Wie lautet die Ableitung? - Klammer ableiten

[@MathemaTrick]

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[@bjornfeuerbacher5514]

Perfektes Timing, den Stoff mache ich in ca. 2 Wochen mit meiner Klasse. :)

[@Tsiniastje]

Das war für mich vor langer Zeit (60 Jahre) aber immer noch sehr interessant, besonders mit deinen Aussagen! Grüße aus Belgien

[@BerndLercher]

Hab Matura vor 35 Jahren gemacht! Tolle Beispiele und nicht zu schwierig für mich; zuminindest was das Nachvollziehen anlangt!

[@wernerpohl1142]

Danke, Susanne, für diese schöne Auffrischung der Ableitungsregeln. Nach kurzem Stopp für die eigene Lösung hat mich Deine Reihenfolge bei der Kettenregel überrascht: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung". Bei Mehrfachverkettungen - z.B. f(x) = u(v(w(x))) - hieß es immer "Äußere Ableitung mal 1. innere Ableitung mal 2. innere Ableitung mal...": f'(x) = u'(v(w(x))) * (v(w(x)))' = u'(v(w(x))) * v'(w(x)) *w'(x) ist ein Produkt, also kommutativ (Reihenfolge der Faktoren beliebig tauschbar). Mir fällt spontan kein Grund ein, warum wir damals den Merksatz "Äußere Ableitung mal innere Ableitung" lernten. Hast du eine Idee? Dank vorab, Werner

[@roland3et]

Herrlich: "weil das hoch 4 sagt, hey ich bin zuerst dran" 😂! Schönes Beispiel locker vorgerechnet! 🙂👻

[@m.h.6470]

Ich würde noch mindestens die 6 aus dem letzten Term ausklammern, da es einfach nur ein Faktor ist. Bei einem eventuellen weiteren Ableiten kann dieser dann mit zur ersten Klammer gezogen werden, damit die Zahlen nicht so groß werden.

[@teejay7578]

Die Anwendung der Kettenregel habe ich so beigebracht bekommen, von außen nach innen zu gehen, also erstmal die Ableitung von der äußeren Funktion zu bilden und das Ergebnis dann mit der Ableitung der inneren Funktion zu multiplizieren. Bei Aufgaben wie diesen spielt das keine Rolle, aber bei Funktionen wie z. B. (sin(x²))³, wo man die Kettenregel mehrmals anwenden muss, stelle ich es mir einfacher vor, von außen nach innen als von innen nach außen zu gehen. 🤔

[@roland3et]

Warum einfacher? Man muss doch sowieso alle Ableitungen bilden und dann wieder miteinander multiplizieren. Ihr Beispiel: f(x) = sin³(x²) f'(x) = 2x × cos(x²) × 3sin²(x²) Reihenfolge kann ja da jeder nach "Lust und Laune" (😉) wählen, oder? 🙂👻

[@susanna-be3ej]

Ich fange immer mit der inneren Ableitung an. Dann habe ich die einfacheren Terme vorne. Ist aber letztendlich egal.

[@Birol731]

Hallo Susanne, danke für diese interessante Aufgabe, hierzu meine Lösung ▶ 1) f(x) = 3x²*(2x+1) f(x)= u(x)*v(x) u(x)= 3x² u'(x)= 6x v(x)= (2x+1) v'(x)= 2 ⇒ f'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) f'(x)= 6x*(2x+1)+ 3x²*2 f'(x)= 12x²+6x+6x² f'(x)= 18x²+6x f'(x)= 6x(3x+1) 2) f(x) = 3x²*(2x+1)⁴ f(x)= u(x)*v(x) u(x)= 3x² u'(x)= 6x v(x)= (2x+1)⁴ v'(x)= 4*(2x+1)³*(2x+1)' v'(x)= 4*(2x+1)³*2 v'(x)= 8*(2x+1)³ ⇒ f'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) f'(x)= 6x*(2x+1)⁴+ 3x²*8*(2x+1)³ f'(x)= 6x*(2x+1)⁴+ 24x²*(2x+1)³ f'(x)= (2x+1)³[(2x+1)*6x+24x²] f'(x)= (2x+1)³[12x²+6x+24x²] f'(x)= (2x+1)³[36x²+6x] f'(x)= (2x+1)³[6x(6x+1)] f'(x)= 6x(2x+1)³(6x+1)

[@susisklenicka1336]

oje das erinnert mich an meine Schulzeit, wo ich völlig ausgestiegen bin, und nur die Rezepturen auswendig gelernt habe, ohne zu wissen, was ich da eigentlich tu . . . und heute ists nicht besser 😟

[@roland3et]

Ja, Susi, es ist in der Tat schade, dass in der Schule der Fokus von vielen (nicht allen!) Lehrern zu sehr auf "Klausurtraining" sprich Formeln auswendig lernen und Zahlen einsetzen, gelegt wird. Dabei bleiben dann die faszinierenden Ideen der Analysis-"Vorturner" Leibniz, Newton u. a. leider auf der Strecke, obwohl der Übergang von diskreter zu kontinuierlicher Mathematik einer der größten und wichtigsten Fortschritte in der Mathematik seit der Antike war. Sehr schade! 🤔🙂👻

[@bjornfeuerbacher5514]

@@roland3et Wieso meinst du automatisch, dass in dem Fall die Schuld beim Lehrer lag, obwohl die Schülerin doch schon selbst geschrieben hat, dass sie "ausgestiegen" ist und "nur die Rezepturen auswendig gelernt" hat? Klingt für mich schon so, als ob der Lehrer dazu noch mehr erklärt hätte, aber das hat sie halt leider nicht verstanden.

[@roland3et]

​​​​​​@@bjornfeuerbacher5514 ich hatte weder "automatisch" geschrieben noch gemeint und von "Schuld" war auch nicht die Rede! Ansonsten entspricht der Inhalt meiner Antwort _meinen_ mehrjährigen Erfahrungen mit Gymnasialschülern und ihren Mathelehrern. Sie mögen andere haben. 🙂👻

[@bjornfeuerbacher5514]

@@roland3et Ja, du hattest weder "automatisch" noch "Schuld" geschrieben, aber es kam halt so rüber, als ob du genau das gemeint hättest...

[@roland3et]

​​​@@bjornfeuerbacher5514 Es war so gemeint wie geschrieben: "bei vielen (nicht allen!) Lehrern". In meinen Augen sogar "bei zu vielen", jedenfalls entspricht das meiner persönlichen Erfahrung: ich unterstütze Schüler (auch gute) aus verschiedenen Jahrgängen, Schulen und Orten in Mathe und stoße immer wieder auf große Lücken im Verständnis der Zusammenhänge hinter den Rechenaufgaben. Das habe ich bei längeren Auslandsaufenthalten (Kanada, USA, Asien) ganz anders erlebt! Und ja, ich geb zu, das frustriert mich gelegentlich 🤷... Trotzdem, no offence! 🙂👻

[@rishiraj2548]

🙂🙏🏻

[@felistrix7163]

Ich fand es einfacher die Klammer aufzulösen und dann abzuleiten. f(x) = 3x²⋅(2x+1)⁴ = 3x²⋅(4x²+4x+1)² = 3x²⋅(16x⁴+32x³+8x²+8x+1) = 48x⁶+96x⁵+24x⁴+24x³+3x² f'(x) = 288x⁵+480x⁴+96x³+96x²+6x

[@MegaMCDOWNLOAD]

@@felistrix7163 Nichts für ungut, aber in welchem Universum ist dein Weg einfacher?

[@Claudia-io5pl]

Wann brauche ich eine Ableitung? 🤔

[@mule-ou5ii]

Als Blitzableiter bestimmt 😊

[@Oestemer]

um die Steigung in einem bestimmten Punkt zu berechnen, um Maxima und Minima zu finden usw. in der Physik ständig.

[@berndkru]

Überall, wo es um lokale Veränderungen einer Funktion geht. Wenn eine Funktion s(t) z.B. die zurückgelegte Strecke eines Autos in Abhängigkeit von der Zeit darstellt, so ist die Veränderung des Weges zu einem bestimmten Zeitpunkt de Geschwindigkeit v(t). Damit ist v(t) die Ableitung von s(t). Wie man so etwas berechnet, ist Bestandteil der Differentialrechnung, einem außerordentlichen wichtigen Teilgebiet der Mathematik mit zahlreichen Anwendungsmöglichkeiten. Im Gymnasium wird die Differentialrechnung meist in der 11. Klasse eingeführt.

[@Claudia-io5pl]

@@berndkru Vielen Dank!

[@Claudia-io5pl]

@@Oestemer Vielen Dank!

[@bachglocke3716]

Und jetzt noch alles ausmultiplizieren.... Pascal'sches Dreieck in Erinnerung rufen...

[@bachglocke3716]

Ich persönlich findes es bequemer zuerst die äußere Ableitung zu bilden und dann erst die innere (so kenne ich es aus dem Studium). Da scheint es doch verschiedene Meinungen zu geben ? Hauptsache das Ergebnis stimmt am Schluß!

[@markusgro-bolting6542]

Bei einer Multiplikation ist das ja wurscht, ob man die innere mit der äußeren Ableitung multipliziert oder umgekehrt.

[@bachglocke3716]

@@markusgro-bolting6542 Das ist richtig, es ist nur von der Vorgehensweise bequemer von außen nach innen - so meine Meinung. So haben wir es in der Math.Vorlesung gemacht.Trotzdem sind Susanne's Mathematik-Videos hervorragend gut !