トポロジーって何が面白いの？ 美しすぎる数学の問題

この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします！
※翻訳上今回難しかった点を補足
「異なる2つの2点のペア」
は元の動画では"two distinct pairs of points"です。
ペアといえば2点のペアなのは当たり前なのですが、「2点の」が無いと
「異なる2点のペア」となり、「異なるペア」であることが分からなくなるためこの表現になりました。
「マッピング」、「一致させる」、など
"mapping"には数学の用語としての写像という意味がありますが、この動画は高度な数学的知識がない中学生や高校生でも理解できることを目指しているため「写像」という語彙を避けました。
Music by Vincent Rubinetti
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元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
元動画（英語）
• Who cares about topolo...

[@saim507fujiwarano4]

CGの利用が一般的になったお陰でここまで直感的に原理を眺める事ができる様になった。トポロジーは限られた空間把握能力を有する人のものだったかもしれないが、ややその入り口に立つ人が増えた。嬉しく感じる。

[@ぽぽぽ-i9f]

確かに、思考からこれをやってた人はほんと尊敬

[@JAM-SALMON]

今はCGがあるから頭の中でCGみたいに変換して理解できるけど、昔はそれすらできないのにエグい。

[@聖火台]

昔の人が書いた「Outside In」のノート、なんであんなん想像できるんだよwと思うほどおぞましかった......

[@訓練された鶏]

知らんうちに3b1bの日本版チャンネルが出来てたなんて、おすすめ動画なんとなく再生したら日本語喋ってたからマジビビった 英語で数学用語言われても正直理解度ガタ落ちだったから、母国語でみれるのは本当にありがたい

[@user-nf8dc2pi1s]

ただ翻訳してるんじゃなくて自然な日本語にしてくれてるのがありがたい

[@ごえもん-r7e]

解説してくれている方の声が本当にこの話を面白いと思って話されているんだなと感じられてすごくいい 理解することは難しそうですが、理解したいと思えました

[@wetrustinscience1825]

おもしろいいい なんだかんだ言って日本語のほうがやっぱ理解しやすいから有志でこのようなチャンネルを作っていただき、東京大学の方たちには感謝です！🥰

[@あれやけどこんなん言ったら]

最初の導入の何気ない話から解説に繋がっているのがすごい綺麗

[@jay-wy2ps]

厳密な解を決定する方向への執着を捨てることで「少なくとも1つ解が存在する」を手に入れる感じ、これぞトポロジーなのですね

[@inazuchi500]

なるほど。必ず一回だけ交差する変形に意味があったとは。 3DCGの理解のために四元数など、英語の解説を字幕と図で補完しながら学んでましたが、日本語の音声解説まであるのはとても助かります。

[@CannedBenzene]

数学って全く違う分野に見えるものも繋がってるから面白い。歴史的にも微分と積分だったり関数と幾何学だったり繋がることで発展してきたらしいね。

[@ryuichikokubo8888]

微分積分は面積を出すことを厳密にしたものなので当たり前だがグラフとは繋がっている

[@kentnunn3388]

kzbin.info/www/bejne/hJW6ep6Bf7Nohqs

[@kentnunn3388]

kzbin.info/www/bejne/hJW6ep6Bf7Nohqs

[@横行覇道]

物理と数学繋がってるのがマジでおもろい

[@alexoda8489]

数学のすべてをつなげるという ラングランズ プログラムというのがあります。 世の中の数学 大きく 三つの柱にわけて 幾何学、数論、 調和解析が全て陸つながりだということを研究する分野だそうです。 こちらの研究はまだまだ出発したばかりだそうですが 結局世の中全てが繋がるんではないでしょうか。 数学者 ラングラスから始まり、 親日のエドワード フランケルといふかたで、 NHK のハーバード白熱教室に、 出演していた 数学者が有名です

[@chainsaw3014]

夜中に一人で観てたのに、最後に「すごい。」って声に出して唸ってしまった。 すごい。

[@sanko4198]

日本語化神すぎる・・・これからあがるやつも全部見る自信ある

[@メーデー-v1e]

最後必然性を使うの気持ちよすぎる！複雑な議論を用いるけど、最後は鳩ノ巣論法みたいにかちっと噛み合ってるのやばい！

[@パンを食べる-z9m]

10:35 ここで冒頭に出たメビウスの輪を使うのか！って閃いてめっちゃ戦慄した。 トポロジーどころか数学ちょっとしか興味なかったけどかなり興味出たわ

[@MikuHatsune-np4dj]

長方形の条件「対角線の中点が同じで長さも同じ」から全ての線分の中点上に長さ分の棒を立てて「2つの線分の中点が同じで長さも同じ = Z 軸方向でぶつかる」さらに区間がxyどちらの方向にも周期性があると「トーラスが出来て」さらに順序対の条件を加えると「メビウスの輪が出来る」 発想の切り替えが面白いですね

[@ぺろやん-i1v]

「数学すごい」の一言。鳥肌が立つほど驚きました。非常に分かりやすい説明で、順序もよく考えられており。温厚な声質とトーンも相まって、私のような頭でもスーッと理解できました。私は何十年間も、「トポロジーなんて意味のない数学上のお遊び。」と科学系の雑誌が好きでいつも読んでいたのに、そう勘違いしていました。なぜなら、たいていの一般的な雑誌はトポロジーの特殊で奇妙に見える所（さわりの部分）だけを特集しているだけなので、本来トポロジーが持つ本質的で数学的なところ（２次元座標と３次元座標との関連など）の説明が全くされていなかったからです。そんな私ですが、今回の動画を見て「トポロジーって神だ。」と思わず口走ってしまいました。私の頭のなかで今までの知識「点と線」が繋がったのです。まさか、まさか、カップとドーナッツが、そしてメビウスの輪にそんな意味が、、、目からウロコでした。　また、動く動画での解説の破壊力に、改めて感謝感激すると共に「私の学生時代にもこのような解説動画があったら、理解できたのになあ。」と思いました。　５１歳主婦。

[@しいな-x8j]

いつも図形を数式化するけど逆に数式を図形化するのめっちゃおもしろい！

[@威圧する鰻重]

最後、メビウスを変形した際に生じる座標の1:1対応の喪失が、中点の被りと直結してるのか 考えた人やばすぎる

[@xg2164]

なんだこれ面白すぎる･･････

[@user-idiot]

最後の説明が単純かつ直感的ですごい

[@aa-iz9eu]

NHKスペシャルのポアンカレ予想の回でトポロジーという言葉を知り（ポアンカレ予想はトポロジーで解かれたわけではなかったと記憶しているが）、ちゃんと勉強しようと思えば難しくて挫折し、入門用の動画などでなんとなく理解しようと思えばちょうどこの動画の冒頭のような説明で何もわかった気になれなかった でもこの動画でトポロジーがいかに数学的に強力な武器か、問題解決に役に立つのかがほんの一端でも理解した気になれたのが嬉しい

[@めどぎ-p6z]

まだこのような事を習える年齢ではないのですが、興味深く聴けました！ こういうミステリアスな雰囲気の数学動画、大好きです。

[@Xapphire.]

細かな議論は大学数学を履修しなければ出来ないのだろうけど、面白さは十分伝わりました！ ただ、初めに2次元の閉曲線に関する中点を3次元で描画したりする発想や、2次元の閉曲線の2点の関係を2次元座標で表しているにも関わらず、それをループさせようとすると3次元の描画になる所がやや慣れが必要なのかなと思いました。

[@BombMillton]

こんなの思いついた人本当にすごいなあ

[@Mega11041104]

長方形は対角の頂点を結ぶ線分の中点を共有するかつ、線分の長さが同じ→点A点Bに対して中点の位置と線分の長さを表す関数fを定義する(その関数の定義域を適切に選んだうえで単射性を否定すればよい)→点A、点Bを媒介変数表示で考えるとfの変数は［0,1］×［0,1］で表せる→fの性質を考えるとfの変数はメビウスの輪状になる→メビウスの輪とfの像は同相にはならない→同相にならないことから単射な関数fはありえない→命題は真　って流れですかね

[@kikikirin8409]

非順序対の方でメビウスの輪が導かれる直前、話者が楽しそうなのが伝わってほっこりした。

[@La_06.2.22]

ある人も言ってたけど数学の整合性っていうのは本当にすごい。 定義されたり証明されたりしたものについてどうやったって矛盾が生まれないっていうのはまじで面白い。

[@通り雨-o8j]

@@いあ-u1o5q 矛盾がないとは証明できないことの証明って、誰の証明ですか？ 気になります

[@ななし-x7b2s]

@@じゃ-r8o それは自然科学や社会科学へのアンチテーゼなのではないかと思います。つまり，現象を観察して本質を導くことはできない（現象から導かれた本質は結局のところ推論の域を出ない）という主張であって，元々公理（真理）を設定していて，その公理から合理的に導かれる現象を研究対象とする数学のような学問には当てはまらない主張だと思います。もちろん，公理系の設定が矛盾なく行われているのかどうかという事はまた別問題だと思いますが。因みに，公理系を上手く設定すれば，そこから導かれる現象が無矛盾で，その現象に完璧な説明を加える事ができる理論が作れるのではないかという議論は，数学の中で既に行われています。僕はこれについて詳しく知らないのでこれ以上の深追いはしませんが，興味があれば不完全性定理と検索して頂ければ面白いかと思います。

[@that_two_squares]

@@通り雨-o8j 「自分自身の無矛盾性を証明できない」という内容であればゲーデルの第二不完全性定理です

[@通り雨-o8j]

@@that_two_squares ありがとうございます、調べてみます！

[@天才の証明]

@@that_two_squares あれペアノ＆ZFCに限った話でしょ

[@soumei812]

しがない数学徒さんからやってきました。魅力的な動画ばかりですね。

[@misisisi-dw2zx]

平面の話から空間の話になって平面の話に戻ったと思ったらねじれた輪っかになってそのあと最初の話に戻ってくる行き来する感じ面白い。

[@g0shig0shi]

10:35- が分からん →理解できました。メビウスの輪面上に(x,y)=(0.5,0.5)と10:46- で消えてしまう紫矢印(0,0)~(1,1)の連続プロットがあるとよりわかりやすいと思いました。

[@くも-l1n]

あまりにも短時間に面白い話がたくさんありすぎます！

[@雀キューザック]

メビウスの輪の辺を平曲線に合わせようとすると、メビウスの輪それ自体が交差してしまう ↓ つまり2つの交点が得られる で鳥肌たったわ

[@だけだま-j2g]

最後の最後だけわからぬかった、、、何回かみよう、、。

[@はむ太郎-h9v]

大学で興味あるトポロジー学び初めて、定義だらけで逃げ出しそうだったけど、この動画みてやっぱり自分はこういう類の話が大好きなんだと改めて感じました

[@yayuyo7188]

メビウスの輪の表裏一体の特徴が非順序対(ペアの区別がない)に対応しいているのか。美しい

[@shiosalty6119]

高校数学までしか学んでこなかった者ですが、位相幾何のどこが数学なのか全く実感が湧いてなかったのでめちゃくちゃ共感できました 個人的には2次元グラフ上の点が数直線上の２点と１対１対応しているという発想が目からうろこでした

[@Qrey01]

どんなに考えても、マッピングする時、点が絶対に重なる確証を持てなくて凄いモヤモヤするー

[@sir_RukiA]

CGが世に出る前にトポロジーの考えがあったことに驚く。形ありきで入ったんじゃなくて、問題を解く上で編み出された形がたまたまトリッキーだったというだけか。 やはり数学は超未来の基礎理論だと思う。 トポロジーなんて何の役に立つのか、発見された時は誰も分からなかった。きっと今の最先端数学も、数百年後の基礎理論となるに違いない

[@garipote_]

美しい。鳥肌、、、こういう世界で生きている人おるんや。

[@charlotte9071]

メビエスの輪が出てきた瞬間が鳥肌かも。本当に、数学って問題を解いてる内に関係ないと思ってた分野の概念が繋がる瞬間があってびっくり

[@user-maythgaming]

あぁ、やっぱり数学は美しいなぁ！！

[@hikik8079]

すごい！！いままでほんとに不思議だったトーラスの存在がめちゃくちゃ理解しやすかったです！！ メビウスの和の登場も感動しました！

[@dongriemeen9351]

是非とも3Blue1Brownのフーリエ変換の回を日本語版で見たいなぁ

[@発展途上国から日本へ在]

御待たせしました(笑)

[@kazunarinagasaki5811]

ひし形についての証明が別に出来ればいいでしょうけれど困難でしょうし、証明を同事象であるように繋げるのが更に難しそうですね。

[@マキシマムザ諒君]

トポロジーがなぜ必要なのかを理解するのに素晴らしい動画だと感じました。応援しています。

[@kitune1313]

主さんがメビウスの輪を作った段階で(面白い。。)と、にやけてしまったのですが、主さんの声色からもう同じような感情を受けて、なんか。すごいって！なりました！

[@ハーズインチンバーグ]

やばい、すごい、わかんないのにめっちゃオモロイ

[@かりふぁ-p2g]

パソコンの自動字幕翻訳を使っていましたが日本語翻訳チャンネルがあるとは...。うぽつです！

[@PGW90RU14]

私が数学に感動したのは Galois 拡大体ですね。多項式の解を一つ一つ付け加えることで、無限の体を作ることが出来て、それを付け加えることで最終的に実数空間に漸近する。一方トポロジーは写像の話ですので特定の写像、とくに一対一写像を除けばその性質が保存されるとは言えません。連続体に限っては同相であるので応用範囲は広いと思いますが、不連続体や写像が一対一にならないような分野は中々どうしてハードルが高く、即座に魅力を感じるとは思えませんでした。例えばデカルト座標と球面座標の対応関係ですね。

[@user-salmontabetai]

なんだこれ面白すぎでしょ

[@bobgreen2947]

証明が完了する所も面白かったけど、メビウスの輪が出てくるところの方が感動した

[@瑠璃-y2b]

いきなり証明完了しちゃって、ふぇ？！ってなった。これは綺麗だ……

[@hirok5870]

最後の『この輪がこのマッピングの途中で自身と交差すればこの面で点を共有するペアが少なくとも2つ存在する』の理屈がわからなくて悔しいーーー

[@futakakei8116]

長方形の紙をねじれてつける事でメビウスの輪になる。つまりメビウスの輪は独立して存在している二曲線を一曲線にする行為とみれる。 その上で、輪を形成している曲線がメビウスの輪なので、一線にした際のねじれをもつことになる。ねじれがあると平面図示する際にねじれた部分に交点が生じる。 その交点が「点を共有するペアが少なくとも２つ存在する」ってことなんだと思います。 分かりにくかったり認識違いであればごめんなさい。

[@quart95]

メビウスの輪を、上から押し潰してみたら、縁の部分は、最低1カ所重なる。って、理解しちゃって良いんでしょうか？ 縁の部分は、わかりにくいですよね。。だから、クラインの壺を想像します。これなら、全部つながっている。 でも3次元だと、どこかで交差することになってしまう。しかし、4次元でとらえれば、交差する部分は無くなる。。 4次元で不自然な形は、5次元で自然に表現できる。。以下繰り返し。

[@fdjalksfjawe4258]

「マッピングの途中で自身と交差する点」があるとします．（動画では直感的に従うとしている） これは「メビウスの輪をペタペタ山に貼り付けたときにメビウスの輪の違う点が貼り付けた山の同じ位置にくる」ことを意味しています． メビウスの輪の一点はもとの閉曲線上の2点のペアに対応し 山のある一点は元の閉曲線上の点のペアの中点と長さに対応することを考えると 「メビウスの輪の違う点が貼り付けた山の同じ位置にくる」とは もとの閉曲線上の2点のペア×２が同じ中点と長さをもつことを意味しています． これこそが最初に示したかったことです．

[@理系のなかやま微積んにくん]

面白い　どんどん更新してほしい 数学科いきたくなっちゃう

[@zircon0001]

むしろ数学科で定義定理証明の連続に打ちのめされるとこの動画に行きたくなります…

[@N46_kraken]

面白い。非常に面白かったです。 ちょっとどこで読んだか探せなかったのですが、 平面は2次元、立体は3次元というのはよく知られています。 ところが、メビウスの帯というのは、2次元とするには複雑すぎる、3次元とするには簡単すぎるということで、 その次元数はいくつなのか？というのを計算するということを取り扱っている分野があるというのを思い出しました。 それによると、メビウスの帯は2.・・・次元だそうです。(2次元より大きく、3次元より小さい) 今回のトポロジーを通すことで数学問題の解決を導き出すという話とは脱線してしまいましたが、 数学はあらゆる分野が繋がっていて、まるでミステリードラマを見ているような面白さがあります。

[@ベルセルクグリフィス]

位相幾何学って大学の授業でも一番面白かった。バスや電車の行程図やLAN配線の計画図なんかもそう。結構応用が効く分野ですよね。一番興味深かったのがポワンカレ予想。その証明にまつわる物語。数学って沼にはまると抜けられないんだろうなあ…。

[@まさ-k7d]

とても面白かったです！super thanksしたい

[@tT-ov6wd]

動画自体も見てて美しい

[@yabe_chikoku]

理解できないから「何で？」って思うことはこれまで何度もあったけど、理解した上の感動で思わず「何で！？」と叫んでしまった…ｗ すごいなこれ…

[@きくこけ]

分かりやす！！！面白い

[@智和安永]

数学を頓挫した50＋αのおっさんには「？×∞」です。 でも、引き込まれてしまいます。 ちんぷんかんぷんで終わるかも知れませんが、楽しみにしてます。

[@totmusica9992]

メビウスの輪をお父さんに教えられた時マジで意味がわからんかったけどこの動画のおかげで少し理解できるようになった。ありがとう

[@mvrk_25]

10:51 ここから「…ね？さっきと繋がるでしょ？？」っていう嬉しそうな声色で微笑ましくなる

[@furusatonotkokyou]

ただ原稿を読んでるだけじゃないっていうのがヒシヒシと伝わってきていいよね

[@EARTHs-1113]

よくこんな解法思いついたな天才やん

[@田中一郎-r3h]

しっかり理解できるまで繰り返し見ようと思います

[@ctln7139]

いつも英語字幕で見てたから日本語で見れるのが本当にうれしいです。 ありがとうございます。

[@スナックおさつ-j7h]

これは美しい

[@9900-m1d]

すごくわかりやすかったです…

[@ryosuke8093]

発想に感動しました。メビウスの輪の辺を1平面上に置くとき2点を共有する？のが直感的だけどもやもやしてます

[@horatio7f999]

数学科の人たちはなんでドーナツで飲み物を飲みたいのか疑問だったが腑に落ちた

[@256yayo]

えっぐ 面白すぎませんか？

[@elekuino-man351]

すげぇ！って言ってしまった。トポロジーは何から何までエレガントすぎる、

[@hawhawathena]

ペレルマンはポアンカレ予想を解くのにトポロジーを利用したのはすごいと思った 突っ込みや批判は受け付けません なぜなら俺は大学行ってないし、知能指数もそこまで高くないからな そんな馬鹿な俺でも数学は見てて楽しいと思った

[@aoroad]

5%くらい理解できた

[@akiratakeguchi121]

めちゃくちゃ面白かったあああああ！！！！

[@Mega11041104]

P進数なんて何に使うんだよ…→方程式の整数解を求めるのに使う、トポロジーなんて何に使うんだよ…→距離のある空間での定理の証明に使う　数学ってすっげー

[@怪獣LOLUU]

かああっ、、美しすぎるっ！

[@ogyy36]

やっぱり数学は魔法みたいで、そして美しい。

[@位相空間]

位相数学は、大学２年の一般教養で学んだ。 これと、大学１年で学ぶ線形代数学。そして大学１年で微積分学、これを手抜きで数学科でやると、３年以降が死ぬほど苦しくなる。 擬等角写像の講義が必要かも。

[@紙陣屋]

メビウスとトーラスは親戚よな～ってオブジェから直感してたがこうも綺麗に導かれると楽しいね。

[@藪犬]

日本語版があった事に驚き！GJ

[@ゆーら]

あと２分もないのにどうやって証明するんだよwって思ったら鳥肌ブワァなった

[@hyahirimukano2831]

めちゃくちゃ感動しますね！ 口で「スゲー」が素直に出た！

[@柔らかくなった脳]

理解しました。 メビウスの輪を円にするための連続的な変形に、自己交差が必要だったとは考えたことがありませんでした。

[@azou331]

動画を見て感動で椅子から転げ落ちたのは初めて

[@user-yr8cn5zz1c]

数学できないなりに適当に呟いてみる 条件を正方形にする場合 「閉曲線上の2点→中点の座標、距離」 の出力にどうにかして角度を付け加えて 面が交差する部分の中に、角度の差が直角になる部分があるかどうかを示せばいいのだろうか 角度も2点から非順序として定まるだろうから、「0~180度」と「180~360度」は同じかつ、点が重なり線分が真逆に出ていく距離0付近の出力も連続的と見なせそう 0(180)~180(360)度を1周の円としたら、対称点同士の差は90度になる なんとなくボルスクウラムの定理が頭を過った　あれって1次元でも使えるのだろうか そもそもこれ持ち出せるケースなのかも分からないけど

[@user-yr8cn5zz1c]

仮に定理で90度同士のペアが保証されても、それが同時に曲面の交差に含まれることの保証にはならないか

[@Reizi123]

面白すぎる 高評価不可避…

[@amagi-nnnunnnu]

カラフルπくんかわいい

[@たまごっち-h3w]

数学できないけどみるのはすき

[@zelkova1641]

長方形について証明できるんなら、菱形でも証明できれば正方形でも成り立つこと言えるんじゃないの？って思ったけど、この証明は長方形でしか成り立たないのか

[@rairaikun1]

うーーーわ位相空間位相幾何超苦手なんだけどこれガチ感動した

[@アルートゼシカ]

全くわからんけど動画は凄い

[@みょーり]

やーばい、なにも理解できぬ また理解できるようになった頃に見ると楽しいんだろうなぁ

[@yoshihironumazawa7145]

厳密な位相幾何学かと思うと合わないところあるけど、閉曲線の点のペアを考えることが問題の解決か…新たな視点に気づかされました。🤫

[@torotsuki]

数学苦手だけどこのチャンネルは面白い。自分で考える気になれる(

[@kazuoa.4951]

頭の硬い私にはさっぱりわかりませんがメビウスの輪に転換されたとき、思わず声が出てしまいました。

[@akkyiofdolphin]

数学科卒ですが数学科に入りたくなりました←

[@ベテルギウスタウ]

大感動。

[@mellow6138]

ミスド食う心持ちが変わるわ…

[@fixer3049]

この証明美しすぎだろ！

[@mama-uk9iv]

鳥肌が止まらない！