ALLE Häufungspunkte bestimmen. Mit Beispiel | Analysis für Anfänger: Folgen

Nachdem kurz auf die Definition eines Häufungspunktes eingegangen wird, soll in diesem Video ein Konzept vorgestellt werden, wie man alle Häufungspunkte einer Folge bestimmt. Mit Hilfe eines Beispiel wird das Verfahren praktisch verdeutlicht.
Videos, die beim Verständnis helfen können:
Folgen: • 3.0 Folgen | Analysis ...
Häufungspunkt: • Häufungspunkt | Analys...
Das Online-Tutorial für Studierenden der Analysis 1 ist im Rahmen einer Masterarbeit entstanden. Der Inhalt ist wie folgt strukturiert:
1. Grundlagen Teil 1
2. Grundlagen Teil 2
3. Folgen
4. Reihen
5. Stetigkeit
6. Differentialrechnung
7. Integralrechnung
▬ Hinweise ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Alle Angaben ohne Gewähr. Durch freundlich formulierte Kritik in den Kommentaren könnt ihr mich gerne auf Fehler bzw. Ungereimtheiten aufmerksam machen :-)
Literatur:
Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe 1 + 2. Berlin, Heidelberg: Springer
Modler & Kreh (2011). Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. 2. Auflage. Heidelberg: Springer
Königsberger (2004). Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Berlin, Heidelberg, New York: Springer
Music:
Happy Alley by Kevin MacLeod
Link: incompetech.fi...
License: creativecommons...
Lizenz (CC BY 4.0):
Bei dem vorliegenden Video handelt es sich um ein freies Bildungsgut. Es darf unter einer Namensnennung im Rahmen der Universität, Schule und der allgemeinen Weiterbildung frei genutzt und vervielfältigt werden.

[@supersara7383]

Ich finde es echt Schade, dass so ziemlich jedes Video das man dazu findet ein und das selbe Beispiel verwendet, bei welchem das ganze schon fast trivial ist und einem bei vielen anderen Folgen überhaupt nicht weiterhilft. Für die hilfesuchenden Seelen die eine ebensolche Folge haben bei der man das Ganze nicht nur in gerade und ungerade aufteilen kann: Versucht zunächst einen groben Überblick über eure Häufungspunkte zu kriegen. Tippt den ganzen Quatsch also mal in einen Taschenrechner ein und guckt welche Werte ihr für fortlaufende n erhaltet. In der Regel sollten sich da dann einige Häufungspunkte herauskristallisieren. Bei meiner Folge haben sich -6,-2,2,6 immer wieder wiederholt. Ich kann also nun davon ausgehen, dass das meine Häufungspunkte sind. Anhand dieser Werte kann ich mir nun Teilfolgen zusammenbasteln die jeweils gegen diese Werte konvergieren. Dafür gucke ich mir jetzt an wann diese Häufungspunkte auftreten und hier sollte man dann ein Muster erkennen wenn man sich überlegt wie man auf den jeweils nächsten Wert kommt. Für die -6 wäre das Beispielsweise 1,5,13,17,25. Da sieht man z.B. das diese Werte immer abwechselnd eine Abstand von 4 und 8 haben. Manchmal ist es zwar nicht gleich so offensichtlich aber früher oder später sollte man so ein Muster erhalten. Anhand dieses Musters bastelt man sich nun eine Teilfolge welche man dann wie im Video gezeigt in die Originalfolge einsetzt um dann den Häufungspunkt auch formal bestimmen zu können.

[@annegretludtke6950]

Woher weißt man, in wie viele Teilfolgen man die gegeben Folge aufteilen muss? Manchmal reicht ja die Aufteilung in gerade und ungerade nicht

[@xImHasenkopf]

Ehrenbruder

[@Quatematik]

Danke :)

[@yunus.cpc51]

Schreibst du ernsthaft andersrum???? Verwirrung steht im Raum...

[@Quatematik]

Nein, keine Sorge :-D Ich spiegel das Bild nachträglich am PC :)

[@BlissToby]

@@Quatematik Ich schätze (nach den drei Videos die ich jetzt von dir gesehen habe) den Anteil an Kommentaren, die nur bestehen, weil deren Autoren nicht daran gedacht haben, dass Spiegeln die wahrscheinlichere Antwort auf dieses Hexenwerk ist, auf etwa 1/5. Also weiter so, der Kanal kann den kleinen Interaction-Boost durch verwirrte Zuschauer sicher gut brauchen ;) Übrigens vielen, vielen Dank, dass du das hier machst. Wenn ich dich in meinem ersten Semester gefunden hätte, wäre mir so Einiges and vermeidbarem Leid durch das fehlen vernünftiger Lernressourcen erspart geblieben.

[@maxfrewein]

tolles video, danke!

[@yunus.cpc51]

Ich verstehe das Prinzip, aber wie soll das Ganze dann bei an=n aussehen? Da kann ich ja nichts kürzen oder Brüche aufstellen oder sonst irgendwie..

[@dorismbokavonga9840]

Yunus Cepeci ich glaube, dass hat weder nen Häifungspunkt noch Konvergiert die Folge. Die Folge wäre ja dann 1,2,3,4,5,...

[@odaialhomsi1784]

,Dankeschön sehr gut erklärt aber dennoch habe ich noch damit ein Problem, das zu zeigen, dass es keine weiteren Häufungspunkte gibt.obwohl ich die Lösung vorliegen habe, habe ich es nicht verstanden. Kannst du vielleicht ein Video darüber drehen? Dies hatten wir nämlich in der Klausur. Und viele haben es nicht gekonnt.Danke nochmal Xn:= (-1)^n.nsin(n)Die Folge die wir hatten ist und da mussten wir natürlich n durch 1/x substituieren. Dankeschön nochmal

[@AusDemSchneider]

Den Schritt wo 2k ausgeklammert würde verstehe ich nicht. Wie kommt da der Bruch in den Nenner?

[@originami9199]

Wenn du Mal 2k/2k mit 1/(1+1/2k) multiplizierst, siehst du, dass da 2k/2k+1 rauskommt, also was vorher da war.

[@olgagaft8134]

@@originami9199 Ja, aber wie kommt man denn darauf, dass das so sein muss. Den Rückweg kann man zwar nachrechnen, aber erstmal auf diesen Term zu kommen finde ich auch nicht einfach. Wie kann man den sich erschließen?

[@haraldbeyer9348]

@@olgagaft8134

[@dafina3517]

Bedeutet das dass divergente Folgen keinen Häufungspunkt besitzen?

[@Quatematik]

Nicht ganz. Divergent heißt ja nur nicht-konvergent. D.h. eine nicht-konvergente Folge wie (-1)^n kann trotzdem Häufungspunkte haben. In dem Fall -1 und 1.

[@einfachpaule3693]

ich glaube bei 5:41 min ist ein Fehler müsste doch -5/6 sein oder?

[@staatsschutzrelevant]

Jop, ist mir auch aufgefallen, müsste -5/6 sein

[@DrLP]

Stimmt die Anahme das die Folge Divergiert da ich zwei eigentliche HP's habe? MFG

[@Quatematik]

Eine konvergente Folge besitzt immer nur einen HP - nämlich den Grenzwert der Folge.

[@klauspeter3352]

Sollte in der Definition nicht an statt a stehen?

[@Quatematik]

Ich glaube so müsste es passen. Denn (a_n) mit n Element der Natürlichen Zahlen ist die Folge und a der entsprechende Häufungspunkt :)

[@z3lop59]

schönes Video aber zu viele hektische Schnitte! macht es so anzugucken sehr schwer

[@Quatematik]

Danke für das ehrliche Feedback. Ich werde den Hinweis berücksichtigen. Gefällt dir folgendes Video (kzbin.info/www/bejne/qoDFdWalpp2GhMU) im Bezug auf den Schnitt besser? Gruß Jascha

[@Tobias1H]

ich küss dein Auge