# 220. (★★★) 基本対称式の範囲（数Ⅱ）

Рет қаралды 9,158

math karat

Күн бұрын

Пікірлер: 22

@胸筋が広辞苑 Жыл бұрын

前置きが丁寧でスッと入ってきました

@mathkarat6427 Жыл бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。

@over-all-p4d 10 ай бұрын

受験生時代では楕円方程式に変形してパラメーターθを導入して三角関数の最大値問題に帰着させるかなと思います。 2次式→平方完成 →なるほど···楕円か··· →パラメータで三角関数の問題への流れです。 (x-y/2)^2+((√3/2)y)^2=1 x-y/2=cosθ (√3/2)y=sinθ x+y=cosθ+√3sinθ=sin(θ+π/6) xy=(cosθ+(1/√3)sinθ)(2/√3)sinθ =(2/3)(cos(π/3)-cos(2θ+π/3)) =(2/3)((1/2)-cos2(θ+π/3)) 三角関数の最大値はθで微分して出すかもですね。大学数学では二次形式なので楕円方程式で後は同じ。

@over-all-p4d 10 ай бұрын

追記交代式と対称式を用い対称性を崩さずに平方完成をやってみると (x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2) (x-y)^2-(x+y)^2=-4xy から 2((x-y)^2+(x+y)^2)+(x-y)^2-(x+y)^2 =4(x^2-xy+y^2)=4 3(x-y)^2+(x+y)^2=4 {(√3/2)(x-y)}^2+{(x+y)/2}^2=1 こちらの方が簡単ですね。 (発想は難しいですが) 三角関数の解法以外でも xy=-((x-y)^2-(x+y)^2)/4=k なので {(√3/2)X}^2+{Y/2}^2=1 X^2-Y^2=-4k のグラフが実平面上に交点を持つ条件としても記述可能ですね。

@mathkarat6427 10 ай бұрын

「over-all」様の豊富な知識に感謝申し上げます。

@MURAKAMI1958 Жыл бұрын

この問題、昔流行った｢渡辺次男｣先生のあすなろ数学にでてた｢実数といえば判別式D｣の判別式問題ですね。総じて将棋でいう力戦型問題でもありますね。また数1が一番難しいと渡辺先生も述べられていました。

@mathkarat6427 Жыл бұрын

お陰様で｢渡辺次男｣先生を調べました。あすなろ数学は、名前を聞いたことはありましたが読んだことはありませんでした。きっと名著なんでしょうね・・・情報をありがとうございます。

@稲沢はな-l8h Жыл бұрын

いつもありがとうございます💕 私も見た瞬間、反射的に別解を思い浮かべますが、この動画の解説の方法を知っておかないといけないですよね💓

@mathkarat6427 Жыл бұрын

「反射的に別解を思い浮かべますが、」 →　反射的とは、すばらしいです。

@epsom2024 6 ай бұрын

判別式を使わないで，実数の性質を用いる解法　x^2-xy+y^2=1 …① , x+y=k …② とおく。 ①から (x+y)^2-3xy=1 より xy=(k^2-1)/3 (x+y)^2=k^2 …③ (x-y)^2=(x+y)^2-4xy=k^2-4*(k^2-1)/3=(-k^2+4)/3 …④ x,y が実数 x+y,x-y が実数 (x+y)^2≧0 , (x-y)^2≧0 ③,④より k^2≧0,(-k^2+4)/3≧0 これを解くと -2≦k≦2

@mathkarat6427 5 ай бұрын

情報をありがとうございます。

@nktcha_m Жыл бұрын

9:40で、-2≦s≦2なのに、t≧-1/3にならないのってなんでですか？

@mathkarat6427 Жыл бұрын

t≧-1/3 だけでは不十分で、-1/3≦ t ≦ 1 となります。

@nktcha_m Жыл бұрын

@@mathkarat6427 夜遅くに返信ありがとうございます。理解できました🙇‍♀️

@mathkarat6427 Жыл бұрын

お疲れさまでした。

@きんちゃんのつれづれチャンネル Жыл бұрын

実数全体の集合をＲとすると、題意から、x∈Ｒ，y∈Ｒ。また、和と積は、実数について閉じているから、x+y∈Ｒ，xy∈Ｒ。 ∴x+y=a,xy=bとすれば、a∈Ｒ，b∈Ｒ。…①(判別式は、2次方程式の係数が実数のときしか、使えない。そのため、あらかじめ、断り書きをした。) さらに、条件式を変形すると、x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=a^2-3b=1…② となる。 ②から、a^2=3b+1≧0(∵①より)…②' ∴b≧-(1/3)…③ また、x,yは、以下のtの2次方程式の、重解を含む、2つの実数解でもある。 (∵解と係数の関係より) t^2-at+b=0…④ ④の判別式をD1とすると、 D1=a^2-4b≧0。 ∴4b≦a^2=3b+1(∵②'より) ∴b≦1…⑤ ③,⑤を合わせて、-(1/3)≦b=xy≦1…⑥ 加えて、②より、3b=a^2-1…②'' さらに、④の両辺を3倍して、 3t^2-3at+3b=0…④' ④'に、②''を代入して、 3t^2-3at+a^2-1=0…⑦ ⑦の判別式をD2とすると、 D2=9a^2-4×3×(a^-1)≧0 この両辺を(-3)で割ると、 4(a^2-1)-3a^2≦0 ∴a^2-4≦0 ∴-2≦a=x+y≦2…⑧ 逆に、⑧の条件を満たすとき、⑥の条件も満たすから、⑥と⑧が解。というのは、どうでしょうか？