別に積分しろとは言ってません。（広陵（改））

[@zuzu-zw4td]

①ABに直線を結ぶ。 ②その直線の式を求める。また、曲線と直線で囲まれた部分の面積をUとする。 ③左の図については、原点から②の直線に垂線を引き、その交点Mの座標を求める(直線ABの中点だからすぐわかる)。そこから、△OAMと△OBMの面積を座標を参考に求めて合計 ④右の図は、座標を参考にT+U(要は台形)の面積を計算。 ⑤両者の面積を比較。結局はS+U、T+Uなので、その大小ががそのまま問いの答えになる。

[@zuzu-zw4td]

あるいは、左の図はABの直線を引いたあと、Aを通るx軸に対する平行線とBを通るy軸に対する平行線を引いて、四角形を作る。そこから、3つの三角形の面積を引いても良い。 こっちの方が簡単かも。

[@sukesanson6000]

全部積分でやろうとすると赤は単純な定積分だが、青はx0から2がややこしいですね。

[@vetovetooo]

普通にSは三角形-曲線とABで囲まれた図形、Tも同様で結局は左図の三角形ABOと右図のABを辺としてる台形の面積を計算する方が早い

[@richard-gj8fs]

A,Bからそれぞれx軸に垂線。交点をD,Eとする。 また、ADとBOの交点をFとする。 △OFD∽△OBE 相似比1 : 4 面積比1 : 16 ∴△OFD : 四角形FDEB = 1 : 15 一方、△OFDと△OAFについて、高さが同じなので面積比は底辺の長さの比。F(2,1/2)も考えて、△OFD:△OAF=1 : 15 従って、四角形FDEB : △OAF=1 : 1 となり、題意は示せた。 文字で書くとややこしいけど、割と簡単めな方法だと思う。 いちばん簡単だと感じたのは、コメント欄にあった、線分OCを引いてから△OCAと△OCBを等積変形するというもの。とても好き

[@miyamakuwagta]

多くの皆さんが書いているとおりですね。 座標(0,8)をＤ、座標(2,0)をＥとし、座標(8,0)をＦとする。 Ｓの面積は図形ＯＤＡＢＦから直角三角形ＯＤＡと直角三角形ＯＢＦの面積を引いたものになる。 Ｔの面積は図形ＯＤＡＢＦから長方形ＯＤＡＥを引いたものになる。 ここで直角三角形ＯＤＡと直角三角形ＯＢＦは合同（三辺相等またはニ辺夾角相等）であり、その２つをそれぞれの斜辺でくっつけると長方形ＯＤＡＥと同じになる。 従って、Ｓの面積もＴの面積も図形ＯＤＡＢＦから同じ面積を引いたものになることから、ＳとＴは同じ面積である。

[@Anonymous-jp8jo]

ABと双曲線の片方に囲まれた部分を左図右図ともに足して 左図は3点が(2, 8), (8, 2), (0, 0)の三角形、右図は(2, 0), (2, 8), (8, 2), (8, 0)の台形となるので なんやかんやして足した後の面積は双方30cm^2なので同じ ちょっと回りくどいか...?

[@masakihatanaka1401]

良問ですね。

[@lyricospinto8940]

積分の問題でも奇関数をチャラにしちゃったり やってることは等積変形と一緒ですよね

[@江戸川こなん-g2y]

高校の中間テストとかで出したら面白そう

[@ヒロヒロ-n6l]

これ出題者の意図は、双曲線上の頂点からx軸、y軸に垂線をひいてできた長方形の面積は比例定数に等しいことが理解できているか?だと思うのです。左の図でAからy軸に、Bからx軸に垂線をひいてできた直角三角形の面積の和は、右の図のAからy軸にひいてできた長方形の面積と等しいので、S=Tが導けます。

[@user-lz7df6cv9c]

このチャンネルで積分を使っていることに驚いたやつ ↓

[@もょもと-h3w]

本のQRコードからアクセスしました。これは便利ですね。 解説とよく似た解法ですが、2つの図形を重ねて描いてみたところ、Sのみの部分もTのみの部分も2×4÷2の三角形からOを頂点の一つとする小さな三角形を引いたものだったので、S=Tとわかりました。 本もあと5問。いよいよ大詰めです。 文系なので積分はさっぱりですが、いつかわかりようになりたいです。

[@alucrux]

最後に積分紹介するのこの先の楽しみが見えて嬉しい

[@橘美也-h2s]

等積変形好きですね

[@夢で終わったあっくん]

曲がった部分の面積は求める必要ない！ 長方形と、三角形の面積だけ求めて比較すれば済む。

[@thereisgoodname]

5:33ここってlog|x|じゃなくてもいいんですっけ？

[@smbspoon-me-baby]

考えている範囲でxが正だから、問題ないです。

[@thereisgoodname]

@@smbspoon-me-baby ありがとうです

[@kmmk9307]

(8、8)とって正方形作って、そこからくり抜いてく

[@やまよし-u1s]

別解、三角形ＯＡＢと四角形ＯＡＢＣを比べれば簡単。Ｃ＝（8，0）

[@neogoch]

出題の仕方次第ではワンチャン中学入試で行けそう。

[@hiro789k]

サムネだけ見るとこれ小学生の問題だよね

[@kintaharako5038]

Sは(2,8)からx軸に垂線引いて原点oから点bまでの辺obと交わる点をcとおいて三角形aocの面積を求めると7.5×2÷2=7.5となる Tはaからのx軸との垂線の交わるところを点dとして、辺obと辺acとの交点をeとして、点bとx軸の直線の交点をfとすると台形debfの面積は(2+0.5)×6÷2=7.5 sにおける図形abcと tにおける図形abrは合同なので sとtの面積は等しい

[@otchi2003]

これ、良問ですね。 高校3年生以上だとどうしても積分して面積求めたくなりますからね。 最後に高校理系で学習する数3の積分まで解説しているのもすばらしいです。 高校生が観てもタメになると思います。

[@Louve_Lore]

これ等積変形してしまえばすぐ終わってしまうのでは

[@youkit7788]

積分でやるとどうなるんですか？

[@KN9260]

ヘンな関数の面積は積分、と考える前にやれることが ないか考えろと教えてくれる問題。

[@RURIO-dg9vw]

パッと見て｢いやいやこれ積分しなきゃダメじゃん｣と思いましたが、よくよく見たら問題は｢どちらが大きいか答えろ｣で、｢それぞれの面積を求めて比較しろ｣とは言ってないのがポイントなんでしょうね

[@MODULO_EXC]

なるほど…積分だな！(脳死

[@M2001_beatmania]

三角形の面積計算しなくても、0から引っ張ってできた方の三角形二つ合わせたら平行四辺形になるから、結局どっちの図形も面積が等しいことがわかりますね

[@金鵄-v6f]

こんなむずい計算せずともSとTを重ねたときの重なってない部分の面積求めりゃいいから、Aからx軸に垂線引いた交点をa、Bからx軸に垂線を引いた交点をb、AaとOBの交点をcとして、 三角形AOc＋三角形cOa＝三角形AOa＝面積8 四角形Bcab＋三角形cOa＝三角形BOb＝面積8 よって、三角形AOc＝四角形Bcab よって、面積同じ

[@user-changchang]

へぇー俺ならA、B、原点を含んだ一辺が8の正方形を作って弦ABより原点の側にある余白の大きさで比較するけどなぁ

[@ああ-n4d6t]

「"面積,体積の差"は余計な部分をくっつける」というのが入試の基本パターンです。 今回は,直線ABと曲線y=16/xで囲まれた部分を加えると,三角形と台形の面積の大小を考える問題に帰着できます。

[@megane2655]

微積でいいじゃんって言う前に、学ぶべき事は沢山ありますね。

[@smbspoon-me-baby]

微積だとＳは面倒そう Ｔは定義そのものだからいいけど

[@user-xb3gg2fn8v]

@@smbspoon-me-baby 微積使うならSも一発ですね

[@bboygunj]

直線と曲線に囲まれた面積で出ますね

[@user-xb3gg2fn8v]

グリーンの定理で一発

[@自家撞着]

直線acとx軸の交点をHとして、等積変形をして ΔOCB=ΔCBHより ΔOCB+ΔOCA=2×ΔCBH=右の四角形であることがわかる。 一切計算することなく求められるのがすごい

[@ny7583]

先生の解説の途中。OCを引いた後、等積変形考えれば、面積を計算しなくても一発でビジュアル的に同じことが分かる。

[@MI-cq6km]

ABを線分で結んで追加される面積はそれぞれ同じなので三角形OABと台形で比較しました。 台形は式に当てはめるだけとして、左の方は一瞬三角形が正三角形になることを期待しましたが違ったので点BからOAに平行な直線とX軸との交点B'の座標を求めて（相似使ったら楽）、三角形OAB'の面積を求めて比較しました。 なんとなく同じになりそうだなーと思ったら同じだったのでなんか気持ちよかったです笑

[@kuwakuwa2060]

斜線が2種類ある場合は、片方を／としたならもう片方を＼とすると見易いですよ♪ 黒と緑ではあるんですが、斜線の密度が低いために意外と境目が分からないんです。特にスマホなど小さい画面で見ると。

[@sugimuratks]

AB結んだ方が早そうだと思ったらそういうコメントしてる人がたくさんいて安心しました :)

[@parisginger]

SにBOと(8,0)を結んだ△を足して、AOと(2,0)を結んだ△を引けばTになります。 それぞれの△の面積は同じ、ゆえに、SとTの面積は同じになりますね。

[@つちけん-v6u]

Aからx軸に垂直に下ろした点(2,0)をCとする。 Bからx軸に垂直に下ろした点(8,0)をDとする。 △AOCと△BODを比較。 これで求めました。

[@mitsuharukei]

同じです(^^)

[@DVD000RAM]

これに関しては積分がわかった上でもこの解き方のが簡単

[@atimu4549]

左の図のBから下に垂線をおろした図形と、右の図のAとOを結んだ図形を作る。 そうするとそれぞれ同じ形になるので作った三角形を計算したらわかります。 ただ、2つの三角形は合同になるので面積は同じになりました。 比較するだけなら計算は入りませんね。

[@ESU01USER]

点A，点Bからそれぞれ垂線を下ろしてｘ軸との交点を点A'，点B'とすると図形AOB'Bからそれぞれ⊿OBB'，⊿OAA'を引けば求める面積S，Tになるけど⊿OAA'＝⊿OBB'＝８なのでS=T。賢い子なら中学入試で解けるかも。

[@k_a_z_1231]

A,BからY軸,X軸にそれぞれ垂線を引いてできる図形（正方形の角をかじったような形？）から、S,Tを作る為に削ぎ落した三角形と長方形の面積をそれぞれ比較して同じだと分かりました。

[@こにやん]

任意の反比例の式y=a/x上の任意の点A、Bについても、同様の性質S=Tが成り立ちます

[@ks-ij8sc]

等積変形できるやん、なんて思ったら直線じゃなくて曲線だった

[@yamadai19810821]

補助線として、線分ABをひきましょう。

[@takuro-tv]

数ⅢCまでちゃんと勉強したのに全く覚えてないｗｗｗ 先生方や両親には申し訳ないけど、大多数の人がこういうもんだと思いたいｗｗｗ

[@arakiryota]

今って積分数Ⅲの単元なの？ 高校2年で微積分やった記憶がある けど、指導要領変わったのか｡

[@anti_simulacre7907]

昔のことはわかりませんが、多項式関数の微積分は数 II です。

[@user-g748]

1/xの積分は数Ⅲだった気がします

[@takanoryu42]

数IIでは三次関数までの微積分で 分数・合成・指数・対数・三角の微積分、置換積分などは 数学IIIに入っていたと思います。

[@tmat9552]

まずOCAとOCBの面積が一致することを確認、Cを同様にT側にもおいてやると、CBを底辺とする高さが同じな三角形と長方形の比較になるので、S側はOCA分を加えると長方形部分と面積が一致する、だと数値計算がいらないのですっきりしてますね。原題ではどうなっているのかな

[@桑折真吾]

ログちゃん元気ですか？

[@ぱんだまん-b4q]

これ、2.8と8.2の間に線を引いて、三角形（台形ー三角形×2）と台形の比較という点に気づくかどうかがすべてですからね。そう考えると小学生でも解ける

[@ぱんだまん-b4q]

数字の計算をしない解き方だと 左の図の下辺に8,2の直角三角形を足します。 そして左側の関数グラフの点から下辺と左辺に垂線をひきます。 縦の垂線の左側の直角三角形は8,2なので差し引きで除きます。 左右が同じ図形になりました。

[@anti_simulacre7907]

直線 AB と反比例のグラフの間の部分の面積を込みで計算しました。 あとは川端先生と同じですね。

[@user-jq1ir8ej6z]

そっちのほうが計算楽そうですよね

[@anti_simulacre7907]

@@user-jq1ir8ej6z さん ふだんはわりとゴリゴリ計算するのが好きなんですけど、これは簡単に面積求められそうにないので…。

[@hmtsite]

A,Bからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれC,Dとして△OABと□ABDCの面積を比較しました。

[@mi-uv7ko]

同じく

[@bustersdqn1107]

斜めになってる三角形なので、高レベルな解き方ですね。

[@よしあき-t4m]

ABに補助線引けばいいことはわかってたけど積分ゴリゴリでやりました、面倒臭かった

[@yhara6284]

点C(8,0)を取り，四角形OABCから差し引く面積を比べると，双方同じ面積の三角形。双曲線の上側は共通だから気にしない。

[@ぐぐたす-c1i]

同じく、重ねた4角形から差分見たら同じ形

[@yhara6284]

@@ぐぐたす-c1i この方法に気付けば中学入試でもOKか。

[@Couch-Tomato]

コメ欄で一番スマート👍

[@user-jhftikbfrhkob]

ピカチュウじゃないよミミッキュだよ

[@ちち-o2g]

Oを中心とするABを通る円を書けば、小学生のあるある問題に還元できますね。

[@easy2forget2ch]

私もそれが真っ先に浮かびました

[@shimashimapon]

左図でAとBからx軸に垂線を下ろして交点をそれぞれP，Qとする。⊿AOP≡⊿OBQなので面積は同じ(共通部分は共に面積に含まれないので)。

[@kanikama1413]

左側の点Bから真下に線を下した点（8,0）をCとする。 右側の点Oと点Aを結ぶ。点Aから真下におろした点（2,0）をDとする。 すると両方同じ図形になる。 左側から△OBCを引いたものがS 右側から△OADを引いたものがT △OBC＝△OAD＝２ｘ８÷２＝８なので 同じものから同じ面積の△を引くことになるからＳ＝Ｔ

[@にしこーもり]

ふたつの図形を見比べたとき、かつに着目する先生の解き方、またはに着目するコメント欄の解き方、私はまたはの方でやりました

[@BaggageSea]

Tの面積のところをOBを引いて分けて，切ってできる三角形とSの2，8の三角形と比べてやりました

[@Couch-Tomato]

比べて、やった、のか、比べたった、のか、どっち！？

[@tsurumy]

積分の解説まで入れているのはいいですね。 Ｓの方も積分しようと思ったけど、さすがに暗算では無理でしたｗ

[@marikorosebank9229]

AからX軸上の点Pに垂線引いた三角形AOPとBからX軸上の点Qに垂線引いた三角形OBQは合同で、2つの三角形の重なる部分の面積は等しいんだから等しくなるに決まってるじゃん…

[@nishitoku]

興味深い結果（解答）ですね．　 係数や座標を変形させたら，どうなるんでしょうか．どんな時に等しくなるのかな？　知らんけど

[@study_math]

D(0,8),E(8,0)とおくと、△OADと△OBEをTの左の隙間に埋めればぴったり埋まるので面積は等しいことがわかる

[@山本大輔-l5v]

△OCA≡△OCB。△OCAをBからx軸に垂線おろしたところ(Tとでもする)に移動させると平行四辺形ができる。そしてCからx軸に垂線下したところをRとするとして、△CORを、CRをBTに移動させるとぴったり右の長方形になるから、同じ面積となる

[@pacho731]

これ、積分して解く生徒もいたんですかね

[@smbspoon-me-baby]

オーバーキル

[@pacho731]

@@smbspoon-me-baby 無駄に高校の知識を知るのもよくないんですかね(三角関数病患者より)

[@smbspoon-me-baby]

@@pacho731 さん　知識、道具はあるに超したことありませんが、どの道具を使うのが適切か、その判断は人間ですから怠らないほうがいいと思います。 だから、問題文がSなりTなりの面積を求めなさいなら積分し、大きさを比較しなさいなら補助線で簡単に解決することをお勧めします。

[@pacho731]

@@smbspoon-me-baby その通りですね。 使いどころによるところが大きいということですかね。

[@藤沢ちゃる]

（0，8）Pと（8、0）QとするとOPABQで考えたほうが簡単そう そすると 右側は全体からOPAとOQBを引けばいい それが 2×8÷2 もう一つも同じ 8×2÷2 左側は 2×8 の長方形を引けばいい そうすると、引く面積がどちらとも同じなので、どっちも同じ面積ってわかりました

[@最強のオッサン]

Aからx軸に、Bからy軸に垂線引けば楽勝

[@aiueoabc1]

私も、それが一番わかりやすいと思います。

[@nknk3461]

同じく。等積移動で瞬殺ですね

[@greenlover871]

Tの(8,0)を点C、(2,0)を点Dとして、SとTを重ね合わせる。OBとADの交点をEとすると、SとTの面積比較は△OAEと四角形BCDEの面積比較になる。 両者に△OEDを足すと、それぞれ△OADと△OBCになり、この2つは合同なので△OAEと四角形BCDEは同じ。よってSとTの面積も同じ。 計算いらなかったです（幾何苦手なのに…）

[@S390727]

点(0,8)をP、点(8,0)をQとする。ABQOPで囲まれる面積をXとすれば、S＝Xー２×(2×8×1/2)、T＝Xー2×8で、SとTは同じ面積。

[@nomadkyoto5431]

せやね、１分以内に即答 　　　　　　　by 60前のオッサン😄

[@tile_shirokuro]

中学生です 積分しました

[@hmb5360]

左、底辺2高さ8、底辺8高さ2二つの直角三角形の面積の合計と、右、縦8横2の長方形が等しくなりますから、ほとんど考えずにできます。

[@ぬーべー-i5p]

(8,8)に点を打って扇形の領域を加えるのが楽かな どっちも底辺6、高さ8の三角形2つに見なせる

[@クラコンテ]

点BからX軸へ垂線引いてC(8,0)とおいて、四角形OABCを考えて、S・Tそれぞれ欠けている部分を比べれば終わり

[@nekochan_kawaii222]

数弱理系ワイ、脳死で積分

[@ks1010]

AB間の線分を引くとわかりやすい台形ができるので、面積に含まれない部分をそれぞれ引きました

[@某人間K]

学校では習ってないけど積分で求められて嬉しい。分数関数と対数関数は何も関係なさそうなのに微分積分で繋がったときは驚きました。

[@TT-bc5nr]

左の面積ってどうやって積分で出すのでしょうか。

[@某人間K]

@@TT-bc5nr 積分で求めたのは右側です！左はベクトルで考えました。

[@コシヒカリうまっ]

@@某人間K どうやってベクトルでもとめれますか？

[@user-tokotoko334]

@@コシヒカリうまっ ベクトル 面積 公式 で検索して

[@shinya5657]

積分のお話、当時数学大嫌いで死ぬ気で勉強したなあ。 log？なんじゃそりゃ？って感じでした。

[@Y16_k9]

これくらいの難易度だとそこまで頭使わないから楽しいね。面積同じになって1秒思考停止したけど

[@気ままなナマイキ]

自分は点A-Bに直線引っ張りましたわ

[@tom2348]

これってどの座標、グラフでも成り立つ？

[@お味噌汁-x7w]

5:25 将来数学不要説を唱える文系勢即死ゾーン

[@sio6655]

ABを結べば三角形OABと台形が求められて2つとも同じ場所を引いてるからそれで比べられるくない？

[@masahiro5513]

A・Bそれぞれからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をそれぞれD・E、ADとOBとの交点をFとおくと△AOD≡△OBE。 よって△AOFと台形BFDEは同じ面積だから、面積SとTは等しい、です。

[@嗚呼-x7e]

……左の図形の下に面積8の三角形を足して、その足した図形の左から合同な面積8の三角形を抜き出すと、 S+8-8＝T 　　S＝Tとなると思います

[@嗚呼-x7e]

AからX軸に垂線を下ろしてその交点をCと置いて、Bから同じ操作をして交点をDと置くと、△ACOと△BDOは、どちらも 直角三角形かつそれを挟んでいる辺が2と8で長さが等しいので、△ACOと△BDOは合同。

[@overcapacitywhale]

中学受験ではこちらの方がオーソドックスなやり方ですね。

[@嗚呼-x7e]

左の図形に△BDOを足して、△ACOを抜き出すと右の図形と同じ図形が出来る。△ACOと△BDOは合同なので面積±0 よって面積は等しい

[@豪商]

私は逆に右の図形に2×8×1/2の直角三角形を左に足して下から引きました。中学入試ならこっち系統の解き方がお手本じゃないすかね？

[@overcapacitywhale]

@@豪商 ごめんなさい、コメ主の方法と何処か違いますかね…？

[@takashike]

いい問題ですね。共通する領域を持つ図形の面積を比較するのであれば、面積の違いを評価すればおしまいですね。共通する領域は考える必要はない。

[@krnt2]

僕は(8,8)に点打ちました

[@xyz_abc752]

僕の場合、Tの面積に加えて、点OとAで作る長方形の空白の部分を加えて考えた。まず、SのOAとOBでそれぞれ空白の部分で作る直角三角形が出来上がるので、それらの面積と、TのOAのあいだでできる面積と同じなので、答えはどちらも面積は「等しい」になった。

[@無常チャンネル]

二つの図形を重ねて、お互いにはみ出た部分の大小比較でもいいですね。

[@YOSHI_Colonial]

二つの図形を重ねて、重ならない部分(Sの左側の三角形とTの下側の台形)の面積を比較しました (Aから降ろした垂線とx軸の交点をC、Bから降ろした垂線との交点をDとした場合) これは△OACと△OBDの面積比較とイコールであるため、どちらも2*8*1/2ですぐに同値と判断できます

[@WhiteMomiji]

SとTの図を重ねたら同じってことはすぐ分かると思うんだが・・・

[@こゆ-u4j]

最近やってた等積変形でパズルみたいにはまって同じであることが言えるかなと思います。

[@matsumickey]

Sの図形にBから下ろした垂線とOB、X軸で囲まれた三角形を足した図形をベースにS,Tとの面積差を考えるとどちらも2×8の三角形一つ分、と考えました。

[@玉蛇]

左は正方形の面積から直角三角形の面積引いて求めて右は台形作って求めました 積分は嫌な思い出しかありません(笑)

[@naomi-sun]

私は『座標アレルギー』なので、sin、cos、tanとかの問題だと見向きもしないのですが（笑）、これは面積を求めるやつということで、ちょっと考えてみようと試みました。が、曲線があるので、やはり10秒で諦めかけた時に、「こういう問題って、意外と『まさかの同じ面積』やったりするんよなぁ🤔」と、ふと思ったら、そのまさかやったので、めっちゃ嬉しかったです😆 しかしながら、先生の解説を聞いて思ったのが、曲線部分って同じ形を見つけたら、それ以上のことは考えなくていいんやなぁと感じました。 また一つ勉強になりました。 この考え方、違うことに使えそうです。😊

[@米山達也-t2o]

ＡＢに直線を引けば三角形と台形の面積の比較になるのでは?

[@燕ファン]

これは、ABを引いてしまって、三角形OABと台形の面積を求めれば早いかな。

[@Couch-Tomato]

OABの面積求めるの面倒くさくない？？

[@燕ファン]

@@Couch-Tomato 難関高校受験だと、原点oに頂点があるとき、A（x.y）とＢ（p.q）で囲まれる三角形oabの面積は|xq-yp|/2という公式があった気がします。（|　|は絶対値記号）　 　この場合、|2×2−8×8|＝30となります。

[@Couch-Tomato]

@@燕ファン なるほど、素晴らしい公式！ありがとうございます！！

[@福山浩範]

この問題、結局は左側の斜線部分の図形において、三角形ＯＡＣ、三角形ＯＢＣの２つの面積を求める事が出来れば、正解まで一直線じゃないですか❗

[@anasuit1111]

東大2001とかね