --- 2*(0,25+2*0,5*W+W²) -1 -2*W +1 --- 0,5 + 2*W + 2*1,25 -1 -2*W +1 --- 3 + 2*W - 1 - 2*W + 1 --- Bleibt... 3 !! Term T = 3 ‼️

[@hubertroscher1818]

​@@entwurzlerGerne.🤓 "Man gönnt sich ja sonst nichts."😸