【東京大学2024年】 いつもの回転体の体積問題

こんにちは！マルチーズ先生です。東大でよくある問題です。標準レベル。
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師　マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。

[@user-rt7bn2sp6b]

切る位置によって、切断面を回転させたときの面積（図形）が変化するタイプの問題は、 昔はよく見かけましたが、最近は見かけることが少なくなってきた気がします。 回転軸からの距離で、 π×｛（一番遠い点までの距離）^2－（一番近い点までの距離）^2｝ で計算すれば良いので分かりやすいですね。

[@user-we9lp7lh4t]

そうですね。比較的解きやすい問題ですね。

[@saundersn.6147]

非可展面である一葉双曲面に関連する題材なんだろうな．（多分DBの回転が） 受験生には全く関係ないが．

[@AIR-mb5rk]

「切ってから回す」ですね

[@user-we9lp7lh4t]

はい、いつもそのパターンです。

[@user-dq3ht9st5h]

結局、これどういう図形なんだろう？ 形式的に計算はできるけど、まったく想像できない……

[@user-we9lp7lh4t]

@@saundersn.6147 なんとなく、そんな感じがしますね。

[@saundersn.6147]

前のコメントは勘で適当な部分があったので修正. 回転体の形は, 三角形OABをX軸で一回転させた円錐から, 0 ≦ x=k ≦ 1/3 の範囲では 線分DBをX軸で一回転させた「一葉双曲面」を回転側面とする立体をくり抜き, 1/3 ≦ x=k ≦1では, もとの円錐の底面の円の同心円で面積が半分となる底面をもつ小さな円錐をくり抜いた立体になっている． （これで体積計算すると動画と結果が一致している. ） 一応, 前のコメントの説明を繰り返すと, 線分DBは延長してもX軸とは交わらないし平行でもない「ねじれ」の位置にある線分で, 空間上で回転軸とねじれの位置にある直線を一回転させて現れる曲面は, 円錐面ではなく「（回転）一葉双曲面」という曲面になる. 動画の2:09辺りの図と記号を使わせてもらうと, 平面 x=k で三角形ADBを切り取った断面の線分FEと, 線分DBの部分である線分FBのどちらの方が, k の値によって「よりx軸に近くなるか」が重要で, これによって大きな円錐の中身をくり抜いた部分の曲面が変わってくる. これは結局は模範解答でやっている場合分けと同じだね. その境目が k=1/3 のとき. ざっくりしたイメージとしては, 三角形ABCをX軸で一回転させると, 底面が半径1の円で高さ1の大きな円錐から, その円錐の底面の同心円で半径が√2/2となる底面(つまり面積半分の円）をもつ同じ高さの小さな円錐をくり抜いた立体となるけど, 問題の立体は, その立体の下の方の高さ1/3までのくり抜きを円錐側面じゃなくて一葉双曲面に置き換えたものだと言えるね.

[@user-we9lp7lh4t]

@@saundersn.6147 詳細なコメント有難うございます！3D図で示すには、骨が折れそうな図形ですね。。。

[@wswsan]

サムネ三角形ABCはミスですかね?

[@user-we9lp7lh4t]

スミマセン。三角形ABDでした。。。

[@user-fs3kj7zb6o]

これ文系の問題ですよね

[@user-we9lp7lh4t]

確認しましたが、理系で出題されているようです。