【ゆっくり解説】なぜ円の面積は「半径×半径×π」なの？

[@yukkuri_suugaku]

【訂正】 11:31 正方形の面積と円の面積の分母分子が逆でした、、、申し訳ございません🙇🙇

[@peacefuljapans6286]

こういう解説動画を見ると、円に限らずどんなに複雑な形でも、長さと面積の関係を表すことができる微積分は偉大だと思います。

[@raisins-good]

近似とか微積って考え方に最初に気付いたって凄いことだな、ほんと。

[@yhmv]

動画内容8割ぐらい小学生の教科書に載ってる事柄だから、小学校の授業思い出してめちゃ懐かしく感じた。

[@Akimurach]

｢無限に分割して並べると長方形になる｣は納得しづらいけど、｢バームクーヘン状に切って真っ直ぐ伸ばすと(面積が変わらずに)長方形になる｣はとりあえず頷いてしまう不思議

[@お爺さん-k5i]

円周の定義から積分で… というのはも少し後になるかな 微積分を知ると色々な事が簡単に理解できるようになって、あのころはもの凄く知識欲が湧いた事を思い出しました 子供らに巧く説明できて納得してもらうと同じ体験になって知識欲が溢れてくるのかも知れませんね。この動画での各種図形の面積の説明はとても楽しかったです。もしかすると小学生の頃に教わったかのかなと思いましたが、円の面積については公式だけだった気がします

[@devonmorly9895]

バームクーヘンで求める方法って、円周を積分してるってことにもなるよね

[@youdenkisho455]

だから面積の式を微分すると円周の式になるんですよね

[@糀谷浩一-x6v]

球の表面積と体積も同じですよね。

[@user-o-by-Shanks]

ピザ型は逆にθ方向の積分やね

[@蓬生よもぎ]

中心から外方向へ向けて円周を足し合わせるって感じですかね

[@ぉヴぇ44]

いや、うちに来るバームクーヘンって中心部分がないんだが、みんなのところは中心の部分あるの？ ってこうした部分が理解できない人はここでも躓く

[@mac876plus]

小学生から中学生にかけて、数学が苦手な子には長方形を「雑巾の幅×掛けた距離」って教えて、後はどのように切り分けて並べ直すか？だけで全ての平面図形が説明できますね。学校では（私は）そのように教えています。円は無限に細く切ったおうぎ形を組み替えて長方形にすると・・・高校生の微分につながる。

[@ぉヴぇ44]

てか、「取り合えず覚えといて」っていう大雑把な部分が「理解できない」人が足踏みして先に進めないんだと思う

[@ts7049]

教師ちゅうのは、命令通りのことしか絶対にやらんさかいの。こういうことはまず言わんし、テストの答えも言わんわな。特に数学に関しては。

[@_orz._]

この動画の最初のやり方は教科書に載っていたので、それでも理解できない人はどうしようもないんじゃないですかね

[@りんごばなな-e3o]

@@_orz._ 私は自分で読み解くのと説明されて理解できるのは別物だと思います。

[@madannoshasyu]

素質がないんだよ。

[@kobkur1517]

@@りんごばなな-e3o この動画のやり方は教科書で紹介されているし、授業の中でも扱いますよ。

[@しゃちほこ-f1s]

この動画内では、長方形の面積を「疑問を持っても意味がない」と定義のように扱っていますが、 むしろこの公式は定理みたいなもんだと思います。 定義されているのは単位面積1cm^2の方でして、 それが横に何枚、縦に何枚入るか？　というのが長方形の面積公式の意味ですので これすらもちゃんと意味があるんですよ。

[@akkyprofile]

π=(円周)/(直径)じゃなくて、τ=(円周)/(半径)で計算するといろんな公式の形がわかりやすくなる・・・というやつが好きです。

[@りゅう-q6k8v]

τもオイラーとかもっと綺麗になって好きですけど今のままでも弧度法使えば半径に中心角（弧度法）かければ出るので嫌いでは無いです。

[@Lebron06]

τππ

[@SSakura46_]

やっぱ微積分って偉大なんやな これがわかるだけで面積のほとんどは説明できるもんな

[@arakawa3586]

台形は2つくっつけるってより 上底+下底の平均×高さ のイメージを持ってる そこから三角形は (上底(0)+下底(底辺))÷2×高さ のイメージ

[@Aniram.]

中心から同じ距離にある点の集合体は、 ・　円　△ ・正円　○

[@yasudan7690]

円を三角形の集まりに考えてその面積を計算すると 高さ＝半径ｒ、底辺の集積＝円周＝2πｒ 面積＝高さｒX底辺2πｒ÷2＝ｒX πｒ＝ｒの二乗X π ですね。

[@big_pochi]

縁を細かく切り分けると長方形にできるって習ったよね みんなが忘れてるだけ

[@prinprinprinprin]

俺が行ってた小学校は円の面積の求め方①を教えてくれた。結構神やったんやな...

[@lyricospinto8940]

sinXで置換積分してるから 出てきたπは円周率というよりも 180°を表す角度のことだと思うんですよね

[@みのむし-i5u]

個人的に円の面積の公式の証明で 半径rの円について、円周率をπとすると円周lは l=2πr ここで、関数f(x)=2πxを考える ∫[0→r]f(x)dx =[πx²][0→r] =πr² っていうやり方好き 原理は 4:45 と一緒だけど

[@masudora0903]

わかる

[@熊礎永代主事蔭紅]

『ヘロンの公式』の様に三辺の長さから面積を求める方法もある。 因みに、三角形の内角の合計は180度で・す・が・必ずしもそう成るとは限りません。 余弦定理や正弦定理を使用して内角や面積を求める方法もありますよ。 土地や測量の世界では、面積の求め方は、昔は三斜で求め、現在は座標を用いた計算(倍横距法)が一般的です。 これらの計算は、設計士や測量士ならば必須科目です。

[@Begins_with_smile]

円周L=π×直径Dは約束事です。と言う事は半径ｒで表現すると2πｒ、ここで円を小さな 円周が重なった存在と考えて、半径rで円周2πrを積分したら面積S=πr2になります。 球の場合ですと表面積4πr2が重なったのが体積と考え、半径rで4πr2を積分すると球の体積 公式V=4/3πr3になります。。。と私は理解しています。

[@だれか-i8t]

球の体積は積分だと理解しないやつが居るから視覚的に分かる四角錐に分けるやつが好き

[@Begins_with_smile]

個人的に図形面積式で一番証明が難しいのは私は楕円のπabだと思います。

[@jankppp]

この数学特有の「無限」という概念があるため、 0.999・・・＝１ なんていう式も成り立つと聞いたことがあるな。

[@big_pochi]

無限小数ならそうですね

[@KawaiiNegi-]

円周率の最後の話以外小学校で習うはずだから9割が知らないのは多すぎじゃね

[@Saibano-Midori4423]

球の体積と公式も同じ感じで、ちっさい三角錐に切り取ると暗記しなくても良くなるから学生の時使ってたなぁ。

[@たくや-m1h]

学校で、円の面積の求め方をケーキを切り分ける模型を使って説明してくれたのを懐かしく思い出しました。 かなり細かくて、たしか20等分くらいだったようです。 でも、他にバームクーヘン切り分け法はがあることは、この動画で初めて知りました。 授業で、バームクーヘン切り分け法ではなく、ケーキ切り分け法で説明していたのは、 きっと、こちらのほうが模型が作りやすかったからでは？だったのでしょうね。

[@コロ助ケチコロ]

ケーキの話は、極座標系の区分求積法ってことですね。 要は積分すると面積が求まるという。

[@yhara6284]

モンテカルロ法：円の定義で円周の部分は位置だけで幅を考えないのですが，例えば x^2 + y^2＝1 の円を考えたとき，(1,0) 等の点を含むか含まないかで相当変わります。

[@shinchangreen36]

細かいことですが、サイコロのところの説明で1／6に近付くのは確率じゃなくて割合ですね。

[@mcanthe]

ちゃんと考えるとπr2＝円の面積とはならないない。どこまでも近付き続ける状況を＝として扱っているだけで、逆にいうとどこまで行っても=にはならない。微分も同じ。純粋に数学の考え方ではなく実業的な取り扱い。

[@ぺん-k2q]

雑に円の面積が半径×半径×πになるなら、正方形で考えたら半径×半径×4になるから、比率的に正方形を4として考えた時に円は3.14なんだなぁとぼんやりと思ってた

[@youdenkisho455]

台形の面積の公式だけ覚えていると色々な面積の公式が導き出せる。 ・三角形 台形として考えると、 上底＝0 下底＝底辺 よって、 　面積 ＝(0+底辺)×高さ÷2 ＝底辺×高さ÷2 ・平行四辺形 台形として考えると、 上底＝底辺 下底＝底辺 よって、 　面積 ＝(底辺+底辺)×高さ÷2 ＝底辺×高さ ・長方形 台形として考えると、 上底＝よこ 下底＝よこ 高さ＝たて よって、 　面積 ＝(よこ+よこ)×たて÷2 ＝たて×よこ

[@abominate-r]

台形の面積は平行四辺形か三角形の面積の公式から導かれるからダメじゃね

[@youdenkisho455]

@@abominate-r それは動画内で言っていたので。 これはあくまで台形の面積の公式を正しいと仮定した上での話です。

[@abominate-r]

@@youdenkisho455 台形の面積積分しても示せるから大丈夫でした。 すみませんでした。

[@ゆるポタガチ勢]

昔ゆとり教育で、教科書から台形の面積の公式が消えるみたいな話になった時、いや逆に台形だけで良いだろと思った思い出。

[@Lion-l4q]

この動画が高校時代にあったならどれだけ数学を好きになれたか。苦手意識をなくせただろうか。成人になった今、数学の面白さに日々驚かされる毎日です。公式を単に覚えるだけでなく、そこから見える法則に気付く瞬間にこそ数学を学ぶ意義があると思います。自然科学の現象を現実世界に応用する具体例が知れるのは学びのモチベーションになります！

[@ryosuke8093]

数Ⅱの積分までなら円周2πrを0からrまで積分、 数Ⅲの極限までなら外接円の半径がrの正n角形の面積をn→∞、 数Ⅲの積分までなら円を直線の積み重ねと考えて2√(r²－x²)を－rからrまで積分とか？ いずれにせよ完全に厳密に自力で出したいのなら天才になるか数Ⅱの範囲までの極限をマスターする必要があると。 あとはパップス ギュルダンの定理を使って半径×((半径÷2)の半径の円の円周)とか？w

[@watabe7969]

lim[x→0] sinx/x=1を導くのに面積で挟み打ちするのは、面積を求めるのに導きたい極限を使うので循環論法となる。 これを避けようとすると、一例としてラジアンの定義を円周長でなく面積で行うことになる。この定義でもラジアンの性質は導ける。すると円の面積公式はほぼ定義となる。 積分するんだったら1/2 τr²にしろ！と言いたくなってしまうところ。

[@KawaiHiromi]

もし一番基準な空間が球面空間やったとしたらどうやろう？？？あたしらが平面やと思い込んでいるのが、めっちゃでかい球面の1微分部分やとしたら。。。

[@うめ吉-d2b]

おいらは高校生の時にバウムクーヘンを描いて、0からrまで積分して円の面積の公式を求めましたよ。

[@mac876plus]

【おまけ】円を三角形に変形した話の中で、斜辺が直線になるという証明がされていないので、三角形になると言うのは少し飛躍があると思っています。

[@ahcyunng]

受験の時は、今は無き(一回無くなって、復活したかな？)、「数ⅡB」までやったなー。

[@kogentahiiragi8746]

結局モンテカルロ法も無限に打たないと収束しない😅

[@tm6287]

無限はグラハム数より巨大数庭園数よりふぃっしゅ数ver.7よりデカいからな…

[@youdenkisho455]

By definitionでデカい

[@ヒロナベ-z1k]

ホールケーキを極限まで細かくショートケーキに切り分けて互い違いに組み合わせるとほぼ長方形になる。 その長方形の縦が半径で横が円周の半分と言えるから面積は半径×円周の半分になるっちゅうことだよなぁ

[@野崎悟-o5i]

そう説明してるだろ？動画見た？

[@ヒロナベ-z1k]

@@野崎悟-o5i さん 見てない 算数の教科書に乗ってる内容だったからそういうことだと思っただけ

[@mr9br6tnln]

面積の公式とか算数レベルの公式の範囲では、πのほうが綺麗な式になってしまうのが、諸悪の根源。 高等になればなるほど、原理的にτの方が理解しやすい。

[@ぬるぽ-t6k]

円周率とは四角い世界を丸い世界へ変換するための係数 π/2、近似値1.57が望ましい、これを円係数とする 円係数1.57をJとして次元をDとし、丸い領域に外接する矩形領域（四角）を□とする □ × J / D で全部でる 楕円の面積（真ん丸なら周も可）外接する長方形のJ/2（0.785） 楕円柱の体積（真ん丸なら表面積も可）外接する直方体のJ/2（0.785）（円柱は横から見ると四角く、3次元的には丸くないから次元は2） 楕円体の体積（真ん丸なら表面積も可）外接する直方体のJ/3（0.523333…） ただの比例関係 公式は幾つも要らない 三角係数は１かな？

[@mobius1253]

円の面積の実地学習の聖地としてケーキ屋をオープンして、修学旅行生を呼び込み、無限切り分けケーキ（長方形）を売って一儲けしたい

[@asakazefuji]

切りはりして長方形にするってドラえもんの算数本では見ましたねえ 教科書もそうなってるのかね(長方形の縦が半径、横が円周の半分だから半径×円周率)

[@goroumido7952]

π進数とか言う、使おうとしたら恐ろしくあたまが混乱する概念を調べてしまった…

[@璜瑛]

面積と円周の式の意味、これをキチンと知っているなら円周率およそ3でも良いんだけどね。

[@taroyamada5628]

バウムクーヘンを伸ばしたところで綺麗な帯にはならないよね

[@user-hs6oz7dn2g]

同じ直径の正方形の直径を一とした時の辺周の長さが３，14かと思ってたけど違うのか？

[@ts7049]

しょうもない駄洒落はさておいて、文系畑やと、これぐらいでいってもらわんと、結局何が何やら分からんことになったわ。高校とか、意味不明になっとったさかい。

[@qq9p9xw9k]

凄い、俺でも理解できた

[@藤光-v5u]

まずは円周からだ。 話はそれからだ…

[@atos4123]

免責・・・今度使わせてもらいます！

[@ペリー山田改めフルムーン山田]

この説明、学校の教科書に書いてあったよ。 だから俺は知ってた。

[@mathing810]

教科書に書いてあるってか、実際に円の形した紙をハサミで切って並べて ってのをやったんだが

[@KawaiHiromi]

あれ⁉️6.28のτを導入したとき円の面積が1/2τr^2になるから、τ×1/2r^2やから辺rの積分？？？のτ倍？ 確か球面上のπは4になったんやっけ、、、ならτは8か。、、、たしか球の体積には1/4が出てきたよな。。。 なんかがわかりそうでわからんぞ。。。。。

[@TheChi11]

免責したので登録しました 平行四辺形やら三角形やらの面積は 小学校で動画の通り教えてると思うんだけど

[@funar5113]

数Ⅲの授業で積分するとうんたらってやった時すげー！ってなったのが懐かしい

[@山崎洋一-j8c]

バーティーを開いて、円根…じゃなくて怨恨を水に流そうぜ　→ 宴の免責 そうしてパイを投げ合うと。

[@neofuture7435]

モンテカルロ法ってギャンブルで有名なやつだよな

[@こいつあいつ]

limitとかΣとか使うと、積分できて、計算できない？

[@TheOne-jq4iv]

性格な数学は動画の通りだが テキトーにやる場合は↓みたいになる 正方形の場合は半径×半径×4 それの内側の円の場合は、正方形の場合よりちょっと割り引いて、半径×半径×3くらい 以上！

[@松本幸夫-l7z]

小学校でそう習った。

[@uminotorikon4x6]

面積だけに、免責かぁ～(>_

[@lndianaGmhensonJr]

これいっつも思うけど、円周×半径の方が面積の本質を突いてると思うんだけどなあ…。これを公式として覚えようとして、結局忘れちゃう大人を見ると悲しくなる。

[@またの名を次男坊鴉]

機械屋はｒでなくＤで記憶してて一生忘れない記号ですね。2022/12/02

[@京のさとし]

円周率の発見がフロンティアだと思います。

[@キボウトクメイ-l1l]

ホールケーキ式でもバウムクーヘン式でも、公式の中で部分計算せずに半径×（直径×円周率）÷2にしたら理解できる子もちょっとは増えそう。

[@またの名を次男坊鴉]

機械系では丸軸などは直径Ｄで表されるため面積の計算では半径ｒは使わない、π×Ｄ×Ｄ／４で計算するね。（当然Ｄ×Ｄは自乗の事だが私のＰＣでは登録してないので小さな２が出てこない）　2022/12/02

[@オレはイケメン]

めちゃくちゃドヤってそう😅💦

[@ryuking21]

これは子供に見せてあげたい

[@hidenobuwatanabe7051]

小学校の授業でやったな。懐かしい。 多分みんなしってるんじゃないかな…　今の授業でやってないの？

[@siten225]

台形は斜めに切って欲しかった

[@bigmarch8686]

面倒なので、直径×直径×78.5って訳にはいかんのか？

[@はやぶさ-e5n]

円周を積分するから

[@dimitrovniko608]

πよりτがいいなぁ...

[@lengo6981]

直径✕直径✕π＝表面積。

[@sky1601]

4πr2

[@yamadatarou1517]

11:31 ここ書かれてる方は分子分母が逆になってない？

[@yuhshasama]

セリフのほうは合ってるのにね。

[@papills]

2πrの積分としか…

[@ut-napishtim]

最初のやつ小学校で習うよな？ 教科書ちゃんと読みましょう

[@Maneki-Neko53]

私の頃(50年近く前)は教科書に載ってなかったけど、先生が色チョークを使って8等分ぐらいの図を板書して説明してくれたのを覚えてる。

[@Arsche]

4／3πｒ＾3　で体積だっけ

[@jji4218]

π=c/d から自明だろ

[@wghifoens1448]

授業これでいいよね

[@野崎悟-o5i]

これ、小学校で習ったぞ。文系も理系も関係ないじゃん

[@sugao2009]

これ普通に算数の教科書に載ってるやつだよね。初耳とか言ってる人は算数の授業で何を聞いていたのだが

[@ts7049]

ああ、そういうことか。これだけ言うだけの能無しがテストのお勉強教えてるっつってんの。

[@晴-c8r]

教科書に落書きしてて聞いてなかったとか。

[@user-nume2assie]

オイラ知らなかった。授業を聞いていないのではなく、先生が教えなかったケースもあるぞ。だいたい、知らなくてはならないことではなかったし、オイラの時は、たぶん先生の興味の無い分野だったから、教えてもらうことは無かったワケで。

[@熊礎永代主事蔭紅]

私現在56才のおじさんですが、 小学生の算数の教科書の裏表紙に、多角形の面積の求め方が載ってました。 理科の教科書には、周期表が載ってました。 小学6年生の算数の教科書には、乱数表が、載ってました。 授業中によくそこばかり見ていた記憶があります。 お蔭様で、高校時代に測量士補の試験に合格、社会人になってから測量士に合格出来ました。 小中と算数数字の成績は良くはなかったですがね。

[@zuzu-zw4td]

教科書に載ってるやつだよね。 って一番恥ずかしい返答だよな。

[@user-yo2tz2kn1z]

ラムダ技術部がケーキでやってたやつだ

[@user-jb1wg4qq8y]

これ、昭和世代の人は義務教育中に習っているはず。。

[@mugakuninn]

「日本万歳」 習っていても、馬鹿から優秀まで分布してた当時の教室・・・ 習得も分布してるのでございます。

[@megurumegulu]

分子レベルでみたら凄く無駄な感じに思えるが。まぁ正直そこまでするなら切れよって思っちゃうわｗ

[@mugakuninn]

「日本万歳」 数学を苦手なのは大義や公式の発見年を教えられてないからだと思う。 たとえば5角形の書き方を覚えるのに発見？発明？年が在れば興味が湧く。

[@gado8974]

｢面積の正体｣なんて書いてあるから、｢そもそも面積とは何か｣という深い話かと思った。がっかり。

[@breakout8942]

そんなキレんなww

[@もとやん-h6d]

え、これ普通に小学校の時習ったけど。普通の公立小学校で、まあ40年前の話だけど。

[@hitsuki_karasuyama]

円周の長さの話をするなら、先ず曲線の長さを定義しろ 円周の長さを無限に細かく円を分割した点を結ぶ直線の合計の長さと定義するなら、円の面積は半径を高さ円周を底辺に持つ三角形の面積になるのは自明だからそこで話は終わる