АТАКА ТИТАНОВ! Смотри - и все увидишь!

Дан квадрат, в него вписан треугольник с углами 45 и 60. Найти красный угол.

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за разбор предыдущей задачи, и подробное, обоснованное решение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Сп

[@Andrej_rybak]

Благодарю.Новая задача очень простая: решается поворотом квадрата АВСД относительно точки С на 90 град против часовой стрелки. Получим,что треугольник МСN = треугольнику М1СN: сторона СN - общая, МС=М1С - т.к. М1 получена поворотом. И углы между ними по 45 град. Из равенства треугольников получим,что равны углы МNC = М1NC = 75 град. А их сумма =150 град. Значит угол АNМ=30 град, углы АМN, NMC, CMB = по 60 град. Угол ВРМ=углу СРД=75 град.

[@Andrej_rybak]

​​@@ОлегМайоров-ц1свсе могут ошибаться. Мы всего лишь люди.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@SB-7423]

Ничего сложного в квадрате придумать нельзя. Легко решается средствами аналитической геометрии. Координаты точек : М(0, b), N(a, 0), C(1, 1). Теперь можно вычислить угловые коэффициенты прямых, а используя формулу угла между двумя прямыми, получим систему : a+b-ab=2-a-b, a+b-ab=√3*(a-b+b^2). Система даёт М(0, 1-1/√3). Угловые коэффициенты : к(MС)= 1/√3, k(BD) = -1. Отсюда tgα =2+√3 ⟹ α =75°. Простая и чисто техническая работа.

[@alexandermorozov2248]

Отличное решение! 👍

[@kislyak_andrei0]

я ничего против аналитической геометрии не имею, даже сейчас ее изучаю, но лично мое мнение, что классическое решение через планиметрию куда проще решение через аналитическую геометрию а вообще ваше решение имеет право на жизнь

[@SB-7423]

@@kislyak_andrei0 А я и не говорил, что это проще. Просто техническая работа, не нужно ломать голову поиском дополнительных построений. Конечно, планиметрическое решение в данном случае красивей и проще.

[@kislyak_andrei0]

@@SB-7423 я отреагировал на легко решить если не особо сильно владеешь техниками алгебры, то можно при этом подходе так завязнуть, что черт выкопаешься НО единственное нужно согласиться, что квадрат это не позволит, там счет по идее красивый практически всегда будет

[@GeometriaValeriyKazakov]

Речь не об ответе. Нам ответ не нужен. Красота размышлений - вот что ценно. И аналитичесекая - замечательно. Дети, правда не доросли. Но мне это очень нравится.

[@sergeygaus9811]

Решил так: проставил все уголки, обозначив один из них через альфу. Квадрат взял единичным. Далее по теореме синусов с углами 45 и 60 получил уравнение для тангенса введённого угла, получил все углы внутри квадрата, в том числе искомый 75°. Муторно, но проще Вашего (лично для меня) с дополнительными построениями, окружностями, высотами.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

12:08 MPKN - тоже "вписанный" четырехугольник (на MN "опираются" два прямых угла

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, верно.

[@SB-7423]

Обозначим ∡NCD = α ⟹ ∡PCD = 45°+α. После проведения отрезка PN окружность можно не проводить, она только загромождает чертёж. Автор легко доказал, что ∡NPC = 90°, тогда и ∡MPN = 90°. Проведем отрезок АР. Очевидно, АРСD -дельтоид, поэтому ∡PAD = 45°+α. Четырехугольник AMPN можно вписать в окружность, поэтому ∡PMN = ∡PAN ⟹ 60° = 45°+α ⟹ α = 15°= ∡NPD. Отсюда следует : искомый угол ∡СPD = 90° - 15° =75° .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@СветланаДаутова-з8б]

Добрый вечер. Можно также заметить, что если внутри 45, то остальные два угла в сумме 45 и поджав ушки квадрата, появятся равные треугольники и вершина угла в 45 это точка пересечения биссектрис и сразу ответ получиться

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@МалыхинДмитрий-й5л]

Браво!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо! Учитесь как писать комменты!!!

[@АлексейБагларов]

Начал решать так же, описывал окружность вокруг четырёхугольника. Закончил немного иначе, заметив что АР=РС=РN, из равенства соотв треугольников и углов. Ответ получил верный.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@vladimirr7364]

..все геніально просто. Достраюєм рівностороній трикутник з т.М і по стороні МС. З отриманого трикутника NCF (F- нижче Д), легко найдемо кут NCД = 180-(105+60)=15. 105- це зовнішний кут трикутника МСN І вуа-ля, кут СРД=180-(60+45)=75....

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Угол 60 градусов здесь ни при чем. Возьмите 57. И попробуйте решить. Но для частного случая ваше решение - отличное.

[@adept7474]

А так не будет короче (с учётом необходимости(?) док-ва в Вашем решении теоремы об отсечении подобного)? Для Вас - коротко. МВСК - вписанный, МК - высота. ∠КМN = 15°. АМКN - вписанный, ∠КАN = 15°. ▲КАD = ▲КСD (по трём сторонам), ∠КСD = 15°. В ▲СРD ∠СРD = 75°. Р. S. Спасибо за признание. Далёкое олимпиадное прошлое помаленьку возвращается.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Там вариаций сколько хочешь. Мне нужно было показать, что основания высот на на диагонали, и что отсекается подобный. Сейчас заменю мушкетеров, что-то дуэль не покатимла.

[@PavelOstafiy]

Ещё проще MPKN вписаный, угол KMN равен углу KPN и равен 15,

[@ОлегКозловский-о8е]

Сложением по СМ и СN обнаруживаем что ВМС=60° 180-45-60=75°

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@valerykamaev8931]

Решил в принципе также, только поворотом СНД вокруг С против часовой на 270 градусов до совмещения СД с СВ. Отсюда угол СНД=75, угол НСД=15, ПСД=60. Искомый СПД - 75.

[@alexandermorozov2248]

Что есть “Сложением по СМ и СN”?!

[@ОлегКозловский-о8е]

@@alexandermorozov2248 Ножницы-бумага. Вырезаем квадрат и складываем по указанным линиям кривой самолётик :) Верхняя и правая стороны квадрата сойдутся.

[@pojuellavid]

Вырезаем СND и прикладываем ДС к ВС. Треугольники МД1С и МСN равны по общей стороне, ДС и Д1С и углу в 45° между ними. ✓ВМС =✓СМN=60° . В ∆ВМР ✓ВРМ=180-(60+45)=75 Ответ:75°

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@МалыхинДмитрий-й5л]

Повернуть тр. СВМ на 90 грд. вокруг т. С (до совмещения СВ с СД). Получим тр. СДМ'. Тр. СNM = CNМ' по 2-м сторонам и углу. Значит угол CNМ' = 75 грд., и ему равен угол СРК из подобия соответствующих тр-ков.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@igorrromanov]

Все, что нам нужно узнать - угол NCD. Продлеваем линии СВ и А1М до точки пересечения (Q) Угол QMC = 120°. Отсюда угол МСВ = 30°. Отсюда угол NCD = 15°. Отсюда угол DKC = 180 - (45 + 15) = 120°. Отсюда угол PKC = 60°. Отсюда угол Альфа (КРС) = 180 - (45 + 60) = 75°

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@SB-7423]

А где точка А1??

[@igorrromanov]

​@@SB-7423ОПЕЧАТКА: ТОЧКА N

[@igorrromanov]

Исправлено😊

[@igorrromanov]

@@GeometriaValeriyKazakov исправлена несуществующая точка А1 на N. Извиняюсь за опечатку

[@tsaiis]

На АВ--тчк Н, на АД--тчк К, на ВД-- О и М. Тр-ники ВНО--ОСМ--ОСД подобны, тр-ки КМД--ОМС--ВМС также подобны. Через пропорц. отрезки док-ем, что тр-ки НСК и ОМС также подобны. Угол а=75

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. А почему подобны-то:

[@viktorviktor5820]

Есть куча подобных треугольников - МВР, РСК, NKD угол КND равен искомому альфа. Перегнем треугольник МВС по МС, а треугольник CND по NC. Они сомкнутся без промежутков, т.к. их углы при вершине С дают 45 градусов. Значит угол MNC равен альфа и равен 180-60-45=75.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. А почему подобны?

[@alexandermorozov2248]

Откуда следует, что угол MNC равен альфа?!

[@viktorviktor5820]

@@GeometriaValeriyKazakov по двум углам.

[@viktorviktor5820]

@@alexandermorozov2248 когда перегибаем (отражаем) треугольник CND по CN, точка Д перейдёт в т Д1, которая обязательно будет находиться на MN. Доказательство этого простое, попробуйте. Если не получится - я помогу. Отсюда угол MNC равен СND и равен альфа.

[@viktorviktor5820]

@@GeometriaValeriyKazakov если вам почему то не нравится подобие, можно обойтись и без него. Мы же два треугольника перегибали, они полностью покроют треугольник MNC без пропусков и нахлестов. Тогда угол АМС равен СМN и равен 60, угол ВСМ, соответственно 30, и либо из треугольника МВР альфа равен 180-45-60, либо альфа внешний для треугольника АРС и равен 45+30=75.

[@vkr122]

NKD подобен РКС , угол СРК=СND=75 , доказательство смотреть пару роликов назад или поворотом NCD вокруг С на 90 по чясовой !

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@pojuellavid]

Вариация на вчерашнюю тему?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, есть немного общего. Но в 5 раз сложнее. Главное ответы на комменты.

[@pojuellavid]

Мне она показалась в 10 раз легче

[@GeometriaValeriyKazakov]

Либо вы гений, либо заблуждаетесь. Это довольнро сложная олимпиадная задача уровня 10 класс, город. Почитайте комменты.@@pojuellavid

[@pojuellavid]

​@GeometriaValeriyKazakov Я не гений, а чокнутый Вчерашнюю не решил, а у сегодняшней решение просто увидел. Не сразу, но довольно быстро .... Город-негород.... Вот сколько я участвовал в олимпиадах. Школьные все лёгкие. Город ( второй этап) две легкие, а на третьей( я вне конкурса был и не сильно напрягался ) решил тока три, а конкурсники не более одной. Аналог областной 9 кл. -- не решил ни одной, 10 кл.-- типовые задачи из школьного учебника, решено все , минус потерял кусочек степени в длиннючем тригом. полиноме. Вот раз на раз не приходится и разные люди к разным задачам по-разному способны. Я несколько десятков лет боялся геом. задач, вот только благодаря вам оттаиваю

[@АлексейЛузин-о6ц]

Мало данных, угол альфа может варьироваться.

[@viktorviktor5820]

Не может.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@sergeygaus9811]

Сложная.😞

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот это я согласен.

[@alexslater506]

В уме за минуты две где то. Углы Bmp AMN по 60 градусов потому как если один из лучей(сторона треугольника) угла 60 градусов в квадрате попадает в угол(у нас угол С). Доказать просто продлите визуально другой луч из точки М дальше точки N и получите треугольник равносторонний вписанный в прямоугольник. Дальше в треугольнике MBP углы 60 45 и 75. Ответ 75.

[@SB-7423]

Доказать это нельзя, потому что это неправильно. Только при 60 и 45 это будет так. Если Вы будете двигать т.М вверх или вниз по прямой АВ, сохраняя угол СМN = 60, угол ВМР уже не будет 60!

[@alexslater506]

@@SB-7423 вы читали что я написал?

[@SB-7423]

@@alexslater506 Конечно прочитал. Углы АMN и ВМР не будут равны 60 только из-за того, что угол CMN =60 и один из лучей попадает в угол С. Постройте, и увидите.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен, не заметил ваш пост. Спасибо.

[@alexslater506]

@@GeometriaValeriyKazakov я не вру. Смысла нет. Когда я не вижу решения- я вам и пишу не смог решить вообще. Потом смотрю ваше решение и оно в 70 процентах основывается на всяких вписанных описанных окружностях. Я всегда видел решение и ответ быстрее всех - а уже потом писал решение под этот ответ. Может я и не прав- но я уже минимум тут 5 задач так интуитивно решил- и ответ правильный. А если я не прав ну покажите такую задачу с другими углами - и она будет другая и это будет бросаться в глаза

[@kislyak_andrei0]

РЕШАЛ НЕ ТАК, КАК ВЫ НО РЕШЕНИЕ ПРИВОДИТЬ НЕ БУДУ, ПОСКОЛЬКУ ЕГО НЕУДОБНО ИЗЛАГАТЬ ПОСТРОЕНО ПРИЕМУЩЕСТВЕННО НА ПОИСКЕ ВПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ ПУТЕМ НАХОЖДЕНИЯ РАВНЫХ УГЛОВ НО ОТВЕТ ТАКОЙ ЖЕ, 75 НО ОБИДНО, ЧТО ПОКА РЕШАЛ УЖЕ ПОЛУЧИЛ ПРЯМЫЕ УГЛЫ МКН И МРН, НО НЕ ОБРАТИЛ ВНИМАНИЕ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ, А ИМЕННО НА ТО, ЧТО ЭТО ВЫСОТЫ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ, КОТОРЫЕ Я КОГДА-ТО ДЛЯ ЕГЭ ЗАБОТАЛ

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@АлександрСосунов-ю1л]

75.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, у меня такой же!