Zerlege die Zahl 100 so in zwei Summanden, dass das Produkt maximal/minimal wird | Extremwertaufgabe

Im August 2021 bin ich mit meinem Freund auf ein Segelboot gezogen - die "Midnight Sun"! Darum schwanke ich mitsamt Tisch in den Videos auch immer leicht auf und ab 🙈.
Hier seht ihr unser Boot mal von innen: • #1 | Wir haben uns get...
Um den Traum vom eigenen Boot und dem ortsunabhängigen Leben verwirklichen zu können, habe ich mich selbständig gemacht und arbeite nun hauptberuflich als private Mathelehrerin:
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So können wir uns hin und wieder mal eine Nacht im Hafen leisten und müssen nicht immer ankern. Was ihr davon habt? Neue Videos!! Im Hafen kann ich nämlich neue Videos aufnehmen, beim Ankern schaukelt das Boot dafür leider zu sehr 😅.
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Fürs SEO: Zerlege die Zahl 100 so in zwei Summanden, dass das Produkt maximal/minimal wird | Extremwertaufgabe

[@Nikioko]

50 • 50 = 50² = 2500. Da brauche ich nicht zu rechnen. Denn alles andere wäre (50 + x)(50 - x) = 50² - x² = 2500 - x², also kleiner als 2500.

[@nilscibula5320]

Genau das war mein Gedanke. Wenn beide Summenden zusammen 100 ergeben sollen, sind sie im Durchschnitt 50. Das bedeutet, wenn einer kleiner als 50 wird, wird der andere automatisch im gleichen Maß größer als 50. Und das ist dann eben exakt die 3. binomische Formel. Und das ich dann insgesamt das größte Ergebnis bekomme, wenn der das "b" aus der binomischen Formel, welches ja quadriert abgezogen wird) möglichst klein ist, versteht sich von selber. Aber um das allgemeine Vorgehen zu erklären, ist es ein schönes Beispiel, grade weil man die Lösung im Kopf rausfinden kann und man sich somit voll auf den Weg konzentrieren kann.

[@shiju2720]

Ohne großartig irgendetwas zu errechnen denke ich da immer an die Tatsache, dass bei gegebenem Umfang eines Rechtecks der Flächeninhalt immer genau dann am größten ist, wenn das Rechteck ein Quadrat ist, also beide Seiten gleich groß. In diesem fall entspräche der Wert 100 dem Umfang (genauer gesagt wäre es hier nur der halbe Umfang, weil a+b, aber im Prinzip kommt man eh zu dem gleichen Ergebnis - mehr oder weniger), sodass man diesen halbiert und beide Summanden gleich groß sind (50).

[@charliecurjar1734]

Wollte ich auch gerade schreiben... wenn mann weiß, dass ein Quadrat das flächenmäßig größte Rechteck ist, muss man außer zu halbieren nichts rechnen... 😉

[@laurentw.261]

Genau daran dachte ich auch beim Zusehen. Geometrisch ist das dann auch sehr anschaulich.

[@markslowhand4214]

Genau, aber ist dann im dreidimensionalen auch der Würfel das größte Volumen bei gegebener Oberfläche, nur so als Analogie zum Quadrat im zweidimensionalen?

[@Ali-nd5kg]

Habe bei meiner mündlichen Matheprüfung 13 Punkte bekommen, danke für deine so guten Videos

[@magdaliebtmathe]

Oh mega!!! Glückwunsch!!!! 🍀 Aber wann und wo war die? Bei uns in NRW sind die immer erst im Juni 😃😅.

[@Ali-nd5kg]

Es war eine Klausurersatzleistung, also eine gute Übung und Möglichkeit gewesen, wie so eine Prüfung abläuft für das richtige Abitur und ich muss dadurch nicht die 2.te Klausur im 3 Semester schreiben :) Btw. gehe in Hamburg zur Schule 😁

[@magdaliebtmathe]

@@Ali-nd5kg Oh nice! Das ist ja echt ein cooles Angebot! 😇😇

[@monacurkovic9420]

Ich bin intuitiv ohne zu rechnen auf etwas in der Mitte gekommen, also auf 50. Die Funktion wird so super anschaulich. Vielen Dank.

[@zita585]

Eine schöne übung und eine schönere erklärende lösung, vielen dank. A+++

[@magdaliebtmathe]

Macht ihr zufällig gerade Extremwertaufgaben im Unterricht?

[@zumselman]

Sehr coole Aufgabe! Danke dafür und viele Grüße!

[@magdaliebtmathe]

Grüße zurück!! Und schönes Wochenende! 😇

[@stefka5107]

Vielen Dank für‘s vorrechnen, prima Übung für Extremwertaufgaben.

[@magdaliebtmathe]

Danke für das Lob, Stef!!! Es gibt sogar eine ganz Lernzusammenfassung mit noch mehr Übungsaufgaben zu Extremwertaufgaben! 😄🤗😍 www.magdaliebtmathe.com/analysis

[@Gerald-3fk9s]

9:36: So ein schlimmes Wort aber auch! Ich bin entsetzt! 😪 Ansonsten: Es macht Spaß der Mathe liebenden Magda zuzuschauen! 🥰

[@RobertHering-tq7bn]

Nette Aufgabe, die mich tatsächlich an die Schulzeit erinnert hat.

[@hermannschuster1358]

Die Zielfunktion ist doch eine quadratische Funktion mit negativem Leitkoeffizienten. Deren Graph ist nach unten geöffnet, sodass der Extremwert immer ein Hochpunkt sein muss.

[@Grossknecht]

Ich bin schon davon ausgegangen, dass es zwei *verschiedene* Summanden sein sollen und habe daher 51 und 49 geschätzt.

[@magdaliebtmathe]

Ah! Interessante Zusatzannahme! 😇 (War aber nicht der Aufgabenstellung entnehmbar)

[@attackontitan7647]

Vielen Dank

[@magdaliebtmathe]

Supergern. Hattet ihr sowas im Unterricht? Oder machst du Mathe eher „hobbymäßig“? 😃😬

[@attackontitan7647]

@@magdaliebtmathe Wir schreiben eine Klausur haha

[@vargad3919]

Hey Magda, ich habe die Aufgabe erst anders verstanden: Zerlege die Zahl 100 so in Summanden, dass das Produkt maximal / minimal wird. Sprich: es dürfen beliebig viele Summanden vorkommen. Das wäre eine schöne Variante, an die man noch einmal anders herangehen muss. Da würde mich auch deine Herangehensweise interessieren, weil ich bin nur durch Schätzungen näher gekommen und bin nicht sicher, ob meine Lösung wirklich richtig ist. Und: Macht es einen Unterschied, ob ich bei dieser Aufgabenstellung reelle Zahlen oder nur natürliche Zahlen zulasse?

[@dieschachbrettfee2060]

Interessante Aufgabe! Ich habe dazu schon eine Vermutung. In der Hauptaufgabe im Video macht es keinen Unterschied, bei der Variation am Ende mit dem niedrigsten Produkt, sowie deinen Variationen muss man sich auf nicht negative Zahlen beschränken, da das Produkt sonst beliebig hoch/tief werden kann.

[@renesperb]

Wenn man das Problem geometrisch interpretiert ist die Lösung sofort klar : Höhensatz von Euklid , der besagt dass das Produkt der Hypotenusenabschnitte p ,q im rechtwinkligen gleich der Höhe im Quadrat ist. Also Höhe maximal -> p = q =50. Es würde auch aus reinen Symmetrieüberlegungen folgen . Also ohne Differenzialrechnung!

[@magdaliebtmathe]

Oh wow! René! Voll die smarte Herangehensweise! 😍

[@cherry1leii]

ich habe ohne dieses Vorwissens 50 gesagt weil es sich richtig anfühlte 😃👌🏼

[@eugenvambolt8731]

Hab es auf die gleiche Weise gelöst (aber mit x und y). Schöne Aufgabe

[@walter_kunz]

Bei 6:45 muss gelten für einen HP gilt P´´(b)

[@magdaliebtmathe]

Ohje! Recht hast du! 🙈 Vielleicht sollte ich dich als "Korrekturgucker" engagieren? 😃😃 Superfleißig bist du auf jeden Fall heute!! Unglaublich! 😍😍

[@laurentw.261]

Sehr interessant und erinnert mich an eine ähnliche Aufgabe: Gegeben sei eine Konservendose mit dem Volumen 800 ml. Bei welchem Höhen/Durchmesser Verhältnis wird die geringe Menge Blech benötigt? Besonders interessant finde ich, dass bei anderen Volumen auch andere h/D Verhältnisse heraus kommen.

[@magdaliebtmathe]

Ohhh! Die ist auch super! Muss ich mal in Angriff nehmen - kommt definitiv auf die Ideenliste! 💡Dankeee! 🙏

[@laurentw.261]

@@magdaliebtmathe sehr gerne! Soweit ich mich erinnere, sind 400 und 800 ml auch die typischen Größen vieler Dosen und es kommen auch etwa die realen Verhältnisse heraus.

[@SeaAce]

Hey Magda, ich wollte fragen, ob du vielleicht ein Video zu den Bernoulli-Experimenten hast ( mit und ohne Zurücklegen)? Das Thema versteh ich nicht ganz und ich schreibe in 2 Wochen eine Mathe Schulaufgabe. Ich hoffe du kannst helfen. Danke! 🥰

[@magdaliebtmathe]

Klar! Hast du eine konkrete Übungsklausur oder so? Dann könnte ich euch die auch vorrechnen! Hier schon mal die Erklärung der Bernoulliformel. kzbin.info/www/bejne/kJrce5Wnhqube5I Und hier eine komplette Klausur zu dem Thema: kzbin.info/www/bejne/nmmnYmOfe7dkpZY

[@franzdiepenbrock6737]

Schön, dass am Beispiel der entsprechenden Minimierungsaufgabe (bei der man die erwähnte Voraussetzung braucht, dass die Summanden größergleich null sein müssen) auf die Möglichkeit von Randextremstellen hingewiesen wird! :) Denn wenn Aufgabensteller mal die Schüler hereinlegen wollen, die besonders einseitig auf Kochrezepte bauen, dann sind Aufgaben mit Randextremstellen beliebt. Zur betrachteten Maximierungsaufgabe noch: Wer hier gerne als Kochrezept die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwendet, der kann sich klar machen, dass das Produkt in Abhängigkeit von b eine nach unten geöffnete Parabel darstellt und so auf die Lösung kommen. Noch eine Möglichkeit: Wenn man sich klar macht, dass die Funktion P(b) = b mal (100 - b) ddurch eine nach unten geöffnete Parabel dargestellt wird und an den Stellen 0 und 100 Nullstellen hat (Satz vom Nullprodukt), dann ist aus Symmetriegründen klar, dass die Maximalstelle gleich 50 sein muss. Viele Wege führen nach Rom, sagt ein Sprichwort, und das gilt auch für viele Matheaufgaben. Aber ich habe ja gar nichts gegen narrensichere, leicht auffindbare Wege.

[@markslowhand4214]

Klar das ist eine Extremwertaufgabe mit einer nach unten geöffneten Parabel. Aber was wäre, wenn wir von Extremwertaufgaben und Ableitung gleich Null setzen keine Ahnung hätten? Auch dann kann man sich die Lösung logisch überlegen. Wir haben ja zwei Faktoren a und b vorbei die Summe immer a+b=100 sein muss. Wenn wir jetzt einfach mal in kleinen Schritten versuchen diese Faktoren a und b zu ändern ist ja klar dass der eine Faktor etwas größer und der andere etwas kleiner wird, denn was wir bei a hinzufügen müssen wir bei b wieder wegnehmen. Wenn wir jetzt den kleineren Faktor z.b. a um 1 größer machen, müssen wir natürlich den größeren Faktor b um 1 kleiner machen. Dabei wird aus a*b ein neues Produkt (a+1)*(b-1). In dem Produkt gewinnt also der erste Faktor a um den Faktor (a+1)/a =1+1/a dazu wohingegen der zweite Faktor und den Faktor b/(b-1) = 1+1/(b-1) abnimmt. Weil wir b aber mindestens um 2 größer ist als a wird der erste Faktor prozentual mehr hinzugewinnen als der zweite prozentual abnimmt (weil a kleiner ist als b-1 ist sein Kehrwert größer als b). Das Gesamtprodukt aus beiden wird also größer je mehr man a vergrößert solange a nicht größer wird als b (Voraussetzung). Man kann jetzt a also so lange vergrößern bis a und b sich genau in der Mitte bei a=50 und b=50 treffen. Danach wäre eine Vergrößerung nicht mehr möglich denn und man hätte das Maximum erreicht. Dort ist das Produkt dann 50*50=2500. Alternativ kann man den Hinzugewinnen auch berechnen als (a+1)*(b-1) - a*b = b-a-1 = b - (a+1). Solange b also größer a+1 bleibt haben wir im Produkt einen Zugewinn. Also letztmalig wenn wir von b = 51 und a = 49 voranschreiten zu b = 50 und a = 50.

[@magdaliebtmathe]

Sehr schön intuitiv gelöst, Mark! 😃😍 War's zu leicht?? 🚀🚀🚀 Heute und morgen wird's auf jeden Fall wieder kniffliger!

[@Birol731]

Mein Lösungsvorschlag wäre: der eine Summand x, die andere wäre (100-x), die Multiplikation soll maximal sein: d/dx (x*(100-x))=0, ergibt: d/dx(100x-x²)= 100-2x=0, x= 50, der andere Summand = (100-50) = 50, nur so kann das Produkt als: 50*50 =2500 den maximalen Wert bekommen.

[@opytmx]

2500 = 50 (S1) x 50 (S2)... denn (50 - n)(50 + n) = 2500 - n^2, und da n^2 immer positiv ist wird für jedes beliebige n > 0 das Ergebnis automatisch < 2500 sein 🙂

[@magdaliebtmathe]

Sehr schön!! 🦊🦊🦊

[@gertschulze6607]

@@magdaliebtmathe Aus Faulheitsgründen hätte ich genauso gerechnet. Es per Extremwert zu berechnen, stand nicht in der Aufgabenstellung, wie sähe es mit den Punkten für diesen Lösungsweg -- 3. BF -- aus? LG

[@WolfgangKais2]

Wenn der eine Summand 50-d ist, muss der andere 10+d sein, das Produkt ist dann 50^2-d^2, dies wird maximal, wenn d=0 ist.

[@Lil_Don30]

Aber bei der fkt kann man ja gar kein minimum berechnen, da es ja keinen teifpunkt gibt, oder täusche ich mich?

[@mpluftikuss]

Mhmm ich hab das ganze ohne die Rechnerei hingekriegt. Höchstmöglich kann ja nur 50+50 bzw. 50x50=2500 sein. Kleinstmöglich 1+99 bzw. 1x99=99 Den Nuller hab ich nicht berücksichtigt.

[@magdaliebtmathe]

Super!! Kopf einschalten bevor man aufwändig rechnet ist definitiv clever!! 🦊🦊🦊

[@Ramon-l1j]

Knuffige Aufgabe Mal bildlich gesprochen. Bilde Rechtecke deren Seiten a und b zusammen immer 100 bilden. Welches Rechteck hat die größte Fläche. Na immer das Quadrat. Lg

[@elektrolypiak9027]

Warum sooooo kompliziert, ich habe sofort gesehen, 50x50, ist doch klar einfach geteilt durch 2, ergibt immer das höchste Produkt.

[@die-rentner-gang5671]

Liebe Magda ! Warum peinigst Du uns mit solchen Banalitäten !

[@magdaliebtmathe]

Haha, ist es so banal? 😃😅

[@Filmbert]

Ohne zu schauen denke ich 50*50

[@magdaliebtmathe]

Richtig! 🦊🦊🦊

[@helmutheuschmann8329]

Da brauch ich doch nicht groß rechnen. Das sehe ich doch auf den ersten Blick 50 + 50 = 100. 50 x 50 = 2500

[@magdaliebtmathe]

Sehr schön gesehen!! 🤩🤩

[@nilscibula5320]

Ja es zu sehen ist die eine Sache. Aber damit ist noch nicht mathematisch BEWIESEN dass das wirklich die Lösung ist. Sicher kann man auch das durch logische Überlegungen "beweisen", aber die Lösung hinschreiben reicht in der Matheklausur definitiv nicht.

[@magdaliebtmathe]

@@nilscibula5320 Genau!! Bist du Lehrer, Nils?

[@nilscibula5320]

@@magdaliebtmathe nein, dass nicht. Aber ich habe nicht vergessen wie Mathe LK im Abi war, auch wenn das schon 31 Jahre her ist

[@helmutheuschmann8329]

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist immer größer als der eines Rechtecks mit dem selben Umfang.

[@user-jy7lb3te4k]

Dazu braucht man keine Extremwertaufgaben, solche aufgaben stehen in Mathematikbüchern Klasse 8

[@ClaudioButtazzo-dn6td]

Kann nur 51●49 sein. ; sofort in Kopf gemacht. Ich machte es immer so weil ich es schon wüsste: zB die Summe von diese 2 Nummer ist "8". ---> Beispiel wie 1●7= nur 7; dann 2●6= nur 12, aber *3●5=15* die grösste. Das ist immer so, man muss die 2 NUMMER das am nächsten einander sind nehmen. ;)) ps.... ich habe gerade andere LOSUNG gesehen aber 50●50 ist war, aber sind das selbe Nummer. Ich dachte musste man NICHT die gleiche Nummer nehmen. Wie in meinem Beispiel wäre 4●4=16 klar die grösste.

[@ClaudioButtazzo-dn6td]

Gerade geschaut dem MINIMAL zu finden. Wie genau in meinem Beispiel alles was durch 1 multipliziert ist hat den kleinsten Ergebnis. In diesem Fall ---> 1●99=99 ;)) weil 2●98 wäre schon 196 und deswegen grösser usw...... PS: Ich schreibe deutsch mit dem UBERSETZER, ok? Weil ich LATINO bin. ;))

[@fron3107]

Na ja, wer das nicht sofort sieht...

[@steffenh3994]

9:37 man sagt nicht f*ck, es schauen auch Schüler zu 🙄