3 Формула Кардано и изобретение комплексных чисел

В этом ролике мы выведем формулу для решения кубических уравнений, познакомимся с её драматичной историей и выясним, как и зачем в математике появились комплексные числа.
Таймкоды
00:00 Введение
02:00 Квадратные уравнения
10:31 Зачем математики придумали уравнения
17:57 Формула для решения кубических уравнений
32:06 Драматичная история формулы Кардано
42:44 Пример применения формулы Кардано
44:13 Зачем придумали комплексные числа
53:29 История отрицательных чисел
01:00:39 Наглядный способ вывода формулы

[@Halleluyah83]

Я в восторге. Всё, что я читал об изобретении комплексных числах, Вы рпссказали здесь. История математики очень нужная наука. Это позволяет проследить историю развития математических идей. Очень интересно! Спасибо за такой урок) Нам в школе ничего подобного не рассказывали. Ясчитал только в книгах.

[@MikhailKokurin]

Спасибо за отзыв!

[@nailcock6325]

рад что молодое поколение интересуется развитием, хотя бы единицы будут продвигать науку вперед

[@MikhailKokurin]

Ну что вы, нас совсем не единицы)

[@Igor_1968]

Науку ВСЕГДА двигали единицы. Очень умных людей всегда было очень мало, это исключение из правил. Генетически потенциально умных людей может и множество, но эти люди не знают о своём потенциале, а просто играют в футбол и живут своей нормальной жизнью. Но очень даже часто в истории многих единичных реальных гениев просто сжигали или убивали из-за того что они были не такими как все. Парню повезло что он нашел свое место в этом жестком мире.

[@user-jx4xm2ie3l]

Вы крутой преподаватель

[@MikhailKokurin]

Спасибо! :)

[@user-nx5bk1mx3u]

Хороший преподаватель.

[@MikhailKokurin]

Спасибо!

[@vikghjbj3137]

Вы замечательный преподаватель! Спасибо большое

[@MikhailKokurin]

Благодарю!)

[@user-ol3ty6rm5p]

Очень понравилось изложение!

[@MikhailKokurin]

Спасибо!

[@OleFat]

Хорошо и интересно изложено.

[@MikhailKokurin]

Спасибо!)

[@blaisepascal2722]

Gosciu po prostu wymiatasz! Szacun! Trudno mi pisać po rosyjsku. Ale doskonale rozumiem i mam kilka matematycznych książek po rosyjsku. Rosyjskiego nauczyłem się czytając Fizykę 3 tomowa Sawieliewa po rosyjsku w zestawieniu z polska wersja.

[@user-ty4os6wf9h]

Михаил, огромное спасибо. Получили эстетическое наслаждение от просмотра!

[@MikhailKokurin]

Благодарю за отзыв! Очень приятно)

[@Muffat100]

Отлично

[@user-fr2hh6gd1h]

Очень интересный контент. Жалко, что Вы не выпускаете новые ролики

[@MikhailKokurin]

Спасибо! Когда-нибудь работу над каналом я обязательно возобновлю.

[@blaisepascal2722]

Ale fajny matematyczny kanał! Doskonały. My w Polsce nie mamy takiego poziomu intelektualnego - w statystycznym sensie. Pozdrowienia z Polski. Proszę nie hejtowac mnie bo mimo obecnej sytuacji popieram rosyjskość. I nawet narażam się w kraju na krytykę za popieranie stanowiska waszego kraju w operacji po rozbrojeniu i denazyfikacji. Niech żyje rosyjska matematyka!

[@user-mq9ri6yf2n]

Идея комплексных чисел появилась при размышлении о том, что почему-то некоторые квадратные уравнения не решаются

[@MikhailKokurin]

Да, такие размышления были, например у того же Кардано, но их одних для появления теории комплексных чисел было бы недостаточно. Почему, собственно, все квадратные уравнения обязательно должны решаться? - чем строить целую теорию, легче признать, что некоторые квадратные уравнения просто не решаются. Ведь построить теорию комплексных чисел - мягко говоря, не очень просто. Там на каждом шагу тонкости и неочевидности, вроде многозначности функции корня, и если их вовремя не увидеть, легко прийти к парадоксам и противоречиям. И махнуть рукой, сказать: ну, значит, видимо, с комплексными числами работать нельзя, видимо это была плохая идея. Вот поэтому комплексные числа появились в математике не благодаря квадратным, а благодаря кубическим уравнениям. Там комплексные числа не просто снимают неудовлетворённость, что какие-то уравнения не решаются, а помогают найти обычные, вещественные корни, чем и доказывают свою полезность.

[@allozovsky]

@@MikhailKokurin > _тонкости и неочевидности, вроде многозначности функции корня_ Кстати, а рассматривают ли над полем комплексных чисел иррациональные уравнения, в которых все радикалы теперь многозначны? Например, над полем вещественных уравнение ∛x = −1 имеет корень x = −1, а над полем комплексных это будет являться решением?

[@MikhailKokurin]

​@@allozovsky В принципе, ничего не мешает поставить такую задачу. Если у нас есть многозначная функция f и комплексное число a, можно спросить, при каких x хотя бы одно из значений f(x) будет равно a. При такой постановке, x = −1 будет корнем уравнения ∛x = −1. Но с такими уравнениями я не сталкивался. Обычно в комплексном анализе заходит речь о корнях уравнения f(x)=a (например, в какой-нибудь области), только когда над этой областью зафиксирована однозначная ветвь функции f.

[@allozovsky]

@@MikhailKokurin Я тоже рассматривал эти два варианта, но в первом случае мы, фактически, заменяем предикат "равно" f(x) = a на предикат "является элементом" a ∈ f(x), расщепляя исходное "уравнение" с многозначной функцией на *совокупность* уравнений fₖ(x) = 0, в каждом из которых левая часть однозначна. При этом, например, уравнения вида √f(x) + √g(x) = a и √f(x) − √g(x) = a становятся эквивалентными, а у уравнения √f(x) − √f(x) = a при любом (не обязательно нулевом) a имеются корни, что на фоне обычных "школьных" уравнений выглядит довольно необычно.

[@allozovsky]

@@MikhailKokurin Второй подход практикует, например, Wolfram Mathematica, которая рассматривает такие уравнения для "главных значений" многозначных функций, и в таком случае ∛x = −1 уже не будет иметь корней над ℂ. Но тонкость тут в том, что главное значение аргумента комплексного числа определяется неоднозначно и может принадлежать любому произвольно выбранному полуоткрытому промежутку длиной 2π (обычно (−π; π] или [0; 2π), но не обязательно), поэтому нам нужно закреплять и ветвь функции, и промежуток главного значения аргумента, иначе разные соглашения будут приводить к разным результатам. Но такой вариант всё же является компромиссом, не обеспечивая всей общности первого.